Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 9
Fig. 8 – Esquisse de solution
Definition 1. Soit G un graphe non orienté dont l’ensemble des sommets
est noté V et l’ensemble des arêtes E.
– Une représentation planaire du graphe G est la donnée, dans le
plan d’un ensemble de points de même cardinal que V, reliés deux à
deux par des courbes continues lorsque les sommets correspondant
du graphe sont reliés, tel que ces courbes ne se coupent pas.
– Un graphe G est dit planaire si et seulement si il admet une
représentation planaire.
– Un isthme est une arête dont la suppression augmente le nombre
de composantes connexes. De même, un point d’articulation d’un
graphe G est un sommet de G qui, s’il est supprimé augmente le
nombre de composantes connexes de G.
– Une carte K est un graphe planaire topologique connexe, sans
isthme et sans point d’articulation.
– Une face d’une carte K est une région du plan délimitée par des
arêtes et telle que deux points arbitraires de cette region peuvent
toujours être reliés par un trait continu ne rencontrant aucun sommet
ou une arête. Deux faces d’une carte sont voisines si elles ont
une arête commune qui les délimite. Il y a toujours une face non
entièrement délimitée appelée face infinie. Les autres faces sont
des faces finies.
– Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet.
– Nous appelerons circuit graphe une carte dont les arcs sont orientés
de telle sorte que chaque face finie soit un circuit. Dans un circuit
graphe, un même arc peut être orienté dans les deux sens.