Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Université de Yaoundé I
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
Calcul du degré de retournement
d’un graphe planaire
Directeur : Louka Basile
en temps polynomial
Yaoundé
Année académique 2005-2006
Mémoire présenté en vue de
l’obtention du Diplôme
d’Etudes Approfondies en
informatique
par
Foping Séraphin Franclin

Table des matières
REMERCIEMENTS v
RESUME vi
ABSTRACT vii
I INTRODUCTION 1
1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Domaine d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Différents types de tracés de graphes planaires . . . . . . 5
1.3.1 Principe du tracé de Tutte . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Principe du tracé de Schnyder . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Principe des tracés de Fary . . . . . . . . . . . . 6
II GRAPHES PLANAIRES 8
2.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Formule d’Euler pour les graphes planaires connexes . . 10
2.3 Autres critères de planarisation des graphes . . . . . . . 12
2.4 Notion de dual d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Caractérisation des graphes planaires . . . . . . . . . . . 13
2.6 Intérêt des graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . 14
III CALCUL DU DEGRE DE RETOURNEMENT D’UNE
CARTE 15
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Approche mathématique . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1.1 Les cycles de longueur impaire d’une
carte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1.2 La propriété d’Erdös-Posá . . . . . . . 17
3.2.1.3 La conjecture de Brass . . . . . . . . . 17
3.2.2 Approche algorithmique . . . . . . . . . . . . . . 18
ii

3.2.2.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2.2 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2.3 Max-cut est NP-dur . . . . . . . . . . . 20
3.3 Transformations du problème Max-Cut . . . . . . . . . 22
3.3.1 Transformation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Transformation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.3 Transformation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.4 Transformation 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.5 Transformations inverses . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Calcul du couplage parfait de poids minimum . . . . . . 24
3.4.1 Programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 L’algorithme d’Edmonds . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Analyse de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
CONCLUSION 36
PERSPECTIVES 37
BIBLIOGRAPHIE 38
iii

A celui qui est à la fois mon Seigneur, mon grand frère et mon ami
fidèle, JESUS, je te dédie ce travail.
iv

REMERCIEMENTS
– J’adresse mes sincères remerciements à Monsieur NZALI Jean-
Pierre et à Monsieur LOUKA Basile qui par leurs disponibilités,
suggestions et critiques m’ont permis de réaliser ce travail.
– Je remercie tous les enseignants du département d’informatique
de l’université de Yaoundé I.
– Je remercie mes parents bien aimés, Mr FOPING Séraphin et Mme
FOPING née DJUKOUO Christine pour l’amour qu’ils m’ont toujours
apporté.
– J’adresse des remerciements particuliers aux Dr. KAMDOUM Mélanie
et KAMDOUM Basile pour le soutien moral, matériel et intellectuel
qu’ils n’ont cessé de m’apporter durant mes études.
– Je remercie de tout coeur mes aînés SIMO KOUAM Collins, TET-
CHUENG FOPING Jean-Louis, MEUJO FOPING Damaris Agathe,
TSEMO FOPING Nicanor et KAMTCHUENG FOPING Dolorès
pour le soutien financier et moral.
– Je remercie mes oncles et tantes : Mme KOUAM KAAM née
POLA Marie Claire, Mr. KAMTO Michel et Mme KAMTO Hélène,
Mme MAGNE Thérèse.
– Je présente toute ma gratitude à l’endroit de Mr.GAMO Hilaire
et Mme. GAMO Brigitte Marthe.
– Je remercie les Pr. Hubert DE FRAYSSEIX et Falk HUEFFNER
pour leur soutien moral.
– Je remercie mes amis TCHUISSEU MBAKOP Magellan Joël, NDE
Celestin et MOULIOM NJIKAM Alirou pour leur soutien logistique.
– Mes remerciements vont aussi à l’endroit de tous mes camarades
en particulier NKONDA Charly, EBELE Serge et ABESSOLO
Ghislain pour leur soutien inconditionnel.
v

RESUME
Trouver le degré de retournement d’un graphe planaire est un problème
classique de la théorie des graphes. Nous montrerons que ce problème
peut se ramener à la recherche d’une coupe maximale dans un graphe
dérivé du graphe initial. Le problème de la coupe maximale dans un
graphe quelconque est un problème NP-Complet (l’un des vingt-un
problèmes NP-Complets énoncés par Karp-Cook [12]). Pour ces problèmes,
au jour d’aujourd’hui on ne sait pas s’il existe ou non un algorithme
polynomial pour les resoudre. Il a été montré que l’existence d’un tel
algorithme pour résoudre l’un de ces problèmes entraîne la résolution
en temps polynomial de tous les autres problèmes.
Dans le cas des graphes planaires, nous montrerons que le problème
Max-Cut n’est pas NP-Complet et nous donnerons un algorihme po-
lynomial pour le résoudre. Cet algorithme s’obtient par une série de
transformations.
vi

ABSTRACT
In this paper, we will show that finding the reversal degree of
a planar graph can be reduced to the problem of looking for a maximum
cut in a reduced graph. However, the general case of that problem
has been heralded by Karp-Cook [12] as one of the 21 NP-Complete
problems. It is unknown whether there exist algorithms operating in
polynomial bounded time for any of these problems. It has been shown
that existence for one implies existence for others. In this paper we deal
with a special case of the maximum cut problem. By requiring the graph
to be planar, it is shown the problem can be translated into a minimum
weighted perfect matching for which there exists a polynomial bounded
algorithm.
vii

Chapitre I
INTRODUCTION
Bon nombre de progrès significatifs ont été enregistrés dans le domaine
des Systèmes d’Information Géographique (SIG) [15], [16] surtout
dans les aspects d’aide à la décision et de maîtrise de l’environnement.
Mais dans certaines circonstances le manque de matériel adapté
à la saisie des données spatiales constitue un obstacle à l’introduction
de cette nouvelle branche de l’informatique. Le problème du calcul du
degré de retournement d’un graphe planaire a été posé lors de l’acquisition,
par un logiciel de SIG, de cartes par une méthode n’utilisant pas
les équipements traditionnels comme le scanner ou la table à digitaliser.
Cette méthode appelée Digitalisation au Millimètre (DIMI) a été
expérimentée sur la carte du Cameroun. La méthode et les résultats
obtenus ont été présentés dans [19]. La DIMI consiste à relever manuellement
les coordonnées des différents points appartenant aux différents
contours de la carte à introduire dans l’ordinateur. La confection de
chaque contour se fait à partir de ces coordonnées. Considérons la carte
de la figure ci-après :
Fig. 1 – Carte à digitaliser
1

Chapitre 1. Introduction 2
Deux équipes descendent sur le terrain relever les coordonnées de
cette carte. Supposons que la première équipe relève les coordonnées
du contour (2132) et la deuxième celles de l’arc (342). Dans le premier
contour, le segment (23) est pris dans le sens contraire que dans le
contour (3423). Dans la réalité, il peut y avoir plusieurs points entre
les sommets 2 et 3 et la digitalisation est faite dans un seul sens (de
3 vers 2) et une seule fois. Pour confectionner le contour (3423) nous
serons obligés de changer le sens d’orientation du segment (23) soit en
écrivant une fonction qui inverse l’ordre des coordonnées pris de 3 vers
2 soit en retournant sur le terrain. Pourtant un travail préliminaire peut
être fait sur la carte de la figure afin de choisir un sens de parcours à
suivre pendant la digitalisation qui ne soit pas différent de celui utilisé
pendant la confection d’un contour donné. Les deux équipes pouvaient
au préalable définir une orientation pour la carte avant de la digitaliser.
Les figures ci-après donnent des exemples d’orientations possibles. Il est
à noter que dans la première orientation de la carte, l’arête représentée
en trait rouge est orientée dans deux sens.
Fig. 2 – Première orientation de la carte à digitaliser
A partir de la deuxième orientation de la carte , le travail en équipe
pouvait être organisé de la façon suivante : la première équipe aurait
relevé les coordonnées du contour (2132) et la deuxième celles de
l’arc (234). La première orientation imposerait plutôt que la première
équipe relève les coordonnées du contour (2132) et la deuxième celles

