Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Chapitre 3. Calcul du degre de retournement d’une carte 19
cycle de G. Sans nuire à la généralité, supposons que v0 ∈ X Puisque
v0v1 ∈ E et que G soit biparti, v1 ∈ Y . Similairement, v2 ∈ X , v2i ∈ X
et v2i+1 ∈ Y . Comme v0 ∈ X, vk ∈ Y ⇒ k = 2i + 1. ce qui signifie que
C de longueur paire. Il nous faut à présent montrer la propriété inverse
avec les graphes connexes. Soit G un graphe connexe ne contenant
pas de cycles de longueur impaire, choisissons un sommet quelconque
u et définissons une partition (X, Y ) de V de la manière suivante :
X = { x ∈ V | d(u, x) est paire } Y = { y ∈ V | d(u, y) est impaire }.
Montrons que (X, Y ) est une 2-partition de G. Soient u et w deux
sommets de X. Soient P le plus court chemin joignant u à v et Q le
plus court chemin joignant u à w. Soit u1 le dernier sommet commun
à P et à Q. Puisque P et Q sont les plus courts chemins, les parties
(u, u1) de P et Q sont les plus courts chemins joignant u à u1, et ont
par conséquent la même longueur. Comme les longueurs de P et Q
sont paires, la longueur de la partie P 1 constituée du chemin (u1, w)
doivent avoir la même parité. Il s’en suit que le chemin (v, w)P −1
1 Q1 est
de longueur paire. Si v joignait v à w, alors P −1
1
Qwv serait un cycle de
longueur impaire. Ce qui contredirait l’hypothèse. Ainsi, aucune paire
de sommets de X n’est adjacente, idem pour les sommets de Y .
Théorème 9. Le nombre de sommets de degré impair d’une carte est
toujours pair.
Démonstration. Soient V1 et V2 désignant respectivement les ensembles
des sommets de degré impair et pair. Alors,
d(v) +
d(v) =
d(v) = 2|E|
v∈V1
v∈V2
v∈V
qui est pair. Puisque
d(v) est paire, il s’en suit que v∈V2 v∈V1 d(v)
est aussi paire et |V1| est pair.
Théorème 10. Un graphe G est biparti ssi son dual géométrique est
eulérien (tous les sommets sont de degré pair).
Démonstration. Si G est biparti, tous ses cycles sont pairs et les circuits
faciaux sont de longueur paire, donc de degré pair. Chaque sommet du
dual correspond à une face de G et donc de degré pair G ∗ est donc
eulérien. Supposons que G ∗ soit eulérien, soit C un cycle de G. Supposons
que C soit de longueur paire et montrons que G est biparti. Soit