w - Université de Tlemcen

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE DE ABOU BAKR BELKAID-TLEMCEN
FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
MEMOIRE
Présentée pour obtenir le diplôme de
MAGISTER EN PHYSIQUE
M elle
OPTION: PHYSIQUE DES POLYMERES
Par
elle Fatiha Fatiha ABDELMALEK
ABDELMALEK
ABDELMALEK
Soutenu en 3 Juillet 2006 devant le jury composé de :
M r S. KHALDI Professeur Président de Jury
M r L. MECHERNENE Maître de conférences Encadreur
M r U. MASCHKE Chargé de recherches (CNRS) Examinateur
M r A. BERRAYAH Maître de conférences Examinateur
M r T. BOUCHAOUR Maître de conférences Examinateur
-2006-

Au Au nom nom de de de Dieu Dieu Le Le Clément Clément et et Le Le Le Miséricordieux
Miséricordieux
Louange Louange à à ALLAH ALLAH le le Tout Tout-puissant Tout puissant puissant
A mes très chers parents et ma grand-mère
A mon frère et mes soeurs
A tous mes oncles, tantes et cousins (es)
A touts (es) mes amis (es)
A tous ceux qui me sont chers
Fatiha Fatiha
Fatiha

Remerciements
En tout premier lieu, Je remercie le bon Dieu, tout puissant, de
m’avoir donné la force pour survivre, ainsi que l’audace pour dépasser
toutes les difficultés.
Le travail présenté dans cette thèse a été réalisé au laboratoire
de physique des polymères du département de physique de la faculté des
sciences de l’Université de Tlemcen, sous la direction du docteur Lahcène
Méchernène, maître de conférences. Ma plus grande gratitude va à
mon encadrant, pour sa disponibilité et la confiance qu’il m’a accordée. Je
vais profiter pendant longtemps du savoir et savoir-faire dont j’ai pu
bénéficier au cours de nombreuses discussions. J’aimerais aussi le remercier
pour l’autonomie qu’il m’a accordée, et ses précieux conseils qui m’ont
permis de mener à bien ce travail.
J’exprime toute ma reconnaissance à monsieur le professeur Smain
Khaldi pour avoir bien voulu accepter de présider le jury de ce mémoire.
Que Monsieur le docteur Ulrich Maschke du laboratoire de
chimie macromoléculaire de l’université de Lille, trouve ici l’expression de
mes vifs remerciements pour avoir bien voulu juger ce travail.
Que Monsieur le docteur Abdelkader Berrayah, maître de
conférences à l’université de Tlemcen, trouve ici l’expression de mes vifs
remerciements pour avoir bien voulu juger ce travail.

Que Monsieur le docteur Toufik Bouchaour, maître de
conférences à l’université de Tlemcen, trouve ici l’expression de mes vifs
remerciements pour avoir bien voulu juger ce travail.
Afin de n’oublier personne, mes vifs remerciements s’adressent
à tous ceux qui m’ont aidé à la réalisation de ce modeste mémoire.

Introduction générale
Table des matières
Chapitre I: Concepts généraux sur les cristaux liquides et matériaux
PDLC
I.1. Les Cristaux
Liquides……………………………….................................
I.1.1. Introduction sur les Cristaux
Liquides…………………................
I.1.2. Types de Cristaux
Liquides………………………………............
I.1.3. Phases de cristal
liquide…………………………………………..
I.1.3.a. La phase nématique
……………………………………..
I.1.3.b. La phase cholestérique
………………………………….
I.1.3.c. La phase smectique
……………………………………...
I.1.4. Propriétés
électrooptiques …………………………………………………
I.1.5. Applications des cristaux
liquides …………………………………………
I.2. Les systèmes
PDLC………………………………………………………
I.2.1.
Définitions……………………………………………………….
I.
2.2.
Elaboration des matériaux
PDLC…………………………………
I.2.3. Propriétés
1
3
3
3
5
5
5
6
7
9
11
14
14
15
16
22
22
22

électrooptiques……...…………………………………
I.2.4. Applications des matériaux
PDLC..………………………………
I.2.4.a.
Visualisation……………………………………………..
I.2.4.b. Vitrage à opacité
variable………………………………..
Chapitre II: Les effets optiques et électrooptiques non linéaires
II.1. Non linéarité dans les milieux
isotropes…………………………………
II.1.1.
Introduction…………………………………................................
II.1.2. Hyper polarisabilités d’ordre
élevées…………………………….
II.1.3. Non linéarité électrooptique du second ordre: Effet
Pockels...…..
II.1.4. Non linéarité électrooptique du troisième ordre: Effet
Kerr……..
II.1.5.
Conclusions………………………………………………………
II.2. Effet Kerr
électrooptique………………………………………………...
II.2.1.
Introduction………………………………………………………
II.2.2. Rappels théoriques sur l’effet Kerr
électrooptique………………
II.2.2.a. Double réfraction de la lumière
incidente………………
II.2.2.b. Biréfringence et différence de
phase……………………
II.2.3. Mesure de constante de
23
23
23
24
27
29
30
32
32
33
33
35
36