Chapitre 1. Introduction 3
Fig. 3 – Deuxième orientation de la carte à digitaliser
du contour (3423). L’arc (32) (colorié en rouge sur la figure illustrant
la première orientation) aurait donc été relevé deux fois dans des sens
différents. A partir de ces données, la confection des contours (2132) et
(2432) se ferait automatiquement sans qu’un problème d’orientation ne
se pose pendant la confection automatique de la carte sur ordinateur.
Il faudrait ajouter que la deuxième orientation est moins coûteuse car
l’orientation choisie permet de relever les coordonnées du segment (32)
dans un seul sens.
Ainsi la DIMI impose de donner un sens de parcours à chaque arête de
la carte de façon à constituer un circuit autour de chaque face. Pour
atteindre ce but, certaines configurations de cartes imposent qu’une
catégorie d’arcs aient deux sens d’orientation. L’on peut donc se demander
combien il y a de tels arcs dans une carte donnée. Dans la
pratique, l’idéal serait que ce nombre soit le plus petit possible par rapport
au nombre total de sommets car cela facilitera la tâche aux équipes
qui relèveront les coordonnées des contours sur le terrain. Il s’agit en
d’autres termes de résoudre le problème suivant :
Etant donné une carte, comment faut-il orienter les arêtes qui délimitent
les différentes faces de la carte de sorte que chaque face soit un circuit,
et que le nombre d’arc à double sens soit minimum ?

Chapitre 1. Introduction 4
1.1 Problématique
Le degré de retournement est un minimum sur un ensemble de valeurs,
et le problème pratique dans notre cas d’espèce est de trouver
une orientation du graphe planaire topologique qui réalise ce minimum.
La connaissance de cette orientation pour une carte (qui est un
graphe planaire topologique particulier) facilite son acquisition par la
DIMI. La connaissance de cette orientation est aussi intéressante dans
les SIG fonctionnant selon le modèle vecteur topologique [15] où les
points constituant chaque arc sont rangés une seule fois dans la base
de données, mais dont les coordonnées doivent être lues dans un sens
ou dans l’autre selon la face qui délimite cet arc.
1.2 Domaine d’application
Dans la gestion de la mobilité en milieu urbain
La communauté urbaine d’une localité a noté une croissance inquiétante
du nombre d’embouteillages dans sa localité dans l’espace et
dans le temps, et que le nombre d’accidents de circulation dus aux collisions
frontales va grandissant. Après des enquêtes menées, on constate
que ceci est en partie causé par l’étroitesse des voies et la mauvaise
organisation des sens de déplacement. La solution proviendrait :
– soit de l’augmentation du nombre de voies et / ou l’élargissement
de celles existantes, ce qui est économiquement onéreux ;
– soit de la redéfinition des sens de circulation en réduisant au strict
minimum le nombre de voies à double sens, tout en rendant accessible
tout carrefour à partir de n’importe quel autre point.
Les exigences budgétaires nous oblige à écarter la première solution.
Afin de satisfaire les contraintes d’accessibilité universelle de la deuxième
solution qui est retenue, il est suffisant, autour de tout bloc (quartier)
délimité par des routes, que ces dernières soient orientées de sorte à
former une boucle. Dans ce processus d’orientation, nous devons tenir
compte du fait que le nombre de routes à double sens doit être minimal
afin de diminuer la répartition spatiale des collisions.
Dans le cadre de ce mémoire, nous expliquerons une approche permettant
de calculer le degré de retournement d’un graphe planaire en

Chapitre 1. Introduction 5
temps polynomial.
1.3 Différents types de tracés de graphes planaires
Un graphe planaire peut être représenté de diverses manières qui sont
toutes équivalentes, car elles comportent le même nombre d’arêtes et
de sommets et par conséquent le même nombre de faces. Ceci découle
directement de la formule d’Euler que nous présenterons au chapitre
suivant. Malgré le fait qu’un graphe planaire admette plusieurs tracés,
il nous parait intuitif de choisir ceux dans lequel les arêtes ne se coupent
pas. De telles choix nous permettront de bien délimiter les différentes
faces du graphe.
Exemple : Si nous considérons le cube, une représentation en perspective
classique (à gauche) ne sera pas planaire. Ceci pourrait nous inciter
à penser que le graphe correspondant ne l’est pas non plus. Il n’en est
rien, comme le montre la représentation de droite du même graphe,
planaire cette fois.
Fig. 4 – Un graphe et sa représentation planaire
Nous allons à présent passer en revue les différents types de tracés
des graphes planaires.
1.3.1 Principe du tracé de Tutte
Nous plaçons les sommets de la face extérieure sur un ensemble de
points convexes, par exemple un cercle. Puis nous écrivons que tout
sommet est le barycentre de ses voisins et nous résolvons le système
d’équations qui a une solution unique si le graphe est 3-connexe. Si
le graphe n’est pas 3-connexe, le système admet plusieurs solutions et
nous choisirons arbitrairement une solution.

Chapitre 1. Introduction 6
Fig. 5 – Representation de Tutte de la carte du Cameroun
1.3.2 Principe du tracé de Schnyder
Un graphe triangulé (graphe dont toutes les faces possèdent trois
arêtes) admet une décomposition de ses arêtes en trois arbres de Schnyder
dont les racines sont les points de la face infinie. Tout sommet v
intérieur est dont joint par trois chemins distincts aux trois sommets
extérieurs. Ces trois chemins définissent ainsi trois zones. La somme
des nombres de sommets de ces zones est constante. Les coordonnées
tridimensionnelles de v sont les nombres de sommets dans chacune de
ces zones.
1.3.3 Principe des tracés de Fary
Il s’agit des tracés dans le plan de graphes planaires par des segments
de droite incidents à des points.

Chapitre 1. Introduction 7
Fig. 6 – Un tracé de Schnyder
Fig. 7 – Tracé de Fary d’un graphe planaire

2.1 Préambule
Chapitre II
GRAPHES PLANAIRES
Commençons par énoncer deux problèmes pratiques.
2.1.1 Problème 1
Dans un pays donné, le ministre de l’administration territoriale désire
réorganiser les voies de communications de façon à relier entre elles les
onze plus grandes villes du pays. Elles doivent être reliées deux à deux
soit par un canal, soit par un chemin de fer. Or les ingénieurs du pays
s’ils savent parfaitement faire passer une voie ferrée au-dessus, ils ne
savent en revanche pas faire passer une voie ferrée au-dessus d’une
autre, ni un canal au-dessus d’un autre ! Pouvons-nous les aider en leur
proposant un tracé ?
2.1.2 Problème 2
Sur un côté d’une rue, trois maisons sont alignées. Devant elles sont
placées respectivement des arrivées générales de gaz, d’électricité et
d’eau. Pouvons-nous alimenter les trois maisons en ces trois fluides
sans que deux conduits ne se croisent ? Si nous essayons de placer les
différentes conduits, nous nous apercevons qu’il est possible, sans trop
de difficultés, de placer les huits premièrs. En revanche, il semble absolument
impossible de placer le dernier sans croiser l’une des arêtes
précédemment tracées. Sur la figure, même en contournant le bloc, la
dernier conduit, représenté en pointillées, croiserait nécessairement l’un
des précédents.
8

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 9
Fig. 8 – Esquisse de solution
Definition 1. Soit G un graphe non orienté dont l’ensemble des sommets
est noté V et l’ensemble des arêtes E.
– Une représentation planaire du graphe G est la donnée, dans le
plan d’un ensemble de points de même cardinal que V, reliés deux à
deux par des courbes continues lorsque les sommets correspondant
du graphe sont reliés, tel que ces courbes ne se coupent pas.
– Un graphe G est dit planaire si et seulement si il admet une
représentation planaire.
– Un isthme est une arête dont la suppression augmente le nombre
de composantes connexes. De même, un point d’articulation d’un
graphe G est un sommet de G qui, s’il est supprimé augmente le
nombre de composantes connexes de G.
– Une carte K est un graphe planaire topologique connexe, sans
isthme et sans point d’articulation.
– Une face d’une carte K est une région du plan délimitée par des
arêtes et telle que deux points arbitraires de cette region peuvent
toujours être reliés par un trait continu ne rencontrant aucun sommet
ou une arête. Deux faces d’une carte sont voisines si elles ont
une arête commune qui les délimite. Il y a toujours une face non
entièrement délimitée appelée face infinie. Les autres faces sont
des faces finies.
– Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet.
– Nous appelerons circuit graphe une carte dont les arcs sont orientés
de telle sorte que chaque face finie soit un circuit. Dans un circuit
graphe, un même arc peut être orienté dans les deux sens.

