PHYSIQUE EXPERIMENTALE CAHIER DE LABORATOIRE

FACULTE DE MEDECINE ET PHARMACIE,
FACULTE DES SCIENCES
PHYSIQUE EXPERIMENTALE
CAHIER DE LABORATOIRE
2 ème partie (Mécanique, Electricité et « Tournantes »)
1 er bac sciences biomédicales,
1 er bac pharmacie,
1 er bac biologie.
Yves GOSSUIN

T A B L E D E S M A T I È R E S
2 ème Partie (MECANIQUE, ELECTRICITE ET TOURNANTES)
MEC-0
MEC-1
Expériences de mécanique
Etude du mouvement
MEC-2 Etude de quelques forces
MEC-3 Conservation de la quantité de
mouvement
MEC-4 Les oscillateurs
ELEC-0 Générateur de signal et
Oscilloscope
ELEC-1 Lois de Kirchhoff et d’Ohm
ELEC-2 Loi d’Ohm généralisée :
condensateur et bobine
ELEC-3 Circuits RLC
TOU-1-A Détermination du rapport e/m
TOU-1-B Spectroscopie
TOU-2 Rayons X
TOU-3-A Equivalents mécanique et
électrique de la chaleur
TOU-3-B Détermination de la vitesse du
son
Exercices de révision

1. INTRODUCTION
EXPERIENCES DE MECANIQUE
1
Intro Générale MEC-0
Le groupe d'expériences suivantes (groupées sous la dénomination Mec)
est consacré à l'étude de la mécanique classique. Ces expériences
illustreront les principes fondamentaux des mouvements, les notions de
quantité de mouvement, d’énergie ainsi que les différentes lois de
conservation. Elles seront réalisées pour des systèmes à une dimension,
dans des conditions expérimentales simples afin que les propriétés du
système étudié s'expriment par des relations mathématiques élémentaires.
Ces relations fournissent des modèles donnant une description approchée
de la réalité (souvent plus complexe).
Il est important de réaliser que l’accord entre une observation expérimentale
et une prédiction théorique est rarement complet. Ce désaccord
peut être causé soit par des erreurs expérimentales (c'est-à-dire des
erreurs dans les mesures), soit par l’inadéquation du modèle théorique, soit
par les deux.
Bien que la majeure partie de votre travail consiste en des mesures
quantitatives, ne négligez pas l’importance des observations qualitatives
lors de la réalisation d’une expérience. En effet, elles peuvent souvent vous
aider à comprendre intuitivement le sens physique d'un phénomène.
N’hésitez donc pas à noter ces observations qualitatives au même titre que
les mesures quantitatives.
2. AIR TRACK ET CHARIOTS
2.1. Description générale
L'équipement du laboratoire permet de réduire le désaccord entre la théorie
et l’expérience. Les "air tracks" ou rails à coussins d'air sur lesquels sont
réalisées les expériences de mécanique sont des rails reliés à une
soufflerie, traversés par de l'air qui s'échappe par de petits trous percés à
intervalles réguliers et permettant le déplacement de chariots sur un
coussin d'air de l'ordre de 0,1 mm d’épaisseur. Le principe de
fonctionnement est celui de l'« hovercraft ». La photo 1 montre une vue
générale d'un air track.

Photo 1
2
Intro Générale MEC-0
L'absence de contact direct entre les chariots et le rail élimine presque
entièrement les frottements qui constituent une source importante d'écarts
entre les mouvements réels et les prédictions de la théorie.
L’air track peut recevoir divers accessoires afin d'effectuer différents types
d’expérience. Tout ce matériel est contenu dans une boîte située à côté de
chaque air track. Une description plus détaillée du dispositif expérimental
est donnée sur la photo 2.
ATTENTION
Lors de l'utilisation de l'air track, plusieurs précautions s'imposent :
Les rails, bien que rigides, sont très sensibles à de petits changements
dans l'alignement. Ne pas les cogner ou laisser tomber les petits chariots
sur les rails. En particulier, ne pas poser de chariot sur le rail lorsque la
soufflerie est coupée.
Lorsqu'on ajoute des charges sur le chariot, veiller à les répartir de
manière symétrique.

Photo 2
1 support de rail 5 fil de haute tension
2 équerre de soutien
6 isolant
3 bouche d'entrée pour l'air 7 poulie à air
4 catapulte
8 rail
9 vis de mise à niveau
3
Intro Générale MEC-0
Concrètement, la plupart des expériences de mécanique consistent à suivre
l’évolution d’un mobile (le chariot) en fonction du temps. En général, on
utilise à cet effet un chronomètre ; on mesure alors le temps mis par le
chariot pour passer d'un point à un autre.
On peut cependant procéder autrement :
En relevant la position du mobile à différents moments séparés par des
intervalles de temps égaux, on répond aussi à l'objectif fixé. En outre, en
raccourcissant les intervalles de temps, le rapport x ∆
(où ∆x est l'espace
∆ t
parcouru pendant l'intervalle de temps ∆t), se rapproche de la vitesse
instantanée.
En pratique, on localise donc le chariot en faisant jaillir une étincelle d'un
point du chariot vers le rail métallique. On fait traverser à cette étincelle
une bande de papier enregistreur sensible (papier thermique), où elle laisse
une marque. Pour ce faire, l'électricité doit d'abord arriver au mobile à
travers un fil - de la même manière qu'un tram puise l'électricité qui
actionne son moteur à l’aide d’une caténaire. Le mobile, qui glisse sur un
coussin d'air, ne doit toucher ni le rail ni le fil afin de ne pas créer de
frottement qui perturberait l'expérience.

La caténaire du chariot est
montrée à la photo 3.
1 papier enregistreur
2 fil de haute tension
3 caténaire
4 vis en nylon
5 chariot
6 pare-chocs
Photo 3
2.2. Comment produire régulièrement des étincelles ?
2
4
3
Intro Générale MEC-0
On obtient des étincelles en déchargeant un condensateur dans une bobine
d'induction, du type de celles utilisées dans les automobiles. La bobine
fournit à sa sortie des impulsions de l'ordre de 40 000 V, ce qui nécessite
d'importantes précautions dans la manipulation :
NE JAMAIS TOUCHER LE FIL SOUS TENSION. APRES CHAQUE
UTILISATION DE LA SOURCE, COUPER LE COURANT.
Le générateur d'étincelles (Basic Spark Source, voir photo 4) permet de
synchroniser les décharges de plusieurs manières. Nous n'utiliserons au
cours des manipulations qui suivent que la fréquence de 10 Hz : les
étincelles seront donc générées toutes les 0.1 secondes. Vous n'aurez donc
jamais à toucher aux boutons A et B.
A - B boutons de choix de la fréquence
(fixée à 10 Hz)
1 interrupteur général
2 interrupteur de déclenchement
des étincelles
3 lampe témoin
4 fil de mise à la terre
5 fil de haute tension
Photo 4
4
A B
5
1
C
2
1
5
D
4
3
6

ATTENTION
5
Intro Générale MEC-0
Le Basic Spark Source ne peut fonctionner continûment plus de 3 minutes
d'affilée. Après une telle utilisation, laisser reposer l'appareil pendant 2-3
minutes.
Le Basic Spark Source est pourvu de 2 interrupteurs (voir photo 4). On ne
peut appuyer sur le bouton de l'interrupteur 2 que lorsque l'interrupteur 1
est en position ON : alors seulement se produisent des étincelles.
Le Basic Spark Source est raccordé à l'air track à l'aide de 2 fils :
le fil 4 (photo 4) qui se termine par une pince crocodile protégée par un
isolant noir est à la terre, il se raccorde au châssis du rail (point C -
photo 4) ;
le fil 5 (photo 4) qui se termine par une pince crocodile protégée par un
isolant rouge est le fil de haute tension, il se raccorde au fil conducteur
(point D - photo 4).
Le passage de l'étincelle du fil conducteur vers le rail se fait à travers une
boucle de fil relativement rigide, fixée au mobile (voir figure 1) à l'aide
d'une vis de nylon qui isole cette boucle de la masse du chariot. Cette
boucle est fabriquée à partir d'un morceau de fil métallique. La distance
entre la boucle et le fil conducteur d'une part, entre la boucle et le papier
enregistreur d'autre part doit être de l'ordre de 1 ou 2 mm sur toute la
longueur du rail. Veillez-y !
Figure 1
mètre
A
B C
D E
rail
1 ou 2 mm
fil conducteur
Vis de nylon
boucle
papier
enregistreur
1 ou 2 mm

3. POSSIBILITES D’UTILISATION DE L’AIR-TRACK
6
Intro Générale MEC-0
Le dessin de l'air track (figure 2) permet d'apprécier les possibilités
expérimentales ouvertes par son utilisation.
En F, peuvent se visser des attaches auxquelles on peut raccorder un
ressort, un électro-aimant, etc...
La lame métallique courbée D permet (lorsque le chariot est lui aussi
muni d'une lame analogue) de réaliser des collisions presque élastiques.
On peut catapulter le chariot à l'aide d'un élastique placé dans les dents
H.
La poulie pneumatique E fonctionne comme le rail lui-même : lorsqu'on
ouvre le robinet R (vis papillon), de l'air est envoyé vers E ; si un poids
est accroché au chariot par l'intermédiaire d'un ruban (une bande
magnétique, par exemple) qui passe au-dessus de la poulie, ce ruban ne
touche pas plus la poulie E que le chariot ne touche le rail, et le tout
coulisse (presque) sans frottement et sans inertie. On peut ainsi étudier
l'action isolée de la pesanteur.
Enfin, on peut placer d'un côté de l'air track des planchettes qui le
transforment en plan incliné.
Mais, en-dehors de ce cas, il faut que le rail soit le plus horizontal
possible, réglage qui s'effectue à l'aide des vis qui supportent le rail. On
vérifie que le rail est de niveau en plaçant un chariot au centre de celuici
(lorsque la soufflerie est branchée) : le rail est horizontal lorsque ce
chariot reste immobile. Il faut toujours effectuer cette vérification
avant de commencer une expérience.
Remarque :
Lorsqu'on utilise le dispositif à étincelles, il faut veiller à maintenir une
distance suffisante entre A et C (voir figure 2), afin que l'étincelle ne
jaillisse pas entre ces 2 points, court-circuitant la partie du circuit qui
comporte le chariot.
Les accessoires correspondants se placent sur le chariot (voir figure 1). Les
attaches pour les ressorts ou pour le ruban se placent en A, B ou C. Les
lames métalliques (qui font rebondir le chariot) se placent à l'avant et à
l'arrière de celui-ci, à l'aide de 2 vis (en D et E). La vis de nylon à laquelle
on accroche la boucle doit se trouver au milieu du chariot. On peut aussi
alourdir le chariot, en ajoutant des masses sur le chariot qu’on veillera à
répartir symétriquement sur le chariot.

Remarque :
7
Intro Générale MEC-0
Les chariots sont en aluminium, métal plus doux que l'acier des vis. Afin de
ne pas abîmer les chariots avec les vis, ne pas oublier d'intercaler une
rondelle de nylon entre la vis et le chariot.
R
B
E
F
H
mètre
D
isolant
trous (soufflerie)
Figure 2
A
C
G
rail
H
fil conducteur

4. VERIFICATIONS AVANT TOUTE EXPERIENCE DE MECANIQUE
8
Intro Générale MEC-0
Vérifier la mise à niveau du rail : un chariot placé au milieu du rail doit
rester immobile lorsque la soufflerie est allumée.
Vérifier que « l’antenne» du chariot ne frotte en aucun endroit ni sur la
caténaire, ni sur la bande de papier thermique.
Rapprocher le plus possible l'extrémité de l'antenne du chariot de la
bande de papier thermique posée sur le rail sans qu'elle ne la touche (1
ou 2 mm comme sur la figure 1). Sans cette précaution, les étincelles ne
se produiront pas à l'endroit exact où se trouve le chariot.
Vérifier qu'aucune étincelle ne se produit entre les points A et C de la
figure 2, sinon vous « perdrez » des étincelles lors de l'expérience et les
vitesses calculées seront faussées.

ETUDE DU MOUVEMENT
1
Introduction MEC-1
Les expériences de mécanique étant réalisées sur des air tracks, notre
étude se limitera au cas du mouvement rectiligne à une dimension.
1. CINEMATIQUE – VITESSE ET ACCELERATION
1.1. Notion de référentiel
Le mouvement d'un objet est toujours mesuré par rapport à des repères.
Une personne marchant vers l’avant d’un TGV (roulant à la vitesse de 300
km/h) a une vitesse de 5 km/h par rapport a u train, mais par rapport à la
terre, sa vitesse est de 300+5 = 305 km/h. On comprend donc qu’il est
fondamental de définir le système de référence par rapport auquel on
mesure le mouvement de l’objet. C’est ce que l’on appelle le référentiel.
Remarquons qu’il n'existe pas de référentiel absolu qu'on pourrait
considérer comme "fixe", tout est relatif !
La cinématique est la branche de la mécanique qui décrit le mouvement
d'un corps; ce dernier est déterminé par la connaissance de sa position, de
sa vitesse et de son accélération en fonction du temps.
1.2. Vitesse
Le mouvement d'un corps est rectiligne quand sa trajectoire est une droite.
On repère alors sa position, notée x, par le déplacement (positif ou négatif)
du corps par rapport à l'origine 0 de l’axe, choisie arbitrairement (voir
figure 1).
A B
Figure 1
L'évolution de ce déplacement avec le temps se traduit par l'équation du
mouvement du corps :
x = x(t)

2
Introduction MEC-1
Si, à l'instant tA, le mobile se trouve en A (OA = xA) et qu'un peu plus tard,
à l'instant tB, il se trouve en B (OB = xB), on définit la vitesse moyenne sur
l’intervalle AB comme
v
AB
x − x
= =
∆x
t −t ∆t
a b
b a
où ∆x = xB-xA est le déplacement du mobile pendant le temps ∆t = tB–tA. La
vitesse moyenne durant un intervalle de temps est donc égale au
déplacement moyen par unité de temps pendant cet intervalle de temps.
Pour déterminer la vitesse instantanée en un point, nous devons rendre
l'intervalle de temps ∆t aussi petit que possible, de sorte que pratiquement
aucun changement de l'état de mouvement ne se produise durant ce petit
intervalle. Mathématiquement, ceci revient à calculer la limite de la fraction
(1) quand le dénominateur ∆t tend vers zéro. Ceci s'écrit
x
vA= vt ( A) = lim v = ∆ lim
B→A AB ∆→ t 0
La relation que nous venons d'écrire n'est autre que la définition de la
dérivée de x par rapport au temps ; il vient donc
vt () =
∆ t
(1)
dx() t
(2)
dt
Nous obtenons donc la vitesse instantanée en calculant la dérivée du déplacement
par rapport au temps. Expérimentalement, on trouve la vitesse
instantanée en observant le corps en mouvement en deux positions très
voisines séparées par une petite distance ∆x et en mesurant le petit
intervalle de temps ∆t nécessaire pour parcourir le trajet ∆x.
1.3. Accélération
En général, la vitesse d'un corps (comme sa position) dépend du temps. Si
la vitesse reste constante, on dit que le mouvement est uniforme.
Remarquons qu’un corps en mouvement uniforme dans un référentiel ne le
sera pas forcément dans tous les référentiels. La notion d'uniformité d'une
vitesse est donc relative, tout comme la notion de repos.

3
Introduction MEC-1
Reportons-nous à la figure 1, supposons qu'à l'instant tA le mobile soit en A
avec la vitesse vA, et qu'à l'instant tB, il passe en B avec la vitesse vB.
L'accélération moyenne entre A et B est définie par
a
AB
v −v = =
∆v
t −t ∆t
a b
b a
où ∆v = vB-vA est la variation de vitesse au cours de l'intervalle ∆t = tB-tA.
Ainsi, l'accélération moyenne durant un certain intervalle de temps est la
variation de vitesse par unité de temps durant cet intervalle.
L'accélération instantanée est la valeur limite de l'accélération moyenne
quand l'intervalle de temps ∆t tend vers zéro :
a
=
a = lim lim
AB
B→A ∆→ t 0
∆v
∆ t
Cette limite est la définition de la dérivée de v par rapport à t et on obtient
finalement :
at () =
dvt dxt
dt dt
(3)
2 () ()
=
(4)
2
Expérimentalement, on calcule l'accélération en mesurant une petite
variation de vitesse ∆v qui a lieu au cours d'un petit intervalle de temps ∆t.
Si un mobile subit une accélération constante, on dit que son mouvement
est uniformément accéléré.
A partir de l'accélération, on peut calculer la vitesse et la position en
fonction du temps par intégrations successives :
vt () = v+
0
xt () = x+
0
t
∫
t0
t
∫
t0
at ( ) dt
vt ( ) dt
(5)
(6)
Nous voyons apparaître deux constantes d'intégrations : la première v0 est
la vitesse initiale, la seconde xo est la position initiale du mobile (initiale
signifie à l'instant t = to). Ces deux constantes combinées à la fonction
accélération déterminent complètement le mouvement.

4
Introduction MEC-1
Dans le premier cas particulier du mouvement rectiligne uniforme (MRU),
nous avons :
at ( ) = 0
vt () = v = constante
0
xt () = x+ v
( t-t )
0 0 0
(7)
(8)
(9)
Graphiquement, avec le temps en abscisses, v(t) et x(t) sont représentées
respectivement par une horizontale et une droite de pente v0 (figure 2).
Figure 2
Dans le second cas particulier du mouvement uniformément accéléré
(MRUA), nous avons :
at () = a=
constante
vt () =
v0+ a(
t-t 0)
xt () = x v
1
( t-t ) a ( t-t )
+ +
0 0 0 2 0
Graphiquement, avec le temps en abscisses, a(t), v(t) et x(t) sont
représentées respectivement par une horizontale, une droite de pente a et
une parabole (figure 3).
Figure 3
2
(10)
(11)
(12)

2. DYNAMIQUE – LOIS DE NEWTON
5
Introduction MEC-1
La cinématique permet une description précise du mouvement des corps,
mais ne donne aucune information quant aux causes de ce mouvement.
C'est la dynamique qui établit le lien entre le mouvement d'un corps et les
forces qui produisent ce mouvement.
Le concept de force est très utile pour représenter ces interactions d’un
corps avec son environnement ; l'objet mathématique qui lui est associé
est un vecteur. La connaissance de toutes les forces qui agissent dans un
système, associée à la connaissance des conditions initiales des
mouvements décrits par les corps sur lesquels s'exercent les forces suffit
pour déterminer entièrement le mouvement des corps en question, à l'aide
des lois fondamentales de la mécanique, énoncées par Newton.
Newton a introduit une idée essentielle : ce n'est pas le mouvement qu'il
faut expliquer, mais bien les modifications au mouvement. A cette idée
correspond le principe d'inertie : si un objet, livré à lui-même, n'est pas
perturbé, il continue de se déplacer à vitesse constante (cette vitesse est
éventuellement nulle), en ligne droite, pour autant que le référentiel dans
lequel ce mouvement est repéré soit lui-même inertiel (ceci est d'ailleurs la
définition d'un référentiel d'inertie).
La seconde loi de Newton, dont le principe d'inertie est un cas particulier,
établit une règle qui lie les modifications de l'état de mouvement d'un corps
aux forces qui s'exercent sur lui. Mathématiquement, elle s'énonce
F = ma
Cause Effet
(13)
où F est la résultante des forces qui s'exercent sur le corps de masse m 1 .
La loi dit alors que l'accélération (dérivée de la vitesse, c'est-à-dire taux de
changement de la vitesse par rapport au temps) est proportionnelle à la
force, et que le coefficient de proportionnalité est la masse du corps. La
masse représente donc le coefficient d'inertie de ce corps : lorsque deux
1 Nous ne considérons ici que des vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière.
Dans ce cas, la masse du corps sera constante et égale à sa masse au repos.

6
Introduction MEC-1
forces égales sont exercées sur deux corps différents, le plus léger subira
une accélération plus importante que le plus lourd.
Par exemple, soit une même force qui s’exerce sur un camion et sur une
voiture cinq fois plus légère que le camion. Le camion, plus lourd, subira
une accélération cinq fois plus faible que la voiture.
Autre exemple : soit deux corps de même masse ; si on applique une force
deux fois plus importante au corps 2 qu’au corps 1, le corps 2 subira une
accélération deux fois plus élevée que le corps 1.
Pour que la seconde loi de Newton (13) soit opérationnelle, il faut
évidemment disposer d'une définition correcte des forces agissant sur le
corps. Cette définition existe heureusement dans de nombreux cas ; un des
plus célèbres est celui de la gravitation, pour lequel Newton a proposé une
forme explicite de la force d'attraction gravitationnelle entre les corps.
Le principe d'inertie se déduit de la relation (4) en exprimant l'idée
suivante: dire qu'un objet est livré à lui-même et non perturbé, revient à
dire que la force exercée sur lui est nulle. La relation (13) implique que son
accélération est également nulle. La dérivée de la vitesse, soit le taux de
changement de la vitesse, est donc nulle : la vitesse est alors une
constante du mouvement. On retrouve bien l'énoncé proposé plus haut.
Photo 1
Photo 2

3. CONSERVATION DE L’ENERGIE
7
Introduction MEC-1
L’énergie cinétique d’un corps de masse m se déplaçant à la vitesse v est
définie comme :
1
EC = mv
2
L’énergie potentielle de gravitation est définie comme :
EP = mgh
où g est l’accélération de la pesanteur et h la hauteur.
L’énergie potentielle est associée à une force conservatrice. Ici, l’énergie
potentielle de gravitation est associée à la force de pesanteur, c’est-à-dire
au poids du corps.
Lors du passage d’une position 1 à une position 2, l’énergie mécanique
totale, définie comme la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie
cinétique, est conservée :
1 2
Etot = EP + EC = mgh + mv
2
E = E + E = E + E =
tot P1 C1 P2 C2
2
constante
Cette loi de conservation de l’énergie mécanique totale n’est valable que
lorsqu’aucune force dissipative n’effectue de travail sur le corps (voir Mec-
2).

Groupe:
Table n°: Air track n° :
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
ETUDE DU MOUVEMENT
VITESSE ET ACCELERATION - CONSERVATION DE L'ENERGIE
1. MOUVEMENT A VITESSE CONSTANTE
1
Expérience MEC-1
Pour lancer le chariot, on utilisera la catapulte placée à l'extrémité de l'air
track. On placera un élastique dans les premières dents de la catapulte
(voir photo 1 ci-contre). On prendra un chariot jaune monté de deux parechocs
et d'une caténaire. Afin de pouvoir reproduire éventuellement le
mouvement, on tendra toujours l'élastique de la même façon, à savoir, de
manière que les pare-chocs du chariot et de l'air track se touchent.
Enclenchez la soufflerie. Vérifiez que le rail est de niveau (voir Mec-0).
Placez le papier enregistreur sur le rail. Branchez le générateur d'étincelles
(fréquence 10 Hz). Tendez la catapulte à l’aide d’un bic ou d’une latte en
plastique. Appuyez sur le bouton de déclenchement des étincelles. Lâchez
le chariot et faites fonctionner le générateur jusqu'à ce que le chariot soit
arrivé à l'autre bout du rail. Mesurez les intervalles séparant les points
successifs.
A partir de ces données expérimentales, calculez la vitesse moyenne pour
les différents intervalles de temps, à l'aide de la formule (1), sachant que ∆
t = 0,1 sec. Portez vos valeurs dans le tableau 1. La première colonne de
ce tableau reprend le temps t pour lequel la vitesse moyenne a été
calculée. On prend le temps correspondant au milieu de l’intervalle : pour
l’intervalle [0, 0.1 s], t = 0.05 s ; …
Estimez l'erreur sur la vitesse à partir de l'erreur sur ∆x.
ε ∆ x =
ε =
V

temps t
(sec)
2
vitesse v
(cm/sec)
0.05 ±
0.15 ±
0.25 ±
0.35 ±
0.45 ±
0.55 ±
0.65 ±
0.75 ±
0.85 ±
0.95 ±
1.05 ±
1.15 ±
1.25 ±
1.35 ±
1.45 ±
1.55 ±
1.65 ±
1.75 ±
1.85 ±
1.95 ±
2.05 ±
2.15 ±
2.25 ±
2.35 ±
2.45 ±
Tableau 1
Expérience MEC-1
Faites un graphique (papier millimétrique linéaire) de v (ordonnée) en
fonction de t (abscisse).
La vitesse est-elle constante dans les limites des erreurs expérimentales ?
Justifiez votre réponse à l’aide du graphique.

Lors de son mouvement, à quelles forces est soumis le chariot ?
3
Expérience MEC-1
Que vaut la résultante de ces forces ? Cette réponse confirme-t-elle votre
réponse à la première question ? Pourquoi ?
2. MOUVEMENT ACCELERE
On "fabrique" un plan incliné en plaçant un bloc de bois, d’environ 3 cm de
hauteur, sous la vis d'inclinaison sur laquelle repose l'air track (voir figure 4
et photo 2 de l’introduction). L'angle α du plan incliné est alors donné par :
sin α = h
L
où L = 127 cm
εh = 0,05 cm, εL = 0,10 cm
Remarquez que L = 127 cm n’est pas la longueur totale du rail !!!
Figure 4

4
Expérience MEC-1
Soit le chariot C. Tout d’abord, on définit le référentiel par rapport auquel
on mesure le mouvement du chariot. Pour cela, il faut connaître les forces
qui s’exercent sur le mobile. Dans le cas du plan incliné, il y a :
- le poids du chariot mg (vers le bas),
- la réaction du rail R (perpendiculaire au plan incliné).
On choisit donc un référentiel fixé au plan incliné (figure 5), dont
- l’axe x est parallèle au plan incliné,
- l’axe y est perpendiculaire au plan incliné,
- l’origine O est au centre du chariot.
Figure 5
Ensuite, on applique la 2 e loi de Newton : res
F = mg + R = ma .
Le poids du chariot mg est décomposé en une composante normale N et
une composante tangentielle T (voir figure 6).
Figure 6

5
Expérience MEC-1
La réaction du rail R équilibre la composante N , ce qui revient à dire que
le chariot ne peut pas passer à travers le rail. La force résultante
responsable du mouvement du chariot sera donc :
T = mg sin( α)
Par la 2 e loi de Newton, l'accélération subie par le chariot sera donc :
a = gsin( α)
Marquez, sur la bande de papier thermique, l’emplacement des points P1 et
P2, situés dans le prolongement des deux vis (voir figure 4). Cela sera utile
pour la 3 ème partie de l’expérience.
Retirez l’élastique pour que le chariot ait une vitesse initiale nulle. Tenez le
chariot au sommet du plan incliné et lâchez-le. Calculez, à l’aide des
marques de position laissées par les étincelles sur le papier thermique, la
vitesse du chariot en fonction du temps (tableau 2). Portez vos points
expérimentaux en graphique.
Déterminez graphiquement la valeur de a qui est la pente de la droite v(t)
conformément à l'équation (11).
a :
ε a :
a = ±
Enfin, déduisez-en la valeur de g, en sachant que a = gsin( α)
g :
ε g :
g = ±

temps t
(sec)
6
vitesse v
(cm/sec)
0.05 ±
0.15 ±
0.25 ±
0.35 ±
0.45 ±
0.55 ±
0.65 ±
0.75 ±
0.85 ±
0.95 ±
1.05 ±
1.15 ±
1.25 ±
1.35 ±
1.45 ±
1.55 ±
1.65 ±
1.75 ±
1.85 ±
1.95 ±
2.05 ±
2.15 ±
2.25 ±
2.35 ±
2.45 ±
2.55 ±
2.65 ±
2.75 ±
2.85 ±
2.95 ±
Tableau 2
Expérience MEC-1

3. CONSERVATION DE L’ENERGIE
7
Expérience MEC-1
Nous allons à présent étudier le mouvement du chariot le long d'un plan
incliné en utilisant le concept d'énergie. Les résultats seront obtenus en
exploitant la même bande de papier enregistreur que pour l’expérience du
plan incliné.
En tout point du mouvement, l'énergie du chariot peut s'écrire comme la
somme de deux termes, l'un correspondant à l'énergie potentielle dans le
champ de la pesanteur, l'autre correspondant à l'énergie cinétique. C'est en
exprimant que l'énergie est une constante du mouvement que nous
pourrons obtenir l'information désirée :
1
E mgh mv
2
2
= + (14)
où m est la masse du chariot, g l'accélération de la pesanteur, h la hauteur
et v la vitesse. Pour 2 points P1 et P2, il vient donc à partir de (14)
1 1
mgh + mv = mgh + mv
2 2
2 2
1 1 2 2
si h1 et h2 sont respectivement les hauteurs de P1 et P2 et v1 et v2 la vitesse
du chariot lorsqu'il passe en P1 et en P2.
Soit P1 le point situé sur la bandelette dans le prolongement de la vis sous
laquelle se trouve le bloc de bois de hauteur h et P2 le point situé dans le
prolongement de l'autre vis. La différence de hauteur entre P1 et P2 est
donc bien h.
Remarquez que P2 est situé un peu avant la fin du plan incliné !!!
En P1, en haut du plan incliné, on a
et en P2, en bas du plan incliné,
1
E = mgh + mv
2
1 1
2
1
1
E = mgh +
mv
2
2 2
2
2

8
Expérience MEC-1
Lorsque le chariot descend le plan incliné, des transformations d’énergie
potentielle en énergie cinétique ont lieu : l’énergie potentielle passe d’un
maximum à un minimum alors que l’énergie cinétique passe d’un minimum
à un maximum. Mais l’énergie mécanique totale est toujours constante.
ATTENTION Utilisez bien les unités du Système International :
m pour les longueurs, m/s pour les vitesses
et m/s² pour les accélérations.
Déterminez v1, la vitesse au voisinage de P1.
Déterminez v2, la vitesse au voisinage de P2, à partir de votre bande de
papier thermique.
Comparez E1 et E2 en calculant E1-E2. Concluez.

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
26 27 28
21 22 23 24
16 17 18 19
15
11 12 13 14
6 7 8 9
5
1 2 3 4
25
20
10

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
26 27 28
21 22 23 24
16 17 18 19
15
11 12 13 14
6 7 8 9
5
1 2 3 4
25
20
10

1. FORCE ET ENERGIE
1.1. Définition
ETUDE DE QUELQUES FORCES
CONSERVATION DE L'ENERGIE TOTALE
1
Introduction MEC-2
Rappelons qu'une force est une grandeur vectorielle représentant une
attraction ou une poussée exercée sur un corps. On trouve la force
résultante agissant sur un corps en faisant la somme vectorielle de toutes
les forces agissant sur ce corps.
Si un corps de masse m subit une force résultante non nulle F , il se met
en mouvement suivant la 2 ème loi de Newton :
F = ma
Cause Effet
Une force s’exprime en Newtons : 1 N = 1 kg . 1 m . 1 s -2
1.2. Types de forces
Dans cette séance de travaux pratiques, deux types de forces vont être
étudiées : les forces conservatives (force de rappel exercée par un ressort,
force gravitationnelle, force magnétique,...) et les forces non conservatives
(force de frottement,...). Ces dernières sont aussi appelées forces
dissipatives car elles agissent en dissipant l'énergie mécanique.
1.3. Travail d’une force
Le travail W d'une force F pendant un déplacement de a à b est une
grandeur scalaire (= un nombre) définie par la relation suivante :
b
∫a
W = F ⋅ ds
1
F ⋅ds
est le produit scalaire des vecteurs F et ds
où ds est le vecteur qui représente un déplacement élémentaire.
1 Voir le cours de Mathématiques pour plus de détails.

