Calcul du degré de retournement d'un graphe planaire

Table des matières
REMERCIEMENTS v
RESUME vi
ABSTRACT vii
I INTRODUCTION 1
1.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Domaine d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Différents types de tracés de graphes planaires . . . . . . 5
1.3.1 Principe du tracé de Tutte . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Principe du tracé de Schnyder . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Principe des tracés de Fary . . . . . . . . . . . . 6
II GRAPHES PLANAIRES 8
2.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Formule d’Euler pour les graphes planaires connexes . . 10
2.3 Autres critères de planarisation des graphes . . . . . . . 12
2.4 Notion de dual d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Caractérisation des graphes planaires . . . . . . . . . . . 13
2.6 Intérêt des graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . 14
III CALCUL DU DEGRE DE RETOURNEMENT D’UNE
CARTE 15
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Approche mathématique . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1.1 Les cycles de longueur impaire d’une
carte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1.2 La propriété d’Erdös-Posá . . . . . . . 17
3.2.1.3 La conjecture de Brass . . . . . . . . . 17
3.2.2 Approche algorithmique . . . . . . . . . . . . . . 18
ii