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 10
Exemple :
Fig. 9 – Exemple de graphe planaire
La figure ci-après présente un exemple de carte. Il s’agit d’un graphe
planaire puisque toutes ses arêtes ont pu être représentées dans le plan
et aucune arête ne coupe une autre. Le sommet 6 est un point d’articulation
car sa suppression rendrait le graphe non connexe (le sommet
9 serait alors isolé). Le contour (12341) constitue une face du graphe,
le degré du sommet ”3” est de 3. La face (34563) est un circuit.
2.2 Formule d’Euler pour les graphes planaires connexes
Théorème 1. ( Formule d’Euler) : Soit G un graphe planaire connexe.
Soit n le nombre de sommets de G, a son nombre d’arêtes et f son
nombre de faces. Alors n-a+f=2
Ce théorème est apparu vers 1752 [17] pour résoudre le problème du
nombre de corps platoniciens (polyèdres réguliers). Il a permis d’établir
l’existence d’exactement cinq polyèdres reguliers à savoir : le tétraèdre,
le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.
Démonstration. Nous utiliserons le fait que tout graphe planaire connexe
peut s’obtenir à partir d’un arbre par ajout d’un certain nombre d’arêtes.

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 11
Il suffit donc de montrer que la formule est vraie pour un arbre, et qu’elle
reste vraie lorsque nous rajouterons une arête qui ne coupe aucune des
précédentes.
- Cas d’un arbre :
Initialement nous avons f = 1 ; là aussi, il suffit de voir que lorsque
nous construisons un arbre, nous ne coupons jamais le plan en deux
parties. Nous obtenons donc
n − m + f = n − (n − 1) + 1 = 2
- Ajout d’une arête : Cette opération n’affecte évidemment pas le nombre
de sommets n et augmente d’une unité le nombre d’arêtes a. Enfin,
le nombre de face f est également augmenté d’une unité par cette
opération.
Et comme
n − (a + 1) + (f + 1) = n − a + f
nous concluons que l’ajout d’une arête n’affecte pas ce nombre, qui
reste donc égal à 2.
Soit n le nombre de sommets du graphe G, m son nombre d’arêtes et
f le nombre de faces. G est un arbre, donc m = n−1, par induction sur
le nombre de sommets. On a bien 1-1 = 0 arête pour un arbre à un seul
sommet. Supposons le résultat établi pour tout arbre à n sommets, et
soit donc un arbre à n+1 sommets. Enlevons une feuille, c’est-à-dire un
sommet duquel ne part qu’une seule arête ainsi que l’arête en question,
nous nous ramenons à un arbre à n sommets, et donc à n − 1 arêtes en
question, nous revenons à un arbre à n sommets, et donc à n − 1 arêtes
par l’hypothèse de recurrence. Notre arbre à n+1 sommets a donc bien
n arêtes (les n-1 précédentes plus celle que nous avons enlevée) et nous
concluons par induction.
L’existence d’une feuille se prouve, par exemple, en considérant un
chemin de longueur maximale (pour la bonne définition de cet objet,
nous ne considérons que les chemins passant au plus une fois par chaque
arête). Une extremité d’un tel chemin n’aurait pas pu passer auparavent
par ce sommet car notre arbre n’a pas de cycle. Et ceci contredirait la
maximalité du chemin.

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 12
2.3 Autres critères de planarisation des graphes
Plusieurs autres critères de planarité ont été avancés depuis le début
du XX e siècle. Nous citerons celui énoncé par le mathématicien polonais
Kazimierz Kuratowski [14] en 1930.
Théorème 2. Un graphe est planaire s’il ne contient pas de subdivision
de K5 ou de K3,3.
2.4 Notion de dual d’un graphe
Cette notion a été introduite par Whitney en 1933 [26]. Etant donné
un graphe planaire G, nous pouvons définir un autre graphe G ∗ de la
manière suivante : A chaque face de G, nous faisons correspondre un
sommet f ∗ de G ∗ , et à chaque arête e de G nous associons e ∗ de G ∗ ;
deux sommets f ∗ et g ∗ sont joints par l’arête e ∗ dans G ∗ si et seulement
si les faces correspondantes f et g sont séparées par l’arête e de G. Le
graphe G ∗ ainsi définit est appelé dual géométrique de G. En général,
G ∗ est un multigraphe, c’est-à-dire qu’entre deux sommets du dual d’un
graphe, il peut y avoir plusieurs arêtes.
Une variante du dual géométrique d’un graphe s’obtient du dual
précédemment définit en omettant la face infinie : il s’agit du dual
reduit que nous noterons G ′ . L’une des propriétés les plus intéressantes
de la notion de la dualité est le fait qu’elle met en relation deux notions
essentielles d’un graphe : les cycles et les ponts [25].
Les figures ci-après illustrent respectivement un graphe et son dual
réduit.
Fig. 10 – Un graphe planaire

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 13
Fig. 11 – Le dual réduit du graphe précédent
Lemme 1. Soit G un graphe planaire
d(f) = 2|E|
f∈F
Démonstration. Soit G ∗ le dual géométrique de G
d(f) =
f∈F
f ∗ ∈V (G ∗ )
d(f ∗ ) = 2|E ∗ | = 2|E|
2.5 Caractérisation des graphes planaires
Corollaire 1. Soit G un graphe simple planaire connexe ayant au
moins 3 sommets.
m ≤ 3n − 6 . Autrement dit m ∈ O(n)
Démonstration. comme n ≥ 3, le degré d’une face quelconque de G (le
nombre d’arêtes constituant la face) est supérieur ou égal à 3 donc
d(f) ≥ 3|F |
f∈F
où F désigne l’ensemble des faces de G. Or d’après le lemme (1) ,
d(f) = 2m
f∈F

Chapitre 2. GRAPHES PLANAIRES 14
et par application du lemme d’Euler nous avons : n − m + 2m/3 ≥ 2.
Nous en déduisons l’inégalité suivante : m ≤ 3n − 6. L’égalité n’est
obtenue que lorsque le graphe est maximal (lorsque l’ajout d’une arête
au graphe lui fera perdre sa planarité).
Exploitant la définition du dual d’un graphe, Whitney en 1933,
énonça un autre critère de planarité d’un graphe :
Théorème 3. ( Whitney 1933) Un graphe est planaire ssi il admet un
dual géométrique.
La véracité de ce théorème est établie dans [26]. Nous allons à
présent énoncer l’un des théorèmes les plus remarquables de la théorie
des graphes. Nous utiliserons ce théorème au chapitre suivant lorsqu’il
sera question de trouver une borne pour le degré de retournement d’une
carte.
Théorème 4. Tout graphe planaire est 4-coloriable.
2.6 Intérêt des graphes planaires
Les graphes planaires présentent des intérêts particuliers par rapport
aux autres types de graphes. Beaucoup de problèmes NP-complets appliqués
aux graphes planaires admettent des solutions polynomiales.
Nous citerons entre autre le problème de la coupe maximale sur lequel
nous nous attarderons à la section suivante, le problème de k-coloriage
donc nous évoquions précédemment le fait qu’il admette une solution
connue avec les graphes planaires (k = 4) et le problème de 3-coloriage.
Les graphes planaires sont aussi très facilement programmables car
leur matrice d’adjacence est creuse (corollaire 1) . En se bornant à cette
catégorie de graphes nous verrons qu’il est possible de trouver une borne
au degré de retournement d’une carte.