2
Introduction MEC-2
W = F ab cosθ
dans le cas où F est constante pendant le mouvement.
Le travail représente donc le produit de la composante suivant le
mouvement de F par le déplacement effectué.
Le travail et les différentes formes d’énergie ont pour unité le Joule :
1 J = 1 N . 1 m
1.4. Formes d'énergie mécanique
L'énergie mécanique totale d’un corps est la somme de 2 contributions :
L’énergie cinétique associée au mouvement du corps :
1
EC = mv
2
L’énergie potentielle du corps, lorsqu’il est soumis à une force
conservative. Par exemple :
1. énergie potentielle de pesanteur, EP mgh = , associée à la force de
pesanteur.
2. énergie potentielle d'élasticité,
rappel d’un ressort.
1
EP kx
2
2
= , associée à la force de
3. énergie potentielle d’interaction magnétique entre 2 aimants,
associée à la force d’interaction magnétique.
1.5. Principe de conservation de l'énergie
L'énergie ne peut être créée ou détruite. Elle se transforme toujours d'une
forme en une autre. Pour un système conservatif, on a donc :
E = constante = E + E
MEC P C
Pour un système non conservatif, EMEC n'est pas conservée, elle diminue. La
quantité d'énergie "perdue" correspond au travail des forces dissipatives, et
elle se transforme en chaleur.
2

2. FORCES DISSIPATIVES
3
Introduction MEC-2
Les forces d'amortissement (ou forces dissipatives) incluent les différentes
sortes de frottement, les forces d'amortissement magnétique, les forces
d'interaction dans des collisions inélastiques, etc.
2.1. Amortissement dû à la viscosité
Vous avez sans doute déjà remarqué que le mouvement des chariots sur
l’air track ne s’effectue pas totalement sans frottement. La principale
source de frottement est la viscosité du coussin d'air situé entre le chariot
et le rail. On peut montrer que la force de viscosité est directement
proportionnelle à l'aire A du coussin d’air et à la vitesse relative v du
chariot et du rail, et inversement proportionnelle à l'épaisseur d du coussin.
Donc, la force de frottement due à la viscosité peut s'écrire :
Av .
F = − η
(1)
d
où η est la viscosité du fluide (dans ce cas, l'air).
La caractéristique la plus importante de cette force est le fait qu'elle est
proportionnelle à la vitesse. Nous l’écrirons donc simplement :
F = − bv (2)
où b est une constante dont la valeur dépend des dimensions du système
et de la viscosité de l'air. Le signe négatif indique que la direction de F est
toujours opposée à celle de la vitesse, donc à celle du mouvement. Cette
force va tendre à freiner le mouvement.
Quand un chariot se déplace avec une vitesse initiale v0 sur un rail mis à
niveau, sans aucune autre force que celle due à la viscosité, son équation
du mouvement est
F = ma ou
dv
− bv = m (3)
dt
L’équation (3) montre que la variation de vitesse est proportionnelle à la
vitesse elle-même.

4
Introduction MEC-2
Il est aisé de trouver la longueur totale du trajet parcouru par le chariot
avant son arrêt. Nous exprimons dv
dt
suivante :
en terme de dv
dx
dv dv dx dv
= ⋅ = ⋅ v
dt dx dt dx
en utilisant la règle
En plaçant ce résultat dans l'équation (3) et en divisant par v, nous
obtenons :
dv b
= −
dx m
Cette équation différentielle peut être intégrée facilement
b
v=− x+ C
m
où C est une constante d'intégration. Si v0 est la vitesse initiale au point
x = 0, alors C devra avoir la valeur v0, et nous trouvons
b
v v x
m
= 0 − (4)
Le chariot aura donc une vitesse nulle après avoir parcouru la distance x
donnée par
x =
2.2. Autres types d'amortissement
mvo
Un autre exemple de force d’amortissement dépendant de la vitesse est
l'effet dû à des courants induits dans un conducteur à cause d’un
mouvement dans un champ magnétique. Ce phénomène est utilisé dans les
systèmes de freinage magnétique. Quand un conducteur électrique bouge à
travers un champ magnétique, la variation du flux magnétique dans le
conducteur induit des courants dont la grandeur est proportionnelle au
changement du flux, et donc à la vitesse du conducteur. Ces courants
provoquent une force magnétique d’amortissement. Sa direction est
b

5
Introduction MEC-2
toujours opposée au mouvement. On peut donc décrire cette force avec la
même équation que celle utilisée pour la force d’amortissement due à la
viscosité :
F = − bv
Dans ce cas, la constante b est proportionnelle à la conductivité électrique
du matériau, à l'aire du conducteur sur lequel le champ magnétique agit et
au carré de l'intensité du champ magnétique. Lorsque les forces
d'amortissement magnétique et de viscosité sont toutes deux présentes,
alors la force d’amortissement totale est la somme des deux contributions
individuelles.
Dans cette expérience, des aimants permanents peuvent être montés sur
les chariots, et l'amortissement magnétique est causé par des courants
induits dans le rail consécutifs à son mouvement relatif par rapport aux
aimants (voir photo 1).
Un autre type de force dissipative intervient lors des expériences avec un
air track . Il est associé au comportement des ressorts pare-chocs : quand
un chariot entre en collision avec un autre chariot ou avec l’extrémité du
rail, la vitesse relative après collision est quelquefois plus petite en
grandeur qu’avant la collision, parce que le choc n’est pas parfaitement
élastique. Le rapport de ces deux vitesses est appelé le coefficient de
restitution e. L'expérience montre que e est indépendant de la vitesse
initiale.
Photo 1
aimant
Chariot vu du haut
aimant

Groupe:
Table n°: Air track n° :
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
ETUDE DE QUELQUES FORCES
CONSERVATION DE L'ENERGIE TOTALE
1
Expérience MEC-2
1. FORCES CONSERVATIVES : ETUDE DE LA FORCE DE REPULSION ENTRE DEUX
AIMANTS
1.1. Dispositif expérimental
On utilisera 6 petits aimants rectangulaires, dont la masse individuelle est
d’environ 10 g.
A l’aide de papier collant, placez 3 aimants sur un côté d’un chariot jaune
et les trois aimants restants sur le coté d’un deuxième chariot jaune (voir
figure 1 et photo 2) Pour ce faire, il faut que les pare-chocs des chariots
soient enlevés. Les aimants seront orientés de façon à ce que les deux
chariots se repoussent lorsqu'on les approche l'un de l'autre. Pour le chariot
mobile, vous placerez avec du papier collant de l'autre côté du chariot une
masse grossièrement équivalente à celle des 3 aimants (~ 30 g) afin de
l'équilibrer (voir figure 1 et photo 2).
Figure 1 : chariot mobile

Photo 2
1.2. Etude de la force F(x) de répulsion entre 2 aimants
2
Expérience MEC-2
Le chariot non équilibré sera fixé à l'air track à l'aide de papier collant.
Nous allons appliquer une force connue en inclinant l'air-track grâce à des
blocs de bois, de hauteur totale h, placés sous la vis de mise à niveau
(figure 2). Il est nécessaire que l'air track soit bien à niveau avant de placer
les blocs de bois.
Pesez le 2 ème chariot (équilibré) :
M = ±
Allumez la soufflerie et posez le 2 ème chariot sur le rail, les blocs aimantés
des deux chariots se faisant face (voir figure 2).
h bloc de bois
x
a
Figure 2
L
LIBRE FIXE

Si l’on incline le rail d'un angle arcsin ( h/ L)
3
Expérience MEC-2
θ = , le chariot 2 (mobile) est
soumis à une force orientée suivant le rail, vers le bas, et dont la grandeur
est
F = mg sin θ = mgh / L
méc
Lorsque le chariot 2 se stabilise à une distance x du premier chariot
(chariot mobile en équilibre), on peut écrire, puisque la résultante des
forces qui agissent sur le chariot mobile est nulle :
F x = F
( )
magn méc
où x est la distance qui sépare le bord des aimants, comme indiqué sur la
figure 2. Cela donne donc :
magn
( )
F x
mgh
=
L
Mesurez x pour différentes valeurs de h, c-à-d pour différentes valeurs de
l'intensité de force magnétique. C’est une mesure statique ; placez donc
dès le départ le chariot mobile à une position proche de l'équilibre afin qu'il
s'immobilise rapidement. Remplissez ensuite le tableau ci-dessous. Pour
rappel, L = 1,27 m.
h x
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
8 cm
Fmagn
Portez les valeurs de F en fonction de x sur un graphique log-log. Que
remarquez-vous ?
Donnez l'expression reliant la force magnétique et la distance x.
Fmagn(x) =

Calculez les paramètres de la fonction Fmagn(x).
4
Expérience MEC-2
1.3. Etude du mouvement du chariot sur un plan incliné :
conservation de l'énergie
Nous allons observer le mouvement d'un chariot soumis à 2 forces (la
pesanteur et la répulsion magnétique entre les aimants), en utilisant le
même dispositif expérimental qu'au point 1.2. (plan incliné de hauteur h au
choix, avec h < 3cm). Placez une bande de papier normal sur l'air-track,
que vous marquerez au crayon pour repérer les positions successives du
chariot.
Commencez par écarter le chariot 2 du chariot 1. Lâchez-le sans vitesse
initiale ; comme il est plus haut que le chariot 1, le chariot 2 se met à
descendre le plan incliné, en direction du chariot 1, jusqu'à ce que la
répulsion magnétique le freine.
Observez le mouvement du chariot et notez ces observations.
Choisissez (après quelques essais) un écart initial tel que les chariots ne se
cognent pas (cette distance est d’environ 50 cm).
Vous pouvez à présent tester la conservation de l'énergie du chariot 2.
A l'instant initial, l'énergie du chariot provient de sa position élevée : c'est
de l'énergie potentielle de pesanteur. Cette énergie se transforme en
énergie cinétique lorsque le chariot prend de la vitesse ; ensuite, lorsqu'il
est freiné par l'interaction magnétique avec les aimants du chariot fixe, son
énergie cinétique devient de l'énergie potentielle magnétique, et cette
transformation est complète lorsque le chariot s’arrête et fait demi-tour
(énergie cinétique nulle). Au retour, les mêmes transformations

5
Expérience MEC-2
s’effectuent mais en sens inverse : énergie potentielle magnétique =>
énergie cinétique => énergie potentielle de pesanteur.
Si aucune énergie n'est dissipée, le chariot doit retourner à son point de
départ : vous allez le vérifier.
Afin de repérer la position du chariot, notez au crayon sur la bande de
papier la position initiale. Lâchez ensuite le chariot, laissez-le faire un allerretour
et marquez sur la bandelette la position la plus haute au retour (au
moment où il fait demi-tour).
Comparez la position la plus haute atteinte par le chariot après l'interaction
magnétique avec sa position initiale. Qu'en concluez-vous sur la
conservation de l'énergie ?
Quel type de forces semblent donc intervenir dans le problème ? Pourquoi ?
Quelle était la valeur de l'énergie potentielle initiale par rapport au chariot
fixe (on prend comme convention h = 0 au niveau des aimants fixes).
E i =
Déduisez la perte d'énergie lors d'un aller-retour :
∆E =
Calculez la perte relative d'énergie :
∆E/E i =

2. DETERMINATION DE L’AMORTISSEMENT DU A LA VISCOSITE ET DE
L’AMORTISSEMENT MAGNETIQUE
6
Expérience MEC-2
Replacez l'air track horizontalement. Prenez un chariot jaune, équipé de sa
caténaire et de deux pare-chocs.
2.1. Amortissement dû à la viscosité
Placez deux aimants au-dessus du chariot et déterminez la masse du
chariot :
M = ±
On place des aimants au-dessus du chariot pour que la masse de ce dernier
soit la même que dans l’expérience suivante afin de pouvoir comparer les
résultats. Ces aimants, comme ils sont loin du rail, n’influencent pas du
tout le mouvement du chariot sur l’air track.
A l'aide de la catapulte (élastique), lancez le chariot avec une vitesse
initiale v0. (Utilisez la dent qui donne la plus grande vitesse). Mesurez cette
vitesse v0 en utilisant le générateur d'étincelles. Cette mesure se fera
uniquement durant les premiers 50 cm du parcours du chariot.
Retirez l'élastique avant le 1 er retour du chariot.
A l'aide de 5 points consécutifs, déterminez la vitesse initiale moyenne.
V0 =
Déterminez la distance x totale parcourue par le chariot avant de s'arrêter.
Une longueur mesure :
Nombre de longueurs parcourues =
Calculez b visc :
x =
b visc =

Remarque
7
Expérience MEC-2
Le résultat obtenu ne tient pas compte des pertes d’énergie dues aux
collisions aux extrémités du rail qui ne sont pas complètement
négligeables.
2.2. Amortissement magnétique
Enlevez les aimants du dessus du chariot et placez–en un sur chaque flanc
du chariot (voir photo 1).
Pourquoi aviez-vous placé les aimants au dessus du chariot dans
l'expérience précédente ?
Refaites les mesures décrites comme au point précédent.
V0 =
Nombre de longueurs parcourues =
x =
b =
La constante b ainsi mesurée est la somme de deux contributions :
Vous pouvez donc calculer
bmag =
2.3 Conclusion générale
b = bvisc+ bmag
Concluez quant à l'amortissement de l'air track que vous utilisez.

1 10 10 10
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1 10 10 10
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

1
Introduction MEC-3
CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT : COLLISIONS
1. INTRODUCTION
Dans cette expérience, nous allons réaliser des collisions entre
chariots. Les principes utilisés pour analyser ces collisions sont les 2 ème et
3 ème lois de Newton, qui permettent de démontrer le principe de
conservation de la quantité de mouvement.
Deux chariots se déplacent sur un rail horizontal. Aucune force
horizontale "extérieure" n'agit sur les chariots. Soient m1 et m2 leur masse,
v1 et v2 leur vitesse. Nous prendrons dans la suite arbitrairement v1 positif
si m1 se déplace vers la droite et v1 négatif si m1 se déplace vers la gauche
(et de même pour v2). Les vitesses v1 et v2 sont des fonctions du temps,
puisqu'elles changent durant la collision.
2. QUANTITE DE MOUVEMENT
Pendant la collision, lorsque les chariots sont en contact, ils exercent l'un
sur l'autre des forces. Soient F1 et F2 les forces agissant respectivement sur
m1 et m2 (la convention des signes pour les forces est la même que pour
les vitesses) 1 .
D'après la 2 ème loi de Newton
dv
F m
dt
1
1 = 1 et
dv
F m
dt
2
2 = 2
(1)
La 3 ème loi de Newton (égalité de l'action et de la réaction) stipule que les
deux forces d'interaction F1 et F2 sont égales en grandeur mais de
directions opposées, c'est-à-dire
En combinant (1) et (2), on obtient :
F1 = − F2
(2)
1 Il est clair que les forces et les vitesses sont des vecteurs, cependant, comme on
travaille à 1 dimension, on peut les représenter par un nombre (leur norme) et un signe,
suivant la convention de l’introduction, donnant leur sens (de gauche à droite ou de droite
à gauche).

que l'on peut écrire :
dv dv
m m
dt dt
1 2
1 + 2 = 0
d
( mv 1 1+ mv 2 2) = 0 (3)
dt
2
Introduction MEC-3
La quantité m1v1 est définie comme étant la quantité de mouvement p1 du
premier chariot, de même, m2v2 est la quantité de mouvement p2 du
deuxième chariot.
L'équation (3) montre que la quantité de mouvement totale p1 + p2 ne
varie pas au cours du temps, en particulier elle ne change pas durant la
collision :
mv + mv = constante = mv + mv (4)
/ /
1 1 2 2 1 1 2 2
où v1' et v2' sont les vitesses respectives des chariots 1 et 2 après la
collision.
On dira que la quantité de mouvement est conservée pendant la collision. 2
Ce résultat est établi sous la seule hypothèse d'absence de force totale
extérieure. Il n'y a pas d'hypothèse sur les forces internes, qui peuvent
varier de façon complexe pendant la collision.
3. ENERGIE CINETIQUE
Nous n'avons pas prouvé que l'énergie cinétique est conservée au cours de
la collision. En réalité, selon le type de collision, l’énergie cinétique peut
être ou ne pas être conservée.
On peut cependant toujours affirmer que l'énergie cinétique totale
n’augmente pas lors de la collision :
1 2 1 2 1 /2 1 /2
mv 1 1+ mv 2 2≥ mv 1 1 + mv 2 2 (5)
2 2 2 2
Lorsque les deux membres de la relation (5) sont égaux, on a conservation
de l'énergie cinétique et on dit que la collision est élastique.
2
La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle. Lorsqu’on travaille à deux ou
trois dimensions, il est nécessaire de travailler avec le vecteur quantité de mouvement
p = mv .

Les relations (5) et (4) peuvent s'écrire de la manière suivante :
2 /2 /2 2
( ) ( )
m ⋅ v −v ≥m ⋅ v − v
1 1 1 2 2 2
/ /
( ) ( )
m ⋅ v − v = m ⋅ v − v
1 1 1 2 2 2
En les divisant membre à membre, et en utilisant la relation
a² − b² = ( a−b) ⋅ ( a+ b)
, on obtient :
v + v ≥ v + v
ou encore
/ /
1 1 2 2
v −v ≥v − v (6)
/ /
1 2 2 1
3
Introduction MEC-3
Lorsque l'énergie cinétique est conservée dans la collision, c’est-à-dire
v v v v
/ /
− = − , les vitesses
lorsque la collision est élastique, on a donc 1 2 2 1
relatives avant et après la collision sont égales et de signe opposé.
Au contraire, lorsque la vitesse relative entre les particules après la collision
est nulle, la collision est dite parfaitement inélastique.
On notera que dans le cas particulier où les masses m1 et m2 sont égales et
où la collision est élastique, les relations (4) et (6) deviennent :
et
v + v = v + v
/ /
1 2 1 2
v − v = v − v
/ /
1 2 2 1
La solution de ce système d’équations est v2' = v1 et v1' = v2.
Dans ce cas, les 2 chariots échangent leur vitesse (ou leur quantité de
mouvement) : après la collision, le second se déplace à la vitesse initiale du
premier, et vice-versa.

Chariot 1
Photo 1
Photo 2
4
Chariot 2
Introduction MEC-3

Groupe:
Table n°: Air track n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1
Expérience MEC-3
CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT : COLLISIONS
1. Dispositif expérimental
La difficulté essentielle d'une telle expérience est de déterminer la vitesse
et la position de deux chariots à la fois. Pour cela, on utilisera le dispositif
de la figure 1 (voir aussi photo 1).
Figure 1
Le circuit électrique permettant d'effectuer simultanément deux marques
par étincelle est le suivant :
Source HT
→ fil A
→ caténaire chariot 1
→ étincelle vers rail à travers papier sensible
→ étincelle vers caténaire chariot 2 à travers papier sensible
→ fil B
→ source (terre)

L'AIR TRACK N'EST PLUS A LA TERRE :
2
Expérience MEC-3
NE PAS TOUCHER A L'AIR TRACK ET AUX CHARIOTS LORSQUE
LA TENSION EST BRANCHEE !
Pour éviter les décharges douloureuses, vous utiliserez toujours un stylo-
bille (pas un crayon, le graphite est conducteur !!!) ou une latte en
plastique pour lancer le chariot.
Lors de ce labo, le chariot 2 (de masse m2) aura une vitesse initiale nulle :
vous le placerez au milieu du rail. Le chariot 1 (de masse m1 ) aura une
vitesse initiale v1 qui sera obtenue à l'aide de la catapulte (figure 2).
Réalisez l'expérience une première fois sans bande de papier afin de vérifier
que des étincelles sont bien produites sur toute la trajectoire pour les 2
chariots.
Figure 2

2. MASSES EGALES : m 1 = m 2 = m
2.1. Choc élastique
3
Expérience MEC-3
Vous utiliserez les deux chariots jaunes, auxquels vous aurez ajouté des
pare-chocs avant et arrière. Pesez-les ; si leur masse n'est pas identique,
ajoutez au plus léger d'entre eux les poids qui équilibreront leurs masses.
L’erreur sur la pesée vaut : 1 % de la valeur lue + la précision de la
balance.
m = m1 = m2 = ±
L'expérience consiste à lancer le chariot 1 sur le chariot 2. Déterminez 1 la
vitesse des deux chariots avant et après la collision (la convention de signe
des vitesses est celle de l'introduction). L’erreur sur la vitesse est estimée à
1 cm/s.
v1 = ±
v1' = ±
v2 = ±
v2' = ±
Calculez les quantités de mouvement totales et les énergies cinétiques
totales des deux chariots avant et après collision.
pavant = ±
paprès = ±
Eavant = ±
Eaprès = ±
1 Rappelez-vous que le générateur émet 10 étincelles par seconde.

Quelle conclusion pouvez-vous tirer ?
2.2. Choc inélastique
4
Expérience MEC-3
Placez de la bande Velcro (voir photo 2 et figure 3) sur les pare-chocs et
refaites la même expérience qu'en 2.1.
Qu’en concluez-vous ?
Figure 3
v1 = ±
v1' = ±
v2 = ±
v2' = ±
pavant = ±
paprès = ±
Eavant = ±
Eaprès = ±

3. MASSES INEGALES
m1 > m2
5
Expérience MEC-3
Vous prendrez comme chariot 2 un chariot rouge et comme chariot 1 un
chariot jaune. Ces chariots seront munis de pare-chocs (sans Velcro).
Pesez les chariots.
m1 = ±
m2 = ±
Réalisez l'expérience de collision comme en 2.1.
Qu’en concluez-vous ?
v1 = ±
v1' = ±
v2 = ±
v2' = ±
pavant = ±
paprès = ±
Eavant = ±
Eaprès = ±

1. OSCILLATEUR HARMONIQUE
LES OSCILLATEURS
1
Introduction MEC-4
Les systèmes animés de mouvements oscillants (ou périodiques) sont
nombreux, citons entre autres le mouvement d’une masse attachée à un
ressort, celui d’un pendule,…
Les cas les plus simples peuvent être traités comme des oscillateurs
harmoniques dont nous illustrons les caractéristiques sur l'exemple d'un
ressort :
Le modèle le plus simple d’oscillateur harmonique est constitué d’une
masse sur laquelle agit une force proportionnelle (en grandeur) au
déplacement de la masse par rapport à sa position d'équilibre. Son
accélération est donc aussi proportionnelle à ce déplacement. En
termes imagés, plus la masse s’écarte de sa position d’équilibre, plus
la force tend à la ramener vers cette position.
Le mouvement de la masse est tel que son déplacement à partir de
l'équilibre est une fonction sinusoïdale du temps.
La fréquence des oscillations est indépendante de leur amplitude.
Seule la première des caractéristiques est réellement essentielle ; la
seconde et la troisième en découlent, comme nous allons le montrer.
Différents systèmes de natures différentes (masse+ressort, pendule,…)
sont décrits par les mêmes équations du mouvement, qui ne se distinguent
que par les paramètres spécifiques à chacun des systèmes. En outre, le
circuit RLC (voir Elec-4) est un circuit électrique oscillant analogue aux
oscillateurs harmoniques mécaniques. La théorie décrivant ce circuit peut
d’ailleurs être présentée en établissant à tout instant la correspondance
avec les systèmes mécaniques.
Un déplacement x de la masse m à partir de sa position d'équilibre va
engendrer une force proportionnelle à x qui va tendre à ramener cette
masse vers sa position d'équilibre
F = − kx
(1)
où k est une constante appelée constante de rappel du système.
L'équation du mouvement de la masse m est alors

2
d x
F = ma = m = − kx
2
(2)
dt
2
Introduction MEC-4
La fonction décrivant l’évolution du déplacement x en fonction du temps est
donc une solution de l’équation différentielle (2).
Il est facile de vérifier que les fonctions
x= x0cos( ω0t)
x x sin( ω t)
= (3)
0 0
sont solutions de (2), où x0 est une constante appelée amplitude et ω0 est
la fréquence angulaire (ou pulsation) du mouvement, donnée par :
k
ω 0 = (4)
m
La constante x0 est déterminée par les conditions initiales (c'est-à-dire par
la façon dont le système a été mis en mouvement au départ) et ω0 ne
dépend que des propriétés intrinsèques du système : la constante de
rappel k et la masse m. La solution (3) décrit donc un mouvement de vaet-vient
de m entre les positions x0 et –x0 de part et d'autre de la position
d'équilibre.
Chaque fois que la quantité ω0t augmente de 2π, la masse a décrit un
cycle : toutes les variables du problème retrouvent leur valeur initiale. Le
temps nécessaire pour effectuer un cycle est appelé période, notée T. Nous
voyons que T est donné par
2π
⎛m⎞ T = = 2π
⎜ ⎟
ω ⎝ k ⎠
o
L'inverse de la période est le nombre de cycles par unité de temps, appelé
fréquence et noté f. Nous voyons que
1/2
(5)
2π
ω0= 2π f = (6)
T
Comme ω0t joue le rôle d'un angle, ω0 est souvent appelé fréquence angulaire.
C'est donc à cette fréquence particulière que va naturellement osciller
la masse m quelle que soit l'amplitude x0 des oscillations (ω0 dépend de k
et m et pas de x0). Le système illustré à la figure 1 jouit
approximativement des propriétés décrites ci-dessus.

Figure 1
3
Introduction MEC-4
Un chariot de masse m placé sur un air track horizontal est attaché à ses
deux extrémités à l'aide de ressorts identiques. Chacun des ressorts a une
constante de rappel k0 ; cela revient à dire qu’il faut une force F = k0x pour
allonger ce ressort de x. Dans la position d'équilibre, la force totale agissant
sur le chariot est nulle car les deux ressorts identiques agissent sur lui en
sens contraire.
Quand la masse est déplacée d'une distance x vers la droite de la position
d'équilibre, la force due au ressort de gauche, tirant vers la gauche,
augmente de k0x ; celle due au ressort de droite, poussant vers la gauche,
augmente de k0x. Le résultat est une force nette agissant vers la gauche de
grandeur 2k0x ; ainsi la constante de rappel à utiliser dans les équations
précédentes est k = 2k0.
La force agissant sur la masse est une force conservative, de sorte que
l'énergie mécanique totale est constante. Lorsque la masse arrive aux
points extrêmes de son mouvement, stoppe puis fait demi-tour, l'énergie
est entièrement potentielle (comme dans un ressort étiré) ; quand elle
passe par la position d'équilibre, l'énergie est entièrement cinétique. Durant
chaque cycle, l'énergie est transformée d'énergie cinétique en énergie
potentielle et inversement mais l'énergie mécanique totale est constante.
On peut facilement montrer que l'énergie potentielle moyenne est égale à
l'énergie cinétique moyenne, et que chacune d'elles est égale à la moitié de
l'énergie totale.
Les relations (3) nous apprennent que la masse m va osciller indéfiniment
avec une amplitude constante x0. L'expérience montre qu'un oscillateur réel
voit ses oscillations s'amortir avec le temps et au bout d'un certain temps
le système revient à sa position d'équilibre. La position de la masse est
donnée non plus par une simple fonction sinusoïdale mais par une fonction
dont le comportement est illustré à la figure 2.

Figure 2
4
Introduction MEC-4
Cet effet, non prédit par le simple modèle décrit plus haut, est dû à la
présence de forces d'amortissement ou dissipatives (voir Mec-2).
L'effet d'amortissement peut être ajouté à notre modèle. Suite aux
résultats des expériences sur les forces d'amortissement, nous supposerons
que cette force est proportionnelle à la vitesse et peut être représentée par
dx
F =− bv =− b (7)
dt
où b est la constante d'amortissement caractérisant la grandeur de la force
d'amortissement.
La force additionnelle (7) doit être inclue dans l'équation différentielle
exprimant la 2 ème loi de Newton, qui devient maintenant
2
d x dx
2
m + b + kx = 0 (8)
dt dt
Cette équation est une équation différentielle du second ordre qu’on peut
résoudre de la manière suivante : supposons que la solution soit une
exponentielle, par exemple :
t
x xe α
=
On calcule aisément sa dérivée première,
0

et sa dérivée seconde
2
d x
dt
dx
dt
2
x e x
αt
= 0α
= α (9)
2 αt
2
x0α e α x
= = (10)
Introduisons (9) et (10) dans l'équation (8). On obtient
ou encore
mα² x + bαx+ kx = 0
( α α )
m ² + b + k x=
0 (11)
5
Introduction MEC-4
La solution x = 0 n’est pas intéressante : elle correspond à une situation où
la masse reste immobile au point d’équilibre (x = 0, v = 0). La solution
générale de (11) est donc
ou encore
mα² + bα + k = 0
1 2
( b b 4 mk )
α = ⋅− ± −
2m
Il vient que lorsque b est petit (b² < 4 mk), la solution générale de
l'équation différentielle est
( ) 12
2
ω − 1
2
−t τ ⎡ ⎤
x= x0⋅e ⋅cos⎢ 0 ⋅t
τ ⎥
⎣ ⎦
avec
1 =
τ
b
2m
⎛ k ⎞
ωo
= ⎜ ⎟
⎝m⎠ 1/2
(12)
Remarque : Cette expression a bien l’allure de la courbe de la figure 2.

