Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 13
Fig. 11 – Le dual réduit du graphe précédent
Lemme 1. Soit G un graphe planaire
d(f) = 2|E|
f∈F
Démonstration. Soit G ∗ le dual géométrique de G
d(f) =
f∈F
f ∗ ∈V (G ∗ )
d(f ∗ ) = 2|E ∗ | = 2|E|
2.5 Caractérisation des graphes planaires
Corollaire 1. Soit G un graphe simple planaire connexe ayant au
moins 3 sommets.
m ≤ 3n − 6 . Autrement dit m ∈ O(n)
Démonstration. comme n ≥ 3, le degré d’une face quelconque de G (le
nombre d’arêtes constituant la face) est supérieur ou égal à 3 donc
d(f) ≥ 3|F |
f∈F
où F désigne l’ensemble des faces de G. Or d’après le lemme (1) ,
d(f) = 2m
f∈F