Chapitre III
CALCUL DU DEGRE DE RETOURNEMENT
D’UNE CARTE
3.1 Introduction
Le degré de retournement d’un graphe planaire est utilisé par les
géographes à des fins diverses. Nous avons donné quelques une de ses applications
au chapitre 1. Dans notre approche, il est question pour nous
dans un premier temps d’exhiber le dual réduit G ′ de la carte initiale.
Par construction, tout graphe planaire admet un graphe dual qui est
lui-même planaire. Une fois que nous avons obtenu le dual réduit, nous
essaierons de trouver le plus grand sous-graphe biparti de ce graphe. Le
nombre d’arêtes n’appartenant pas à ce sous-graphe constitue le degré
de retournement du graphe initial.
3.2 Méthodes de résolution
La première étape consiste à dessiner le dual réduit de la carte, et
ensuite à éliminer un nombre minimum d’arêtes de ce dual afin que
ce dernier soit biparti. Comme il n’y a que deux sens d’orientation
possibles d’une face (le sens trigonométrique et le sens des aiguilles de
la montre), il est donc question de trouver le plus grand sous-graphe
2-coloriable du graphe dual. Dans un premier temps, nous donnerons
une approche mathématique du problème, puis nous donnerons une
solution algorithmique.
3.2.1 Approche mathématique
Borne du degré de retournement
Trouver le plus grand sous-graphe biparti d’un graphe est un problème
NP-complet [12]. Ce problème a notamment fait l’objet de multiples recherches.
Nous citerons à titre d’exemple celles d’Erdös et de Brass [13].
Pour un graphe G, soit f(G) le nombre maximum d’arêtes appartenant
à un sous-graphe biparti de G. Pour m ≥ r, soit t(m, r) le nombre
15

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 16
d’arêtes du graphe complet r-colorable ayant m sommets.
Lemme 2. Soit G = (V, E) un graphe m-coloriable avec |E| = e. G
contient alors un sous-graphe r-coloriable ayant au moins e t(m,r)
( m
2) arêtes.
En particulier, si G est 2s-coloriable alors
f(G) ≥ s e e
e = +
2s − 1 2 4s − 2
.
Démonstration. Fixons une partition de V en m ensembles indépendents
V1, . . . , Vm et partitionnons ces ensembles en r classes arbitraires, où la
⌋ ensembles Vj Or
classe numéro i contient précisemment ⌊ m+i−1
r
t(m, r) =
1≤i≤j≤r
⌊
m + i − 1 m + j − 1
⌋⌊ ⌋
r r
Pour chaque arête de G, les sommets la constituant appartiennent
aux classes distinctes t(m,r)
( m , ce qui implique que le nombre d’arêtes du
2)
sous-graphe r-coloriable de G dont les classes de couleurs sont celles
citées plus haut est égal à
t(m, r)
e
m
2
Remarque : Dans le cas des graphes planaires, G est 4-coloriable,
donc f(G) ≥ 2
3e et comme le degré de retournement, le nombre d’arêtes
du dual reduit de G est égal au nombre d’arêtes internes de G (les arêtes
n’appartenant pas à la face infinie de G).
De ce qui précède, nous déduisons le théorème suivant :
Théorème 5. Le degré de retournement d’un graphe planaire est au
plus égal au tiers du nombre d’arêtes internes de la carte.
Par ailleurs, Erdös et Lovász [6] ont montré que si G ne comporte
pas de faces triangulaires, alors
f(G) ≥ e
2 log e 1
+ Ω(e 3( ) 3)
2 log e log e

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 17
Cette borne a d’ailleurs été améliorée par Poljak et Tuza [18], et plus
tard par Shearer [22] qui a montré que
f(G) ≥ e
3
+ Ω(e 4)
2
Finalement Noga [2] a montré que si le graphe ne contient pas de faces
triangulaires,
f(G) ≥ e
2 + c′ e 4
5
3.2.1.1 Les cycles de longueur impaire d’une carte
Tout en remarquant que rendre un graphe planaire biparti consiste à
détecter et à supprimer les cycles de longueur impaire, nous donnerons
une relation entre le degré de retournement et le nombre de cycles de
longueur impaire disjoints de la carte.
3.2.1.2 La propriété d’Erdös-Posá
Soit τodd(G) le nombre d’arêtes minimum à supprimer d’un graphe
pour le rendre 2-coloriable, νodd(G) le nombre maximum de cycles de
longueur impaire disjoints du graphe. La propriété d’Erdös-Posa [24]
est la suivante : τodd(G) est borné par une fonction de νodd(G)
3.2.1.3 La conjecture de Brass
Soit G un graphe planaire, τodd(G) ≤ 2 νodd(G). La veracité de cette
conjecture est établie dans [13].
Théorème 6. Pour chaque entier k ≥ 1, il existe un graphe planaire
3-connexe G avec τodd(G) = 2k et νodd(G) = k.
Remarquons que si nous n’avions pas tenu compte de la contrainte
que G est 3-connexe, le théorème précédent deviendrait trivial car il
nous aurait suffit de considérer un ensemble disjoint de k copies de K4
Démonstration. Soit k un entier fixe tel que stipulé par les hypothèses
du théorème. Soit G un graphe 3-connexe quandrangulé (toutes les
faces ont exactement 4 arêtes) avec au moins k sommets de degré 3.

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 18
Remplaçons les k sommets de degré 3 par des gadgets. Soit G ′ le graphe
obtenu, G ′ est 3-connexe, supposons que τodd(G ′ ) = 2k et
νodd(G ′ ) = k . D’où le fait qu’au moins 2k arêtes doivent être supprimées
afin de rendre G ′ biparti. Donc τodd(G ′ ) ≥ 2k. Par ailleurs, si chacune
des k gadgets (celle incidente aux arêtes a et b) sont supprimées, le
graphe ainsi obtenu est biparti. D’où τodd(G ′ ) ≤ 2k et νodd(G ′ ) = 2k.
Ce qui signifie que chaque cycle de longueur impaire contient l’arête a
ou l’arête b appartenant à l’une des gadgets. En conséquence, chaque
cycle de longueur impaire contient au moins l’une des gadgets et 2
sommets de leur triangle interne. G ′ n’a donc pas k + 1 cycles disjoints
de longueur impaire. Ainsi τodd(G ′ ) ≤ k chaque gadget disjointe contient
un cycle de longueur impaire et τodd(G ′ ) ≥ k.
3.2.2 Approche algorithmique
3.2.2.1 Préambule
Dans la section précédente, nous avons borné le degré de retournement
d’une carte. Nous allons à présent trouver sa valeur exacte.
Enonçons tout d’abord les cinq résultats fondamentaux de notre approche.
Théorème 7. Une carte est à zéro degré de retournement ssi son dual
réduit est biparti.
Démonstration. Si la carte est à zéro degré de retournement, cela signifie
que la carte ne contient aucune arête orientée dans 2 sens. Donc
toutes les faces adjacentes de la carte ont des orientations différentes.
Ce qui entraîne que le dual réduit est biparti. De l’autre côté, si le dual
réduit est biparti, l’ensemble des sommets du dual réduit peut être partitionné
en 2 classes. Ces classes peuvent par exemple représenter les
sommets coloriés en noir par exemple et ceux coloriés en blanc. Ce qui
signifie que toutes les faces adjacentes du graphe initial sont orientées
dans deux sens différents.
Théorème 8. Un graphe est biparti ssi il ne comporte pas de cycle de
longueur impaire.
Démonstration. Supposons que G soit biparti. L’ensemble de sommets
de G constitue une 2-partition (X, Y ). Soit C = v0, v1, . . . , vk, v0 un