6
Introduction MEC-4
L'introduction de forces dissipatives (dont l'effet est contenu dans 1
τ )
modifie les oscillations à 2 points de vue :
L'amplitude des oscillations s'amortit exponentiellement avec une
constante de temps τ.
Le mouvement est ralenti ; la fréquence des oscillations est diminuée
par rapport à ω0, qui était la fréquence propre de l'oscillateur
harmonique non amorti.
A la limite, lorsque les forces dissipatives sont nulles (b = 0), on retrouve la
situation d'une oscillation non-amortie à la fréquence ω0.
2
Par contre, lorsque ω0= 1 τ , c'est-à-dire lorsque b − 4mk = 0,
la fréquence
des oscillations devient nulle ; la masse retourne donc exponentiellement à
sa position d'équilibre sans osciller, tant les forces dissipatives sont importantes
: c'est l'amortissement critique. Ceci se produit lorsque τ, la
constante de temps de l'exponentielle, est plus courte que T = 2πωo, la
période de l'oscillateur non amorti.
2. OSCILLATEURS COUPLES
Finalement, nous considérons brièvement le problème d'un système
contenant deux masses ; un exemple simple est illustré à la figure 3. Ce
système est constitué de 2 oscillateurs harmoniques dont le mouvement
des masses est couplé par le ressort central.
Figure 3

7
Introduction MEC-4
Si une des masses est déplacée puis lâchée, le mouvement résultant n’est
plus sinusoïdal, il est composé d’une superposition de deux mouvements
sinusoïdaux (appelés modes normaux). Pour un système de deux
oscillateurs couplés, il existe donc 2 modes privilégiés d'oscillations. Pour
un mode donné, chaque masse va osciller à une fréquence naturelle
déterminée par les valeurs des masses et par les constantes de rappel des
ressorts.
Le premier mode correspond au mouvement des deux masses en phase, la
distance entre les deux masses reste constante. Ce mode est appelé
antisymétrique.
Lors des oscillations selon ce mode, la fréquence de mouvement de chaque
oscillateur est donnée par
ω
1/2
⎛k0⎞ = ⎜ ⎟
⎝ m ⎠
(13)
La figure 4a correspond à l'équilibre du système. Lors d'un déplacement ∆x
des 2 chariots dans le mouvement antisymétrique (figure 4b), nous
remarquons, pour le chariot de gauche, que le ressort de gauche s'est
allongé de ∆x et que le ressort central n'a pas vu sa longueur modifiée. La
force de rappel exercée sur le chariot 1 provient donc du seul ressort de
gauche et vaut k0∆x. D'où la formule (13).
k 0
k'
0
m m
m
4a
∆x ∆x
4b
∆x ∆x
4c
k 0
Figure 4
EQUILIBRE
MODE ANTISYMETRIQUE
MODE SYMETRIQUE

8
Introduction MEC-4
Le second mode correspond au mouvement des 2 masses en opposition de
phase. Dans ce cas, le milieu du ressort central ne bouge pas. Ce mode est
appelé symétrique (figure 4c).
Dans le cas du mouvement symétrique, nous voyons que lorsque le chariot
1 se déplace de ∆x vers la gauche, le ressort de gauche est comprimé de
∆x, et exerce une force vers la droite dont le module est k0∆x. Le ressort
central est allongé de 2∆x, et il exerce une force vers la droite de k0’2∆x. La
résultante est donc également dirigée vers la position d'équilibre, et vaut
∆x(k0 + 2k0’).
La fréquence du mouvement pour chaque oscillateur dans ce mode est
donc
' ⎛k0 2k
⎞ 0
ω
m
+
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1/2
Photo 1
(14)

Photo 2
9
Introduction MEC-4
Photo Mec-i
Photo 3

Groupe:
Table n°: Air-track n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1. CONSTANTE DE RAPPEL D’UN RESSORT
LES OSCILLATEURS
1
Expérience MEC-4
Pour comparer les prédictions théoriques et le comportement observé du
système, la masse et les constantes de rappel des ressorts doivent être
connues. Le procédé de mesure de la constante de rappel d'un ressort est
montré sur la figure 5 (voir aussi photo 1).
Figure 5
Prenez un grand ressort pour effectuer l'expérience.
Vérifiez que le robinet d’air de la poulie est ouvert.
Vérifiez qu’avec la plus grande masse (100 g), le plateau ne touche pas le
sol !
Indiquez la position initiale du ressort, c’est-à-dire la position quand aucune
masse n’est posée sur le plateau.
Ajoutez sur le plateau des masses m (voir tableau 1) et pour chacune
d'elles, déterminez l'élongation ∆x du ressort par rapport à sa position
initiale (masse nulle sur le plateau).

2
Expérience MEC-4
Pour calculer F, vous prendrez g = 10 m/s² de manière à simplifier les
calculs. (ATTENTION : Utilisez bien les unités du Système International).
m (gr) ∆x (m)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tableau 1
F (N)
Portez ensuite sur graphique (papier millimétrique linéaire) la force F
appliquée au ressort en fonction de l'élongation ∆x. Le coefficient angulaire
de la meilleure droite passant par les points obtenus permet de déterminer
la constante de rappel k du ressort, grâce à loi de Hooke :
k0 =
F = k∆ x

2. MOUVEMENT HARMONIQUE SIMPLE
3
Expérience MEC-4
Pour observer le mouvement harmonique simple, vous effectuez le
montage de la figure 6 (voir aussi photo 2).
Figure 6
Placez 4 aimants sur le dessus du chariot (afin de reproduire les conditions
de masse de mesure de T3, pour la comparaison qui vous est demandée en
3.).
Déterminez la masse M du chariot jaune avec les 4 aimants qui constitue
l'oscillateur. L’erreur sur la pesée vaut : 1 % de la valeur lue + la précision
de la balance.
M = ±
Attachez deux grands ressorts au chariot jaune (voir photo 3 pour le
système d'attache des ressorts).
Déterminez la période T1 de l'oscillateur. Pour cela, lancez le chariot à
environ 10 cm de sa position d'équilibre, mesurez le temps de 10 cycles
(10 "allers-retours") et divisez par 10 pour obtenir T1.
Remarque : l'erreur sur la période sera votre temps de réaction estimé à 1
sec (ici on ne tiendra pas compte de la précision de l'instrument qui est
beaucoup plus petite que le temps de réaction).
T1 = ±

4
Expérience MEC-4
Calculez la constante k0 de chacun des grands ressorts (on supposera que
les deux grands ressorts sont identiques).
k0 = ±
Comparez cette valeur de k0 à la mesure obtenue en 1.
Remplacez un des grands ressorts par un petit ressort et répétez la
manipulation précédente.
T2 = ±
Calculez la constante de rappel k0’ du petit ressort.
3. AMORTISSEMENT
k0' = ±
Le dispositif expérimental est identique à celui utilisé en 2 (figure 6)
Utilisez deux grands ressorts et placez les 4 aimants sur les flancs du
chariot (2 sur chaque flanc) [voir Mec-2].
Mesurez la période T3 de l'oscillateur ainsi amorti.
T3 = ±
Comparez T3 avec T1. Ce résultat est-il attendu ? Expliquez.

5
Expérience MEC-4
Vous allez déterminer la variation en fonction du temps de l'amplitude x0
des oscillations (tableau 2).
Le déplacement initial sera de 20 cm. On prendra comme unité de temps la
période T3 de l'oscillateur (c'est-à-dire que vous mesurez l'amplitude des
oscillations toutes les périodes).
Temps t
(unité = T3)
Amplitude x0
(cm)
Temps t
(unité = T3)
1 9
2 10
3 11
4 12
5 13
6 14
7
8
15
Tableau 2
Portez sur papier semi-logarithmique x0 en fonction de t.
Amplitude x0
(cm)
Calculez la constante de temps τ du système (Exprimez bien τ en s.
N’oubliez pas que le graphique est construit avec l’axe des temps exprimé
en unité T3 !).
τ =
Déterminez la constante d'amortissement b (voir équation 12).
b =

4. OSCILLATEURS COUPLES
6
Expérience MEC-4
Pour étudier les oscillateurs couplés, on utilisera le dispositif présenté à la
figure 7.
Utilisez deux chariots sans aimants.
Déterminez la masse m d’un des deux chariots 1 .
m = ±
Figure 7
Vous prendrez comme ressorts 1 et 3 les grands ressorts utilisés en 2. dont
vous avez déterminé la constante k0. Le ressort 2 est le petit ressort de
constante k0' utilisé en 2.
Déplacez une masse d'environ 5 cm en laissant l'autre fixe. Lâchez le
système. Observez la nature complexe du mouvement et expliquez-le
brièvement.
Ensuite, déplacez les deux masses d'une même distance (environ 5 cm)
mais dans des sens opposés et lâchez-les 2 . Le mouvement apparaît
sinusoïdal. Ce mode dans lequel les masses se meuvent dans des directions
opposées est appelé mode symétrique.
1 On suppose que les deux chariots ont la même masse.
2 Attention de bien déplacer les chariots d'une même distance et de les lâcher en même
temps.

7
Expérience MEC-4
Mesurez le temps nécessaire pour que le système effectue 10 oscillations,
déterminez la période T 4 et comparez à la valeur théorique (équation 14)
calculée à l’aide des mesures effectuées au point 2.
T4 = ±
T4théo =
Déplacez maintenant les deux masses dans la même direction et ce d'une
même distance (environ 5 cm) et lâchez-les 3 . Le mode obtenu est appelé
antisymétrique.
Déterminez la période T5 de la même façon que pour le mode symétrique.
Comparez à la valeur théorique (équation 13).
T5 = ±
T5théo =
Que pouvez-vous conclure ?
3
Attention de bien déplacer les chariots d'une même distance et de les lâcher en même
temps.

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
26 27 28
21 22 23 24
16 17 18 19
15
11 12 13 14
6 7 8 9
5
1 2 3 4
25
20
10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

GENERATEUR DE SIGNAL ET OSCILLOSCOPE
1
Intro Générale Elec-0
Dans ces notes introductives aux manipulations d'électricité, nous
présentons quelques appareils utiles lors des travaux pratiques.
1. LE GENERATEUR DE SIGNAL
1.1. Utilisation
Le générateur de signal permet de produire des signaux périodiques de
forme carrée, triangulaire ou sinusoïdale d'une amplitude de 0 à 15 Volts et
d'une fréquence de 1 Hz à 1 MHz. Deux modèles de générateur sont utilisés
au laboratoire (photo 1).
Pour utiliser le modèle Circuitmate, on procède comme suit :
Connecter le fil de terre à la borne OUTPUT MAIN noire (PRINCIPAL,
borne négative).
Connecter le fil de signal à la borne OUTPUT MAIN rouge (borne
positive).
Tirer sur le bouton DC OFFSET et le régler au milieu.
Pour utiliser le modèle Hewlett-Packard :
Connecter le fil de terre à la borne OUTPUT LO (pour LOW = BAS, borne
négative).
Connecter le fil de signal à la borne OUTPUT HI (pour HIGH = HAUT,
borne positive).
Mettre le bouton DC OFFSET au milieu.
En pratique, nous utiliserons le mode sinusoïdal pour les expériences en
tension alternative, et le mode carré pour celles en tension continue. En
effet, un signal carré correspond à une tension constante suivie d'un arrêt,
et ainsi de suite.
Pour les deux modèles, on peut vérifier au voltmètre digital (en position
V⎯) que la tension de sortie moyenne est nulle (inférieure à 0,1 Volt).

1.2. Résistance interne
2
Intro Générale Elec-0
La résistance interne des générateurs Circuitmate est de 50 Ω tandis que
celle des générateurs HP est de 600 Ω.
Photo 1

2. L'OSCILLOSCOPE
2.1. Description
3
Intro Générale Elec-0
L'oscilloscope est un appareil permettant de mesurer une ou deux tensions
en fonction du temps en les représentant sur l'écran d'un tube cathodique.
C'est donc un voltmètre et il se placera en parallèle dans les montages
électriques. Alors que les multimètres ne permettent qu'une mesure de la
valeur moyenne ou efficace d'une tension alternative, l'oscilloscope nous
informe quant à la forme réelle du signal et à sa fréquence.
Si la tension change très lentement (sur quelques dizaines de secondes),
nous pouvons, en principe, utiliser un multimètre pour mesurer la tension
en fonction du temps. En revanche, si la tension varie rapidement (en
moins d’une seconde), le multimètre ne peut plus suivre la variation de la
tension. Il faut alors utiliser un appareil qui a une réponse plus rapide que
le signal étudié : l'oscilloscope à tube cathodique.
Les oscilloscopes sont couramment utilisés en physique mais également en
médecine, en biologie,… Deux applications médicales importantes
concernent la cardiologie et la neurophysiologie. Pendant les contractions et
relaxations du muscle cardiaque, les membranes cellulaires créent des
tensions électriques qui peuvent être mesurées à l'aide de l'oscilloscope. En
neurophysiologie, les oscilloscopes sont utilisés pour étudier les courants
électriques circulant dans les neurones.
L'oscilloscope n'utilise pas, comme le multimètre, un mouvement
mécanique, mais bien un faisceau d'électrons très rapides (v ~ 107 m/sec.)
dans un tube à vide appelé tube à rayons cathodiques. Ce tube est assez
similaire à celui qui équipe les anciennes télévisions. Il contient diverses
électrodes, qui vont servir à accélérer et à dévier le faisceau d’électrons.
Des électrons sont créés par une cathode chauffée puis accélérés et
focalisés par une série d'électrodes. Ils forment ainsi un faisceau bien défini
qui vient frapper un écran fluorescent (tapissé de ZnS, par exemple) : il en
résulte un petit "spot" lumineux sur l'écran.
Si l'on éteint brusquement le faisceau électronique, on s'aperçoit que le
spot reste encore lumineux un certain temps. Cette propriété de l'écran
s'appelle la "rémanence". Elle est mesurée par le temps nécessaire pour

4
Intro Générale Elec-0
que l'intensité lumineuse retombe à 1 % de sa valeur initiale. La
rémanence moyenne est, en général, de l'ordre de 50 msec. Sur la face
avant de l'écran est dessinée une grille graduée facilitant les mesures.
Entre le système d'électrodes et l'écran se trouvent deux paires de plaques
de déviation, placées à angle droit. Le faisceau électronique traverse
l'espace compris entre les plaques.
Figure 1
Considérons la première paire de plaques (YY’ sur la figure 1). Elles sont
placées horizontalement et vont permettre une déviation verticale du
faisceau. En l'absence d'une différence de potentiel entre les plaques, le
faisceau électronique traverse l'espace compris entre les deux plaques sans
subir de déviation : le point d'impact est le point 0, situé au centre de
l'écran.
Si l'on applique une différence de potentiel continue Vy entre les plaques,
un champ électrique vertical est créé ; les électrons sont alors déviés
verticalement. A la sortie de l'espace compris entre les deux plaques, le
faisceau électronique poursuit son trajet en ligne droite et atteint l'écran
par exemple au point S. La déviation OS dépend des caractéristiques des
plaques (espacement, surface, distance à l'écran), de la vitesse des
électrons et de la différence de potentiel Vy.
On peut montrer que la déviation OS varie linéairement en fonction de Vy.
Dès lors, une mesure de OS est une mesure de Vy.

1
gnd (pour "ground" = terre) permet de définir le zéro du spot sur l'écran.
5
Intro Générale Elec-0
Si la tension appliquée aux plaques est alternative, V V ( ωt)
y
= , le spot
0 sin
S se déplacera sur l'axe Y de l'écran entre deux positions extrêmes
correspondant à Vy = ± V0. Comme le signal est périodique, un point donné
sur l'axe y sera frappé à intervalles de temps réguliers par le faisceau
électronique. A cause de la rémanence de la substance fluorescente, ce
point restera lumineux même lorsque le faisceau électronique ne le frappe
pas (il faut toutefois que la fréquence de la tension alternative soit
suffisamment grande). Sur l'écran, on observera donc, selon l'axe y, une
trace lumineuse continue.
En plus de plaques horizontales permettant un déplacement suivant l'axe
vertical de l'écran, on dispose sur le trajet du faisceau électronique deux
plaques verticales (X et X’ sur la figure 1) qui permettront un déplacement
horizontal (suivant l'axe x) du spot.
Pour appliquer une tension Vy (à mesurer) aux plaques horizontales, on
dispose sur la face avant de l'oscilloscope d'une paire de bornes d'entrée
(les 2 canaux). Un commutateur (ac - dc - gnd) permet de sélectionner le
type de tension à mesurer (alternative = ac - continue = dc - tension nulle
= gnd 1 ).
2.2. Base de temps
En l'absence d'une différence de potentiel appliquée aux plaques verticales,
une tension alternative Vy appliquée aux plaques horizontales ne produit
sur l'écran qu'une trace lumineuse verticale. Pour représenter
graphiquement sur l'écran la variation de cette tension Vy en fonction du
temps, il faudra appliquer aux plaques verticales XX’ une tension Vx qui
augmente proportionnellement avec le temps (figure 2).

Vx
Vmax
0
-Vmax
0
Tx 2Tx
Figure 2
6
Intro Générale Elec-0
B
A
temps (s)
position x
sur l'écran
Si la tension Vy est nulle, le spot décrira une trace lumineuse horizontale
(suivant l'axe x). Une distance ∆X parcourue sur l'axe x correspond à un
intervalle de temps ∆t. L'axe x sera donc un axe des temps.
A la fin de sa course sur l'écran (point B, figure 2), le spot sera ramené à
son point de départ (point A, figure 2) pour recommencer son mouvement.
Par conséquent, Vx doit passer de Vmax à -Vmax en un temps très court.
La tension Vx représentée à la figure 5 est dite en "dents de scie". Elle est
fournie par une "base de temps" incorporée dans l'oscilloscope.
Si on applique simultanément une tension Vy aux plaques horizontales et
une tension en dents de scie Vx aux plaques verticales, le spot lumineux
décrira sur l'écran la courbe de variation de Vy en fonction du temps (photo
2 : cas où Vy est sinusoïdale).

Photo 2
7
Intro Générale Elec-0
Supposons que la tension Vy ait une période T et Vx une période Tx. Si Tx
est multiple entier de T, le spot après son retour à l'extrémité gauche de
l'écran, recommence un nouveau tracé avec la même valeur V de départ.
Les courbes successives ainsi tracées par le spot se superposent
exactement et on ne voit finalement qu'une seule courbe sur l'écran.
Au contraire, si la période Tx n'est pas égale à un multiple entier de la
période T, ce qui est le plus souvent le cas, le spot recommence chaque
nouveau tracé avec une valeur de Vy différente. On observe alors, à cause
de la rémanence, une série de traces déphasées l'une par rapport à l'autre.
On dit alors que l'oscilloscope n'est pas synchronisé. Il est alors impossible
d'effectuer une mesure. Pour obtenir une courbe stationnaire et unique sur
l'écran, on doit faire en sorte que le démarrage du balayage horizontal ait
lieu toujours au même endroit de la sinusoïde représentative de la tension
V.
La solution utilisée est la base de temps "déclenchée". Ce système consiste
à n'effectuer un balayage que si une impulsion de commande déclenche la
base de temps. Le spot effectue alors un parcours unique sur l'écran avec
une vitesse bien déterminée. A la fin de son parcours, le spot ne repart pas
aussitôt pour un nouveau balayage ; il s'immobilise à gauche de l'écran,
jusqu'au moment où une nouvelle impulsion de déclenchement est
appliquée au circuit de la base de temps (figure 3).

8
Intro Générale Elec-0
Il suffit donc que les impulsions de déclenchement se produisent toujours
au même endroit de la sinusoïde représentant la tension Vy pour obtenir la
synchronisation.
Vx
Vmax
0
-Vmax
0
IMPULSION DE
DECLENCHEMENT
Figure 3
IMPULSION DE
DECLENCHEMENT
temps (s)
Les impulsions de déclenchement sont souvent produites à partir de la
tension V par l'intermédiaire d'un "circuit de mise en forme" des
impulsions. Dans certains cas, on peut déclencher le balayage
indépendamment du signal V étudié.
Passons en revue les différentes commandes de synchronisation
rassemblées dans la zone de l'oscilloscope dite de TRIGGER. Votre
oscilloscope est équipé d'une commande pour le choix du signal
synchronisateur (INT(-CH1/CH2)-LINE-EXT) et d'une entrée pour un signal
synchronisateur externe (borne TRIG-IN).
Lorsque cette commande est en position INT-CH1 ou CH2, le
déclenchement est produit intérieurement à partir du signal étudié qui sert
alors également comme signal synchronisateur. Dans ce cas, l'entrée
TRIG/EXT ne sert à rien. Lorsque cette commande est en position EXT, le

9
Intro Générale Elec-0
déclenchement est produit extérieurement à partir du signal introduit à
l'entrée TRIG/EXT.
En mode "AUTO", la synchronisation est automatique et le déclenchement
s'effectue sur le niveau moyen du signal synchronisateur. Si le
commutateur ± est placé sur +, le déclenchement a lieu lorsque le signal
synchronisateur passe par le niveau moyen alors qu'il est croissant. Sur
certains des oscilloscopes du labo, ce commutateur est indiqué par et
par .
Remarque
En utilisant un oscilloscope double-trace, on peut représenter
simultanément deux signaux sur l'écran. Il est monté avec des commandes
de focalisation et d'intensité indépendantes pour les deux canaux (seule la
base de temps est la même). La séparation du spot sur l'écran s'effectue à
l'aide d'un commutateur électronique, qui reçoit les deux signaux et envoie
à l'amplificateur, alternativement l'un et l'autre signal.
Photo 3

2.3. Utilisation pratique
10
Intro Générale Elec-0
La face avant de l'oscilloscope présente donc 4 zones de réglages qui
permettent d'observer simultanément deux signaux distincts.
2.3.1. Les zones CH1 et CH2
On y trouve pour chacune :
Les 2 bornes d'entrée du signal à observer (input et gnd).
Le commutateur AC-DC-GND
en position AC, une capacité élimine les tensions continues.
en position DC, est observée la superposition éventuelle d'une
tension continue et du signal alternatif.
en position GND, seule une trace horizontale apparaît qui permet
de centrer le signal sur l'écran grâce au bouton de positionnement
vertical (la double flèche verticale).
Le réglage de calibre (VOLT/DIV) détermine la sensibilité de la déflection
verticale. Il est réglé de manière à ce que le signal observé occupe toute
la hauteur de l'écran et il fixe, pour les mesures, la valeur en volts d'une
grande division (= 1 cm) de l'axe vertical des tensions.
A proximité de ces 2 zones, on trouve un commutateur indiquant CH1-
CH2-BOTH qui peut être réglé pour observer soit le canal 1 seul, soit le
canal 2 seul, soit les deux canaux simultanément.
2.3.2. La zone base de temps
Cette zone est commune à l'observation du canal 1 et 2 et permet de
stabiliser l'image.
Le commutateur TIME/DIV règle la vitesse de balayage de l'écran par le
spot et détermine ainsi la valeur en secondes d'une grande division
horizontale (= 1 cm) de l'axe horizontal du temps. Il existe aussi une
position du commutateur TIME/DIV qui élimine le balayage interne : elle
est parfois notée X-Y, parfois CH2. Dans ce cas, le déplacement
horizontal de la trace est proportionnel à la différence de potentiel
introduite en CH2.

11
Intro Générale Elec-0
Un bouton permet de changer la position horizontale des 2 traces
(double flèche horizontale).
2.3.3. La zone trigger
On y trouve les réglages de synchronisation communs aux 2 canaux.
Grâce au commutateur EXT-CH1-CH2, la base de temps peut être
déclenchée par le signal étudié en CH1 ou en CH2, ou par un signal
extérieur : c'est le signal de synchronisation.
Le niveau de déclenchement peut soit être fixé manuellement grâce au
bouton TRIG LEVEL, soit automatiquement en AUTO. Le spot arrivant à
droite de l'écran effectuera un nouveau balayage lorsque le signal de
synchronisation (EXT-CH1 ou CH2) atteindra la valeur du niveau de
déclenchement, soit en venant d'une valeur inférieure (- ou ) soit en
venant d'une valeur supérieure (+ ou ).
2.4. Notations
Dans les expériences qui suivent, nous indiquerons en abrégé dans un
tableau les conditions dans lesquelles vous devrez vous placer pour
observer à l'oscilloscope le phénomène attendu. Ce tableau a la
signification suivante :
OSC Canal: (1),
(2)ou(1 et 2)
(ac-dcgnd)
polarité
+ ou -
base de temps
temps/division
Calibre en
volts/division
Le seul bouton qu'il faudra ajuster est le "trig-level". Il sert à synchroniser
les signaux, ce qui a pour effet de stabiliser l'image.
Ce tableau donne des réglages de départ que vous devez modifier selon les
besoins de votre mesure.
2.5. Résistance interne de l'oscilloscope
La résistance interne de l’oscilloscope vaut R int = 1 MΩ = 10 6 Ω.

12
Intro Générale Elec-0
3. COMPARAISON DE SIGNAUX VARIABLES A L’AIDE DE L’OSCILLOSCOPE
L'oscilloscope permet d’observer la forme d'une tension variable avec le
temps : il trace la tension en fonction du temps. La déflection horizontale
est alors produite par une base de temps linéaire utilisant une tension en
dents de scie.
Il est parfois utile d'utiliser une autre tension pour produire la déflection
horizontale. Pour obtenir les figures dites de Lissajous, on utilise une autre
tension sinusoïdale pour produire le déplacement horizontal du faisceau.
3.1. Figures de Lissajous
Ce terme se rapporte à toute superposition de deux mouvements sinusoïdaux
perpendiculaires l’un par rapport à l’autre. L'exemple le plus simple
est la superposition de deux mouvements de même fréquence et de même
amplitude, comme, par exemple, si la même tension sinusoïdale est
connectée simultanément aux entrées horizontale et verticale de
l’oscilloscope. Alors les déflections horizontale et verticale sont égales : à
tout instant, la coordonnée x du spot est égale à sa coordonnée y. La trace
résultante est une ligne droite faisant un angle de 45° avec les axes, de
longueur égale à 2 2 fois l'amplitude de chaque déplacement séparé
(horizontal et vertical).
Si l’on considère deux signaux sinusoïdaux de même fréquence et de même
amplitude mais déphasés l'un par rapport à l'autre : le déplacement vertical
est en avance d'un quart de cycle sur le déplacement horizontal. Cette
situation peut être décrite par les équations suivantes :
( ω )
x= x cos t
o
π
y = xocos( ωt+ ) =− xosin ( ωt)
(1)
2
Dans ce cas, la distance du spot au centre de l'écran est constante et vaut
racine de x² + y², soit x0, la trace forme alors un cercle (rappel : l’équation
d’un cercle est x² + y² = R² où R est le rayon).
Lorsque le déphasage est différent de 90°, on peut montrer que la trace est
toujours une ellipse dont les axes sont inclinés par rapport aux axes

13
Intro Générale Elec-0
verticaux et horizontaux. En fait, l'orientation et la grandeur de cette ellipse
procurent un moyen de mesurer le déphasage entre les deux signaux.
Supposons maintenant que deux signaux sinusoïdaux ont des fréquences
différentes. Si le rapport des fréquences est un nombre rationnel (c'est-àdire
un rapport de deux nombres entiers), la trace est une courbe fermée
qui se répète sur elle-même. Par exemple, si le rapport des fréquences est
5 sur 3, dans ce cas 5 cycles de la fréquence la plus petite représentent le
même intervalle de temps que 3 de la plus grande.
Figure 4
Si le rapport n’est pas rationnel, la trace n'est alors pas fermée sur
elle-même.
La figure 4 montre quelques exemples de figures de Lissajous pour
différents déphasages et pour différents rapports de fréquence. Dans
chaque cas, le rapport des fréquences ωy /ωx est égal au rapport du nombre
total des maxima dans la direction verticale y et du nombre total de
maxima dans la direction horizontale x.

14
Intro Générale Elec-0
Les figures de Lissajous procurent un moyen pratique de comparer deux
fréquences. Elles peuvent donc être utilisées pour mesurer la fréquence
d'un signal inconnu, en comparant celui-ci à un signal de fréquence connue.
3.2. Mesure de déphasages
Une application importante de l'oscilloscope est la mesure du déphasage
entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. On peut utiliser soit la
méthode des figures de Lissajous, soit la comparaison directe des deux
signaux.
3.2.1. Méthode des figures de Lissajous
La méthode la plus simple est d'utiliser les figures de Lissajous obtenues
lorsque chacune des tensions est placée aux entrées de l'oscilloscope.
Les déflections du spot de l'oscilloscope sont décrites par les équations
suivantes :
x= x cos t
0
0
( ω )
( ω φ)
y = y cos t+
Ces équations expriment que y a la même fréquence que x mais est en
avance sur x d'un angle de phase φ, qui peut être positif ou négatif. A
chaque instant t correspond un point de coordonnée (x,y). Lorsque t varie,
les coordonnées (x,y) décrivent une courbe paramétrée par t.
(2)

Si φ= 0, la trace est une ligne droite croissante.
15
Intro Générale Elec-0
Si φ = π/2 , la trace est un cercle (si x0 = y0) ou une ellipse centrée (si x0 ≠
y0).
Si φ = π, la trace est une ligne droite décroissante.
La figure 5 illustre le cas où φ est compris entre 0 et π/2.
A
L O R
Figure 5
Pour obtenir le déphasage, nous remarquons que lorsque la trace coupe
l'axe des x en L et en R, y = 0. On a donc :
( ωtφ) y
cos + =
0
Donc en R, t /2
ω = π − φ
Et en L, t /2
B
ω =−π − φ
x

A ces instants, le déplacement horizontal est donné par
( π φ) ( φ)
x= x cos ± / 2 − =± x sin
0 0
Donc la distance B de la figure 2 est donnée par
0
( )
B= 2x sin φ
Comme la distance A est égale à 2 x0, nous avons
B ⎛ B⎞
sin ( φ) = et φ = arcsin ⎜ ⎟
A ⎝ A⎠
(3)
où B/A est un nombre inférieur ou égal à 1.
16
Intro Générale Elec-0
Cette formule donne donc un moyen de mesurer le déphasage entre 2
tensions sinusoïdales. Remarquez pour votre facilité que les distances A et
B sont toutes deux mesurées sur l'axe horizontal ; il n'est donc pas
nécessaire de les convertir en volt pour calculer le rapport B/A (on peut
laisser A et B en nombre de carrés de l'écran de l'oscilloscope).
Il est important de noter que la méthode de Lissajous ne donne pas le
signe du déphasage entre les deux signaux étudiés, elle ne fournit qu’une
valeur absolue.

3.2.2 Méthode de comparaison
17
Intro Générale Elec-0
La seconde méthode consiste à superposer les deux signaux. Ceci nécessite
l'utilisation d'un oscilloscope à double trace.
Nous obtenons ainsi une image comme celle montrée à la figure 6.
La courbe (1) décrit le premier signal
La courbe (2) le second signal
1 1 cos
( ) ω
y a t =
2 2 cos
( ω φ)
y = a t+
Dans le cas de la figure 6, le signal (2) est en avance sur le signal (1). Le
déphasage entre (1) et (2) sera positif.
Signal (volt)
0
signal 1
signal 2
E F
D
0
temps (s)
Figure 6
T

Au point E, y2 = 0 d'où t /2
ω =± π − φ
Au point F, y1 = 0 d'où ωt' = ± π /2
La différence de temps séparant les deux points est
D= t' − t = φ/ ω
Le déphasage φ est alors donné par
φ = Dω = 2 πD/
T (4)
Pour obtenir le déphasage en degrés :
φ = 360 ° D/ T
18
Intro Générale Elec-0
Dans cette formule, D et T doivent avoir la même unité de temps.

1. LOIS DE KIRCHHOFF
LOIS DE KIRCHHOFF ET D'OHM
1
Introduction ELEC-1
Afin de pouvoir calculer les intensités et différences de potentiel dans une
résistance quelconque appartenant à un circuit complexe, on peut
appliquer les lois de Kirchhoff. Celles-ci, en combinaison avec la loi d’Ohm,
permettent de résoudre n’importe quel circuit électrique. Elles s’énoncent :
La somme des tensions 1 sur une maille est nulle. (1)
La somme des courants en un nœud est nulle. (2)
Une maille est définie comme une boucle dans le circuit. Un nœud est un
« croisement » du circuit. Dans l’exemple de circuit suivant (fig. 1), ABCD
est une maille ; A et D sont des nœuds. L’énoncé (2) dit que tout le
courant qui entre dans un nœud doit en ressortir. L’énoncé (1) dit qu’il n’y
a pas de création spontanée de tension.
Pour appliquer correctement les lois de Kirchhoff, il faut se donner des
conventions de signes et les respecter : un courant entrant dans le nœud
est pris comme positif, tandis qu’un courant sortant du nœud est négatif.
De même, il est nécessaire de se fixer une convention de signe pour les
différences de potentiel, selon le sens de la différence de potentiel : par
exemple, une différence de potentiel est prise comme positive quand elle
se dirige du – vers le +.
I1
+
R1 R2
R3
V1
-
+
A
B
+
+
I2
E
-
R4
D
V2 V3
I4
Figure 1
1 Tension est synonyme de différence de potentiel ; on utilisera dans la suite
indistinctement l’une ou l’autre de ces expressions.
V4
-
-
C
+
I3
-

2
Introduction ELEC-1
Dans l’exemple de circuit (fig. 1), nous pouvons écrire que la somme des
tensions sur la maille du circuit est nulle :
E−V −V − V = 0 ⇔ E = V + V + V
1 2 3 1 2 3
De même sur la maille ABCD, la somme des tensions est nulle, donc
V = V
2 4
En ce qui concerne les courants, on peut dire que la somme des courants
aux nœuds A et D est nulle :
I −I − I = I + I − I = ⇒ I = I + I = I
0 et 0 1 2 4 3
1 2 4 2 4 3
Mais en général : I2 I4
2. LOI D’OHM
≠ et V1 ≠V2 ≠ V3
La loi d’Ohm permet de relier différence de potentiel, résistance et
courant. Elle s’écrit simplement :
V = RI
La différence de potentiel appliquée aux bornes d'une résistance R est
égale au produit de cette résistance par le courant qui la traverse.
Si l’on reprend le circuit illustré sur la figure 1 et que l’on applique la loi
d’Ohm pour chacune des résistances :
V1= RI 1 1
V = RI = RI
V = RI
2 2 2 4 4
3 3 3
Notons I le courant qui traverse l’alimentation. Nous avons :
I = I1 = I3 = I2 + I4
C’est donc le courant I qui traverse R1 et R3. I traverse également
l’ensemble de R2 et R4 en parallèle, mais pas R2 et R4 individuellement
Il faut être prudent lors de la résolution d’un circuit. Il ne faut pas
confondre les différents courants et tensions
intervenant. Un schéma clair et annoté du circuit pourra
vous être d’une grande utilité.

