Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK

Huomautus. Edellä käsitelty termin siirtämistä koskeva ohje koskee vain koko
termiä, ei termin tekijää. Varo siis, ettet vahingossa siirrä termin tekijää merkkiä
vaihtaen omaksi termikseen yhtälön toiselle puolelle.
Esimerkiksi yhtälöstä 2x = 10 ei mitenkään saada x = 10 − 2 = 8 , koska tällöin
olisit käsitellyt alun perin yhtä suuria lausekkeita eri tavoin: olisit jakanut vasemman
puolen kahdella ja oikeasta puolesta olisit vähentänyt kakkosen. Nyt on oikein jakaa
alkuperäisen yhtälön molemmat puolet kahdella, jotta uusi yhtälö olisi ekvivalentti
alkuperäisen kanssa: x =
10
= 5 .
2
Huomautuksia.
- Yhtälön ratkaisussa ekvivalenssinuolet jätetään usein pois, varsinkin jos yhtälön
eri vaiheet kirjoitetaan allekkain.
- Ekvivalenssinuolia ei saa korvata yhtäsuuruusmerkeillä, koska tällöin kirjoitettaisiin
näkyviin mahdottomia yhtäsuuruuksia:
esimerkiksi edellisen esimerkin kaksi viimeistä riviä merkitsisi yhdessä, että
− 3x
= − 12 = x = 4 . Tämä on mahdotonta, koska eihän − 12 voi olla 4.
- Toimenpiteitä 2 ja 3 saa käyttää yhtälöiden ratkaisemiseen, mutta ei lausekkeiden
sieventämiseen, koska näissä toimenpiteissä lausekkeen suuruus
muuttuu. Esimerkiksi seuraavanlainen lausekkeen ”sieventäminen” on siis
väärin:
1 2
+
Kerrotaan lauseke nimittäjien pienimmällä
2 3
yhteisellä jaettavalla 6
1 2 Lausekkeen suuruus muuttui kuusinkertaiseksi, joten
= 6( + ) lauseke ei ole enää alkuperäisen suuruinen! Niinpä
2 3 yhtäsuuruusmerkki ei ole voimassa tämän rivin alussa.
VÄÄRIN!
= 3 + 4 = 7 .
- Mikäli ratkaiset yhtälön käyttäen vain toimenpiteitä 1-3, niin löytämiesi juurten
pitäisi yhtälöön sijoitettuna toteuttaa yhtälö. Jos yhtälö ei kuitenkaan toteudu,
niin tämä merkitsee, että olet tehnyt jossakin laskuvirheen, joka sinun pitäisi etsiä.
Jos et löydä virhettä, niin sinun tulee johtopäätöksenä todeta, että jossakin
täytyy olla virhe, vaikket sitä löydäkään. Tällaisessa tapauksessa et saa mennä
kirjoittamaan, että yhtälöllä ei ole juuria.
- Tilan säästämiseksi yhtälön ratkaisemisen useampia vaiheita voidaan esittää
yhdellä rivillä. Tällöin ekvivalenssinuolet ovat selvyyden vuoksi tarpeen yhtälön
eri vaiheiden välillä:
2( x + 1) = 5( x − 2) ⇔ 2x + 2 = 5x −10 ⇔ 2x − 5x
= −10 − 2
⇔ − 3x
= −12 ⇔ x = 4 .
Timo Ojala ja Timo Ranta: Johdatus insinöörimatematiikkaan 36