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 19
cycle de G. Sans nuire à la généralité, supposons que v0 ∈ X Puisque
v0v1 ∈ E et que G soit biparti, v1 ∈ Y . Similairement, v2 ∈ X , v2i ∈ X
et v2i+1 ∈ Y . Comme v0 ∈ X, vk ∈ Y ⇒ k = 2i + 1. ce qui signifie que
C de longueur paire. Il nous faut à présent montrer la propriété inverse
avec les graphes connexes. Soit G un graphe connexe ne contenant
pas de cycles de longueur impaire, choisissons un sommet quelconque
u et définissons une partition (X, Y ) de V de la manière suivante :
X = { x ∈ V | d(u, x) est paire } Y = { y ∈ V | d(u, y) est impaire }.
Montrons que (X, Y ) est une 2-partition de G. Soient u et w deux
sommets de X. Soient P le plus court chemin joignant u à v et Q le
plus court chemin joignant u à w. Soit u1 le dernier sommet commun
à P et à Q. Puisque P et Q sont les plus courts chemins, les parties
(u, u1) de P et Q sont les plus courts chemins joignant u à u1, et ont
par conséquent la même longueur. Comme les longueurs de P et Q
sont paires, la longueur de la partie P 1 constituée du chemin (u1, w)
doivent avoir la même parité. Il s’en suit que le chemin (v, w)P −1
1 Q1 est
de longueur paire. Si v joignait v à w, alors P −1
1
Qwv serait un cycle de
longueur impaire. Ce qui contredirait l’hypothèse. Ainsi, aucune paire
de sommets de X n’est adjacente, idem pour les sommets de Y .
Théorème 9. Le nombre de sommets de degré impair d’une carte est
toujours pair.
Démonstration. Soient V1 et V2 désignant respectivement les ensembles
des sommets de degré impair et pair. Alors,
d(v) +
d(v) =
d(v) = 2|E|
v∈V1
v∈V2
v∈V
qui est pair. Puisque
d(v) est paire, il s’en suit que v∈V2 v∈V1 d(v)
est aussi paire et |V1| est pair.
Théorème 10. Un graphe G est biparti ssi son dual géométrique est
eulérien (tous les sommets sont de degré pair).
Démonstration. Si G est biparti, tous ses cycles sont pairs et les circuits
faciaux sont de longueur paire, donc de degré pair. Chaque sommet du
dual correspond à une face de G et donc de degré pair G ∗ est donc
eulérien. Supposons que G ∗ soit eulérien, soit C un cycle de G. Supposons
que C soit de longueur paire et montrons que G est biparti. Soit

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 20
F1, . . . , Fk les faces internes de C et Ec
les arêtes de G frontalières à C.
deg(Fi) compte alors chaque arête de C une fois et chaque arête de
Ec deux fois, ainsi k i=1 deg(Fi) = |C| + 2|Ec| est paire. Mais comme
|Ec| est paire, |C| l’est aussi.
Lemme 3. ( Lemme d’Euler 1766) Un graphe est eulérien ssi tous ses
sommets sont de degré pair.
Après avoir énonçé les cinq résultats fondamentaux de notre approche,
nous allons la détailler en profondeur.
3.2.2.2 Méthodologie
Soit à déterminer le degré retournement d’une carte K, nous allons
reduire ce problème en une série d’autres problèmes dont une solution
polynomiale est connue. De prime à bord, s’appuyant sur le théorème 7,
il est question pour nous après avoir exhibé le dual réduit de K, de
trouver le nombre minimum d’arêtes à supprimer pour le rendre biparti.
Puisque les arêtes du dual réduit indiquent les frontières entre les faces
de K, ce nombre minimum est donc égal au degré de retournement
de K. En s’inspirant du théorème 8, notre tâche consistera à détecter
et à supprimer un nombre minimum d’arêtes afin que le dual réduit
de K ne comporte plus de cycles de longueur impaire. Tirant profit du
théorème 3, nous chercherons à supprimer un nombre minimum d’arêtes
afin de rendre le dual géométrique G ′ de K eulérien. Pour faire face à ce
dernier problème, Hadlock [11] s’est inspiré de la résolution du T-join
problem [28] pour dire que rendre un graphe eulerien revient à trouver
le couplage parfait de poids minimum du graphe complet et de celui
du graphe constitué des sommets de degré impair du dual géométrique.
D’après le lemme 3, ce graphe complet aura toujours un nombre pair
de sommets. Donc, le cardinal du couplage parfait de poids minimum
sera égal à n
2 .
3.2.2.3 Max-cut est NP-dur
Nous allons tout d’abord montrer que le problème max-cut est NPdur
[3]. Pour cela, nous allons montrer qu’un problème NP-dur connu
peut se réduire en temps polynomial au problème de la coupe maximale.

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 21
Definition 2. Nous utiliserons une variante du problème SAT, en occurence
3-SAT appelé (NAE-3SAT , Not Equal -3-SAT). Une instance
de NAE-3SAT est un ensemble X de variables et une collection C de
clauses sur X telle que chaque clause possède trois litteraux. Y’a t-il un
agencement booléen de X tel que chaque clause de C ait au moins un
littéral prenant la valeur Vrai et au moins un litteral prenant la valeur
Faux ? Ainsi, NAE-3-SAT est identique à 3-SAT, hormis le fait que
nous ayons tous les 3 litteraux d’une clause prenant la valeur Faux.
Théorème 11. Max-cut est NP-dur
Démonstration. Nous allons montrer que NAE-3-SAT peut se réduire
à max-cut. Etant donné une instance de NAE-3-SAT, construisons un
graphe G de la manière suivante : ajoutons une arête xi, xi pour chaque
variable xi, connectons les 3 littéraux de cette clause de façon triangulaire,
ceci aura pour effet de créer une arête multiple si la même paire de
litteraux se trouve dans plus d’une clause. Soit G le graphe ainsi obtenu.
G a n + 3m arêtes. Une coupe de G aura au plus 2
3
arêtes d’un triangle
comme isthme, donc une coupe de G aura au plus n + 2m isthmes.
Nous pouvons affirmer qu’une instance de NAE-3-SAT est satisfaisable
ssi G possède une coupe à n + 2m arêtes. En supposant que G possède
une telle coupe (C, C), nécessairement toutes les arêtes xi, xi doivent
être contenues dans la coupe. De plus, dans chaque clause triangulaire,
au moins un littéral doit être dans C et un autre dans C. Nous avons
ainsi exhibé la solution pour l’instance NAE-3-SAT en fixant à xi la
valeur Vrai ssi xi ∈ C ; ceci nous permet d’affirmer qu’au moins un
litteral et au plus 2 littéraux par clause ont la valeur Vrai. De l’autre
côté, étant donné une solution de NAE-3-SAT, soit C l’ensemble de
tous les litteraux ayant la valeur Vrai. Puisque toutes les clauses sont
satisfaisables, 2 arêtes de chaque clause triangulaire appartiennent à la
coupe. Comme xi et xi ont des valeurs différentes, nous concluons que
toute arête (xi, xi) appartient à la coupe et que celle-ci a une taille de
2m + n comme initialement souhaité.

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 22
3.3 Transformations du problème Max-Cut
3.3.1 Transformation 1
Partons de la carte K et trouvons son dual réduit G ′ . Il est à présent
question de trouver le nombre minimum d’arêtes dont la suppression
éliminerait tous les cycles de longueur impaire.
3.3.2 Transformation 2
G ′ ne sera biparti que si son dual géométrique Gd est eulérien. D’où
le problème de trouver le nombre minimum d’arêtes à supprimer de Gd
pour le rendre eulérien.
3.3.3 Transformation 3
A ce stade, il est question d’éliminer un nombre minimum d’arêtes
pour que tous les sommets du dual géométrique soient de degré pair.
Nous qualifierons de couverture de sommets impairs un ensemble d’arêtes
dont la suppression nous donnera un graphe eulérien. Une observation
cruciale caractérisant la couverture de sommets impairs se traduit par
le lemme suivant :
Lemme 4. Pour un ensemble d’arêtes P d’un graphe quelconque G, P
est une couverture minimum de sommets de degré impair ssi il constitue
une collection d’arêtes disjointes de chemins formés en parcourant les
sommets de degré impair de G, utilisant chaque sommet une et seule
fois de façon à minimiser la somme totale de la longueur des chemins.
Démonstration. Soit P une couverture minimum de sommets impairs
d’un graphe G. Si H est le sous-graphe résultant de la suppression de P
dans G, H est eulérien, donc un sommet aura la même parité dans P et
dans G. Dans chaque composant du graphe, il doit y avoir un nombre
pair de sommets impairs (d’après le théorème 9) d’où l’assertion selon
laquelle chaque sommet impair de P est adjacent à un autre. Supprimons
le chemin joignant une paire de sommets impairs à la fois dans P
et G afin d’obtenir les sous-graphes P1 et G1. P1 est une couverture de
sommets impairs pour G1 puisque de sa suppression résulte le graphe
H. Chaque sommet a la même parité dans P1 que dans G1. Partant de P