3. ASSOCIATION DE RESISTANCES
3
Introduction ELEC-1
Les lois d'association de résistances découlent des lois de Kirchhoff et
d'Ohm.
3.1. En série
Prenons 3 résistances en série (fig. 2), c'est-à-dire placées à la suite les
unes des autres :
R1 R2
R3
E
Figure 2
En appliquant les lois de Kirchhoff et d’Ohm, on obtient :
E= V1+ V2+ V3= RI 1 1+ RI 2 2+ RI 3 3
Comme I = I1 = I2 = I3
( )
E = RI + R I + R I = R + R + R I
1 2 3 1 2 3
D'autre part, si l'on veut remplacer les 3 résistances R1, R2, R3 par une
seule résistance équivalente (Req) qui aurait le même effet sur le circuit,
on aura E = R eq I , et donc :
R eq = R1+ R2 + R3
Les résistances en série s'additionnent donc simplement.

3.2. En parallèle
Prenons 3 résistances en parallèle (fig. 3) :
E
4
R1
R2
R3
Introduction ELEC-1
Figure 3
Les tensions sont les mêmes aux bornes des trois résistances. Donc :
E= RI = RI = RI
1 1 2 2 3 3
Le courant total I qui circule dans l'ensemble du circuit se répartit sur les
trois branches de l’association en parallèle :
I = I + I + I
1 2 3
Si l'on veut remplacer les 3 résistances R1, R2, R3 par une seule résistance
équivalente (Req) qui aurait le même effet sur le circuit, on aura :
On obtient donc que :
1 I I + I + I I I I
= = = + +
R E E E E E
eq
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
= + +
R R R R
eq
1 2 3
Les inverses de résistances en parallèle s'additionnent.

3.3. Associations quelconques
R2
R3
Figure 4
5
R1
Introduction ELEC-1
Ces 3 résistances ne sont ni en parallèle, ni en série. Avant de résoudre ce
circuit, il faut le redessiner clairement, pour voir quelles résistances sont
en parallèle et lesquelles sont en série :
R2
E
R3
Figure 5
R1

6
Introduction ELEC-1
R2 et R1 sont donc en série, le tout étant en parallèle avec R3. Le calcul de
la résistance équivalente se fera donc en deux étapes. On calcule d’abord
la résistance R’ résultant de l’association en série de R1 et R2 :
R'= R + R
1 2
Ensuite, on calcule la résistance finale (Req), résultant de l’association en
parallèle de R’ et R3 :
Notez bien que
assez courante !
1 1 1 1 1
= + = +
ReqR' R R + R R
3 1 2 3
1 1 1
≠ +
R + R R R
1 2 1 2
, cette erreur d’inattention est

4. APPAREILS ELECTRIQUES UTILISES AU LABORATOIRE
4.1. Le multimètre à aiguille
4.1.1. Utilisation
7
Introduction ELEC-1
Vous utilisez le multimètre à aiguille pour des mesures de courant (fonction
ampèremètre) ou des mesures de tension (fonction voltmètre).
Lorsque le sélecteur rotatif est
en position A (ADC ou AAC),
l'appareil fonctionne comme
ampèremètre et les valeurs lues
sont des mesures du courant
qui circule dans l'appareil, en
Ampères.
Lorsque le sélecteur rotatif est
en position V (VDC ou VAC),
l'appareil fonctionne comme
voltmètre et les valeurs lues
sont des mesures de la tension
aux bornes de l'appareil, en
Volts.
Vous commencerez donc par
positionner le sélecteur du côté
désiré, sur le calibre maximal
pour ne pas endommager
l'appareil. Vous connectez le
« fil + » dans la borne marquée
A (pour une mesure de courant)
ou V (pour une mesure de tension) et le « fil − » dans la borne marquée
COM. Pour éviter les confusions, nous vous conseillons d'utiliser les
couleurs noire et bleue pour les fils − ou de terre et d'utiliser le rouge ou les
autres couleurs pour les fils +. Ensuite, vous diminuez progressivement le
calibre pour observer la déviation maximale de l'aiguille, sans sortir du
cadran (sans déborder des graduations).

8
Introduction ELEC-1
Pour des mesures en courant ou tension continue, le sélecteur doit être en
position DC, tandis que pour des mesures de courant ou de tension
alternatif (valeur efficace), il doit être en position AC.
4.1.2. Résistance interne
La résistance interne de l'appareil dépend du calibre utilisé :
Calibre (A) RiA (Ω) Calibre (V) RiV (Ω)
IAC VAC
10 A 0.25 Ω 500 V 3.2 MΩ
1.5 A 0.8 Ω 150 V 1 MΩ
500 mA 1.7 Ω 50 V 420 kΩ
150 mA 4.6 Ω 15 V 200 kΩ
5 mA 133 Ω 5 V 135 kΩ
500 µA 1.3 kΩ
IDC VDC
1.5 A 0.8 Ω 500 V 10 MΩ
500 mA 1.7 Ω 150 V 3 MΩ
150 mA 4.6 Ω 50 V 1 MΩ
5 mA 125 Ω 15 V 313 kΩ
500 µA 510 Ω 5 V 100 kΩ
50 µA 3 kΩ 1.5 V 31.5 kΩ
0.5 V 10 kΩ
Ces valeurs ont une importance pratique car le fait d'ajouter un appareil de
mesure dans un circuit a pour effet d'ajouter une résistance supplémentaire
à ce circuit (la résistance interne de cet appareil précisément) et donc de
changer les valeurs des tensions et courants dans ce circuit.
Pour mesurer un courant, on utilise l’ampèremètre en série dans le circuit
(fig.6). En série, plus sa résistance est petite, plus son effet sur le circuit
est négligeable.
Pour mesurer une tension, on place le voltmètre en parallèle dans le circuit
(fig. 6). En parallèle, plus sa résistance est grande, plus son effet sur le
circuit est négligeable.
Pour mesurer une résistance, on place directement la résistance dans
l’ohmmètre ou on place l’ohmmètre en parallèle dans le circuit.
L'idéal serait donc de posséder un ampèremètre de résistance interne nulle
(RiA = 0 Ω) et un voltmètre de résistance interne infinie (RiV = ∞).

9
Introduction ELEC-1
Dans la pratique, il faudra tenir compte des valeurs de RiA et RiV. On
utilisera un ampèremètre de résistance interne faible et un voltmètre de
grande résistance interne.
Figure 6
En plaçant l’ampèremètre en série et le voltmètre en parallèle dans le
circuit, la résistance totale mesurée est la plus proche possible de la valeur
réelle de R :
−1
⎛ 1 1 ⎞
R = ⎜ + ⎟ + R
⎝ ⎠
mesurée iA
R RiV
−1
⎛ 1 1 ⎞
Rmesurée= ⎜ + ⎟ + 0 = R (dans le cas idéal)
⎝ R ∞ ⎠
Ainsi, on mesure le bon courant et la bonne différence de potentiel.
4. 1.3. Lecture
Si l'aiguille se trouve sur la graduation 9, alors que la valeur à fond
d'échelle est la graduation 30, quelle est la valeur de la grandeur physique
correspondante ?
Si le calibre est de 0,6 A, la valeur est :
I = (9/30) x 0,6 = 0,18 Ampère
Si le calibre est de 1,5 Volt, la valeur est :
V = (9/30) x 1,5 = 0,45 Volt

En général,
4.1.4. Erreur
déviation lue
valeur réelle = × calibre
déviation maximale
L'erreur est donnée par la formule :
ε = 0.025× calibre
10
Introduction ELEC-1
où la valeur 0,025 est appelée indice de classe de l'appareil, caractéristique
de sa qualité. Il existe des appareils plus précis (indice de qualité de 0,01
au lieu de 0,025).
La mesure sera donc d'autant plus précise que le calibre choisi au sélecteur
est petit, donc que la déviation observée pour l'aiguille sera grande. Il
convient donc de choisir le plus petit calibre possible.
Reprenons l'exemple du §4.1.3. et calculons l'erreur :
I = (0,180 ± 0,015) A
V = (0,450 ± 0,038) V
Prenons maintenant l'exemple d'une tension lue de 1 Volt, sur le calibre de
6 Volts et sur le calibre de 1,5 Volt :
V = (1,00 ± 0,15) Volt
V = (1,000 ± 0,038) Volt
La seconde mesure donne une erreur 4 fois plus petite et une déviation de
l'aiguille 4 fois plus grande.
4.2. Le multimètre digital
4.2.1. Utilisation
Vous utiliserez le multimètre digital pour des mesures de :
Type de mesure Position
Courant continu A⎯
Courant alternatif A~
Tension continue V⎯
Tension alternative V~
Résistance Ω (Ohm)

4.2.2. Résistance interne
11
Introduction ELEC-1
Le sélecteur permet de choisir le
type de mesure et le calibre.
Pour éviter d'user les piles, vous
replacerez le sélecteur sur OFF à la
fin de la manipulation.
Le fil - ou de terre doit être relié à la
borne noire COM. Le fil + ou de
signal doit être relié à la borne
jaune 200mA pour les mesures de
courant ou à la borne rouge V pour
les mesures de tension ou à la
borne rouge Ω pour les mesures de
résistance.
Vous commencez vos mesures en
partant du calibre le plus grand et
en diminuant le calibre pour avoir le
maximum de chiffres significatifs
affichés. Lorsque l'appareil affiche 1
sans décimale, cela signifie un
dépassement de capacité
d'affichage : vous utilisez un calibre
trop petit par rapport à la valeur à
afficher. Il faut alors augmenter le
calibre.
La résistance interne de l'ampèremètre digital dépend du calibre utilisé et
vaut :
Calibre RiA
20 mA 10 Ω
2 mA 100 Ω
200 µA 1 KΩ
La résistance interne du voltmètre digital est RiV = 10 MΩ sur tous les
calibres utilisés.

12
Introduction ELEC-1
Le multimètre digital est plus performant que son homologue à aiguille. Sa
résistance interne en tant qu’ampèremètre est plus petite, et celle en tant
que voltmètre est plus grande. Cela signifie que l’ajout d’un multimètre
digital perturbera moins un circuit que celui d’un multimètre à aiguille.
4.2.3. Lecture
La lecture est directe (pas de calcul à effectuer), sauf pour les unités qui
doivent être lues sur le sélecteur (le calibre impose les unités dans
lesquelles s’exprime la mesure).
Exemples :
4.2.4. Erreur
Valeur affichée Calibre Valeur réelle
9,25 20 V 9,25 V
150,2 200 Ω 150,2 Ω
1,50 2 KΩ 1,50 kΩ
17,4 20 mA 17,4 mA
17,4 200 µA 17,4 µA
L'erreur absolue sur la mesure est de 1 % de la valeur lue plus 1 sur le
dernier chiffre affiché. Le calibre n'intervient pas explicitement dans la
formule mais affecte le nombre de chiffres affichés.
Exemples :
Valeur affichée = 9,26 Volts sur le calibre 20 Volts
Erreur = 0,0926 + 0,01 = 0,10 Volt
Donc V = (9,26 ± 0,10) Volts
La même tension lue sur le calibre de 200 Volts donnerait :
Valeur affichée = 9,3 Volts
Erreur = 0,093 + 0,1 = 0,19 Volt
Donc V = (9,30 ± 0,19) Volts
L'erreur est ici deux fois plus grande suite au choix du calibre non adéquat.
Si nous comparons les erreurs de l'appareil digital à celles de l'appareil à
aiguille, en supposant que les calibres adéquats ont été sélectionnés de
part et d'autre, nous constatons que l'appareil digital est au moins deux
fois plus précis que l'appareil à aiguille.

4.3. L’alimentation de tension continue à 9 Volts
La borne rouge est positive et la borne bleue négative.
13
Introduction ELEC-1
Vous disposez d'une alimentation Leybold et utilisez les 2 bornes de gauche
(la rouge et la bleue). Un interrupteur est situé derrière l'appareil et doit
être actionné. Un voyant lumineux orange allumé indique que l’alimentation
est sous tension.
ATTENTION Allumer l’alimentation, en dernier lieu, une fois les
circuits montés.
Eteindre l’alimentation après chaque utilisation.
Dans les schémas électriques, on représente une alimentation de tension
continue par le symbole :
+ −
E
avec la convention que la longue barre est positive et la petite est négative.

5. SUPPORT DE MONTAGE UTILISE AU LABORATOIRE
Un support de montage est schématisé sur la figure 7.
Figure 7
14
Introduction ELEC-1
Les neufs points, représentés sur la figure 8, sont électriquement reliés
entre eux.
Exemple :
Figure 8
Soit un circuit dans lequel deux résistances R1 et R2 sont en série.
La figure 9 montre comment ce circuit est monté sur le support :
Figure 9

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
LOIS DE KIRCHHOFF ET D'OHM
1. LOI DE KIRCHHOFF ET ASSOCIATION DE RESISTANCES
R1 = 22 Ω
Figure 10
1
R 2 = 47 Ω
Expérience ELEC-1
R3 = 470 Ω
E = 9 V
1.1. Prenez le voltmètre digital et mesurez la tension aux bornes de
chacune des 3 résistances :
V1 = ± Volt
V2 = ± Volt
V3 = ± Volt
1.2. Mesurez directement la tension aux bornes de l’alimentation :
VALIM = ± Volt

2
Expérience ELEC-1
1.3. Etablissez deux relations d'égalité entre ces 4 tensions et vérifiez
leur exactitude numériquement à partir des quatre mesures
précédentes :
Formules :
Vérification numérique :
1.4. Déconnectez l’alimentation et mesurez à l’aide de l'ohmmètre
digital la résistance totale du circuit :
RTOT = ± Ohm
1.5. Etablissez la formule permettant de calculer cette résistance en
fonction des 3 résistances R1, R2 et R3 :
RTOT =
1.6. Mesurez directement chacune des 3 résistances séparément en les
reliant aux bornes de l'ohmmètre digital :
R1 = ± Ω au lieu de 22 Ω
R2 = ± Ω au lieu de 47 Ω
R3 = ± Ω au lieu de 470 Ω

3
Expérience ELEC-1
1.7. Remplacez dans la formule établie en 1.5. pour calculer
numériquement :
RTOT =
ε R =
TOT
RTOT = ± Ω
Comparez à la valeur obtenue en 1.4.

2. LOI D’OHM ET MESURE DE RX
A
V
E
4
Rx
Figure 11
E = tension continue de 9 Volts (alimentation Leybold)
A = ampèremètre digital (position A⎯)
V = voltmètre à aiguille (position DC et V)
2.1. Mesurez le courant dans l'ampèremètre digital :
I = ±
Expérience ELEC-1
Quel calibre avez-vous utilisé ? 200 µA - 2 mA - 20 mA
Quelle est la résistance interne de l'appareil sur ce calibre (Intro Elec-1) ?
RiA =
2.2. Mesurez la tension aux bornes du voltmètre à aiguille :
V = ±

5
Expérience ELEC-1
Quel calibre avez-vous utilisé ? 1.5 V - 6 V - 15 V - 150 V
Quelle est la résistance interne de l'appareil sur ce calibre ?
RiV =
2.3. Etablissez la formule théorique donnant Rx en fonction des
grandeurs mesurées ou connues : Rx = fct (I, V, RiA, RiV)
Rx =
RiV intervient-elle dans la formule de Rx ? Pourquoi ?
2.4. Etablissez la formule de l’erreur sur Rx et calculez numériquement
Rx et son erreur :
Rx =
ε Rx
=
Rx = ±
2.5. Démontez ce circuit et mesurez directement Rx en la reliant aux
bornes de l'ohmmètre digital :
Rx = ±
2.6. Comparez ces deux résultats.

6
Expérience ELEC-1
3. EFFET DE LA RESISTANCE INTERNE DE L’APPAREIL SUR LE RESULTAT D’UNE
MESURE
R = 2700 Ω
E = 9 V
Figure 12
3.1. Avant de monter le circuit de la figure 12, branchez directement
l’alimentation de 9 Volts sur le voltmètre digital et mesurez sa
tension E :
E = ±
3.2. Mesurez la résistance R à l'aide de l'ohmmètre digital :
R = ±
3.3. En appliquant la loi d'Ohm, calculez le courant I qui circulerait dans
le circuit constitué de l’alimentation E et de la résistance R, s'il n'y
avait pas l'ampèremètre :
I =
ε I =
I = ±
A

7
Expérience ELEC-1
3.4. Montez le circuit de la figure 12 et mesurez le courant qui y circule
en utilisant l'ampèremètre à aiguille :
I = ±
Calibre utilisé : → RiA =
3.5. Recalculez le courant mais en tenant compte de l'ampèremètre à
aiguille :
I =
ε I =
I = ±
3.6. La mesure de I en 3.4. est-elle compatible avec les valeurs
calculées en 3.3. et en 3.5., en tenant compte des erreurs ? Avec
laquelle s’accorde-t-elle le mieux ? Expliquez.
3.7. Remesurez le courant mais en utilisant l'ampèremètre digital :
I = ±
Calibre utilisé : → RiA =

8
Expérience ELEC-1
3.8. Recalculez le courant mais en tenant compte de l'ampèremètre
digital :
I =
ε I =
I = ±
3.9. La mesure de I en 3.7. est-elle compatible avec les valeurs
calculées en 3.3. et en 3.8., en tenant compte des erreurs ? Avec
laquelle s’accorde-t-elle le mieux ? Expliquez.
3.10. Expliquez vos observations en 3.6. et 3.8. en vous basant sur la
valeur de RiA.
3.11. En conclusion, quel ampèremètre vaut-il mieux utiliser ? Pourquoi ?

1
Introduction ELEC-2
LOI D'OHM GENERALISEE : CONDENSATEUR ET BOBINE
Nous allons à présent étudier le comportement de circuits électriques dans
lesquels les tensions et les courants varient avec le temps, principalement
en utilisant l'oscilloscope.
1. LES COMPOSANTS DE BASE
Les circuits en question contiennent quatre éléments de base :
résistances, condensateurs, bobines d'induction et générateurs de tension
alternative. Il est utile d'effectuer une brève revue des caractéristiques de
ces éléments.
1.1. Résistance
Une résistance R idéale obéit à la loi d’Ohm : lorsqu'une différence de
potentiel V est appliquée entre ses extrémités, le courant résultant I est
directement proportionnel à V et inversement proportionnel à R :
I = V / R (1)
Dans le système d'unités international (SI), V est mesuré en volts et I en
ampères, l'unité de résistance est l'ohm, abréviée par Ω. Les abréviations
kΩ (10 3 Ω) et MΩ (10 6 Ω) sont aussi communément utilisées. La puissance
dissipée dans une résistance R parcourue par un courant I vaut RI². Si l’on
dépasse une valeur limite de puissance, l'élément résistant peut être
détruit complètement. Les résistances utilisées lors de nos expériences ont
une puissance maximum de 0.5 ou 1 Watt (W). Ces résistances sont
habituellement faites d'un mélange de carbone et d'argile qui est cuite
pour former une céramique ; la résistance peut être contrôlée en variant
les proportions des ingrédients.
1.2. Condensateur
Un condensateur peut être considéré comme un moyen de stockage de
charge. Quand une charge Q est ajoutée sur l'une des plaques d'un
condensateur à plaques parallèles et une charge -Q sur l'autre plaque, la
différence de potentiel résultante V entre les plaques est proportionnelle à
Q :
V = Q/ C
(2)

2
Introduction ELEC-2
C est une constante caractéristique de l'élément, appelée sa capacité.
Dans le SI, Q est mesurée en coulombs et l'unité de la capacité est le
farad. Un farad est une unité extrêmement grande de capacité ; les unités
µF (10 -6 F) et pF (10 -12 F) sont plus couramment utilisées.
Si l'on branche un condensateur seul à une alimentation sinusoïdale
V V t ω = , la charge portée par ses armatures vaudra :
0 cos
( )
0 cos
( ) ω
Q = CV = CV t
Donc, le courant qui traverse le circuit vaut
dQ
I = =− ωCV0sinωt= ωCV0cos ωt+ π / 2
dt
( ) ( )
Il est proportionnel à la capacité du condensateur et à la fréquence de la
tension alternative. Il est déphasé de +π/2 par rapport à celle-ci, c'est-àdire
en avance d'un quart de période. Un condensateur ne laisse donc pas
passer le courant continu (ω = 0 ⇒ I = 0).
1.3. Bobines d'induction
Une bobine d'induction est une bobine de fil qui possède, dans certains
cas, un cœur de fer doux ou une ferrite. Un changement de courant dans
la bobine produit à travers celle-ci un flux magnétique qui varie ; ce
dernier induit une tension V entre ses extrémités, qui est proportionnelle
au changement de courant dI/dt. Cette relation est exprimée par
l'équation :
dI
V = L (3)
dt
où L est une constante caractéristique de l'élément appelée inductance.
L'unité SI de l'inductance est le henry dont l'abréviation est H. Les unités
mH (10 -3 H) et µH (10 -6 H) sont aussi communément utilisées.
Si l'on branche une bobine seule à une alimentation sinusoïdale
V V t ω = , la variation de courant dans la bobine sera
0 cos
( )
dI V V0
= = cos
dt L L
Donc le courant qui traverse le circuit vaut
( ωt
)

3
Introduction ELEC-2
dI V V V π
= ∫ = cos ( ) sin ( ) cos( )
dt ∫ ω = ω = ω −
L ωLωL2 0 0 0
I dt t dt t t
Il est inversement proportionnel à l'inductance de la bobine et à la
fréquence de la tension d'alimentation et déphasé de − π 2 par rapport à
celle-ci, c'est-à-dire en retard d'un quart de période. Une bobine laisse
très bien passer les basses fréquences, mais bloque les hautes fréquences
(à l’inverse du condensateur). Notez que le déphasage est de signe
contraire pour la bobine et le condensateur.
2. LES CIRCUITS RC
2.1. En signal carré ou en continu
Considérons, en premier lieu, le circuit de la figure 1 contenant un
générateur, une résistance R, un condensateur de capacité C, un
voltmètre (oscilloscope) et un interrupteur S.
V0
S
Figure 1
Lorsque l'interrupteur est fermé, le condensateur se charge jusqu'au
potentiel V0 du générateur ; la grandeur de la charge du condensateur est
Q0 = CV0
(4)
C
R

4
Introduction ELEC-2
Lorsque l'interrupteur est ouvert la situation initiale est celle montrée sur
la figure 2. La différence de potentiel aux bornes du condensateur
implique un courant dans le circuit. Ce courant tend à diminuer la charge
du condensateur, qui diminue sa tension et donc aussi diminue le courant.
V
+Q
-Q
C
I
Figure 2
La charge Q décroît donc d'abord rapidement, puis plus lentement. De
même, le courant a une valeur intiale relativement grande immédiatement
après que l'interrupteur soit ouvert, mais il diminue et approche zéro
lorsque le condensateur est presque complètement déchargé. L’évolution
de la charge sur le condensateur avec le temps est illustrée sur la figure 3.
Q/Q0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
t/RC
R
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figure 3

5
Introduction ELEC-2
Nous pouvons analyser ce circuit plus quantitativement. Soient Q, I, V
respectivement la charge instantanée, le courant, la tension (noter que
ces trois quantités dépendent du temps).
Puisque le courant I est dû entièrement à la décharge du condensateur, et
puisque le courant est égal au transfert de charge, nous avons
dQ() t
It () = − (5)
dt
D'autre part, le courant est proportionnel à la tension instantanée V et
inversément proportionnel à la résistance du circuit. Si R est la résistance
totale de l'élément résistif et du voltmètre en parallèle, on a :
()
() Vt
It
R
= (6)
Finalement, la tension V est proportionnelle à la charge Q sur le
condensateur à chaque instant et inversement proportionnelle à la capacité
du condensateur, donc :
()
() Qt
Vt
C
= (7)
En égalant les membres de droite des équations (5) et (6) et en
substituant l'expression de V à partir de l'équation (7), nous trouvons
dQt () Qt ()
= − (8)
dt RC
qui montre que la décroissance de la charge à chaque instant est
proportionnelle à la charge restante à ce temps.
Or, une fonction exponentielle a la propriété que sa dérivée est
proportionnelle à elle-même. En particulier, la fonction qui satisfait à
l'équation (8), avec la condition initiale Q = Q0 en t = 0, est
t
RC = o
(9)
Qt () Qe −

6
Introduction ELEC-2
Vous vérifierez que (9) est bien solution de l'équation (8) en calculant
dQ(t)/dt.
La figure 3 est une représentation graphique de l'équation (9) dans
laquelle les échelles utilisées sont les valeurs des rapports Q/Q0 et t/RC au
lieu de Q et t. L'avantage de ce choix de variables est que ces rapports
sont sans dimension ; c'est-à-dire des nombres purs, sans unités.
Le produit RC est appelé la constante de temps τ ou le temps de relaxation
du circuit. Comme l'équation (9) le montre, après un temps τ égal à RC, la
charge a diminué et ne vaut plus que 1/e (=36.8%) de sa valeur initiale.
Une autre quantité facile à mesurer expérimentalement est la "demi-vie"
du circuit électrique, notée T1/2, définie comme le temps nécessaire pour
que la charge Q diminue de la moitié de sa valeur initiale Q0.
Il existe une relation simple reliant la demi-vie T1/2 et la constante de
temps τ. En effet, par définition,
⎛T1⎞ 2 −⎜ ⎟
T
⎜ 1/2
τ ⎟ Q −
0 τ
Qe 0
e
⎝ ⎠ 1
= ⇔ =
(10)
2 2
et, en prenant le logarithme népérien de chacun des deux membres de
(10), nous obtenons
2.2. En tension sinusoïdale
T1/2
− ln ( 2)
=−
τ
( )
d'où
T1/2 = ln 2 τ ≈ 0.693τ
(11)
Nous allons maintenant étudier la réponse d'un circuit RC à une tension
d'entrée sinusoïdale. Nous considérons pour cela le circuit de la figure 4,
dans lequel la tension appliquée est une fonction sinusoïdale du temps,
d'amplitude V0 et de fréquence angulaire ω. Nous nous attendons à ce que
le courant dans le circuit soit aussi sinusoïdal, mais l'amplitude et la phase
du courant varieront avec la fréquence de façon intéressante.

Figure 4
7
Introduction ELEC-2
Nous admettons que si la variation de tension est très petite, de façon que
la période d'oscillation est beaucoup plus grande que la constante de
temps RC du circuit, la charge sur le condensateur à chaque instant sera
donnée par Q = CV, comme dans le cas où V est constant. Par contre, aux
plus hautes fréquences, le condensateur n'aura plus le temps de suivre la
tension appliquée ; il en résultera un déphasage entre Q et V.
Effectuons une analyse plus détaillée et établissons l’équation de ce
circuit.
En appliquant la loi de Kirchhoff (sur la tension) à ce circuit, nous trouvons
Qt () dQt () Qt ()
V0cos ( ω t) = ItR ( ) + = R+
(12)
C dt C
où nous avons utilisé la relation I = dQ(t)/dt.
Notons que, dans la limite où ω tend vers 0, nous retrouvons le cas où la
tension est continue et vaut V0.
Supposons que Q varie sinusoïdalement avec la même fréquence que la
tension mais avec une différence de phase. C'est-à-dire que nous
supposons que Q est donné par
0
( ω φ)
Qt ( ) = Qcos t+
(13)
où Q0 et φ sont des constantes inconnues. Q0 est la valeur maximum de Q
atteinte durant un cycle, et φ est la phase. Un cycle complet correspond à
une augmentation de ωt de 2 π.

