Johdatus insinöörimatematiikkaan - SAMK

Esimerkki. Sievennetään kahden muuttujan x ja y polynomia
Q( x, y) = ( x−4 y) −2 ⋅( x−4) −3 ⋅ (3y
+ 1)
2 2 2
2 2
( ) (
2 2) 2 2
x 2 x 4 y (4 y) 2 x 2 x 4 4 3 ((3 y) 2 3y
1 1 )
= − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ +
Käytä kaavoja ( a± b) = a ± 2ab+
b
2 2 2
Muista, että kertoimet −2 ja −3
vaikuttavat jokaiseen sulkeitten sisällä olevaan termiin
2 2 2 2
= x − xy + y − x + x− − y − y −
8 16 2 16 32 27 18 3
2 2
= −x − y − xy + x− y −
11 8 16 18 35
Yhdistä samanmuotoiset termit
Edellisestä esimerkistä poiketen termejä − 8 xy ja 16x
ei ole tapana yhdistää muotoon
( − 8y
+ 16) ⋅ x , vaikka se ei olisikaan väärin. Muuttujien x ja y toisen asteen
2 2
polynomi esitetään nimittäin tavallisesti muodossa Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F ,
jossa kertoimet A, B, C, D, E ja F ovat lukuja tai lukuja esittäviä symboleja.
Huomautus. Lausekkeiden sieventämiseen liittyy monia ”sanomattomia sopimuksia”,
joista rutinoitunut laskija pitää kiinni, mutta joista poikkeaminen on kuitenkin
korkeintaan ”kauneusvirhe”.
Sieventämisessä kaikkein tärkeintä on aina matemaattisten virheiden ehdoton
välttäminen ja sellaisen muodon saaminen, jota esimerkissä selvästi kysyttiin tai
josta tehtävän suoritusta voidaan tarvittaessa jatkaa eteenpäin.
7. KOKONAISPOTENSSI
n
Potenssimerkinnässä a perusrivillä on kantaluku a ja ylänurkassa eksponentti n.
Seuraavassa kerrataan lyhyesti kokonaispotenssin määritelmä ja laskulait.
Määritelmä. Olkoon a mielivaltainen reaaliluku ja n positiivinen kokonaisluku.
Määritellään luvun a n. potenssi
Jos lisäksi a ≠ 0
n
a = a ⋅ a ⋅...
⋅ a .
, niin määritellään edelleen
n kpl
a
a
0
−n
= 1
1
=
n
a
Esimerkki.
3 0 −4
1 1
2 = 2⋅ 2⋅ 2 = 8 , 5 = 1 , ( − 2) = = ,
4
( −2)
16
Siirrytään selvempään
merkitsemistapaan
4 4 4 4
− 2 = − (2 ) = −16 Muista, että Excelissä − 2 = ( − 2) = 16 .
Timo Ojala ja Timo Ranta: Johdatus insinöörimatematiikkaan 22