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 23
à P1, le nombre de sommets impairs a été réduit de moitié. En répétant
le processus un nombre fini de fois, nous obtiendrons H. Puisque chaque
sommet a la même parité dans Gi et dans Pi, Gi est eulérien. Or, par
hypothèse P est minimal, Gi = H et Pi = (V, φ) (pas d’arêtes). Ainsi, P
est une collection d’arêtes disjointes de chemins ayant des sommets impairs
de G, chaque sommet étant utilisé une et une seule fois. La somme
des longueurs de chemin est minimale puisque P l’est aussi. Supposons
que P possède une collection de chemins d’arêtes disjointes constituée
uniquement des sommets impairs, utilisant chaque sommet une seule
fois, et la somme minimum des longueurs de chemins. Supprimons P
de G, un chemin à la fois. Soit H le sous-graphe obtenu. La suppression
de chaque chemin transforme les sommets de degré impair, mais elle
n’affecte absolument pas ceux de degré pair. Comme chaque sommet
impair de G est utilisé une seule fois, il est donc pair dans H, ainsi P est
une couverture de sommet impair. P est minimale puisque la somme
des longueurs des chemins l’est aussi.
3.3.4 Transformation 4
Trouver le plus court chemin entre une paire de sommets est très
simple. Ainsi, pour trouver la couverture minimale de sommet de degré
impair, nous devons considérer toutes les paires (vi, wi) et choisir celle
dont les poids totaux des plus courts chemins sont minimales. Ce qui
parait simple à résoudre en tenant compte des techniques du couplage.
Pour mémoire, un couplage parfait est un sous-ensemble M des arêtes
tel qu’aucune paire d’arêtes M n’a le même sommet, de plus tous les
sommets de G sont saturés par M. Un sommet est dit saturé par un
couplage M ssi une arête incidente au sommet appartient à M. La
meilleure paire des sommets impairs peut donc à présent être calculée
de la manière suivante : Definissons un graphe complet K2k, contenant
les sommets impairs de Gd, pour chaque sommet v de Gd, nous avons
donc un sommet correspondant dans K2k, que nous appellerons v. Si
(u, v) est une arête de K2k, alors l’ensemble w(u, v) est la longueur du
plus court chemin joignant les sommets u à v dans Gd. A partir de
la définition du couplage parfait de poids minimum, il s’en suit que la
meilleure façon d’apparier les sommets de degré impair correspond au
couplage parfait de poids minimum dans K2k. Trouver un tel couplage

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 24
n’est pas trivial mais nous pouvons le faire en temps polynomial. Ce
problème a été largement étudié par les scientifiques. Edmonds [5] a
montré qu’il pouvait être résolu en O(n 4 ). Gabow [9] a montré que cet
algorithme pouvait s’exécuter en O(n 3 ).
3.3.5 Transformations inverses
Nous allons à présent passer en revue la méthode du calcul du degré
de retournement d’une carte.
1. Calcul des poids des arêtes du graphes complet K2k. Ceci peut s’effectuer
à l’aide de l’algorithme de Floyd-Warshall [27] qui s’exécute
en O(n 3 ).
2. Trouver le couplage parfait de poids minimum de K2k. Ceci s’effectue
en O(n 3 ).
3. Ce couplage nous fournit des indications sur les arêtes à supprimer
de Gd pour le rendre eulérien. Soit P l’union des plus courts
chemins entre les différentes paires. Le poids total du couplage est
égal au degré de retournement de K.
4. P constitue l’ensemble minimum d’arêtes dont la suppression de
Gd le rend eulérien.
5. Considérons les arêtes duales de P, soit Ec l’ensemble des arêtes.
6. Ec est l’ensemble minimum d’arêtes dont la suppression de G ′ le
rend biparti.
7. Les arêtes duales de Ec constituent les arêtes orientées à double
sens de la carte K.
3.4 Calcul du couplage parfait de poids minimum
Nous allons tout d’abord définir les notions de base qui seront utilisées
dans la définition de l’algorithme d’Edmonds.
Definition 3. Un sommet S est saturé par rapport à un couplage M
ssi il existe une arête appartenant à M dont S en fait partie.
Un chemin alternant par rapport à un couplage M est un chemin dont
les arêtes appartiennent ou non alternativement au couplage M.
Un chemin augmentant par rapport à un couplage M est un chemin

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 25
alternant qui commence et se termine par des sommets non saturés par
M.
Un bouton est un chemin alternant formant un cycle de longueur impaire.
Il est à noter que dans un tel cycle, il existe un sommet incident
à deux arêtes n’appartenant pas à M. Ce sommet est appelé base du
bouton
Soit P un ensemble de cardinalité paire de points du plan. A chaque
étape de l’algorithme, nous avons :
– un cercle de rayon ru et de centre u ∈ P
– un fossé de profondeur ws ≥ 0 contenant des sous-ensembles de
cardinalité impaire S ⊆ P , avec 3 ≤ |S| ≤ |P | − 3.
– un ensemble L de lignes joignant deux points. Chacune de ces
lignes est caractérisée par la relation :
ru + rv + {ws : Su,v ∈ ϑ(S)} = d(u, v)
– un couplage M ⊆ L
– chaque fossé entoure un bouton qui contient un nombre impair
d’objets. Chaque objet est soit un point du plan soit un bouton de
plus petite taille. Ces objets, que nous appelerons cercle ou fossé,
sont joints de façon circulaire par les lignes de L. Tous les points
de chaque bouton sont adjacents, exception faite de la base du
bouton. Cette base est soit non saturée, soit adjacente à un point
n’appartenant pas au même bouton.
– si 2 points sont saturés par M, alors les 2 cercles excentrés les
contenant sont aussi adjacents.
– chaque cercle excentré est soit isolé, soit en jonction avec un autre
cercle excentré.
– certains cercles excentrés non saturés constituent les racines des
arbres.
– chaque arbre contient exactement une racine, et un ensemble de
couples de cercles excentrés, constituent un arbre alternant.
– Etendre/retréssir un arbre T, consiste à incrémenter (décrémenter),
la profondeur de chaque cercle excentré de T qui est situé à une
distance de longueur paire (impaire) de la racine.