8
Introduction ELEC-2
Nous devons maintenant déterminer les valeurs que Q0 et φ doivent avoir
pour que (13) vérifie (12). En calculant dQ/dt à partir de l'équation (13) et
en remplaçant dans (12), nous trouvons :
⎛Qo⎞ Vocos( ωt) =− ωRQosin( ωt+ φ) + ⎜ cos( ωt+ φ)
C
⎟
⎝ ⎠
(14)
L'équation (14) doit être vérifiée à tout instant. On choisira donc deux
valeurs particulières de t qui lui donnent une forme simple :
• t = π/2ω et donc ωt = π/2
L'équation (14) devient
Q
0 =−ωRQocos φ − sin φ
15
C
⇔ tan
ωRQ
=− =−
Q / C
16
o ( ) ( ) ( )
o
( φ) ωRC
( )
o
Le paramètre φ dans la solution (13) est donc donné par
( )
φ = arctan − ωRC
(17)
φ est le déphasage de la charge par rapport à la tension appliquée.
Comme φ est toujours négatif, nous voyons que la réponse du circuit est
retardée par rapport au signal d'entrée.
Lorsque ω est petit, φ est proche de zéro. Quand ω augmente, φ devient de
plus en plus négatif (retard de plus en plus grand) pour tendre vers une
valeur égale à - π/2.
Si l’on veut le déphasage ψ du courant par rapport à la tension appliquée, il
faut ajouter π/2 puisque le courant est la dérivée première de la charge :
π
ψ = + φ
2
Le courant est donc en avance sur la tension puisque ψ est positif.
• t = 0 et donc ωt = 0
L'équation (14) s'écrit alors

où
Q
o
Q
Vo =− ωRQosinφ + cos φ
C
9
o ( ) ( )
2 ( 1+ tan ( φ)
)
V
V
o
o
= =
⎛ cos ( φ ) ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜− ωRsin ( φ)
+ ⎟ ⎜− ωRtan( φ)
+ ⎟
⎝ C ⎠ ⎝ C ⎠
Introduction ELEC-2
1/2
(18)
où on a mis cos ( φ ) en évidence au dénominateur et utilisé les relations :
sin ( φ ) =
tan ( φ )
2
1+ tan ( φ )
( ) et
( ( ) ) 1/2
1
cos φ =
2
1+ tan φ
( ) 1/2
En utilisant (16), l’équation (18) devient
Q
o
V (1 + ω R C ) CV (1 + ω R C ) CV
= = =
1
ω RC+ ω RC + 1 (1 + ω RC )
C
2 2 2 1/2 2 2 2 1/2
o o o
2 2
2 2 2 2 2 2 1/2
Ce second paramètre détermine complètement la solution (13).
Nous voyons que l'amplitude de la réponse decroît avec la fréquence.
(19)
A basse fréquence (c'est-à-dire si (ωRC)²

ωCV
CV
I = ωQ
= =
0 0
0 0 1/2
2 1
1/2
⇔ I =
2
( ωRC
) + 1 ( RC)
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎜ ⎟
V
0
0
2 1
1/2
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎜ ⎟
R +
⎢⎣⎝ωC⎠⎦⎥ 10
+
⎢⎣⎝ω⎠⎦ ⎥
(20)
Introduction ELEC-2
Nous voyons que dans la limite des basses fréquences, I0 approche 0 et la
phase de I approche π/2. Dans la limite des hautes fréquences, quand
φ = -π/2, le courant est en phase avec la tension, et son amplitude devient
égale à V0/R. En effet, à très haute fréquence (c'est-à-dire quand ω >>
1/RC) le circuit "ne voit plus" le condensateur. A basse fréquence, le
comportement du circuit est le même que si la résistance n'était pas
présente.
2
1/2
⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎤
La quantité ⎢R+ ⎜ ⎟ ⎥ est appelée l'impédance du circuit et est notée
⎢⎣ ⎝ωC⎠ ⎥⎦
Z. Dès lors, pour toute fréquence, nous avons 0 0 / I V Z = , qui est la loi
d’Ohm généralisée pour la capacité en tension sinusoïdale; l’impédance Z
doit être traitée comme une résistance qui varie avec la fréquence comme
discuté ci-avant. Les figures 5a et 5b indiquent comment la charge Q0 et le
courant I0 varient avec la fréquence.
Q 0 /CV 0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 2 4 6 8 10
ωRC
Figure 5a

RI 0 /V 0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
ωRC
11
Introduction ELEC-2
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
3. LES CIRCUITS RL
3.1. En signal carré ou continu
Figure 5b
Dans la section précédente, nous avons étudié le comportement de circuits
contenant une résistance et un condensateur en série. Nous avons
observé la décroissance exponentielle de la charge dans un condensateur
se déchargeant à travers la résistance, et étudié la réponse de ce circuit à
une tension sinusoïdale appliquée. Dans ce paragraphe, les circuits
contenant une résistance et une bobine d'induction sont étudiés.
Considérons d'abord le circuit de la figure 6. Le potentiel du générateur est
V0 et si la bobine d'induction a une résistance négligeable, un courant I0
traverse le circuit :
I V R
= (21)
0 0 /

V0
interrupteur
12
1
Figure 6
Introduction ELEC-2
A l’instant t = 0, nous plaçons l'interrupteur en position 1, ce qui revient à
isoler la batterie du circuit RL. Que se passe-t-il alors ?
D'abord, le courant ne peut décroître instantanément vers zéro ; la
tension aux bornes de la bobine (d'inductance L) est proportionnelle à
dI/dt, qui deviendrait infiniment grand si le courant changeait de façon
discontinue. Donc le courant doit décroître graduellement, et nous
représentons sa variation en fonction du temps par I(t). Pour trouver cette
fonction du temps I(t), nous procédons comme pour le circuit RC en
appliquant la loi de Kirchhoff sur la tension à la boucle RL. La tension aux
bornes de R est IR et aux bornes de L,
alors :
R
dI() t
RI() t + L = 0
(22)
dt
dI
L dt . L'équation du circuit est
La solution de cette équation doit être une fonction dont la dérivée par
rapport au temps est égale à :
dI() t R
= − It ()
dt L
Et elle doit être égale à I0 au temps t = 0. La fonction suivante satisfait à
ces conditions.
L

R
− t
L = (23)
0
It () Ie
13
Introduction ELEC-2
Pour ce circuit, le temps caractéristique, ou constante de temps τ, est
donné par L/R ; après un temps égal à L/R le courant a diminué de 1/e de
sa valeur initiale. De façon similaire, la demi-vie T1/2 (définie en 2.1.2.) est
donnée par
3.2. En signal sinusoïdal
( )
T1/2 = ln 2 τ ≈ 0.693 L/ R (24)
Revenons au circuit RL. Considérons maintenant la réponse du circuit RL à
une tension sinusoïdale appliquée comme indiqué sur la figure 7.
Figure 7
Avant d'analyser ce circuit en détail, il est très instructif de le décrire
qualitativement. Lorsque la fréquence ω est très petite, le courant varie
très lentement ; la tension aux bornes de la bobine est très petite
dI
(car V = L ); tout se passe comme si cette bobine n'existait pas. Le
dt
courant sera alors en phase avec la tension, et l'amplitude sera I0 = V0/R.
D'autre part, à haute fréquence, la tension aux bornes de la bobine peut
être plus grande que celle aux bornes de R, et R peut dès lors être
négligée. Dans ce cas, le courant maximum est plus petit que V0/R, et il
existe une différence de phase entre la tension et le courant.

14
Introduction ELEC-2
L'équation du circuit de la figure 7 s'obtient à partir de l'équation (22) en
ajoutant un terme qui représente l'alimentation extérieure. Si celui-ci est
Vt ( ) = Vcos ωt
, l'équation du circuit est
donné par ( )
0
dI
ω = + (25)
( )
0 cos V t IR L
dt
On peut résoudre cette équation différentielle en procédant comme pour le
circuit RC. On trouve comme expression du courant :
It ( ) = Icos( ωt+ φ)
(26)
I
o
Avec l’amplitude : 0 2 2 1/2
0
V
=
( R + ( ωL))
Le déphasage du courant par rapport à la tension est donné par :
tan
( φ )
=
−ωL
R
(27)
Nos prédictions qualitatives peuvent maintenant être vérifiées. Aux très
basses fréquences (où ωL

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
LE CIRCUIT RC ET LE CIRCUIT RL
1. REPONSE D'UN CIRCUIT RC EN TENSION CARREE
1. Montez le schéma suivant.
R = 1000 Ω
GS
C = 0.1 µF
1
Expérience ELEC-2
Ch1 Ch2 GND
Figure 8
GS carré 1 kHz
OSC 1 et 2 ac + 100 µs 2 Volts
2. Branchez l'oscilloscope sur CH2. Observez la croissance/décroissance
exponentielle et mesurez le temps de demi-vie (comme sur la figure 9).
T1/2 = ±

V
1.5
1.0
0.5
2
Expérience ELEC-2
0.0
-20 -10 0 10 20
-0.5
temps
-1.0
-1.5
T1/2
Figure 9
3. Passez au calibre de 50 µsec et recommencez la mesure
T1/2 = ±
4. Calculer le temps de relaxation à partir de la meilleure mesure
T
τ = 1/2 = ±
( )
ln 2
5. En tenant compte de la résistance interne du GS et de l'oscilloscope
(voir Elec-0), quelle est finalement la résistance équivalente dans
laquelle le condensateur se décharge ?
R =
6. Calculer la constante RC du circuit :
7. Comparez à la valeur mesurée
τ = RC =

2. REPONSE D'UN CIRCUIT RL EN TENSION CARREE
GS
L
3
R = 1000 Ω
Expérience ELEC-2
Ch1 Ch2 GND
Figure 10
1. Montez le circuit suivant et branchez l'oscilloscope sur CH2. Observez la
décroissance exponentielle sur l'oscilloscope. Mesurez le temps de
demi-vie sur le calibre de 0,1 ms.
2. Calculez le temps de relaxation
T
T1/2 = ±
τ = 1/2 = ±
( )
ln 2
4. Calculez la résistance totale du circuit RL en tenant compte de la
résistance du GS et de celle de la bobine :
R =

4
Expérience ELEC-2
5. Sachant que τ est donné par la formule τ = L/R pour un circuit RL,
calculez la valeur de l'inductance de votre bobine
L =
3. REPONSE D'UN CIRCUIT RC EN TENSION SINUSOÏDALE
1. Faites fonctionner le GS en signal sinusoïdal et remontez le schéma de
départ, avec le condensateur de 0,1 µF.
Ajustez l'amplitude du GS à < 1 V et mesurez cette amplitude à l'aide de
l'oscilloscope en CH1. Ne changez plus ce réglage dans toute la suite du
laboratoire.
VGS = ±
2. Mesurez l'amplitude du signal aux bornes du condensateur sur le CH2.
VC = ±
3. Mesurez le déphasage φC entre le signal VGS et la charge QC (en
pratique, on mesure le déphasage entre VGS et VC=QC/C). Calculez l’erreur
sur le déphasage, en utilisant la méthode de Lissajous
A = ±
B = ±
φC = ±
4. Donnez la formule théorique du déphasage de la tension du
condensateur par rapport à la tension du GS.
tan(φC) =
5. Sans prendre en compte la résistance du GS, calculez la valeur
théorique de φC et comparez à la valeur mesurée en 3.
tan(φC) =
φC =

5
Expérience ELEC-2
6. Etablissez la formule théorique donnant l'amplitude de la tension aux
bornes du condensateur à partir de la formule (19) ?
VC = (formule)
7. Sans prendre en compte la résistance du GS, calculez la valeur
théorique de VC et comparez à la valeur mesurée en 2.
VC = (numérique)
8. Changez la fréquence du GS à 10 kHz. Mesurez l'amplitude du signal
aux bornes du condensateur sur le CH2 de l'oscilloscope. Comparez
avec la valeur mesurée en 2 (à 1 kHz). Est-ce conforme à la théorie ?
VC = ±
9. L'impédance du condensateur a-t-elle diminué ou augmenté avec
l'augmentation de la fréquence ? Justifiez.
10. Mesurez le déphasage à 10 kHz par la méthode de Lissajous et
comparez à la valeur obtenue au point 3.
A =
B =
φC =
11. Sans prendre en compte la résistance du GS, calculez la valeur
théorique de φc à 10 kHz et comparez à la valeur mesurée en 10.
tan(φC) =
φC =

4. REPONSE D'UN CIRCUIT RL A UNE TENSION SINUSOÏDALE
6
Expérience ELEC-2
1. Remontez le second schéma de la figure 10. Faites fonctionner le GS
en signal sinusoïdal. Mesurez l'amplitude de la tension VR aux bornes
de la résistance sur le CH2 pour les fréquences de 1 kHz et 10 kHz
(cette tension nous donne directement la valeur du courant dans le
circuit en utilisant VR=RI)
VR (à 1 kHz) = ±
VR (à 10 kHz) = ±
2. Comparez ces deux valeurs. Déduisez-en si l'impédance du circuit a
diminué ou augmenté avec l'augmentation de la fréquence et
expliquez pourquoi.
3. Mesurez le déphasage φL entre le courant traversant L et la tension
appliquée par la méthode de Lissajous pour une fréquence de 10 kHz.
φL=
4. En vous basant sur les impédances à 1 kHz et 10 kHz (3.9 et 4.2),
analysez qualitativement le comportement de la bobine et du
condensateur à haute fréquence (10 kHz) et basse fréquence (1 kHz).
Est-ce conforme à la théorie ? Expliquez.

1. LE CIRCUIT LC
CIRCUITS RLC
1
Introduction ELEC-3
Dans l'expérience précédente (Elec-2), nous avons étudié la décharge
exponentielle d'un condensateur à travers une résistance et la réponse des
systèmes RC et RL à une tension sinusoïdale.
Durant cette manipulation, nous allons étudier le circuit RLC, qui est
l'analogue électrique d'un oscillateur harmonique.
Considérons d'abord le circuit LC illustré à la figure 1, qui présente des
similitudes avec le circuit RC de l'expérience Elec-2.
V0
1 2
Figure 1
Chargeons le condensateur de capacité C en fermant l'interrupteur 1. Soit Q0
sa charge initiale. Après avoir ouvert l'interrupteur 1, fermons l'interrupteur
2 à l'instant t = 0. Le condensateur commence à se décharger à travers la
bobine. Cependant, le courant ne peut changer instantanément, puisque la
tension aux bornes de la bobine est donnée par dI
L .
dt
La grandeur de la variation du courant est déterminée par la condition que la
tension instantanée aux bornes du condensateur doit être la même qu'aux
C
I

2
Introduction ELEC-3
bornes de la bobine. En choisissant la direction du courant comme indiqué
sur la figure 1, nous avons les relations
dQ
I = −
dt
Q dI
V = = L
C dt
En les combinant, nous trouvons
2
dQ Q
2
(1)
L = − (2)
dt C
Pour trouver l’évolution de la charge Q avec le temps, il faut donc trouver
une fonction dont la dérivée seconde est égale à la fonction elle-même à une
constante près. La fonction suivante remplit cette condition :
( ω )
Q Q cos t
= (3)
0 0
Cette équation a exactement la même forme que l'équation du mouvement
d'un oscillateur harmonique (voir Mec-4).
En remplaçant (1) dans (2) , on trouve que la fréquence angulaire de la
variation de charge est égale à :
1
LC
ω 0 = (4)
C’est la fréquence propre, naturelle, d’oscillation du circuit LC.
Dans un oscillateur harmonique, l'énergie potentielle se transforme en
énergie cinétique et inversement, durant le mouvement. Aux points où le
déplacement est maximum et la vitesse nulle, l'énergie est entièrement
potentielle ; aux points où le déplacement est nul et la vitesse maximum,
l'énergie est entièrement cinétique.
De façon similaire, dans un circuit LC, lorsque la charge du condensateur est
maximum et le courant nul, l'énergie est entièrement stockée dans le
condensateur ; tandis que lorsque la charge est nulle et le courant

3
Introduction ELEC-3
maximum, l'énergie est entièrement stockée dans le champ magnétique de
la bobine.
k0
k0
k0
m
Un oscillateur est analogue
à un circuit LC
x0
m
m
Tendre le ressort revient à
charger le condensateur
+Q0
-Q0
Lâcher le ressort revient à
fermer l’interrupteur
Figure 2
2. LE CIRCUIT RLC EN SIGNAL CARRE OU CONTINU
+Q0
-Q0
C
C L
C L
Le circuit LC parfait n’existe pas. En effet, il y aura toujours une résistance
dans un circuit électrique (provenant des fils de connexion, notamment). On
doit donc envisager le cas plus réaliste du circuit RLC contenant un élément
résistif R, une bobine d'induction L et un condensateur C.
La loi de Kirchhoff (sur la tension) pour le circuit de la figure 3 donne
l'équation du circuit :
Q dI
−L − RI = 0
(5)
C dt
L

qui peut s'écrire en termes de Q (en utilisant
2
d Q
2
dQ Q
4
dQ
I = − )
dt
L + R + = 0 (6)
dt dt C
Introduction ELEC-3
qui a exactement la même forme que l'équation d’un oscillateur harmonique
amorti (voir Mec-4).
R I
L
Figure 3
La solution de cette équation différentielle est donnée par :
C
t
−
2 1
τ ⎡ 1/2 ⎤
Q= Qe o cos
⎢
( ω0 − ) t 2
τ ⎥
⎣ ⎦ (7)
2L1 τ = et ω =
R LC
Avec 0
Cette solution a exactement la même forme que l’équation du mouvement
d’un oscillateur harmonique amorti. On va donc assister à des oscillations

5
Introduction ELEC-3
amorties de la charge, dont l’amplitude A(t) va diminuer avec le temps :
t
o
−
= (8)
At () Qe τ
La rapidité de cette décroissance exponentielle de l’amplitude des oscillations
dépend donc de la grandeur de la résistance R ; une grande valeur de R
implique une décroissance rapide des oscillations.
Q(t)/Q 0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
Figure 4
temps
La figure 4 illustre l’oscillation sinusoïdale dont l’amplitude est
exponentiellement décroissante, avec un temps de relaxation τ. La fréquence
angulaire est donnée non pas par ω0 mais par
1
( ω )
τ ²
− , une quantité
2 1/2
0
toujours plus petite que la fréquence non amortie. A la limite, lorsque R → 0,
elle devient égale à ω0, mais lorsque l'amortissement est important, la
fréquence est toujours plus petite et les oscillations plus lentes que sans
amortissement.
On peut vérifier que (7) est bien une solution de l'équation (8), en
substituant la solution dans l'équation après avoir calculé les dérivées
appropriées. De plus, l'équation (7) montre que lorsque l'amortissement

devient assez grand pour que
6
Introduction ELEC-3
2 1
ω0 − = 0⇔ ωτ
2
0 = 1 , la fréquence
τ
devient nulle : le mouvement oscillant disparaît et la décroissance devient
purement exponentielle. Cette condition est connue sous le nom
d'amortissement critique. La condition de l'amortissement critique revient,
pour le circuit RLC, à :
R
= (9)
2 L
C
L'énergie totale dans un circuit LC est constante. La bobine et le
condensateur stockent de l'énergie mais n'enlèvent pas d'énergie électrique
au circuit. L'adjonction d'une résistance fournit un moyen pour le système de
perdre de l'énergie par effet Joule (P=RI²), ce qui diminue l'énergie
électrique dans le circuit, en la convertissant en chaleur dans la résistance.
3. LE CIRCUIT RLC EN SIGNAL SINUSOÏDAL
Etendons notre étude du circuit RLC au cas où on le soumet à une tension
appliquée sinusoïdale. Le circuit présente alors un comportement très
particulier qui a permis son utilisation dans bon nombre de domaines,
comme les télécommunications, la RMN, …
Figure 5

7
Introduction ELEC-3
Considérons le circuit de la figure 5 où l’on a ajouté une source de tension
sinusoïdale donnée par :
( ) ω
V V t
0 cos = (10)
où la fréquence angulaire ω imposée par le générateur est quelconque : elle
n'est en général pas égale à la fréquence caractéristique ω 0 = du
circuit.
En appliquant la loi de Kirchhoff (sur les tensions) au circuit de la figure 5,
on obtient l’équation suivante :
2
Q dQ d Q
0 cos ( )
2
V ω t = + R + L (11)
C dt dt
La charge Q(t), solution de l'équation (11), oscille à la fréquence imposée
par l'alimentation. Nous pouvons donc écrire
Q Q cos( ωt φ)
= + (12)
0
où les paramètres Q0 et φ deviennent les inconnues du problème : ils
dépendent eux-mêmes de ω. La résolution de l’équation différentielle est
similaire aux résolutions des circuits RC et RL alternatifs de ELEC-2. Elle
permet de trouver la valeur de ces paramètres :
Le terme
tg
Q
o
( φ )
⎡ 1 ⎤
⎢
R² + ( ωL−
)²
ωC
⎥
⎣ ⎦
ωRC
=
ω²
LC −1
Vo
=
⎡ 1 ⎤
ω⎢ R² + ( ωL−
)²
⎣ ωC
⎥
⎦
1/2
1/2
(13)
(14)
1
LC
est l’impédance Z de la loi d’Ohm généralisée aux
deux composants L et C en tension sinusoïdale. Z est équivalent à la
résistance dans U ZI
= , ce qui permet de constater trois points importants :

8
Introduction ELEC-3
1. à basse fréquence (ω faible), le terme 1/ωC est grand, l’impédance est
donc grande et le courant est faible à cause de la présence de C.
2. à haute fréquence (ω élevé), le terme ωL est grand, l’impédance est
donc grande et le courant est faible à cause de la présence de L.
1
3. le terme ωL
− s’annule à une fréquence intermédiaire qui n’est rien
ωC
d’autre que la fréquence de résonance du circuit LC correspondant :
1 1
ωL− = 0 => ω =
ωC
LC
Dans ces conditions Z = R et le courant est maximum.
La figure 6 montre l’évolution de Qo et φ en fonction de la fréquence de la
tension appliquée. On y voit clairement le maximum de la réponse du circuit
1
lorsque ω = ω0=
LC
Q 0 /Qmax
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.01 0.1 1 10
ω/ω 0
Figure 6

φ
0
-π/2
-π
0.1 1 10
ω/ω 0
Figure 7
9
Introduction ELEC-3
L'amplitude Q0 de la réponse varie en fonction de ω d'une manière
1
intéressante : elle passe par une valeur maximale lorsque le facteur ωL
−
ωC
1
devient nul, c’est à dire quand ω = ω0=
:
LC
Q
V
max 0 =
0
(15)
ω0R
Cela veut dire que la réponse est maximale lorsque la fréquence du signal
perturbateur est égale à la fréquence naturelle non amortie. Ce "pic" de la
réponse à une certaine fréquence est appelé résonance ; des phénomènes
analogues de résonance se passent dans la plupart des branches de la
physique.
En ce qui concerne l'angle de déphasage (figure 7), à très basses
fréquences, φ est nul : la charge Q est en phase avec la tension appliquée,
comme dans un circuit RC. Aux plus hautes fréquences, φ devient de plus en

Figure 8
10
Introduction ELEC-3
plus négatif, et à la limite des très hautes fréquences, Q est en retard sur V
d'un demi-cycle (φ=-π).
La largeur du pic de la courbe Q0 en fonction de ω est mesurable. On peut
montrer que dans le cas d’un amortissement faible, les deux fréquences
pour lesquelles la charge a diminué d’un facteur 2 par rapport à Q0 max sont
données par
ω = ω ± R L
(16)
0 2
La largeur ∆ω du pic à cet endroit vaut donc R/L (figure 7). L'équation (16)
montre que lorsque R est petit, ∆ω l'est aussi et la courbe de réponse décroît
rapidement de part et d'autre du pic. Si R est grand, la courbe est plus plate,
le pic est plus large.
Le courant I dans le circuit est simplement la dérivée par rapport au temps
de la charge Q donnée par l'équation (12). Sa phase est toujours en avance
sur celle de Q de π/2. A la résonance, I est en phase avec V, et le courant
passant dans R est le même que celui passant dans C, et tout se passe
comme si C n'existait pas. Par conséquent, ω0 est aussi la fréquence à
laquelle la puissance dissipée dans R est maximale.

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1. CIRCUIT LC
CIRCUITS RLC
1
Expérience ELEC-3
L’étude des circuits LC demande du matériel spécifique, car les résistances
du générateur, de la bobine et des fils de connexion doivent être très
petites par rapport à L pour que les oscillations ne soient pas amorties
trop rapidement.
Calculez, pour un circuit LC (avec L = 0.2 H et C = 4300 10 -12 F ), la
valeur de la période d’oscillation du circuit. Ensuite, en tenant compte de
la résistance du générateur (RG = 50 Ω) et de celle de la bobine (RL =
60.4 Ω), estimez le temps de relaxation τ du circuit. Comparez ces deux
valeurs ! Ce circuit constitue-t-il un circuit LC satisfaisant ? Pourquoi ?

2. COMPORTEMENT D’UN CIRCUIT RLC EN SIGNAL CARRE
2
Expérience ELEC-3
Nous allons observer la tension aux bornes du condensateur inséré dans
un circuit RLC. Nous appliquons au circuit une tension carrée qui va
répétitivement charger et laisser se décharger le condensateur. La charge
est donnée par :
où nous avons posé
t
Q −
2 1
τ ⎡ 1/2 ⎤
V= = Ve o cos ( ω0 ) t
C ⎢
−
⎣ τ ² ⎥
⎦
V
0
Q0
=
C
Montez le schéma 9. Les conditions expérimentales de départ sont les
suivantes :
GS carré 100 Hz
OSC 1 ac - 2 msec 1 V
Stabilisez l'image avec le trig-level et faites varier l'amplitude du GS pour
observer sur l'écran toute la figure.
Au fur et à mesure de l’expérience, n’oubliez pas d’adapter les calibres de
l'oscilloscope pour avoir la meilleure précision possible.
mesurer la période du signal carré : T GS = ±
mesurer la période des oscillations : T = ±
mesurer le temps de demi-vie : T 1/2 = ±
en déduire le temps de relaxation : τ = ±
D'après le schéma électrique, déterminez la valeur de R =

3
Expérience ELEC-3
D'après la mesure de la période des oscillations, T, déterminez la valeur
de
L
T ²
4 π ² C
= =
2L
τ = =
R
Comparez à la valeur mesurée.
Remplacez la résistance de 22 Ω par une résistance de 1 kΩ, puis de
100 kΩ (résistance RX).
Décrivez et expliquez les changements de comportement du condensateur
lors de sa décharge.
de 22 Ω à 1 kΩ
de 1 KΩ à 100 kΩ

4
Expérience ELEC-3
3. REPONSE D’UN CIRCUIT RLC A UNE TENSION SINUSOÏDALE
La réponse d'un circuit RLC à une tension sinusoïdale extérieure est
donnée par la formule (voir Introduction) :
Q= Q cos( ωt+ φ)
0
Comme il est plus facile de mesurer une différence de potentiel, nous
connecterons un voltmètre (en pratique, l'oscilloscope) aux bornes du
condensateur. La tension sera alors donnée par :
Q
V = Vicos t+ = cos t+
C
0
( ω φ) ( ω φ)
Où φ et Q0 sont donnés par les formules 13 et 14 de l’introduction.
Le signal de réponse
a la même forme et la même fréquence que le signal d'entrée,
est déphasé d’un angle φ : le signal de réponse est en retard sur le
signal d'entrée,
a une amplitude qui varie avec la fréquence et présente un maximum
(voir figure de l’introduction).
3.1. Etude quantitative : évolution de V i
Réglons d'abord l'amplitude du signal d'entrée. Connectez le GS à
l'oscilloscope avec les conditions
GS sinus 100 Hz < 1 V
OSC 1 ac + X-Y 1 Volt
Réglez l'amplitude du GS pour obtenir une amplitude V0 de 1 Volt. Vous ne
toucherez plus à ce bouton par la suite. Montez le schéma 10.
Comparez la fréquence du signal de réponse sur le CH2 (tension aux
bornes du condensateur, c'est à dire la charge du condensateur) à la
fréquence de la tension du générateur sur le CH1. Sont-elles égales ?

5
Expérience ELEC-3
Déterminez V i pour différentes fréquences s'échelonnant entre 100 Hz et
2000 Hz (tableau 1) en choisissant les fréquences intermédiaires de façon
à retrouver la fréquence de résonance. N’oubliez pas d’adapter les calibres
de l’oscilloscope pour avoir la meilleure précision possible.
Remplissez le tableau 1.
Portez vos points expérimentaux et leur barre d'erreur sur papier
millimétrique linéaire.
f (Hz) V i (Volts)
R = 22 Ω R = 470 Ω
100 ± ±
300 ± ±
500 ± ±
± ±
± ±
± ±
± ±
± ±
1200 ± ±
1400 ± ±
1600 ± ±
1800 ± ±
2000 ± ±
Tableau 1
Remplacez dans le schéma 10 la résistance de 22 Ω par une résistance de
470 Ω Recommencez le même travail. Remplissez le tableau 1 (colonne
3). Portez vos points sur le même graphique.

Laquelle des deux courbes présente un pic plus large ?
Pourquoi ?
Celle déterminée par la 1 ère courbe
Celle déterminée par la 2 ème courbe
6
Expérience ELEC-3
Les abscisses des pics vous permettent d’estimer les fréquences de
résonance. Pour les calculer précisément, il suffit de régler la fréquence du
générateur pour que le signal de réponse soit maximum (on se place à la
résonance). On peut alors mesurer précisément à l’oscilloscope la période
du signal et son erreur et en déduire la fréquence de résonance et son
erreur (f = 1/T).
εf = (formule)
fRES (pour R = 22 Ω) = ±
fRES (pour R = 470 Ω) = ±
D'après la théorie, ces 2 fréquences devraient-elles être égales ?
Pourquoi ?
Quelle est la formule qui permet de calculer L à partir de cette fréquence ?
L =
Remplacez par les valeurs numériques
L = (Henry)

3.2. Déphasage φ en fonction de la fréquence
7
Expérience ELEC-3
Montez le schéma 10 avec R = 470 Ω. Etudions maintenant comment varie
avec la fréquence le déphasage φ du condensateur par rapport au GS. Ce
déphasage sera déterminé à l'aide des courbes de Lissajous.
Déterminez φ pour différentes fréquences s'échelonnant entre 100 Hz et
4000 Hz en choisissant les fréquences intermédiaires de façon à retrouver
la fréquence de résonance. Remplissez le tableau 2.
N'oubliez pas que lorsque la fréquence dépasse la valeur de la fréquence
de résonance, le déphasage est plus grand que 90° et tend vers 180°. On
φ = 180°− arcsin B/ A
utilise alors la formule ( )
f (Hz) A B B/ A sin ( φ )
= φ (degrés)
100 0°
4000
Tableau 2
90°
Pour quelle fréquence a-t-on un déphasage de 90° exactement ?
fRES = ±
Comparez les fréquences de résonance déterminées par les deux
méthodes (3.1 et 3.2) et concluez.

Ch1
R = 22 Ω
GS
R = 22 Ω
GS
8
L
C = 4300 pF
Figure 9
Figure 10
L
C = 0.1 µF
Expérience ELEC-3
Ch2 GND
Ch2 GND

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
26 27 28
21 22 23 24
16 17 18 19
15
11 12 13 14
6 7 8 9
5
1 2 3 4
25
20
10

1. PRINCIPE
1
Introduction TOU-1-A
DETERMINATION DU RAPPORT E/M DE L'ELECTRON
Détermination de la charge spécifique de l'électron (définie par le rapport
entre la charge et la masse de l'électron) en utilisant la déviation d'un
faisceau électronique filiforme soumis à l'action d'un champ magnétique
constant.
2. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS LE VIDE
2.1. Mouvement dans un champ électrique
Soit q la charge de la particule, m sa masse et E → le champ électrique
appliqué. La force exercée par le champ sur la particule vaut
→ = →
F q E
Après un parcours le long d'une trajectoire AB, le travail fourni par le
champ vaut :
→ →
W= q ∫ E. ds = qV ( −V
)
A B
A→B Ce travail fourni est transformé en énergie cinétique pour la particule, qui
vaut donc :
1
2
mv2 q( V V ) eV
(1)
= − = (2)
A B
Si la particule envisagée est un électron, la charge q vaut celle de
l'électron e. Le terme ( V − V ) = V est la différence de potentiel entre les
A B
extrémités du parcours.
Cette formule (2) donne la vitesse v d'un électron soumis à une tension
d'accélération V :

v
2eV
m
2
Introduction TOU-1-A
= (3)
Remarquons que cette formule n'est valable que si m reste constant. En
réalité, la théorie de la relativité restreinte montre que la masse augmente
avec la vitesse suivant la loi
m
m = 0
1 −(
v/ c)²
où m0 est la masse au repos ; c est la vitesse de la lumière dans le vide.
Toutefois, cette augmentation est négligeable pour des vitesses inférieures
à 50.000 km/sec (dans ce cas, en effet, m/m0 ≤ 1,014). On peut donc
appliquer la formule (3) avec m = m0 jusqu'à des tensions de l'ordre de
10.000 Volts.
2.2. Mouvement dans un champ magnétique uniforme
Lorsqu'une particule chargée se déplace, avec une vitesse →
v, dans un
champ magnétique uniforme, il s'exerce sur celle-ci une force (force de
→
Lorentz) F , donnée par :
→ → →
F = q( v × B)
(× indique un produit vectoriel) (5)
Figure 1
(4)
Déviation d'électrons dans
un champ magnétique B
par la force de Lorentz : si
l'angle entre le vecteur
vitesse de l’électron et le
vecteur B est de 90°, la
trajectoire de l'électron est
un cercle de rayon r.

