Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Chapitre III
CALCUL DU DEGRE DE RETOURNEMENT
D’UNE CARTE
3.1 Introduction
Le degré de retournement d’un graphe planaire est utilisé par les
géographes à des fins diverses. Nous avons donné quelques une de ses applications
au chapitre 1. Dans notre approche, il est question pour nous
dans un premier temps d’exhiber le dual réduit G ′ de la carte initiale.
Par construction, tout graphe planaire admet un graphe dual qui est
lui-même planaire. Une fois que nous avons obtenu le dual réduit, nous
essaierons de trouver le plus grand sous-graphe biparti de ce graphe. Le
nombre d’arêtes n’appartenant pas à ce sous-graphe constitue le degré
de retournement du graphe initial.
3.2 Méthodes de résolution
La première étape consiste à dessiner le dual réduit de la carte, et
ensuite à éliminer un nombre minimum d’arêtes de ce dual afin que
ce dernier soit biparti. Comme il n’y a que deux sens d’orientation
possibles d’une face (le sens trigonométrique et le sens des aiguilles de
la montre), il est donc question de trouver le plus grand sous-graphe
2-coloriable du graphe dual. Dans un premier temps, nous donnerons
une approche mathématique du problème, puis nous donnerons une
solution algorithmique.
3.2.1 Approche mathématique
Borne du degré de retournement
Trouver le plus grand sous-graphe biparti d’un graphe est un problème
NP-complet [12]. Ce problème a notamment fait l’objet de multiples recherches.
Nous citerons à titre d’exemple celles d’Erdös et de Brass [13].
Pour un graphe G, soit f(G) le nombre maximum d’arêtes appartenant
à un sous-graphe biparti de G. Pour m ≥ r, soit t(m, r) le nombre
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