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 26
3.4.1 Programme linéaire
Soit P un ensemble de cardinalité paire de points du plan. Nous
allons décrire un algorithme qui trouve une solution binaire au programme
linéaire ci-après. Puisque tous les couplages parfaits de P correspondent
aux solutions probables, la solution trouvée correspond au
couplage parfait de poids minimum de P. Le programme linéaire est
donc :
min dx
x(ϑ(u)) = 1, ∀u ∈ P
x(ϑ(S)) ≥ 1, ∀S ⊆ P, |S| impair
xuv ≥ 0, pour u, v ∈ P, u = v
Ici, les variables x = (xuv : u, v ∈ P, u = v), et d = d(u, v) : u, v ∈
P, u = v représentent les distances entre les points. ϑ(S) dénote l’ensemble
de tous les couples (u, v) ∈ P tel qu’exactement un couple
appartient à S. Nous écrirons ϑ(u) pour ϑ({u}) et x(ϑ(S)) signifiera
{ws : u, v ∈ ϑ(S)}. Nous interpreterons xuv = 1 par le fait que les
points u et u sont adjacents et xuv = 0 signifiera que ces points ne sont
pas adjacents.
Il existe une variable duale ru pour chaque u ∈ P que nous interpreterons
comme étant le rayon du cercle de centre u. Il existe aussi une
variable wS pour chaque sous-ensemble de cardinalité impaire S ⊆ P
dont nous interpreterons comme la profondeur du fossé contenant les
points de S. Le programme linéaire dual est défini de la manière suivante
:
max {ru : u ∈ P } + {wS : S ⊆ P, |S| impair }
ru + rv + {wS : u, v ∈ ϑ(S)} ≤ d(u, v), ∀u, v ∈ P, u = v
wS ≥ 0, ∀S ⊆ P, |S| impair
Si |P | est pair, l’algorithme s’arrête toujours et produit une solution optimale
de x, et aussi une solution duale (r, w) . L’optimalité est vérifiée
en observant que x et (r, w) sont des solutions possibles et les conditions
complémentaires suivantes sont respectées :

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 27
– si xuv ≥ 0, alors ru+rv+ {ws : u, v ∈ ϑ(S)} = d(u, v) (Littéralement
si deux points sont adjacents alors leurs cercles et leurs fossés sont
tangents).
– Si wS ≥ 0, alors x(ϑ(S)) = 1. (Littéralement, tous les fossés de
profondeur positive sont traversés exactement une fois.)
Nous allons à présent décrire l’algorithme d’Edmonds. Mais auparavent,
énonçons le lemme fondamental de cet algorithme.
Lemme 5. (Lemme de Berge) Un couplage M est dit maximal ssi il
n’existe pas de de chemins augmentants dans le graphe.
. La véracité de ce lemme est établie dans [3]. L’idée principale de
l’algorithme d’Edmonds est donc de chercher des chemins augmentant
dans le graphe G. L’algorithme s’arrête lorsqu’il n’existe plus de chemins
augmentant. Le couplage ainsi obtenu est maximal.
Un chemin augmentant peut être trouvé en explorant les arbres de
recherches dont la racine est un sommet non saturé par le couplage.
Pendant la recherche d’un chemin augmentant, un bouton peut être
découvert, à ce niveau tous les sommets du cycle sont réduits à un
unique supersommet.
L’observation importante faite par Edmonds est que le graphe
réduit possède un chemin augmentant ssi le graphe original en
possède aussi.
3.4.2 L’algorithme d’Edmonds
Etape 0 : En entrée, nous avons les points du plan P . On initialise
les rayons de tous les cercles à la valeur nulle. (Alternativement, on
aurait pu initialiser les rayons ru à la moitié de la distance du point le
plus proche). Initialement, il n’y a pas de boutons ou fossés. Le couplage
courant M et l’ensemble des lignes sont tous deux vides.
Etape 1 : Si tous les cercles excentrés et les fossés sont adjacents, alors
STOP le couplage M est parfait.
Sinon choisir au moins un des cercles excentrés non saturés par M ou
les fossés et en faire la racine des arbres. Chaque arbre construit lors
d’une itération précédente est conservé.
Etape 2 : Etendre/retrécir tous les arbres jusqu’à ce que l’une des situations
ci-après se présente :

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 28
1. La profondeur d’un fossé retrécit W est nulle. Dans ce cas, le bouton
W est vide. Les cercles/fossés entouré par W remplaceront
W dans T ; ces cercles/fossés forment le chemin qui sera choisi de
telle enseigne que le nouvel arbre soit toujours alternant. Repeter
l’étape 2.
2. Un cercle/fossé étendu R à partir de l’un des arbres T touche un
autre cercle/fossé excentré R ′
. Ajouter à L l’arête joignant les deux
points ainsi touchés.
(a) R et R ′
appartiennent au même arbre T . Nous construisons
un nouveau bouton B en tracant le chemin arrière de la racine
de l’arbre T. Un nouveau fossé W de profondeur nulle entoure
tous les cercles/fossés de B. Modifier T en remplaçant tous les
cercles/fossés de B par un nouveau fossé W . Repeter l’étape
2.
(b) Le cercle/fossé R ′
est non saturé ou appartient à un arbre
T ′
= T . Aller à l’étape 3.
Etape 3 : Nous avons ainsi trouvé un chemin augmentant joignant un
sommet non saturé (la racine de T) à un autre sommet non saturé de
R ′
(la racine de l’arbre T ′
). Nous effectuons une traversée de T à R en
allant vers sa racine. Si pendant cette traversée un bouton est rencontré,
alors nous le contournons dans la direction qui constituera un chemin
alternant. (Si un autre arbre T ′
est impliqué dans la traversée, alors
nous en ferons de même pour cet arbre, et nous joindrons les deux
chemins afin d’obtenir un chemin alternant.) Finalement, nous avons
augmenté le couplage M. Démanteler les arbres T (et T’). Retourner à
l’étape 1.
3.4.3 Analyse de l’algorithme
Supposons que le nombre de points que nous avions au départ est
égal à n. Puisque les fossés ne se coupent jamais, nous pouvons affirmer
sans risque de nous tromper que le nombre maximum de fossés que nous
obtiendrons sera égale à n − 1.
L’étape 3 et l’étape 1 sont exécutées au plus O(n) fois puisque chaque
augmentation incrémente le nombre de points saturés de deux unités.

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 29
L’étape 2 est repétée au plus O(n) fois avant d’aller à l’étape 3. Ceci
parce que chaque nouveau bouton formé dans le sous-cas 2-a continue
d’agrandir l’arbre T et ne sera pas reduit au néant tant que T existe.
Ainsi le sous-cas 2-a ne sera exécuté qu’au plus O(n) fois entre les
différentes augmentations. Comme le sous-cas 2-b diminue le nombre
total de boutons, il sera repété au plus n − 1 fois plus le nombre de fois
que le sous-cas 2-a est exécuté entre les augmentations.
En somme, chaque étape de l’algorithme est exécuté au plus O(n 2 ) fois.
En utilisant les structures de données empiriques, chaque étape peutêtre
implémentée en O(n 2 ). Ainsi l’algorithme a un temps d’exécution
total egal à O(n 4 ).
L’utilisation d’autres structures de données a permis d’améliorer ce
temps d’exécution. C’est ainsi que Gabow[9] a obtenu un temps de
O(n 3 ). Galil et al.[10] ont quant à eux obtenu un temps de O(EV log V )
en utilisant les files d’attente à priorité.
3.5 Exemples d’application
Nous allons présenter notre approche sur trois cartes différentes à
savoir la carte du Cameroun avec le découpage en provinces, celle de la
France avec le découpage en départements et celle de l’Afrique avec le
découpage en pays.
1. Soit à déterminer le degré de retournement du graphe de la figure
suivante :
Fig. 12 – La carte du Cameroun
Ce graphe possède 22 sommets, 10 faces et 31 arêtes. Le dual réduit

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 30
de K est illustré à la figure 13 :
Fig. 13 – Le dual réduit
Le dual géométrique de G’ est illustré à la figure 14.
Fig. 14 – Le dual géométrique
il est question de le rendre eulérien. Kd’ a 8 sommets de degré
impair. La tableau ci-après nous montre les poids d’interconnexion
entre les sommets de K8 obtenus par application de l’algorithme
de Floyd-Warshall.
2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 1 2 1 2 2 2
3 1 1 2 1 3 2
4 2 2 2 2 2
5 1 2 2 1
6 2 2 2
7 1 2
8 1

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 31
Nous construisons K8, et par application de l’algorithme d’Edmonds,
nous trouvons le couplage parfait suivant :
P = {(2, 4), (5, 6), (3, 7), (8, 9)}. Le poids de ce couplage est de 4,
et par conséquent le degré de retournement de K est égal à 4. La
bi-coloration finale du dual réduit privé des arêtes duales de P à
savoir (2,3),(3,6),(5,8),(4,5) est illustrée à la figure 15 :
Fig. 15 – La bicoloration finale
La carte du Cameroun orientée est illustrée par la figure 16 :
Fig. 16 – L’orientation de la carte du Cameroun