3
Introduction TOU-1-A
La force de Lorentz →
F est perpendiculaire aux vecteurs →
v et →
B, et la
particule est soumise à une accélération perpendiculaire à sa trajectoire
(dite centripète ou normale) :
→
q → → q → →
an = ( v× B) ⇔ an
= v Bsinθ(6)
m m
Comme le champ B →
n’effectue pas de travail, le module de la vitesse v →
reste constant. Par ailleurs, l'accélération tangentielle a est nulle, la
t
→
vitesse tangentielle v reste donc constante également.
t
Si →
v et B →
font un angle θ quelconque, les particules décrivent une hélice
autour de la direction de →
B. En effet, comme v = vcosθ, l'angle θ doit lui
aussi être constant.
Si θ = π/2, c'est-à-dire si B →
t
est perpendiculaire à →
v, alors v = 0 et le reste.
La trajectoire est alors circulaire située dans le plan perpendiculaire à
→
contenant v (fig. 1), dont le rayon r est tel que :
t
→
→
B et
2 q v
a
v m
n = = vB ⇔ r=
.
(7)
r m q B
2.3. Détermination du rapport e/m
Soit un électron accéléré par une différence de potentiel V. Il possède alors
une vitesse v donnée par (3). Si cet électron pénètre dans un champ
→
magnétique B perpendiculairement aux lignes de force de ce dernier, il est
incurvé et est forcé de se mouvoir sur une trajectoire circulaire de rayon r
donné par (7) avec q = e.

4
Introduction TOU-1-A
En injectant (3) dans (7), on peut isoler le rapport e/m, appelé charge
spécifique de l'électron, en fonction de la tension accélératrice V, du rayon
r de la trajectoire circulaire et de l'intensité du champ magnétique B :
e 2V
m BR
3. REALISATION DE L’EXPERIENCE
= 2 2
(8)
3.1. Création - accélération - visualisation des électrons
Comme il est impossible d'effectuer l'expérience avec un électron, nous
créerons un faisceau filiforme d'électrons. Mais bien que le nombre des
électrons se trouvant sur une section droite quelconque du faisceau soit de
l'ordre de 10 16 , il est permis d'appliquer les équations ci-dessus, valables
pour un seul électron, à l'ensemble de ces électrons. En effet, comme tous
ces électrons ont les mêmes propriétés, ils ne sont pas identifiables et du
comportement de leur ensemble, il est permis de déduire les propriétés
d'un seul électron.
Figure 2
- Le faisceau d'électrons est
produit par une cathode
incandescente 1d (fig. 2) par
chauffage indirect de celle-ci
obtenu en imposant une tension
alternative entre ses extrémités.
Cette cathode chauffée produit
des électrons par effet
thermoélectronique. Ce système
souvent appelé "canon à électrons" requiert une énergie de chauffage de la
cathode assez faible. Dès lors, on peut utiliser pour cela un courant alternatif
(alimentation de 6,3 V pouvant débiter 1A) sans que le champ magnétique
engendré par ce courant produise une perturbation décelable dans
l'expérience. Le flux d'électrons produits est contrôlé par un cylindre de
Wehnelt 1c (fig. 2).

5
Introduction TOU-1-A
- Les électrons sont accélérés sous une différence de potentiel V
entre la cathode 1d et une anode 1b (fig. 2) de forme conique et percée d’un
trou. La source de tension d'anode est continue et réglable entre 150 et 300
V. Les vitesses des électrons seront relativement petites, comparés à
d’autres expériences avec des électrons. De même, la dispersion en vitesse
des électrons sera relativement petite. Ceci présente un intérêt majeur pour
notre observation de la déviation magnétique du faisceau. En effet, celle-ci
se fera plus rapidement et le faisceau plus net et plus fin, sera visible sur
tout son trajet.
- Tube (fig. 2) : ampoule. Ballon en verre de 175 mm de diamètre
contenant de l'hydrogène sous faible pression (environ 267 Pa). Cette
pression a été choisie pour que la charge spatiale produite par le faisceau
électronique dans l'espace gazeux focalise le faisceau. L’ionisation/excitation
des molécules H2 permettra de rendre visible la trajectoire d'un faisceau
d'électrons. Leur désexcitation avec émission de photons produit une lumière
bleutée visible (cf. manip Spectroscopie).
3.2. Création d'un champ magnétique
Figure 3
- Le faisceau d'électrons est soumis à
un champ magnétique B extérieur (
électrons déviés) créé par 2 bobines de
Helmholtz (1849) (fig. 3). La particularité
de ces bobines est de fournir un champ
uniforme de part leur géométrie – de
simples aimants nous donneraient un
champ inhomogène. En effet, les bobines
sont circulaires de rayon R et disposées à
une même distance R parallèlement l'une de l'autre. Elles possèdent chacune
un même nombre N de spires, et sont parcourues par le même courant I
dans le même sens.
B est alors perpendiculaire aux bobines et est proportionnel à I :
3/2
0 NI µ 4
B ≈ ⋅
R 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Avec N = 130 R = 15 cm
µ = ⋅ ⋅ ⋅
0
4 10 7 V s / A m
π −
(9)

6
Introduction TOU-1-A
En réalité, l'expression du champ magnétique contient une seconde
contribution, plus complexe. Celle-ci est négligeable et l'équation (9)
fournit une excellente approximation.
Le générateur (fig. 6 : générateur à droite) à courant continu fournit 6 à 8
V et peut débiter un courant de ≈2A. Cette alimentation permet de faire
varier le courant I dans les bobines, le contrôle s'effectuant à l'aide de
l'ampèremètre. Ce courant est un des paramètres de l'expérience.
3.3. Schéma pratique
Le tube reposant horizontalement sur deux supports appropriés peut être
tourné autour de son axe horizontal, ce qui permet de varier l'angle formé
par la direction du champ magnétique et celle du faisceau électronique.
Figure 4
- Le tube et les bobines sont posés dans
un support (fig. 4) et le tube est centré
de telle façon que l'axe du canon à
électrons ( la vitesse initiale des
électrons) soit dans le plan médian des
2 bobines de Helmholtz. Le tube peut
être tourné autour de son axe
horizontal, ce qui permet de varier l'angle entre la direction du champ
magnétique et celle du faisceau électronique.
- Avec la vitesse initiale des électrons
v ⊥ B
, la trajectoire de ces électrons
i
Figure 5
sera circulaire et le diamètre de la
trajectoire sera mesuré via un système
similaire à celui présenté fig. 5 : 2
curseurs mobiles sur un axe horizontal.
Pour éviter les erreurs de parallaxe, un
miroir a été placé derrière l'ampoule : le curseur, le bord du faisceau
d'électrons et son reflet dans le miroir doivent être alignés.

7
Introduction TOU-1-A
- Sur un support en bois se trouve une petite boîte à 9 bornes (fig. 6 :
générateur à gauche). Cette boîte permet d'alimenter le système
d'électrodes décrit plus haut. La tension anodique que l'on peut faire varier
est déterminée en connectant un voltmètre aux bornes + et W. Cette
tension permet de déterminer avec exactitude la vitesse des électrons
(formule 3).
Figure 6

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
DETERMINATION DU RAPPORT E/M DE L'ELECTRON
1) Le montage (fig. 6) est réalisé, n’y touchez pas.
1
Expérience TOU-1-A
Allumez le générateur de tension (fig. 6 : générateur à gauche). Dès que la
cathode cylindrique est incandescente, augmentez la tension anodique
jusqu'à ce qu'un faisceau filiforme, rectiligne et bleu apparaisse. Attention
ne dépassez pas la tension de 300 V. Un multimètre est branché pour
mesurer cette tension.
A l'aide d'aimants permanents, observez comment la déviation du faisceau
dépend du sens et de l'intensité du champ magnétique et comment le
faisceau dévie par rapport à la direction du champ.
A partir de là, vous pouvez vérifier qualitativement la formule (5).
Pour observer une trajectoire particulièrement intéressante des électrons, il
suffit d'approcher le pôle d'un aimant de l'endroit où le faisceau électronique
non dévié rencontre l'ampoule. Cette trajectoire a la forme d'une spirale
enroulée sur une espèce de paraboloïde et peut servir de modèle illustrant
les trajectoires entrelacées des particules électriques qui sont à l'origine des
aurores boréales.
2) Pour générer le champ magnétique uniforme, le montage (fig. 4 et fig. 6)
a été effectué pour vous.
L'interrupteur du circuit d'alimentation des bobines étant ouvert (bouton DC
on stand by sur ON), augmentez le courant jusqu'à ce que le faisceau
revienne sur lui-même.
En tournant le tube autour de son axe horizontal, inclinez le faisceau
électronique sur la direction du champ magnétique et observez que le
faisceau filiforme prend la forme d'une hélice. On vérifiera que le pas de
cette hélice dépend de l'angle formé par le faisceau d'électrons et la
direction du champ. Son diamètre dépend de la vitesse des électrons et de
l'intensité du champ magnétique. Enfin, son sens dépend du sens du champ
magnétique et de celui du déplacement des électrons.

2
Expérience TOU-1-A
a) Si θ est l'angle entre la direction des électrons et celle du champ
magnétique, qu'observez vous (et expliquez) lorsque :
- θ = 0° ou 180° :
- θ = 90° :
- θ est quelconque :
b) Pour le cas où θ ~ 30°, que se passe-t-il :
- si on augmente le champ magnétique B ?
- si on augmente la tension VA ?
- si on augmente θ ?

3
Expérience TOU-1-A
3) Vous allez maintenant mesurer le rapport e/m, la charge spécifique de
l'électron. Tournez le tube, de façon que le faisceau électronique soit
perpendiculaire aux lignes du champ magnétique. Les électrons sont alors
forcés de se mouvoir sur une trajectoire circulaire. Dans ce cas, nous
pouvons utiliser l’équation (8). Pour chacune des 5 mesures de e/m :
a) régler la tension VA lue au voltmètre (fig. 6 à gauche) pour fixer la
vitesse des électrons.
b) régler le courant I lu à l'ampèremètre (fig. 6 à droite) pour fixer le
champ magnétique.
c) mesurer le rayon r à l’aide des curseurs (comme sur la fig. 5).
d) calculer le champ magnétique B en utilisant la formule (9).
e) calculer le rapport e/m en utilisant l’équation (8).
Utilisation des curseurs :
a) Déplacez le curseur de gauche pour que son extrémité droite se mette
en face du cône d'où sortent les électrons. Servez-vous du miroir installé
derrière pour limiter au maximum l’erreur de parallaxe : assurez-vous que
l’extrémité droite du curseur, la sortie du faisceau et son reflet dans le miroir
soient tous les trois parfaitement alignés. Pour la suite de l’expérience, ne
bougez plus le curseur de gauche. Il détermine désormais l'origine de votre
axe des rayons.
b) Déplacez le curseur de droite pour que son extrémité gauche se mette
en face de l’extrémité droite de la trajectoire circulaire des électrons.
Servez-vous à nouveau du miroir pour limiter au maximum l’erreur de
parallaxe ; en utilisant la même méthode. Mesurez la distance intérieure des
curseurs : il vous donne le diamètre du cercle. Refaites cette étape b) pour
chaque nouvelle mesure.
N'oubliez pas de diviser par 2 pour inscrire le rayon dans la table et attention
aux unités !

V A I B r e/m
200 1.1
200 1.3
200 1.5
250 1.3
250 1.5
Tableau 1
N.B. : La valeur précise de e/m est de 1,756 ×10 11 C/kg.
4
Expérience TOU-1-A
Faites la moyenne de vos 5 mesures et déduisez en l'erreur expérimentale
(plus grand écart à la moyenne pour un petit nombre de détermination).
e/m = ± 10 11 C/kg
Cette valeur est-elle en accord avec la valeur précise des tables ? Justifiez.

1. INTRODUCTION
SPECTROSCOPIE
1
Introduction TOU-1-B
Une des contradictions de la mécanique classique, sur laquelle ont
longtemps buté les physiciens, concerne la structure atomique : si les
électrons tournent autour du noyau, ils doivent, conformément aux lois de
l'électromagnétisme, émettre un rayonnement continu, perdre de l'énergie
et finir par tomber sur le noyau. Selon ce schéma, les atomes ne pourraient
donc pas être stables !
La mécanique quantique a apporté une réponse à ce problème, en
introduisant le concept d'orbitale dont le niveau énergétique est bien
déterminé, chaque atome étant caractérisé par un ensemble de niveaux qui
définit toutes les valeurs possibles de l'énergie des électrons. Cet ensemble
s'appelle le spectre de l'atome.
Lorsqu'un électron passe d'un état d'énergie E2 à un état d'énergie inférieure
E1, il y a émission d’un photon (fig. 1). L'énergie du photon, hν (loi de
Planck) est égale à celle perdue par l'électron :
hν = E1− E2
(1)
Inversement, lorsqu’un atome est bombardé de photons, il peut y avoir
absorption d’un photon par un des électrons de l'atome (fig. 1), lorsque
l’énergie du photon est juste égale à la différence entre deux niveaux
énergétiques des couches électroniques de l’atome, telle que la relation (1)
soit respectée. Cette fois E1 sera l'énergie après absorption et E2 l'énergie
initiale.
Un spectre d'émission (fig. 2) est l’ensemble des raies émises lorsque des
électrons d'atomes ou de molécules, excités par des stimulants extérieurs
(décharge électrique, rayonnement,...) rejoignent des états de plus basse
énergie.
Un spectre d'absorption (fig. 2) est l’ensemble des raies absorbées par un
corps lorsqu'il est traversé par une lumière blanche (celle-ci a un spectre
continu), permettant ainsi aux électrons des atomes et/ou molécules du
corps d'accéder à des états de plus haute énergie (états "excités").
L’étude des spectres d’émission et d’absorption constitue la spectroscopie.

Figure 1
Figure 2
2
Introduction TOU-1-B

2. EXPLICATION DES SPECTRES OBSERVES
3
Introduction TOU-1-B
Les spectres d'émission et d'absorption des atomes ou des molécules
constituent la "carte d'identité" ou le "code-barres" des différents éléments
(sous forme gazeuse, liquide, solide ou plasma). Plus précisément, c'est la
structure électronique de ces éléments (atomes ou molécules) qui est
caractéristique. Cela veut dire que chaque élément peut être relié à son
spectre d’émission ou d’absorption et réciproquement.
Pour chaque transition possible (fig. 1 & 3), l’énergie du photon émis ou
absorbé est donnée par la relation (1). A chaque énergie de photon
correspond une raie dans le spectre d'émission ou d’absorption (fig. 4).
Figure 3 Figure 4
2.1. Spectres des atomes à 1 électron de valence
Dans la plupart des cas, on ne possède pas de formule exacte qui donne les
valeurs permises de l'énergie. Le nombre des interactions dont il faut tenir
compte rend les calculs insolubles. Mais pour les hydrogénoïdes, la structure
est relativement simple : un noyau formé de Z protons, et un seul électron
de valence : H, D, He + , Li 2+ , Be 3+ ,... Les seules valeurs que peut prendre
l'énergie de l'électron sont
E
4 2
e Z Mm 1
n =− ⋅
2 2
ε 0 +
8h c M m n²
où n est un nombre entier (nombre quantique principal électronique), e la
charge de l'électron, Z le nombre atomique ou nombre de protons, h la
constante de Planck, M et m les masses du noyau et de l'électron.
(2)

4
Introduction TOU-1-B
Quand l'électron passe d'une orbitale s à une orbitale r (s > r), il émet un
photon d'énergie
4 2
e Z Mm 1 1
2 2
ε 0
2 2
⎛ ⎞
E= hν=
⎜ − ⎟
8h c M + m ⎝rs⎠ (3)
Pour l'hydrogène (Z = 1), à chaque valeur de r (orbitale d'arrivée)
correspond une série de raies. Ainsi, si on définit la constante de Rydberg
comme
R
4
e Mm
H = 3 2
ε 0 +
8h c M m
les fréquences de transition seront données par la formule
H
2 2 ( )
ν = c.R . 1 r − 1 s avec r ≥ 1 et s ≥ 2 (5)
La valeur de RH calculée à partir de la formule (4) est 1,0968 × 10 7 m -1 . Elle
est d'ailleurs en très bon accord avec les résultats de l'analyse des raies de
l'hydrogène par des mesures interférométriques de haute précision
Les raies se groupent en série correspondant au même niveau d'énergie
final, c.à.d. à une valeur de r (fig. 1). On parle de la série de Lyman lorsque
r = 1, de la série de Balmer lorsque r = 2, etc…
A l’aide de la formule (5) et de la figure 1, on calcule que les raies de Lyman
ont des fréquences comprises entre 3/4cRH et cRH alors que les fréquences
des raies de Balmer sont comprises entre 5/36 et 1/4 cRH, etc…
La limite d'une série donnée correspond à la valeur la plus grande de la
fréquence correspondant à une raie spectrale de cette série càd pour s → ∞.
2.2. Spectres des atomes à plusieurs électrons de valence
Lorsqu'on s'intéresse à des éléments à nombre d'électrons plus élevé, les
spectres se compliquent. Mais cette complexité n'augmente pas simplement
avec le nombre d'électrons. En effet, lorsqu'une sous-couche est complète
(tous les états théoriquement possibles sont occupés), les places disponibles
(4)

5
Introduction TOU-1-B
pour des transitions sont limitées : seuls les électrons de la couche
valencielle jouent un rôle important dans le spectre.
Par exemple, le spectre du mercure (Hg : 2e - de valence) est beaucoup plus
simple que celui du Cu, du Fe ou du Ni.
Dans les spectres d'atomes, comme H, Ar, Na qui seront observés au cours
de cette manipulation, les raies sont dispersées sans ordre apparent, peu
nombreuses pour certains éléments, serrées pour d'autres.
Lorsque les atomes dont on désire observer le spectre sont excités par
décharge électrique, un certain nombre d'entre eux sont ionisés ; les
spectres d'ions ainsi produits ont la même allure que les spectres d'atomes,
mais les fréquences des raies sont différentes.
2.3. Spectres des molécules
Comme dans le cas des atomes, l'ensemble des valeurs permises pour
l'énergie des électrons d'une molécule forme un spectre de valeurs discrètes.
Mais les spectres moléculaires diffèrent des spectres atomiques. En effet, les
molécules possèdent davantage de degrés de liberté : leurs niveaux
énergétiques ne dépendent plus seulement des interactions
électromagnétiques entre noyau et électrons, mais aussi de l'état de rotation
d'ensemble de la molécule autour de ses axes principaux d'inertie, ainsi que
de son état de vibration (mouvement périodique des noyaux de la molécule
les uns par rapport aux autres).
Pour les molécules, les transitions sont donc caractérisées par 3 ordres de
grandeur différents (fig. 5). Si ∆Ee, ∆EV et ∆ER représentent une différence
d'énergie entre deux niveaux ne différant respectivement que par le nombre
quantique électronique, vibrationnel et rotationnel, alors ∆Ee >> ∆EV >> ∆ER.
Autrement dit, une transition entre deux niveaux ne différant que par le
nombre quantique rotationnel produira une raie de très faible énergie (fig.
5), située dans l'infrarouge lointain. Lorsque la transition modifie aussi le
niveau vibrationnel, la raie est située dans l'infrarouge moyen (fig. 5).
Seules les transitions au cours desquelles le nombre quantique électronique
est modifié se situent dans la partie visible du spectre lumineux (fig. 5).

6
Introduction TOU-1-B
Lorsqu'une molécule est excitée dans une décharge électrique, les raies que
l'on observe lors de sa désexcitation sont groupées par bandes (de raies)
nettement séparées.
Chaque bande correspond à une transition électronique bien déterminée et
est composée de plusieurs raies : diverses variations de l'énergie de
vibration et de rotation.
Figure 5

3. LES SPECTRES DES GAZ
7
Introduction TOU-1-B
Les spectres des gaz (H2, O2, N2, He, etc…) s'obtiennent aisément par
décharge électrique dans un tube de Geissler ou de Plücker. Ce tube
comporte une partie semi capillaire en son milieu, ce qui augmente la
densité de la décharge dans cette région et donc sa luminosité. Le gaz à
étudier, très pur, s'y trouve à une pression de quelques dixièmes de mm de
mercure.
Le tube est muni de deux électrodes (une à chacune de ses extrémités)
reliées à un générateur haute tension appliquant une différence de potentiel
de quelques milliers de volts. Cela produit une décharge électrique à travers
le gaz. Dans ce cas, on limite l'intensité du courant en mettant une
impédance convenable en série avec le tube de Geissler.
Si le gaz est diatomique ou poly atomique, une fraction des molécules est
dissociée en atomes par la décharge. Alors le spectre obtenu est la
superposition d'un spectre moléculaire et d'un ou plusieurs spectres
d'atomes (suivant que la molécule est composée d'atomes identiques ou
différents).
C'est ainsi que l'on retrouve les raies de la série de Balmer, se détachant sur
un fond de spectres de bandes, aussi bien avec un tube de
Geissler à H
2
, que dans le spectre émis par une décharge
électrique dans tout gaz (ou vapeur) dont la molécule
contient de l'hydrogène (acétylène C
2
H
2
, méthane CH
4
,
méthanol CH
3
OH, etc...).
Figure 6
Figure 7 Figure 8

4. FONCTIONNEMENT DU SPECTROSCOPE
8
Introduction TOU-1-B
4.1. Déviation et dispersion de la lumière par passage dans un
prisme
Pour un angle d'incidence i, un rayon lumineux sera dévié après son passage
à travers un prisme (rayon réfracté deux fois) d'un angle D(i) (fig. 6).
Le verre qui constitue le prisme est un milieu dispersif, c-à-d que son indice
de réfraction dépend de la longueur d'onde (ou couleur) de la lumière
utilisée. La lumière blanche est donc séparée en couleurs si elle passe dans
un prisme (fig. 2 & 10). C’est le spectre continu de la lumière blanche.
i
i
Déviation Dispersion
Figure 9 Figure 10
4.2. Principe d’un spectromètre à prisme
Le spectromètre est monté sur une plateforme fixe, attachée elle-même à
un solide support à trépied (fig. 11). A l’intérieur, se trouve un prisme (2 fig.
11) en verre flint, à forte dispersion.
Figure 11
D(i)
La lumière caractéristique émise par un élément
est donc dispersée c.à.d. décomposée en les
différentes longueurs d'onde qui la constituent.
On observe alors le spectre discret de l'élément
étudié (fig. 2 & 4).
Rouge
Vert
Bleu

9
Introduction TOU-1-B
Le prisme est utilisé au minimum de déviation (voir expérience OP-1) pour le
jaune vert, pour minimiser le défaut d'astigmatisme. Un cache (3 fig. 11) se
place au-dessus du prisme afin de se préserver de la lumière ambiante.
Trois tubes horizontaux sont disposés autour du prisme (fig. 11) :
a) le collimateur principal (1 fig. 11), dont une extrémité est une fente F
de largeur réglable, placée exactement au foyer de la lentille achromatique
L
1
fixée à l'autre extrémité du collimateur. Quand une source lumineuse
éclaire la fente, celle-ci, par diffraction, joue le rôle d'une source lumineuse
secondaire (dont la lumière contient les mêmes longueurs d'onde que celles
de la source principale). Il en résulte un faisceau parallèle à la sortie du
collimateur, après passage de la lentille L
1
.
C'est ce faisceau qui tombe sur une face du prisme et ressort par une autre,
décomposé en autant de faisceaux de directions différentes que la lumière
étudiée contient de longueurs d'onde.
b) la lunette (4 fig. 11), qui est terminée, du côté du prisme, par une
lentille L2 recevant tous les faisceaux parallèles et donnant de chacun d'eux
une image dans son plan focal. Chaque faisceau, donc chaque longueur
d'onde, donne ainsi une raie lumineuse dans ce plan focal, raie qui est une
image de la fente. L'ensemble de ces raies constitue le spectre étudié,
s'étendant du rouge R au violet V.
Comme le spectre est de dimension très réduite, on l'examine, au moyen de
l'oculaire L3, qui joue le rôle d'une loupe. La mise au point (différente pour
chaque observateur) se fait en réglant le "tirage" de l'oculaire.
Une vis, située généralement sous la lunette, permet de maintenir celle-ci,
après l'avoir dirigée vers l'une ou l'autre région du spectre.
c) le petit collimateur (5 fig. 11), de direction fixe, porte un micromètre
(plaque de verre avec une échelle e, graduée en traits transparents, de
dimensions très réduites) et une lentille L4. Celle-ci donne du micromètre
une image qui, après réflexion des rayons lumineux sur une face du prisme,
vient se former dans le plan de l'image du spectre. Elle est donc examinée
en même temps que celui-ci à travers l'oculaire.
Un support, portant une ampoule électrique, permet d'éclairer le
micromètre. On peut régler le tirage du micromètre dans son collimateur.

4.3. Mise au point du spectroscope
10
Introduction TOU-1-B
1) Tout d'abord, on n'éclaire pas le micromètre. On place devant la fente
une source lumineuse, par exemple le tube de Plücker à hydrogène.
- Si le spectre n’apparait pas directement dans la lunette, on bouge
doucement celle-ci de gauche à droite pour le voir apparaître.
- On règle le tirage de l'oculaire de manière à avoir des raies aussi nettes
et minces que possible.
- La largeur de la fente est déjà réglée. Mais, si nécessaire, on peut la
changer légèrement pour rendre les raies aussi minces que possible, sans
nuire toutefois à leur netteté. La position correcte se situe à la limite de
l'extinction des raies.
2) Ce premier réglage terminé, on éclaire le micromètre et on modifie le
tirage du tube collimateur qui le porte, de manière à obtenir une image
nette de l'échelle graduée. Dans cette opération, on ne peut plus toucher à
la lunette, sans quoi la mise au point sur les raies serait détruite.

1. MISE AU POINT
SPECTROSCOPIE
aux prises A et B du générateur, voir fig. 8).
1
Expérience TOU-1-B
Effectuez d'abord la mise au point du spectroscope, comme indiqué cidessus,
avec le tube de Plücker à hydrogène.
Un tube de Plücker se fixe verticalement 1 à 2 cm devant la fente. On
excite le gaz qu'il renferme à l'aide d'un générateur de hautes tensions
(fig. 7).
Ce générateur permet d'obtenir une différence de potentiel comprise entre
0 V et 6.000 V entre les bornes + et − de l'appareil.
Attention, ne pas toucher les bornes lorsque le générateur
fonctionne : quoique non dangereuse, la décharge de plusieurs milliers
de volts, est désagréable et peut déclencher, chez celui qui la subit, des
réflexes non contrôlés, entraînant la chute et le bris d'un appareil.
Figure 12
Un support commun (fig. 7 & 8)
est prévu pour le tube de
Plücker. La connexion entre le
support et le générateur indiquée
sur la figure 8 est déjà faite pour
vous. Pour exciter un tube, il
suffit d'augmenter la tension
jusqu'à ce que de la lumière
apparaisse.
Pour éliminer les risques de décharge, on raccordera les masses du
spectroscope et du support des tubes de Plücker, à la terre (accessible

2. ETUDE DE L'HYDROGENE
2
Expérience TOU-1-B
L'hydrogène (H2) est contenu dans un tube de Plücker. Sur un fond assez
complexe de bandes moléculaires enchevêtrées se détachent les raies Hα ,
Hβ et Hγ_ (respectivement rouge, verte et violette) ; la raie Hδ , située plus
loin dans le violet, s'observe difficilement.
Mesurez les longueurs d'onde de ces 3 raies soit à l'aide d'une mesure
directe si votre spectroscope est gradué en longueur d'onde, soit en
utilisant la courbe d'étalonnage qui accompagne les spectroscopes à
graduation arbitraire :
λα (rouge) =
λβ (vert-bleu) =
λγ (violette) =
A partir de la formule (5), calculez le facteur f = 1/r² - 1/s² associé aux
raies Hα , Hβ et Hγ (f n’est pas la fréquence)
fα =
fβ =
fγ =
Est-il possible que les 3 raies observées appartiennent à la série de Lyman
(r = 1) ? Pourquoi ?
o
A
o
A
o
A

3
Expérience TOU-1-B
Dans quelle région du spectre électromagnétique vous attendez vous à
trouver les raies de la série de Lyman ? Pourquoi ?
IR visible UV
Est il possible que les 3 raies observées appartiennent à la série de Balmer
(r = 2) ? Pourquoi ?
Dans quelle région du spectre électromagnétique vous attendez vous à
trouver les raies de la série de Balmer ? Pourquoi ?
IR visible UV
Dans quelle région du spectre électromagnétique vous attendez vous à
trouver les raies des séries r ≥ 3 ? Pourquoi ?
IR visible UV
Identifiez précisément les transitions observées :
r α = s α =
r β = s β =
r γ = s γ =

3. ETUDE DU SODIUM
Observez et repérez la position de la raie jaune du Na
λ = ( o
A )
4. ETUDE DE L'ARGON
4
Expérience TOU-1-B
Observez le spectre de l'Ar afin de le comparer qualitativement à celui de
l'hydrogène. Quelles sont les principales différences ? Comment peut-on
les expliquer ?

1.INTRODUCTION
RAYONS X
1
Introduction TOU-2
Les rayons X ont été découverts en 1895 par le physicien Wilhelm Röntgen.
Ne connaissant pas la nature des radiations qu’il venait de mettre en
évidence, il les affubla de la lettre « X », pour « inconnu ». On a prouvé par
la suite que les rayons X étaient des ondes électromagnétiques (comme la
lumière visible) dont la longueur d'onde est comprise entre environ un
dixième et une centaine d'angströms (1 = 1 10 -10 A m). Les rayons X se
classent ainsi entre les rayons ultraviolets et les rayons γ (émis par certains
radioéléments). Leur fréquence est largement supérieure à celle des
rayonnements visibles. L’énergie portée par ces rayons est donc assez
importante, ce qui les rend très pénétrants.
o
1.1. Nature des rayons X
Les rayons X ont les mêmes caractéristiques générales que la lumière
(voir introduction générale d’optique). Les effets qu'ils produisent
s'interprètent en invoquant :
soit leur aspect ondulatoire, pour comprendre, par exemple, les
phénomènes de diffraction. On les caractérise alors par leur
longueur d'onde λ et leur fréquence ν qui sont liées par la relation
8
λν = c= 3⋅ 10 m/ s(c
= vitesse de la lumière) ;
soit leur aspect corpusculaire notamment pour décrire leur
interaction avec la matière. On peut alors parler de photons X,
caractérisés par leur énergie E = hν,
où h = 6.63 10 -34 Js est la
constante de Planck.
1.2.Propriétés des rayons X
Les rayons X excitent la fluorescence de certaines substances. Par
exemple, un écran de platinocyanure de baryum émet une lumière
verdâtre quand il est frappé par des rayons X. On peut donc réaliser une
image d’un objet par transparence en interposant l’objet entre une source
de rayons X et un écran fluorescent, c’est le principe de la radioscopie
(figure 1a).

2
Introduction TOU-2
Les rayons X exercent également des actions photochimiques : ils
impressionnent notamment les plaques photographiques, d'où leur
emploi en radiographie (figure 1b).
Les rayons X provoquent également l'ionisation des gaz qu'ils traversent.
Ce pouvoir ionisant est exploité dans les compteurs « Geiger » utilisés
pour mesurer l'intensité d'un rayonnement X.
Leur longueur d'onde étant du même ordre de grandeur que les distances
interatomiques, les rayons X ont une interaction particulière avec la
matière, ce qui justifie leur utilisation dans diverses applications comme
par exemple l’étude de la structure des cristaux.
Du fait de leur énergie importante, les rayons X ont également un grand
pouvoir pénétrant dans la matière ce qui les rend particulièrement utiles
en médecine où ils sont employés dans différentes techniques d’imagerie
(radioscopie, radiographie et tomographie RX), mais aussi en
radiothérapie par exemple pour la destruction des tumeurs.
a. b.
Figure 1 : a. radioscopie d’une souris (informatique) réalisée au laboratoire,
b. première radiographie réalisée par Röntgen, effectuée avec la main de sa
femme, au cas où ce serait dangereux.

2.PRODUCTION DES RAYONS X
3
Introduction TOU-2
Les rayons X peuvent être produits en envoyant des électrons accélérés
par une différence de potentiel V sur une anode métallique, appelée
anticathode. La source la plus fréquente est le tube de Coolidge (figure
2). Dans ce dispositif, une cathode chaude parcourue par un courant
émet des électrons, qui sont ensuite accélérés vers l’anticathode par une
haute tension. L'enceinte contenant la cathode et l'anticathode est
pratiquement sous vide. Cela garantit que l'énergie cinétique des
électrons émis par la cathode équivaut pratiquement à la différence de
potentiel appliquée puisque les électrons ont une faible probabilité
d'entrer en collision avec les molécules de gaz restant dans l'enceinte. La
pression résiduelle qui règne dans l'enceinte est en général inférieure à
10 -4 Pa.
électrons
Rayons X
Figure 2 : exemple de tube de Coolidge

3.LOIS D’EMISSION
4
Introduction TOU-2
Les rayons X émis par une anticathode soumise à un bombardement
d'électrons peuvent avoir deux origines distinctes. Le premier type de
rayons X constitue ce que l’on appelle le fond spectral continu, le second
type, superposé au premier, est un spectre discontinu appelé spectre
caractéristique.
3.1. Le fond continu
Considérons, par exemple, un tube à rayons X équipé d'une anticathode
de cuivre. S’il fonctionne sous une haute tension de 30 kVolt et que l’on
mesure l'intensité du rayonnement X émis en fonction de sa longueur
d'onde λ, on obtient une courbe semblable à celle illustrée sur la figure
3 : pour chaque valeur de l'intensité du courant cathodique I, l'intensité
du rayonnement peut être représentée par une courbe régulière. Quelle
que soit l'anticathode utilisée, la courbe a toujours sensiblement la même
forme et, seules les valeurs absolues des intensités varient d'une
anticathode à l'autre.
Intensité (UA)
0.2
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figure 3
Longueur d’onde λ (A)
Ce fond spectral continu est dû au freinage des électrons du faisceau
cathodique par le champ électrique intense entourant le noyau de chaque
atome de l'anticathode. On donne à ce phénomène le nom allemand de
"Bremsstrahlung" qui signifie "rayonnement de freinage".

3.2. Le spectre caractéristique
5
Introduction TOU-2
Si l’on applique à un tube à rayons X une tension croissante (le courant
cathodique restant constant), l'intensité du rayonnement X qu'il produit
augmente. A partir d’une certaine tension, on peut observer des
discontinuités dans le spectre d'émission : la série de raies apparaissant
alors, qui se superpose au fond continu, est appelée
spectre caractéristique (fig. 4).
Les spectres caractéristiques de tous les éléments sont similaires : ils
sont constitués par une ou plusieurs séries de raies appelées séries K, L,
M,... La série K est la plus facile à observer.
Figure 4
Sur notre appareil à rayons X, nous observerons les pics Kα et Kβ représentés sur la figure 4.
Le spectre caractéristique peut être interprété à l’aide de la mécanique
quantique. Si l’anticathode est constituée de cuivre (comme celle de
l’appareil que vous utiliserez au laboratoire), il faut utiliser les niveaux
électroniques de l'atome de cuivre, dont le nombre atomique est Z = 29.
La couche K, c'est-à-dire la couche la plus proche du noyau est occupée
par deux électrons, la couche L par 8 électrons, la couche M par 18

6
Introduction TOU-2
électrons et la couche N par 1 électron. Les différents niveaux
énergétiques de l'atome de cuivre sont représentés à la figure 5.
Un électron d'énergie E1, lié à un atome de cuivre de l'anticathode, peut
être expulsé quand il est frappé par un électron libre du faisceau
cathodique, pour autant que l'énergie cinétique de ce dernier soit
suffisante. Sa place sur le niveau énergétique est donc rendue libre.
L'atome est donc à la fois ionisé et excité. L’ion ainsi produit se désexcite
rapidement par le passage d'un autre électron provenant d’un niveau
d'énergie supérieure (soit E2) vers la "place" laissée libre. L'énergie totale
de l'atome est donc diminuée de la différence E2-E1. L'énergie ainsi
disponible se retrouve sous forme d'un photon X d'énergie
hν = E2 − E1
Figure 5 : représentation des niveaux d'énergie des électrons de l'atome de
Cu.
Lors de ce réarrangement dans les couches électroniques des atomes de
l'anticathode, des photons X d’énergie différente peuvent donc être émis.
Ils correspondent aux différentes transitions électroniques possibles et
constituent une série de radiations caractéristiques de l'élément
constituant l’anticathode.

7
Introduction TOU-2
Par exemple, si l'électron expulsé appartient à la couche K, la place
rendue vacante peut être occupée par un électron provenant de la couche
L (raie Kα ), de la couche M (raie Kβ ) ou de la couche N (raie Kγ). Ces
différentes raies constituent la série K. Après ce premier réarrangement,
la couche K est à nouveau complète ; mais la couche d'où provient
l'électron qui a comblé le vide de la couche K est maintenant incomplète.
Un second réarrangement se produit donnant lieu à l'émission d'une
autre série de raies caractéristiques. Plusieurs réarrangements
électroniques peuvent ainsi se produire successivement.
Une série de raies caractéristiques d'une couche i apparaîtra quand la
différence de potentiel V sera telle que :
eV ≥ Wi
où W i est l'énergie de liaison d'un électron dans la couche i considérée
(e est la charge de l'électron). Cette condition exprime que l'énergie
cinétique acquise par l'électron libre qui entre en collision avec
l’anticathode doit être suffisante pour expulser un électron de la couche i.
Sur le spectre, l'intensité de certaines raies est supérieure à celle d'autres
raies. Cela traduit simplement le fait que certaines transitions
électroniques sont plus probables que d'autres. Par exemple, du spectre
de la figure 4, on peut déduire que la transition L → K (raie Kα ) est plus
fréquente que la transition M → K (raie Kβ ).
3.3. Limite inférieure des longueurs d'onde émises
A la figure 3, on remarque que pour une différence de potentiel donnée,
l'intensité du rayonnement du fond spectral continu devient nulle en
dessous d'une certaine valeur de la longueur d'onde, notée λmin (cette
valeur étant indépendante du courant cathodique). On note que ce seuil
d'émission diminue quand la différence de potentiel augmente (figure 6).

Intensité (UA)
0.2
λmin
V =30kV
V =22kV
V =15kV
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figure 6
8
Introduction TOU-2
Ce phénomène s’explique aisément : les électrons issus de la cathode et
accélérés par une différence de potentiel V acquièrent une énergie
cinétique :
eV = Ecin =
mv
2
L'énergie pouvant être transmise de l'électron au photon par
"Bremsstrahlung" sera limitée par
2
mv
hν ≤ = eV
2
L'énergie maximale acquise par un photon sera donc :
hν = eV
max
Longueur d’onde λ (A)
Il existera donc une limite inférieure à la longueur d’onde du spectre
d'émission :
2

hc
λ
min
λ =
min
= eV
9
hc
eV
en exprimant λmin en A et l'énergie en keV
o
12.4
eV ( keV )
o
λ min (A) = (1)
Introduction TOU-2
La différence de potentiel appliquée à l'appareil que vous utiliserez au
laboratoire est de 35 kVolts. La longueur d'onde minimum des rayons X
que vous pourrez produire avec cet appareil sera λmin = 0.35 A o
4. INTERACTION DES RAYONS X AVEC LA MATIERE
Lorsqu’une une cible est placée dans le parcours d'un faisceau de rayon
X, une partie de l'énergie du rayonnement ne se retrouve plus dans le
faisceau après la traversée de la cible. On dit que l'énergie est absorbée
par la cible. La diminution de l'intensité d'un rayonnement X qui traverse
la matière est dû à son interaction avec celle-ci.
D'une façon générale, lorsque des photons X rencontrent une cible,
différents phénomènes peuvent avoir lieu :
a) Certains photons n'interagissent pas avec la cible, ils évoluent de la
même façon qu'en l'absence de cible ;
b) D'autres sont diffusés, soit sans perte d'énergie (diffusion sans
changement de longueur d'onde, aussi appelée diffusion Thomson), soit
avec perte d'énergie (diffusion avec changement de longueur d'onde, dite
effet Compton) ;
c) Enfin, certains sont absorbés par les atomes de la cible, qu'ils ionisent
par effet photoélectrique.
L'absorption dépend des atomes constituant la cible. D'après l'équation
(1) l'énergie E d'un photon en keV peut s'écrire :

hc 12.4
E( keV ) = hν = = o
λ
λ(A)
10
(2)
Introduction TOU-2
L'énergie d'un photon de longueur d'onde λ = 1 A sera donc 12.4 keV.
o
Cette énergie est du même ordre de grandeur que l'énergie de liaison des
électrons dans l'atome. L'absorption des rayons X par la matière produit
donc des phénomènes qui se déroulent à l'échelle des atomes et non des
molécules. Par exemple, l'absorption de rayons X par un atome de plomb
sera la même, que le plomb se trouve à l'état métallique ou à l'état de
combinaison dans un cristal (verre contenant du silicate de plomb).
L'absorption augmente avec le nombre atomique Z des atomes de la
cible. Ainsi, si l’on place entre un tube à rayons X et un écran fluorescent
une plaque d'aluminium (Al, Z = 13), de cuivre (Cu, Z = 29) ou de plomb
(Pb, Z = 82), "l'ombre" de la plaque de plomb sur l'écran sera plus
foncée que celle de la plaque d'Al ou de Cu. L'absorption dépend
évidemment de l'épaisseur de la plaque utilisée.
De plus, l'absorption augmente également avec la longueur d'onde du
rayonnement. Autrement dit, quand l'énergie hν des photons augmente,
l’absorption diminue.
Expérimentalement, on trouve, pour un rayonnement X
monochromatique, que l'intensité transmise Iλ (x) en fonction de
l'épaisseur x de la cible varie suivant une exponentielle :
( ) ,0
I x I e λ
−µ
x
λ = λ
(3)
où I λ,0 est l'intensité du faisceau incident.
Le coefficient µ λ est appelé coefficient d'absorption. Il dépend de la
longueur d'onde. Pour une cible donnée, sa valeur augmente avec la
longueur d'onde du rayonnement.
A titre documentaire, voici quelques valeurs du coefficient d'absorption
massique µ/ρ (exprimées en cm²/gr) de différents éléments.

λ
( A) o
Elément
11
Introduction TOU-2
C Al Fe Co Ni Cu Zn Ag Pb
0,12 0,14 0,16 0,25 0,27 0,28 0,30 0,32 0,9 0,0
0,6 0,44
9
3,20 23,9 26,4 29,1 31,9 34,8 15,9 80,1
1,0 1,40 13,8 99,1 108 118 128 137 67,3 74,2
1,6 5,12 54,1 338 362 50,9 58,9 67,2 240 254
2,0 9,76 103 72,9 84,3 97,1 112 128 423 432
2,6 21,1 217 155 179 206 239 271 778 738
2,75 24,8 255 182 210 242 280 318 876 811
Tableau 1
L'absorption des rayons X par la matière est particulièrement utilisée en
médecine. Les différentes parties du corps humain absorbent plus ou
moins les rayons X : les chairs, contenant essentiellement du carbone
(Z = 6), de l'hydrogène (Z = 1) et de l'oxygène (Z = 8), absorbent peu
les rayons X, tandis que les os, contenant du sel de calcium (Ca, Z = 20)
ont un pouvoir absorbant beaucoup plus grand. Ces derniers provoquent
une "ombre" plus foncée sur un écran fluorescent ou sur une plaque
photographique. Pour une radiographie d'organe, le malade absorbe des
substances contenant des composés iodés (Z = 53) afin de rendre
"opaque" l'organe à radiographier. Les rayons X sont aussi utilisés en
radiothérapie : des rayons très pénétrants (appelés rayons durs) sont
utilisés pour soigner les lésions cancéreuses profondes sans endommager
les tissus superficiels.

5. DIFFRACTION DES RAYONS X
12
Introduction TOU-2
Un faisceau de rayons X pénétrant à l'intérieur d'un cristal subit une
diffraction analogue à celle d'un faisceau lumineux tombant sur une série
de fentes parallèles équidistantes (voir optique-3).
Etudions la diffraction de rayons X par un cristal de NaCl (au laboratoire,
vous utiliserez un cristal de LiF). Les atomes de ce cristal sont disposés
suivant un réseau cubique (fig. 7). La distance entre atomes adjacents
dans le réseau est d = 0,282 nm.
Figure 7
Quand un faisceau de rayons X pénètre à l'intérieur d'un cristal, chaque
atome du cristal diffuse les rayons X dans toutes les directions.
L'intensité résultante du faisceau de rayons diffractés est le résultat de
l'interférence de tous ces rayons diffusés par chaque atome du cristal.
Considérons deux atomes A et B appartenant à deux plans successifs (fig.
7). La différence des chemins optiques parcourus par les rayons incidents
1 et 2 (de longueur d'onde λ) est CB + BD. Leur différence de phase δ est
donnée par
( )
CB + BD 2d sin θ
δ = 2π = 2π
(4)
λ λ

13
Introduction TOU-2
où θ est l'angle d'incidence des rayons sur le cristal et d la distance entre
les deux plans d'atomes.
La condition d'interférences constructives des rayons diffractés, δ = 2nπ,
donne :
( )
nλ = 2dsin θ
(5)
où n est un nombre entier. Cette relation est connue sous le nom de loi
de Bragg. Le nombre n s'appelle ordre de diffraction.
Lorsque la différence de chemin optique entre les rayons diffractés par 2
plans successifs vaut 1 fois la longueur d'onde, n = 1. Lorsque cette
différence vaut 2 fois la longueur d'onde, n = 2, et ainsi de suite.
1 2
Figure 8
La relation de Bragg (5) peut être utilisée :
soit pour déterminer la distance d entre atomes voisins dans un
cristal, si la longueur d'onde λ du faisceau de rayons X est
connue,
soit, inversement, pour déterminer la longueur d'onde des rayons
X, si la distance d du cristal utilisé est connue. Vous appliquerez
la loi de Bragg dans ce cas au laboratoire.

DETECTEUR GEIGER
Photo 1
Photo 2
14
TUBE RX
Introduction TOU-2

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1. APPAREILLAGES
RAYONS X
1
Expérience TOU-2
Attendez les explications d’un assistant avant de commencer la
manipulation. Vous utiliserez un appareil basique (photo 1) pour
l’expérience d’absorption directe et un appareil plus récent (photo 2) pour
les déterminations des coefficients d’absorption de la raie Kα et Kβ .
Chacun de ces appareils comporte un tube de Coolidge, pourvu d’une
anticathode en cuivre, pour la production des rayons X. On peut ensuite
interposer dans le passage du faisceau différents type d’absorbants, de
différentes épaisseurs, et mesurer l’intensité de rayons X qui ont traversé
l’absorbant. La détection et le comptage des rayons X s’effectue à l’aide
d’un compteur Geiger.
TUBE DE
COOLIDGE
RX RX
COMPTEUR
GEIGER
Figure 9 : dispositif expérimental pour une expérience d’absorption de RX
Pour les expériences où la diffraction est utilisée, on ajoute un cristal de
LiF (Fluorure de Lithium) entre la sortie du tube de Coolidge et
l’absorbant. Dans l'appareil que vous utiliserez, le cristal aura déjà été
placé correctement. Vous n'aurez donc pas à y toucher !

2. SPECTRE D’EMISSION DES RAYONS X
2
Expérience TOU-2
Pour analyser le spectre d'émission des rayons X produits par l’appareil,
une diffraction sur un cristal de LiF a été réalisée. L’évolution de
l’intensité de rayons X diffractés en fonction de l’angle de diffraction est
reprise à la figure 10 (= spectre).
Quels sont ses composantes principales de ce spectre?
Il existe une limite inférieure aux longueurs d'onde qu'on peut produire
avec un appareil à rayons X. Quelle est cette limite dans l'appareillage
utilisé ? Expliquez.
En utilisant la relation de Bragg (5), interprétez le spectre et expliquez la
présence des quatre pics.
A quoi attribuez-vous la première série de 2 pics ?
A quoi attribuez-vous la seconde série de 2 pics ?
Déterminez sur la figure 10 les angles correspondant aux raies
caractéristiques Kα et Kβ à l'ordre de diffraction n = 1 et n = 2. En
utilisant (5), déterminez les longueurs d'onde correspondantes. Attention,
on utilise un cristal de LiF, avec d = 0.2014 nm.
n =1 n = 2
θα = θβ = θα = θβ =
λα = λβ = λα = λβ =

DIFFRACTION SUR UN CRISTAL
DE LiF, d = 2.014 10 -10 m
3
Expérience TOU-2

3. ABSORPTION DIRECTE
4
Expérience TOU-2
Dans un premier temps, vous étudierez l’absorption directe d’un faisceau
de rayons X par différentes épaisseurs d’aluminium.
Utilisez l'ancien appareil marqué "absorption directe".
Placez successivement six absorbants d'aluminium d'épaisseur différente.
Pour chacun d'entre eux, mesurerez d'abord I0 (nombre de coups à vide)
et ensuite I (une fois l'absorbant placé). Ces intensités seront mesurées
en comptant le nombre de coups en 15 secondes. Il est nécessaire de
procéder à une nouvelle mesure de I0 pour chaque nouvelle épaisseur car
la production de rayons X par l'anticathode n'est pas constante au cours
de l'expérience. Complétez le tableau suivant :
Epaisseur
d’absorbant x (mm)
0.10
0.25
0.50
0.75 (0.5+0.25)
1.00
1.50 (1+0.5)
I0
(coups/15 sec)
I
(coups/15 sec)
Portez vos résultats en graphique sur papier graphique semilogarithmique,
en prenant l'épaisseur x de l'absorbant comme abscisse et
le rapport I/I0 comme ordonnée.
La loi d'absorption de rayons X monochromatiques prédit une
dépendance exponentielle de l’intensité en fonction de l’épaisseur
(équation (3) de l’introduction).
Votre graphique est-il conforme à cette prédiction ?
A votre avis, pourquoi ?
I/I0

4. ABSORPTION DES RAIES Kα ET Kβ
5
Expérience TOU-2
En étudiant le spectre d'émission, vous avez mis en évidence 2 raies (K α
et K β ). Vous avez également déterminé à quel angle de diffraction on
trouvait, au premier ordre, la raie K α et la raie K β
Vous allez maintenir faire une expérience d’absorption de rayons X, mais
uniquement pour les rayons X de la raie K α (de longueur d’onde λ α ) et
ceux de la raie K β (de longueur d’onde λ β ).
Kα
Dans ce premier cas, utilisez l'appareil récent marqué "absorption en
diffraction K α ". Le faisceau principal est envoyé sur un cristal de LiF, sur
lequel il est diffracté. En choisissant judicieusement l’angle de détection
(θ α ), vous pourrez travailler sur les rayons X de la raie K α
• Dans le programme « measure » de pilotage de la machine, ouvrez
l’onglet « File » et cliquez sur « New measurement ». Vous devez
alors donner les paramètres de l’expérience à réaliser. Ils sont
résumés dans le tableau suivant :
Nom du paramètre Valeur à choisir
Type of measurement Impulse count
X data Thickness of absorber
Emissions current 1 mA
Integration time 30 s
Voltage Constant ; 35 kV
Setup • Cristal LiF
• Absorber : no absorber
• Filter : no filter
Rotation mode Both angle constant
Angle • Crystal angle :
entrez ici la valeur de l’angle θ α
calculée à la page 2.
• Detector angle :
entrez ici la valeur de 2 θ α
• Une fois les paramètres entrés, cliquez sur « continue ».
• Plusieurs fenêtres s’ouvrent. Dans la fenêtre « measuring », entrez
0 mm pour la première épaisseur (à côté de « thickness ») ; cliquez
sur « voltage on » pour allumer la source de rayons X, et ensuite

6
Expérience TOU-2
cliquez sur « save value » pour commencer l’acquisition de 30
secondes.
• Après 30 secondes, on peut faire une mesure pour une nouvelle
épaisseur.
o Appuyez sur « voltage off »,
o Ouvrez la porte, retirez l’absorbant précédent et mettez le
nouvel absorbant juste devant le détecteur Geiger.
o Fermez la porte de la chambre à rayons X et enclenchez la
sécurité.
o Entrez la valeur de la nouvelle épaisseur dans la fenêtre
« measure ».
o Appuyer sur « voltage on » et ensuite sur « save value » pour
commencer l’acquisition.
• Procéder exactement de la même manière pour chaque nouvelle
épaisseur d’absorbant.
• Après avoir effectué les mesures pour toutes les épaisseurs
demandées, cliquer sur « stop measurement » pour revenir à la
fenêtre générale du programme.
• Cliquer sur l’onglet « measurement » et choisir « data table ».
• Une table avec vos résultats s’affiche à l’écran, retranscrivez les
données dans le tableau suivant.
Epaisseur d’absorbant
x (mm)
0,00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.16
I
(coups/sec)
Résultats d’absorption en Kα

Kβ
7
Expérience TOU-2
Dans ce second cas, utilisez l'appareil récent marqué "absorption en
diffraction K β ". Le faisceau principal est envoyé sur un cristal de LiF, sur
lequel il est diffracté. En choisissant judicieusement l’angle de détection
(θβ ), vous pourrez travailler sur les rayons X de la raie Kβ • Dans l’onglet« File », cliquez sur « New measurement ».
• La fenêtre de paramètres s’ouvre alors. Les paramètres à entrer sont
les mêmes que pour la raie Kα (voir table), sauf pour les angles de
diffraction :
« Crystal angle » entrez ici la valeur de l’angle θβ calculée à la page
2.
« Detector angle » entrez ici la valeur de 2 θβ • Remplissez le tableau suivant :
Epaisseur d’absorbant
x (mm)
0,00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.16
I
(coups/sec)
Résultats d’absorption en Kβ
Portez les résultats obtenus pour Kα et Kβ sur deux graphiques semi
logarithmiques.
Vos graphiques sont ils conformes à la relation (3) ? Pourquoi ?

8
Expérience TOU-2
Déterminez les valeurs du coefficient d’absorption µ pour les 2 graphiques :
μ α =
μ β =
La longueur d'onde de la raie Kα est supérieure à celle de la raie Kβ .
Quelle est la raie correspondant aux rayons les plus énergétiques ?
Quels photons sont le plus facilement absorbés, ceux provenant de la
transition Kα ou ceux provenant de Kβ ?
Comment devraient être les coefficients d'absorption μα et μβ l'un par
rapport à l'autre ?
Vos résultats correspondent-ils à cette prédiction ? Comment pourrait-on
expliquer les écarts éventuellement observés par rapport aux prévisions
théoriques ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1
Introduction TOU-3-A
LES EQUIVALENTS MECANIQUE ET ELECTRIQUE DE LA CHALEUR
Le principe de conservation de l'énergie est sans doute un des principes
fondamentaux de la physique. Limité au domaine de la mécanique, il
s'exprime par la constance de l'énergie mécanique (cinétique et potentielle)
dans le mouvement. La thermodynamique élargit considérablement le champ
d'application de ce principe, en établissant une équivalence entre les
différentes formes d'énergie : chaleur, travail, énergie électromagnétique...
La conservation de l'énergie pour un système isolé (1 er principe de la
thermodynamique) prend alors la forme d'un principe de transformation : on
retrouve en chaleur l'énergie fournie sous forme de travail mécanique, ou
portée par un courant électrique.
Nous allons vérifier ces deux équivalences.
1. TRAVAIL ET CHALEUR
La simplicité du dispositif utilisé ici permet une vérification claire et
immédiate du principe. Une corde de nylon est enroulée sur le corps en
cuivre d'un calorimètre, et le frottement provoqué lorsqu'on fait tourner le
calorimètre réchauffe ce dernier, il suffit donc de mesurer l'élévation de
température.
Figure 1 Figure 2

2
Introduction TOU-3-A
Les figures 1 et 2 nous montrent les positions respectives de la masse M et
du contrepoids m au début du mouvement et en régime.
Nous commencerons donc par estimer le travail dépensé. Le montage
expérimental est tel qu'au départ (voir figure 1), les masses qui tirent sur
l'extrémité c de la cordelette (M = 5 kg) et sur le brin a (masse m) tendent
suffisamment cette cordelette pour que la masse M quitte le sol et s'élève
lorsqu'on tourne la manivelle attachée au calorimètre. Au moment où la
masse m commence à être aussi soutenue par le brin b, fixé à la table, et
plus seulement par le brin a (voir figure 2), la tension dans la corde diminue
et la masse M reste à peu près immobile. Dans ces conditions, la résultante
des forces qui s'exercent sur la corde est nulle, et l'on peut écrire, si F → est la
force de frottement exercée par le calorimètre en mouvement sur la corde
F = Mg
Le nombre de tours effectué par la cordelette autour du calorimètre
n'intervient pas dans le calcul. Il faut seulement que ce nombre de tours soit
tel que le système fonctionne bien comme décrit ci-dessus (M commençant
par s'élever, puis se stabilisant) ; en général, 5 tours conviennent
parfaitement. Une fois le système stabilisé, la force de frottement s'exerce
sur une longueur valant cinq fois le tour du calorimètre, mais il ne faut pas
confondre cette longueur avec le déplacement qui produit le travail. Ce
déplacement est dû à la rotation du calorimètre, que la corde fasse 3, 4 ou 5
tours autour de lui ; il est donc égal à la longueur d'un tour (πd, où d est le
diamètre du calorimètre, soit 46,5 mm) multipliée par N, le nombre de tours
dont on aura fait tourner la manivelle. Un compte-tour permet de relever
facilement ce nombre.
Le travail mécanique dépensé, Wmec, est donc
Wmec = NπdMg (1)
On exprimera ce travail en N.m. D'autre part, on connaît la quantité de
chaleur nécessaire pour élever la température de 1 g d'eau d'un degré
Kelvin, elle vaut 4,18 J (cette grandeur porte le nom de chaleur spécifique de
l'eau). Le constructeur nous indique aussi que 40 J sont nécessaires pour
élever la température du calorimètre d'un degré, et 5 J pour faire monter le
thermomètre d'un degré.

3
Introduction TOU-3-A
La quantité de chaleur absorbée par le calorimètre peut donc se calculer et
vaut :
Q = ∆T (4,18 m + 45) (2)
où m est la masse d'eau contenue dans le calorimètre, et où ∆T = Tf - Tin est
l'élévation de température lue au thermomètre entre le début et la fin du
mouvement de rotation. Ici, Q sera exprimé en Joules.
Il s'agira de comparer Wmec et Q.
2. ENERGIE ELECTRIQUE ET CHALEUR
Il est bien connu que lorsqu'une résistance R est parcourue par un courant I,
une quantité de chaleur RI² y est dissipée chaque seconde (effet Joule). En
faisant appel à la loi d'Ohm, on peut donc écrire la quantité de chaleur
dissipée pendant le temps t comme
Wel = V I t (3)
si V = RI est la différence de potentiel aux bornes de la résistance. Wel
s'exprime en Watt.sec.
Ici aussi, en plaçant une telle résistance dans un calorimètre, on n'aura
aucune difficulté de principe à vérifier l'équivalence énergie électriquechaleur.
Si m' est la masse d'eau contenue dans le calorimètre, et si la capacité
calorifique du calorimètre et de ses accessoires est égale à 40 J/K, il vient
Q' = ∆T'(4,18 m' + 40) (4)
où ∆T' représente la différence de température mesurée entre l'instant où le
courant est branché, et celui où il est coupé.
La vérification consiste tout simplement à comparer Wel et Q'.

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1
Expérience TOU-3-A
LES EQUIVALENTS MECANIQUE ET ELECTRIQUE DE LA CHALEUR
1. TRAVAIL ET CHALEUR
Pour que la comparaison du travail fourni avec la chaleur reçue ait un sens, il
est nécessaire de calculer les erreurs à chaque étape de la manipulation.
- Peser le calorimètre vide (seulement le corps du calorimètre, pas la bague
de serrage, ni le joint).
m1 = ±
- Remplir le calorimètre d'eau.
Placer le joint autour du thermomètre.
Introduire le thermomètre dans le calorimètre, et fixer la bague de
serrage.
Fixer le calorimètre rempli à la manivelle, en introduisant les rivets du
fond du calorimètre dans les rainures du disque et encliqueter en tournant
la manivelle.
- Enrouler la cordelette autour du calorimètre, (5 tours environ),
conformément à la figure 3.
Figure 3 : le montage prêt à fonctionner

2
Expérience TOU-3-A
Ne pas toucher le thermomètre, ne pas enrouler la cordelette
autour du thermomètre, il se brise très facilement !
- Attacher le crochet qui se situe à l'extrémité de la cordelette à la masse M
de 5 kg.
- Laisser pendre l'autre extrémité de la cordelette avec le contrepoids et la
fixer derrière le compte-tours en laissant du mou dans la cordelette. Le
contrepoids doit être très proche du calorimètre lorsque M est par terre.
- Relever la température :
Tin = ±
- Faire tourner la manivelle. Il faut que M s'élève, et qu'elle se stabilise
lorsque le contrepoids atteint la position la plus basse qui lui est
accessible.
- Relever la position du compte-tours à ce moment :
N1 =
- Tourner la manivelle, d'environ 200-300 tours, à une vitesse telle que la
cordelette reste à peu près immobile, jusqu'à ce que le compte-tours
indique
On a donc
N2 =
N = N2 - N1 = ±
- Relever la température à la fin du mouvement :
Tf = ±
et donc ∆T = ±

3
Expérience TOU-3-A
- Démonter l'appareillage : détacher la cordelette, sortir le calorimètre de
sa fixation, dévisser la bague de serrage et ôter le thermomètre du
calorimètre en tenant celui-ci bien droit pour éviter de laisser s'échapper
l'eau.
Peser le calorimètre plein :
m2 = ±
Déterminez la masse d'eau contenue dans le calorimètre :
m = ±
Calculer le travail fourni à l'aide de la formule (1)
Wmec = ±
et la chaleur dissipée à l'aide de la formule (2) :
Conclusions ?
Q = ±

2. ELECTRICITE ET CHALEUR
- Réaliser le montage électrique suivant :
Figure 4 : schéma du montage électrique
4
Expérience TOU-3-A
- Peser le vase de Dewar (vide), débarrassé des résistances et de
l'agitateur (détacher les petits ressorts).
m3 = ±
- Remplir à moitié (1 cm au-dessus des résistances) le vase d'eau et
replacer les résistances, l'agitateur et le thermomètre.
- Effectuer 3 mesures de dissipation de chaleur, en utilisant
successivement
(1) l'une des résistances
(2) les 2 résistances en série
(3) les 2 résistances en parallèle.
Les 3 montages sont représentés à la figure 5, ainsi que les valeurs
approximatives de la différence de potentiel qu'il faut voir apparaître au
voltmètre.
Entre 2 mesures, il faut vider le calorimètre et y remettre de l'eau
froide, de manière à partir d'une température initiale pas trop élevée.
Après chaque mesure et avant de remplacer l'eau chaude, il faudra
peser la masse d'eau réchauffée en déterminant m4, la masse du Dewar
plein d'eau.