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 32
2. Proposons nous à présent de trouver le degré de retournement de la
carte de la France avec le découpage en départements. Le tracé de
Tutte correspondant à cette carte est illustré à la figure ci-après :
Fig. 17 – Le tracé de Tutte de la carte de la France
Le dual réduit et le dual géométrique de ce dernier graphe sont
illustrés aux figures ci-après :
Fig. 18 – Le dual réduit de la carte de la France

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 33
Fig. 19 – Le dual géométrique de la carte de la France
Le dual géométrique a 24 sommets de degré impair, donc il nous
faudra trouver le couplage parfait de poids minimum sur K24. Un
tel couplage aura 12 paires de sommets, chacun ayant un poids égal
à 1. Ce qui nous signifie que le degré de retournement de ladite
carte est de 12.
L’orientation finale est illustrée par la figure suivante : les traits
en rouge représentent les arêtes orientées dans les deux sens.
Fig. 20 – L’orientation finale de la carte de la France

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 34
3. Pour clore cette partie, nous allons nous focaliser sur la carte de
l’Afrique avec le découpage en pays. Le tracé de Tutte correspondant
est :
Fig. 21 – Le tracé de Tutte de la carte de l’Afrique
Le dual géométrique du dual réduit est illustré ci-après :
Fig. 22 – Le dual géométrique de la carte de l’Afrique
Le dual géométrique possède 52 sommets de degré impair, donc
il nous faudra trouver le couplage parfait de poids minimum sur
K52. Un tel couplage a nécessairement 26 paires de sommets, mais

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 35
après application de l’algorithme d’Edmonds, nous nous rendons
compte que seul 24 paires ont chacun un poids de 1, 1 paire a un
poids de 3 et une autre un poids de 2. Le poids total du couplage
est de 24 + 3 + 2 = 29. Donc le degré de retournement est de 29.
L’orientation finale de la carte d’Afrique présentée à la figure ciaprès,
nous montre que 29 arêtes sont coloriées en rouge.
Fig. 23 – L’orientation de la carte de l’Afrique

CONCLUSION
Tout au long de ce travail, nous avons exposé une méthodologie
efficace pour calculer le degré de retournement d’un graphe planaire.
Cette méthode est dotée d’un temps d’exécution polynomial. Trouver
le degré de retournement d’une carte n’est donc pas un problème NPcomplet.
Il a été démontré que si l’un de ces problèmes possède un algorithme
polynomial, alors il en est de même pour tous les autres problèmes NPcomplets.
Nous avons démontré que si nous nous limitons aux graphes
planaires, il existe bel et bien un algorithme polynomial pour calculer
le degré de retournement d’un graphe planaire.
L’existence d’un tel algorithme dans un cas précis n’implique pas
la résolution du problème dans le cas général, malgré le fait que nous
avons noté de récents rebondissements dans la théorie des graphes avec
notamment la théorie de la complexité paramétrée.
36

PERSPECTIVES
La méthode de calcul du degré de retournement d’une carte, telle que
nous avons présenté dans ce document souffre de quelques insuffisances.
D’où la nécessité de penser à de futures améliorations.
Des innovations pourront s’articuler sur la prise en compte des graphes
très denses (contenant plus de mille sommets). Dans ce cas, nous devons
penser à mettre sur pied des algorithmes ayant un temps d’exécution
rapide et qui nous permettrons de donner une valeur approximative du
degré de retournement.
Dans notre approche, nous nous sommes limités aux graphes planaires
statiques. Dans d’autres conditions, l’examen des graphes nonplanaires
peut aussi être intéressant notamment en microbiologie. Bien
que dans le cas général aucune solution polynomiale n’existe à ce jour,
force est de constater que les récentes innovations notées dans la théorie
des graphes pourront nous être d’une importance capitale.
A long terme, nous devons être en mesure de tenir compte des
graphes orientés et pondérés. Dans des situations précises, ces graphes
présentent un intérêt tout à fait justifiable comme nous l’avons évoqué
dans la partie consacrée au domaine d’application du calcul du degré
de retournement d’un graphe planaire.
37

BIBLIOGRAPHIE
[1] A.V.AHO, J.E.HOPCROFT and J.D.ULLMANN, the design and
analysis of computer algorithms, Addison-Wesley, 1974
[2] N.ALON., Bipartite subgraphs, combinatorics 16(1996), pp 301-311
[3] C.BERGE, Théorie des graphes et ses applications, Dunod, Paris,
1985
[4] J.EDMONDS, Maximum matching and a polyedron with (0,1) vertices,
Journal of Research of the National Bureau of Standards,
69B :125-130,1965
[5] J.EDMONDS, Paths, trees and flowers, Canad.J.Math,17(1965),
pp449-467
[6] P.ERDÖS, A.GYÁRFAS and Y.KOHAYAKAWA, The size of the
largest bipartite subgraphs, preprint, 6 pages, 1995
[7] I.FARY, On straight line representation of planar graphs, Acta.
Sci,Math,Szeged, 229-233, 1948
[8] H.DE FRAYSSEIX and P.OSSONA DE MENDEZ, On topological
aspects of orientations, preprint, 1994
[9] H.N.GABOW, Implementation of algorithms for maximum matching
and nonbipartite graphs, PhD thesis, Stanford Univerisity,
1974
[10] Z.GALIL, S.MICALI and H.N.GABOW, An O(EV Log V) algorithm
for finding a maximal weighted matching in general graphs,
SIAM J.Computing, 15, 120-130, 1986.
[11] F.O.HADLOCK, Finding a Maximum Cut of Planar Graphs in
polynomial time, SIAM J.Computing 4 (1975), 221-225
[12] R KARP, Reducitibility among combinatorial problems, complexity
of computer computations, R.E.Miller and J.W.Tchatcher.eds, Plenum
press, New York, 1972, pp85-103
[13] D.KRAL and H.JVOSS, Edge-disjoint odd cycles in planar graphs,
preprint,2002
38

BIBLIOGRAPHIE 39
[14] G.K.KURATOWSKI, Sur le problème des courbes gauche en topologie,
Fund.Math, 15, 271-283,1930
[15] R.LAURINI., D.THOMPSON., Fundamentals of spatial information
systems, The APIC series, Academic Press, 1995
[16] R.LAURINI., F. MILLERET-RAFOORT, Les bases de données en
géomatique, Hermès, 1993
[17] E.L.LAWLER, combinatorial optimization, Networks and matroids,
Holt, Rinehart and Winston, New-York,1976
[18] J.LEHEL and Zs.TUZA, Triangle-free partial graphs and edgecovering
theorems, Discrete Math.30,(1982),59-63
[19] J.P. NZALI, H. TAPAMO, Digitalisation au Millimètre, 3 e Colloque
Africain sur la Recherche en Informatique (CARI ’96),P237-
246, Libreville, Gabon, Octobre 1996
[20] A.SCHRIJVER, Crash-course of combinatorial opitimization, Wiley,Chichester,1986
[21] G.SHÄEFER, Weighted matchings in genaral graphs, Master’s
thesis, Facbereich Informatik, Universität des Saarlandes,Saarbrücken,2000
[22] J.B SHEARER, A note on bipartite subgraphs of triangle-free subgraphs,
Random Structures and Algorithms 3,(1992),223-226
[23] H.STAMM-WILBRANDT, A simple linear time algorithm for embedding
maximal planar graphs, preprint, 14 pages, 1993
[24] C.THOMASSEN, The Erdös-Posa property for odd cycles in
graphs of large connectivity, manuscript (1999), 12 pages
[25] H-J.VOSS, Cycles and bridges in graphs, Mathematics and its applications
(East European Series) 49, 1991
[26] H.WHITNEY, Planar graphs, Fund. Math,21, 73-84, 1933
[27] D.WEST, Open problems column Vol. 14 of SIAM Activity Group,
Newsletter in Discrete Mathematics, Spring 1994
[28] M.YANNAKAKIS, Node and edge-deletion NP-Complete problems,
in ”proceedings of the 10th Annual ACM Symposium on
theory of computing”, 1978,296-313