Figure 5
5
Expérience TOU-3-A

6
Expérience TOU-3-A
Pendant les mesures, il faut constamment agiter doucement l'eau afin
d'uniformiser la température dans le calorimètre. C'est essentiel pour la
réalisation de l'expérience, faute de quoi l'eau chaude reste au
voisinage des résistances, et la température lue ne correspond
nullement à la moyenne sur tout le calorimètre !
Compléter les tableaux suivants, après avoir dans chaque cas laissé
l'alimentation branchée pendant quelques minutes ; en fait, on suivra
l'évolution de la température, et la mesure peut être arrêtée lorsque ∆T'
dépasse 5-6 degrés.
Energie électrique :
(1)
(2)
(3)
Chaleur :
(1)
(2)
(3)
Conclusions ?
V
(V)
I
(A)
t
(s)
Tableau 1
T' in T' fin ∆T' m 4 m'
m 4 -m 3
Tableau 2
Wel [formule (3)]
(W.s.)
Q' [formule (4)]

7
Expérience TOU-3-A
Pour le couple de mesures qui présente la plus grande différence, calculez les
erreurs expérimentales sur Wel et Q'. L'écart observé est-il en accord avec
ces barres d'erreurs ? Quelle est votre conclusion ?

1. INTRODUCTION
DÉTERMINATION DE LA VITESSE DU SON
1
Introduction TOU-3-B
Dans la vie de tous les jours, l'effet de la vitesse finie du son ne se manifeste
que dans des circonstances bien particulières : phénomène d'écho, décalage
temporel entre l'éclair lumineux et le “coup de tonnerre”, etc.
Cette séance de travaux pratiques permettra de déterminer la valeur de
cette vitesse dans l'air, mais aussi dans un autre milieu : l'Hélium. La
manipulation se base sur les propriétés générales des ondes, et plus
précisément sur le phénomène d'onde stationnaire.
2. CARACTÉRISTIQUES D'UNE ONDE SONORE
Les ondes sonores nécessitent un milieu élastique (gazeux, liquide ou solide)
pour se propager. Au cours de la propagation du son, les molécules du milieu
vibrent, dans la direction de propagation, autour de leur position d'équilibre.
Ceci engendre des variations de densité et de pression dans la direction de
propagation de l'onde; on parle alors d'onde longitudinale. Rappelons que
la lumière, quant à elle, est une onde transversale: la vibration a lieu dans
une direction perpendiculaire à la direction de propagation ; et qu’aucun
support matériel n’est nécessaire pour que la lumière se propage.
Nous n'étudierons ici que la propagation d'une onde sonore à une dimension.
Considérons un tube longitudinal rempli d'air où se trouve, à l'une de ses
extrémités, un haut-parleur (figure 1).
Figure 1 : schéma du dispositif expérimental
Lorsque la membrane du haut-parleur se déplace vers l'avant, elle engendre
une compression des couches d'air se trouvant devant elle. Ces couches d'air
vont à leur tour comprimer les couches voisines et ainsi de suite, formant
une impulsion de compression qui se propage dans le tube.

2
Introduction TOU-3-B
Quand la membrane revient vers l'arrière, les couches d'air à l'avant de la
membrane se dilatent et une impulsion de raréfaction se propage dans le
tube. La succession d'impulsions de compression et de raréfaction donne
naissance à une onde sonore. La vibration des molécules d'air entraine donc
une variation de pression autour de la pression d'équilibre (pression
atmosphérique).
Cette variation de pression est appelée pression acoustique. C’est à cette
pression que l’oreille est sensible. Notons que les molécules d'air ne se
déplacent pas le long du tube, mais vibrent autour de leur position
d'équilibre.
On peut caractériser une onde sonore par sa fréquence f et sa longueur
d'onde λ . Ces deux grandeurs ne sont pas indépendantes, leur produit est
égal à la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu considéré :
v= λ f
3. ONDES STATIONNAIRES ET RÉSONANCE
Selon le principe de superposition, lorsque des ondes se propagent dans un
même milieu, elles interfèrent et engendrent une onde résultante.
Examinons le cas particulier où deux ondes de même fréquence et de même
amplitude se déplacent librement dans des directions opposées.
L'onde résultante semble ne plus se propager, on parle d'onde
stationnaire: celle-ci présente des points immobiles là où les interférences
sont destructives, et des points de vibration maximale là où les interférences
agissent de manière constructive. Ces points sont respectivement appelés
nœuds et ventres de vibration.
Les positions des maxima et minima ne varient pas au cours du temps.
Notons que la fréquence d'oscillation de l'onde stationnaire est identique à
celle des ondes de départ.
Figure 2 : Nœuds et ventres se succèdent,
séparés d'une distance égale au quart de la
longueur d'onde.

3
Introduction TOU-3-B
Quand une onde incidente se propage sur un support de longueur finie L, elle
se réfléchit – au moins partiellement – à une des extrémités : les ondes
incidentes et réfléchies se superposent alors.
Seules certaines fréquences, appelées harmoniques ou fréquences de
résonance, sont susceptibles de donner lieu à une onde stationnaire dans le
système ; elles sont déterminées par les conditions aux bords du dispositif
considéré.
A toute autre fréquence, l'onde résultante n'est plus simplement sinusoïdale
et son amplitude est inférieure à celle de l'onde stationnaire.
Si les deux extrémités sont fixes (corde vibrante fixée à ses extrémités, par
exemple corde de guitare), l'onde est totalement réfléchie et se superpose à
l'onde incidente ; les extrémités du milieu ne pouvant pas vibrer, elles sont
donc le siège de nœuds de vibration.
On peut montrer qu'un nœud (ventre) de vibration correspond à un ventre
(nœud) de pression acoustique. L'onde stationnaire la plus simple (mode
fondamental) est celle qui possède deux nœuds de vibration aux
extrémités, la longueur L est dès lors égale à une demi-longueur d'onde.
D'après la relation liant f, λ et v, on en déduit la première fréquence de
résonance:
v v
λ = 2 L= ⇒ f =
f 2L
1 1
1
Les harmoniques suivantes sont multiples de la première :
f
v
n =
n
2L
2L
où n = 1,2,3,... avec λn
=
n

4
Introduction TOU-3-B
Figure 3 : Les trois premières harmoniques pour une onde dont les deux
extrémités sont fixes.
Insistons sur le fait que lors de la manipulation, les nœuds de vibration des
molécules d'air correspondent à des ventres de pression ; l'intensité sonore
en ces points en donc maximale.

5
Introduction TOU-3-B
4. ONDES STATIONNAIRES AVEC DIFFÉRENTES CONDITIONS AUX BORDS
Les conditions aux bords sont dictées par la situation dans laquelle on se
trouve.
Par exemple, une onde stationnaire dans un didjeridoo (photo 1) comportera
un nœud au niveau de l'orifice où le musicien place sa bouche et un ventre à
la sortie de l'instrument.
En effet, l'impulsion acoustique de départ part de la bouche du joueur, les
lèvres pincées. La sortie de l'instrument est ouverte, un maximum d'onde
(un ventre) doit donc se situer à cet emplacement.
Photo 1 : Didjeridoo
Pour déterminer les conditions pour obtenir une onde stationnaire dans cette
situation, il suffit de compter en quart de longueur d'onde ("bloc de base",
voir figure 2).
Un quart de longueur d'onde présente un nœud puis un ventre (voir figure
4). Le mode suivant comporte trois quart de longueur d'onde. En effet, trois
quart de longueur d'onde présente un nœud, un ventre, encore un nœud
puis se termine par un ventre. Pour les modes suivants, tout multiple impair
de quart de longueur d’onde satisfait toujours aux conditions aux bords
imposées : un nœud au départ et un ventre à l’arrivée.

6
Introduction TOU-3-B
Figure 4 : Les trois premières harmoniques pour une onde dont une
extrémité est fixe et l’autre libre.
Ainsi pour un didjeridoo de longueur L, les conditions d'onde stationnaire
sont
λ 4L
L= (2n+ 1) ⇒ λ =
4 2n+ 1
De même, pour différentes conditions aux bords, il s'agit d'identifier le "bloc
de base" (mode fondamental) satisfaisant aux conditions et de le répéter de
manière à toujours satisfaire ces conditions.
Ces conditions sur une longueur finie imposent toujours une relation entre la
longueur d'onde (de l'onde stationnaire) et la longueur du matériau
supportant ces ondes.
On peut généraliser au cas bi ou tridimensionnel suivant le même principe,
mais le raisonnement est alors plus complexe (il faut identifier les ondes à
deux ou trois dimensions satisfaisant aux conditions aux bords).

Groupe:
Table n°:
Nom du rédacteur :
Noms des expérimentateurs :
1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL
DÉTERMINATION DE LA VITESSE DE SON
1
Expérience TOU-3-B
La partie principale du dispositif est constituée d'un cylindre de plexiglas
transparent. Un haut-parleur est fixé à l'une des deux extrémités, et permet
l'émission d'une onde sonore sinusoïdale, dont les caractéristiques –
amplitude et fréquence – sont réglables grâce à un générateur de signal.
L'autre extrémité du tube est fermée par une paroi rigide ; un orifice central
permet l'insertion d'un micro mobile, connecté à un oscilloscope. Ce cylindre
peut être rempli d'air ou d'Hélium notamment.
Photo 1 : Dispositif expérimental.

2. DÉTERMINATION D'UNE FRÉQUENCE DE RÉSONANCE
2
Expérience TOU-3-B
Seules certaines fréquences – fréquences de résonance – permettent
l'établissement d'une onde stationnaire dans le cylindre. Pour les déterminer,
positionnez le micro en un point quelconque du cylindre, et pour chaque gaz,
faites varier la fréquence dans une gamme de valeurs données (au labo).
Vous trouverez les fréquences de résonance lorsque l'intensité du signal
mesuré par le micro deviendra maximale. Pour être sûr d'être en présence
d'une onde stationnaire dans le tube, déplacez le micro : vous devriez
observer sur l'écran de l'oscilloscope la succession de nœuds et de ventres.
3. CALCUL DE LA VITESSE DU SON DANS L'AIR
Les conditions aux bords de ce dispositif sont des nœuds à chaque extrémité
du tube (de longueur L). Donnez la relation reliant la longueur d'onde et la
longueur du tube qui permet d'obtenir des ondes stationnaires :
λ =
Pour une plus grande précision de mesure, relevez les différentes fréquences
à partir du signal de l'oscilloscope en mesurant la période T.
Relevez la distance d entre deux nœuds, ou deux ventres de pression.
Déduisez-en la longueur d'ondeλ du son généré par le haut-parleur. Calculez
ensuite la vitesse du son v dans ce milieu. Répétez l'expérience pour deux
autres fréquences de résonance. La fréquence la plus basse que vous
identifiez correspond au mode fondamental.
Période T
[s]
Fréquence
f
(Hz)
Distance
entre nœuds
d
(m)
Tableau 1
Longueur
d'onde λ
(m)
Mode
n
Vitesse du
son v
(m/s)

3
Expérience TOU-3-B
Pour l'une de ces trois fréquences, calculez l'erreur commise sur la
détermination de v.
v = ± m/s
Calculez la moyenne des ces trois mesures et l'erreur (valeur absolue du plus
grand écart à la moyenne)
vmoy = ± m/s
Comment évolue la vitesse du son en fonction de la fréquence ? Expliquez.
4. CALCUL DE LA VITESSE DU SON DANS L'HÉLIUM
Répétez les mêmes opérations qu'aux points 2 et 3, mais cette fois, avec le
cylindre de plexiglas rempli d'Hélium. Calculez la vitesse moyenne vmoy de
vos trois résultats.
Période T
[s]
Fréquence
f
(Hz)
Distance
entre nœuds
d
(m)
Tableau 2
Longueur
d'onde λ
(m)
Mode
n
vmoy = ± m/s
Vitesse du
son v
(m/s)
Comparez la vitesse moyenne du son dans l'Hélium à celle de l'air. Expliquez.

MECANIQUE
1
Exercices
1. Soient les vecteurs A et B de la fig. 1 :
a) Déterminer les composantes (X,Y) et la grandeur des vecteurs A
et B
b) Dessiner et déterminer les composantes du vecteur C = A+ B
c) Dessiner et déterminer les composantes du vecteur D= A−B
A = 5 B = 5
[Réponse : A=(3,4) ;
; B=(1,-2) ;
Figure 1
; C=(4,2) ; D=(2,6)]

2. Produits scalaire et vectoriel de deux vecteurs
Soient les vecteurs A= 3uˆ + 4uˆ −5uˆ
Calculer :
a) La grandeur de chaque vecteur
b) Le produit scalaire AB .
x y z
c) La somme A+ B et la différence A−B d) L’angle défini par A et B
e) Le produit vectoriel A× B
2
Exercices
et B= uˆ + 2uˆ + 6uˆ
x y z
[Réponse : a) 50 , 41 ; b) -19 ; c) (4,6,1), (2,2,-11) ; d) 115° ; e)
(34,-23,21)]
3. Déterminer si les combinaisons suivantes de vecteurs donnent des
grandeurs scalaires ou vectorielles :
- kB .
- A
− B
- A
× B
- ( A× B) × C
- A× ( B× C)
- ( A× B).( C× D)
- ( A× B) × ( C× D)
- A× ⎡B× ( C× D)
⎤
⎣ ⎦
[Réponse : V, V, V, V, V, S, V, V]
4. Position relative
Deux particules sont émises par une même source à un instant donné,
elles ont des déplacements
r ˆ ˆ ˆ
1 = 4ux + 3uy + 8uz
r ˆ ˆ ˆ
2 = 2u + 10u + 5u
x y z
Déterminer le déplacement relatif de la particule 2 par rapport à la
particule 1.
[Réponse : − 2uˆ + 7uˆ − 3uˆ
]
x y z

3
Exercices
5. Un avion doit atteindre un point situé à 200 km à l’est de sa position
actuelle en 40 minutes. Un vent du N-E de vitesse 30 km/h s’oppose
à son mouvement. Déterminer le vecteur vitesse de l’avion.
[Réponse : 321 km/h]
6. Les forces F ˆ ˆ ˆ
1 = u + 2u + 3u
x y z
(Newton) et F ˆ ˆ ˆ
2 = 4u −5u −2u
x y z
(Newton) agissent sur un même mobile. Quel est le travail fourni par
les deux forces durant le déplacement du point A=(20,15,0) mètres
au point B=(0,0,7) mètres.
[Réponse : W= FR . = −48
7. Soient trois forces 1 F , 2 F , 3
mobile est en équilibre si la force résultante
]
F = 0
F agissant sur un même mobile. Le
F R =
a) Montrer que si R et si les 3 forces ne sont pas //, les
vecteurs représentant les trois forces déterminent un triangle.
F = 0
b) Si R , montrer qu’il n’est pas possible pour un vecteur de se
trouver en dehors du plan formé par les deux autres.
8. Une masse M est soumise à une force verticale dirigée vers le bas de
10 Newtons et à une force dirigée vers le haut, faisant un angle de
0,1 radian avec la verticale. Quelle(s) troisième(s) force(s) est (sont
nécessaire(s) pour obtenir l’équilibre ?
[Réponse : F = ( F sin α, 10 − F cosα)
2 2
9. Moment d’une force par rapport à un point M
µ = r× F
d’application de la force.
où r est le vecteur qui relie le point M au point
Soit la force F ˆ ˆ ˆ
1 =− 3u + u + 5u
F ˆ ˆ ˆ
1 = 7ux + 3uy
+ uz
(mètre)
x y z
]
0
(Newton) agissant au point
a) Quel est le moment par rapport à l’origine ?
b) Quel est le moment par rapport au point (0,10,0) m ?
[Réponse : a) (14,-38,16) ; d) (-36,-38,-14)]

10. Mouvement circulaire
Une orbite circulaire peut être décrite par F() t = ru . ˆr
() t
de la trajectoire et uˆ r () t un vecteur unitaire tournant à une vitesse
constante. On peut représenter uˆ r () t par
uˆ ( t) = cos ωtuˆ + sin ωtuˆ
. Déterminer la vitesse v et
r x y
l’accélération a du mouvement.
Figure 2
11. Mouvement uniformément accéléré
4
Exercices
où r = rayon
Une force motrice constante de 5 N s’exerce sur un mobile (m=2 kg)
pendant 3 secondes ; elle cesse ensuite d’agir. La vitesse initiale du
mobile étant de -2,5 m/s, calculer sa vitesse après 5 secondes.
[Réponse : v = 5 m/s]
12. Une masse M de 5 kg est placée sur un plan incliné, d’inclinaison
α = 45°
Déterminer la vitesse de cette masse au bas du plan incliné, sachant que
le plan incliné à 1 m de long et que la vitesse initiale de la masse est
nulle.
[Réponse : v = 3,72 m/s]
13. Une voiture arrêtée (m = 1000 kg) atteint une vitesse de 108
km/h en 10 sec. Calculer l’accélération correspondante en la
supposant constante, ainsi que la distance parcourue par l’auto
pendant ces 10 sec. Donner la puissance fournie par le moteur en
fonction du temps, les frottements étant négligés.
[Réponse : a = 3 m/s² ; x = 150 m ; P = 45 kW]

5
Exercices
14. Au décollage, un avion parcourt 600 m en 15 sec En supposant une
accélération constante, calculer la vitesse de décollage. Calculer aussi
l'accélération.
[Réponse : a = 5,33 m/s 2 ; v = 80 m/s]
15. Deux autos A et B se déplacent dans la même direction avec des
vitesses vA et vB. Quand l'auto A, roulant plus vite que la B, se trouve à
une distance d derrière B, elle freine, provoquant une décélération a.
Montrer que pour qu'il n'y ait pas de collision entre A et B, il faut que :
v − v < 2ad
A B
16. Un chariot d'une masse de 100 grammes descend sans vitesse initiale
un plan incliné d'un angle α avec l'horizontale. Calculer la vitesse et la
position du chariot en fonction du temps. Sachant que la longueur du
plan incliné est de 1,2 mètres, calculez l'énergie cinétique maximale du
chariot.
[Réponse : W = 1,18 sinα (Joule) ]
17. Un avion volant à une altitude de 1000 mètres à une vitesse de 500
km/h largue une bombe de 15 kg.
Quelle est l'équation de la trajectoire de la bombe ?
A quelle distance de l'objectif doit-il larguer sa bombe ?
A quelle vitesse la bombe s'écrase-t-elle sur le sol ?
[Réponse : x = 1983 m, v = 197 m/s]
18. On lance une bille de 4 grammes à l'aide d'une catapulte de 300 gr
constituée d'un ressort de constante de rappel k = 3720 N/m.
Calculer le travail fourni par l'opérateur pour tendre le ressort de 3 cm.
Calculer la vitesse de la bille à la sortie de la catapulte sachant que
celle-ci fait un angle α avec l'horizontale, si on peut négliger les
frottements du ressort et de la catapulte contre le cylindre qui les
entoure... En plaçant l'origine de votre référentiel à la sortie de la
catapulte, calculer la hauteur maximale atteinte par la bille, le temps
que met la bille pour redescendre à h = 0 et la distance du point
d'impact à la sortie de la catapulte.
[Réponse : W = 1,67 (J) ; v0 = 28,7 (m/s) ; hmax = 42 sin 2 α (m) ; t =
2,93 sinα (s) ; x = 168 cosα.sinα (m)]

6
Exercices
19. Un chariot de 100 gr est entraîné le long d'un rail horizontal par un
ruban passant sur une poulie, sans inertie ni frottement, auquel est
attachée une masse de 10 gr.
Combien de temps mettra le chariot pour se déplacer d'un mètre,
sachant qu'il démarre au repos ?
Calculer l'impulsion communiquée par la pesanteur au chariot et la
comparer à la variation de la quantité de mouvement.
[Réponse : t = 1,5 s ; I = ∆p = 0,134 kg.m.s -1 ]
20. Le rayon d'un virage relevé de 10 degrés est de 500 mètres. A quelle
vitesse est il conseillé d'aborder ce virage, pour des voitures de masse
d'une tonne ? Certains circuits miniatures permettent d'exécuter des
"loopings", avec des petites voitures de 100 gr.
Quelle condition doit vérifier la vitesse de la voiture pour ne pas
tomber ?
Est ce encore possible avec des voitures d'une tonne ?
[Réponse : v = 29,4 m/s ; v≥ π g ; problème indépendant de la masse]
21. Soit une masse m pouvant tourner autour d'un axe. La longueur du fil
reliant la masse m au sommet de l'axe est a.
Quelle doit être la fréquence de rotation pour que la masse s'écarte de
l'axe ?
[Réponse :
g
ω = ]
a.cosα
22. Calculer le relèvement d'un virage pour une vitesse de 72 km/h et un
rayon de 50 m.
[Réponse : α = 39°]
23. Un cycliste et sa machine pèsent 85 kg. Il aborde un virage de 100 m
de rayon à la vitesse de 30 km/h.
Calculer l'inclinaison qu'il doit prendre par rapport à la verticale pour
maintenir son équilibre, en admettant une adhérence parfaite des roues
au sol.
[Réponse : α = 4°]

7
Exercices
24. Combien de fois la terre devrait tourner plus vite pour qu'un corps situé
à l'équateur n'ait plus de poids réel du fait de la réaction centrifuge ?
Rayon terrestre : 6.460 km. Durée du jour sidéral : 86,164 sec
g = 9,78 m/sec².
[Réponse : 17 fois]
25. Un ascenseur démarre puis s'arrête avec la même valeur absolue
d'accélération, soit 2 m/s². Quel est dans chaque cas, le poids apparent
d'un observateur qui pèse au sol 960 Newtons ? Prendre g = 10 m/s².
[Réponse : Wapp = 1152 N ; 768 N]
26. Un wagon se déplace sur une voie rectiligne horizontale avec une
accélération a. Au plafond est accroché un fil supportant une masse m.
a) On observe que le fil fait un angle α avec la verticale du wagon.
Etablir la relation entre α, g et a
b) Que se passe-t-il si le wagon roule à vitesse constante ?
c) Le wagon partant au repos acquiert en 10 sec, la vitesse de
18 km/h. Calculer α en prenant g = 9,8 m/sec².
d) Quel est le déplacement horizontal de la masse m, le fil ayant 2 m de
long ?
[Réponse : a) tgα = a/g ; b) α = 0 ; c) α = 2,9° ; d) d = 0,1 m]
27. Un canon de 2 tonnes posé sur un rail tire un obus de 5 kg. L'angle de
tir est calculé pour avoir une portée maximale. Cette portée est d'un
kilomètre.
Quelle est l'énergie cinétique de recul du canon ?
[Réponse : Wcin = 30,6 J]
28. Un avion en vol horizontal à 1500 m d'altitude, lâche une bombe à la
vitesse de 720 km/h. Calculer la distance horizontale du point de chute
de la bombe à la position au moment du lancer.
[Réponse : 3500 m]

8
Exercices
29. Une masse ponctuelle de 100 gr est attachée à un fil de 0.2 m de long.
On fait tourner la masse à raison de 3 tours/sec.
Avec quelle force tire-t-on sur le fil ?
Que se passe-t-il si le fil casse ?
Quelle sera sa vitesse à cet instant ?
Décrivez sa trajectoire.
[Réponse : 7,1 N , v = 1,2 π m/s]
30. Un chariot de 20 kg descend un plan incliné dont la hauteur est de 5 m.
Sa vitesse de départ est nulle ; 10 sec plus tard, il atteint le pied du
plan incliné, ayant ainsi parcouru 50 m. Quelle est la vitesse du chariot
au pied du plan incliné, ainsi que son accélération ?
Calculer l'impulsion fournie au chariot lors du parcours, et la variation
de la quantité de mouvement entre le haut et le bas du plan incliné.
Vérifier que l'impulsion est bien égale à la variation de la quantité de
mouvement.
[Réponse : v = 9,9 m/s , I = ∆p = 196 kg.m.s -1 ]
Collisions
31. Un tronc d'arbre de masse 45 kg descend une rivière en flottant à la
vitesse de 8 km/h. Un cygne de 10 kg essaie de se poser sur le tronc
alors qu'il vole à 8 km/h en direction amont. Le cygne glisse sur toute
la longueur du tronc et tombe à l'extrémité avec une vitesse de
2 km/h. Calculer la vitesse finale du tronc d'arbre.
[Réponse : 6,66 km/h]
32. Dans la réaction chimique H + Cl → HCl, l'atome d'hydrogène se
déplace initialement vers la droite à la vitesse de 1.57×10 5 m/s alors
que l'atome de chlore se déplace dans une direction perpendiculaire
et à la vitesse de 3,4×10 4 m/s.
Trouver la grandeur et la direction (par rapport au mouvement initial de
H) de la vitesse de la molécule HCl. (m H = 1 uma ; m Cl = 35.45 uma).
[Réponse : 3,38×10 4 m/s , α = 82,6°]

Oscillateurs
9
Exercices
33. Mouvement sinusoïdal. Une particule, liée à un ressort est soumise à a
force de rappel F = -kx. Déterminer la trajectoire de la particule et la
période du mouvement.
34. Décrivez le mouvement d'une masse m = 1 kg, accrochée à un ressort,
caractérisé par une constante de rappel k = 0.01 N/m, s'il se trouve à
la position x = 0 à l'instant initial et s'il est lancé avec une vitesse
initiale v0 = 10 cm/sec. Définissez l'amplitude et la fréquence de ce
mouvement.
[Réponse : A = 1 m, f = 1,6.10 -2 Hz]
35. Même problème qu'au 37, mais le mobile se trouve à la position x = 10
cm à l'instant initial et est lâché sans vitesse initiale.
[Réponse : A = 0,1 m, f = 1,6.10 -2 Hz]
36. A partir des réponses des exercices 37 et 38, déterminer la forme
générale d'un mouvement sinusoïdal et analyser les conditions initiales.
37. Ecrivez l'équation générale du mouvement d'un oscillateur amorti.
-( b/ 2 mt )
Vérifier que x= xe 0 cos( ω ' t)
est bien la solution de cette équation.
Calculer ω'.
38. Un système mécanique est constitué de deux masses m et de trois
ressorts (voir fig. 6 de Mec. 4). Le ressort central a une constante de
rappel k0 = 4 gr/sec² et les deux autres K1 = 1 gr/sec². Calculer le
rapport R = Ts/Ta de la période du mode symétrique au mode
antisymétrique.
[Réponse : R = 1/3]
39. Une masse de 10 g est accrochée à gauche à un ressort de constante
de rappel K1 = 0.013 kg/s² et à droite par un ressort de
K2 = 0.007 gr/s². Le facteur d'amortissement b = 0.02 kg/s. Calculer la
variation de l'amplitude en fonction du temps. Quel est le temps de
relaxation τ ? Calculer la période de cet oscillateur.
[Réponse : τ = 1 s, T ’ = 6,3 s]

40. Association d'oscillateurs
10
Exercices
Déterminer la constante de rappel équivalente des associations de
ressorts suivantes :
Comparer ces lois d'association aux lois d'associations de capacités.
[Réponse : k = k1+ k2 et 1/ k = 1/ k1+ 1/ k2
]
41. Résonance
Un oscillateur amorti est soumis à une force extérieure de la forme
F(ωt) = F0 sin ωt.
La solution générale de l'équation du mouvement est de la forme
X X t
0 sin( ω φ)
= + ou 0
X = X cos( ωt+ φ)
Déterminer l'amplitude X0 et le déphasage ∅. Que deviennent ces
expressions si la force extérieure est de la forme
Ft ( ) =
Fcos( ωt)
0

ELECTRICITÉ
11
Exercices
1. La différence de potentiel aux bornes d'une résistance est donnée par la
loi d'Ohm U = RI.
Montrer que la résistance R équivalente à l'association de deux
résistances en série vaut R = R1 + R2 Montrer que la résistance équivalente à l'association de deux
résistances en parallèle vaut
RR 1. 2 R =
R + R
1 2
De ces deux lois d'association, déduisez les valeurs idéales des
résistances internes d'un voltmètre et d'un ampèremètre. A quel type
d'association correspond l'adjonction d'un shunt dans un voltmètre,
dans un ampèremètre ?
2. Déterminer la résistance équivalente et la différence de potentiel aux
bornes AB des circuits de la figure 3.
[Réponse : a) Rtot = 9 Ω ; U = 540 V ; b) Rtot = 30/4 Ω ; U = 90 V]
3. Déterminer le courant traversant les deux circuits de la figure 2.
[Réponse : a) I = 5 mA ; b) I = 0 A]
4. La valeur d'une résistance peut être déterminée par les mesures d'un
courant et d'une différence de potentiel.
Discuter la précision des mesures dans les deux cas schématisés à la
figure 1. Quel montage donne la précision la plus grande quand R est
grand, quand R est petit ?
Figure 1
Figure 2

Figure 3
Figure 4
R 1 = 10 MΩ; R 2 = 1 MΩ; V o = 9 Volt C= 2,2 µF
12
Exercices
5. Sur la figure 4, on ferme l'interrupteur pour charger le condensateur.
Puis (à t = 0), on ouvre l'interrupteur. Quelle est l'intensité du courant
qui circule dans les résistances ?

6. Qu'y a-t-il de changé si R 1 = 1 kΩ et C = 0,1 µF ?
13
Exercices
Peut-on encore suivre la variation de I en fonction du temps avec un
ampèremètre ?
Figure 5
R = 1 kΩ; C = 0,1 µF; U o = 10 Volt; U = U o cos ωt; f =100 Hz
7. Pour la figure 5, écrire l'équation du circuit et la forme de la solution.
Calculer l'amplitude de I et son déphasage par rapport à U. Tracer sur
le même graphique la tension U et l'intensité I qui traversent le circuit.
[Réponse : I0 = 626 μA ; ψ = 86°]
8. Qu'y a-t-il de changé si
- on augmente la capacité du condensateur (C = 10 µF)
- on augmente la fréquence (f = 1 MHz)
[Réponse : I0 = 0,01 A ; ψ 0°]
9. La différence de potentiel aux bornes d'un condensateur est donnée par
U = Q/C
Montrer que le condensateur équivalent à l'associaiton de deux
condensateurs en série vaut
CC .
C =
C C
1 2
1+ 2
Montrer que le condensateur équivalent à l'association de deux
condensateurs en parallèle vaut C = C 1 + C 2

Figure 6
14
Exercices
10. Déterminer la charge totale et les différences de potentiel aux bornes
des différentes capacités du schéma de la figure 6 si la différence de
potentiel entre les points A et B est 300 Volts.
[Réponse : Qtot = 600 μC ; UAC = 200 V ; UCB = 100 V]
11. Déterminer le courant passant dans un circuit alimenté par une tension
alternative
U(t) = Uo sin ωt , si le circuit est constitué soit d'une :
a) résistance U = RI
b) capacité U = Q/C
c) bobine U = L dI/dt
Déterminer notamment l'amplitude et le déphasage du courant par
rapport au potentiel. A partir de ces résultats, essayer de généraliser la
loi d'Ohm aux 2 autres éléments.

1 10 10 10
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1 10 10 10
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
26 27 28
21 22 23 24
16 17 18 19
15
11 12 13 14
6 7 8 9
5
1 2 3 4
25
20
10