Kerr……………………………………..
Chapitre III: Effet Kerr électrooptique dans les matériaux PDLC
III.1.
Introduction……………………………………………………………..
III.2. Effets non linéaires dans les cristaux
liquides…….................................
III.3. Effets non linéaires dans les matériaux
PDLC…………………………
III.3.1.
Introduction……………………………………………………...
III.3.2. Modèle de réponse électrooptique des matériaux PDLC
……....
III.3.2.1.
Introduction…………………………………………….
III.3.2.2. Paramètre d’ordre
local………………………………...
III.3.2.3. Energie de champ
électrique…………………………...
III.3.2.4. Energie de forme de
cavité…………………………….
III.3.2.5. Orientation moyenne des gouttelettes dans
l'échantillon
III.4. Effet Kerr dans les systèmes
PDLC………….........................................
III.4.1.
Introduction……………………………………………………...
III.4.2. Dispositif expérimental pour la mesure de l’effet
Kerr……........
III.4.3. Calcul de la biréfringence induite par effet
Kerr………………..
III.5. Résultats et
37
37
38
38
38
40
40
41
42
45
46
49
49
50
52
55
55
57
60
63
64

discussions…………………………………………………
III.5.1.
Introduction……………………………………………………...
III.5.2. Variation de la transmittance en fonction de la longueur
d’onde et de la
concentration…………………………………………..
III.5.3. Variation de la biréfringence en fonction du champ
appliqué…..
III.5.4. Influence de la concentration de CL sur la constante de
Kerr…..
III.5.5. Influence de la taille sur la constante de
Kerr…………………...
Conclusion générale
Bibliographie
66
68

Introduction générale
Dans ce mémoire on s’intéresse aux effets non linéaires, et
particulièrement à l’effet Kerr électrooptique, dans les matériaux PDLC pour
Polymer Dispersed Liquid Crystals [1,2]. Ces matériaux sont constitués par des
domaines de cristal liquide encapsulés dans une matrice de polymère. Ils
combinent ainsi les propriétés mécaniques du polymère et les effets
électrooptiques des cristaux liquides. Le principe de base qui est exploité dans
les PDLC est la variation de l’indice de réfraction entre les domaines de cristal
liquide et le polymère, en fonction d’un champ appliqué.
Les PDLC à microgouttes, diffusants, qui sont les premiers à être mis
au point, sont destinés à des applications basées sur l’effet de commutation
entre l’état opaque et l’état transparent [3,4]. Les matériaux fonctionnant dans
ce régime peuvent en effet être utilisés dans les fenêtres à opacité variable, en
visualisation, dans les obturateurs optiques …
En modifiant les conditions d’élaboration, il est possible d’obtenir
des PDLC à morphologie de nano gouttes où les domaines de cristal liquide
ont des dimensions très petites devant la longueur d’onde [5]. Dans ces
matériaux qui sont très peu diffusants, l’effet électrooptique prépondérant
devient alors la variation de la phase et donc de l’indice de réfraction, d’un
faisceau lumineux traversant l’échantillon, en fonction du champ appliqué.
C’est le régime déphasant qui a été décrit pour la première fois en 1993 [6] et
qui nous intéresse dans ce mémoire.
L’objectif principal de ce travail est l’étude des caractéristiques
électrooptiques des matériaux PDLC à nano gouttes, qui présentent un effet
Kerr important, en vue de les utiliser dans des applications basées sur le
régime déphasant. Les applications pour ce type de matériaux sont nombreuses
et on peut citer à titre d’exemple les filtres et les fibres optiques dans le
domaine des télécommunications [7], les modulateurs et déflecteurs optiques,
les portes optiques à réponse rapide [8,9].
En général, l’effet Kerr électrooptique dans le cas de systèmes
isotropes nécessite un champ intense nécessaire à la modification de la

structure à l’échelle moléculaire [10]. Dans les systèmes PDLC, cet effet Kerr
provient de la réorientation moléculaire des molécules de CL contenues à
l’intérieur des gouttelettes. Cet effet Kerr électrooptique dans les systèmes
PDLC est très important, comparé aux systèmes isotropes, et ne nécessite que
des champs faibles.
Ce mémoire est organisé en trois parties.
Le chapitre I est consacré aux définitions et concepts généraux de
base sur les cristaux liquides en général et les systèmes PDLC en particulier.
Les méthodes d’élaboration et les propriétés électrooptiques des PDLC,
mélange de polymère et de cristaux liquides, sont décrites de façon claire et
détaillée.
Dans le chapitre II, on s’intéresse aux effets non linéaires aussi bien
optiques que électrooptiques. On considère les systèmes isotropes et
anisotropes. La théorie de base des effets non linéaires est présentée d’une
façon succincte en précisant les différents ordres non linéaires. L’effet Kerr
électrooptique trouve une place importante dans ce chapitre.
Le chapitre III est consacré à l’effet Kerr électrooptique dans les
systèmes PDLC. La biréfringence induite au sein de l’échantillon PDLC, sous
l’application d’un champ électrique externe, est obtenue théoriquement à partir
d’un modèle simple basé sur l’anisotropie de forme des gouttelettes et utilisant
une hiérarchie du paramètre d’ordre. On montre dans cette partie du travail que
cette biréfringence possède bien une forme quadratique en champ appliqué.
Des résultats et discussions sont présentés pour décrire et comprendre
l’influence des différents paramètres de ces matériaux PDLC sur l’importance
de cet effet Kerr.

I.1. Les Cristaux Liquides
I.1.1. Introduction sur les Cristaux Liquides
L'étude des cristaux liquides a débuté il y a un peu plus d'un siècle,
en 1888 lorsqu'un botaniste autrichien nommé Friedrich Reinitzer [11,12] en fit
la découverte. Comme c'est très souvent le cas, celle-ci fût faite tout à fait par
hasard…Reinitzer étudiait le rôle du cholestérol dans les plantes et c'est en
observant le comportement sous l'effet de la température d'une substance
organique, le benzoate de cholestéryle, qu'il observa deux points de fusion. En
fait, il constata qu'en chauffant son échantillon solide (phase solide), ce dernier
se changeait tout d'abord en un liquide trouble (phase cristal liquide), puis s'il
continuait d'élever la température le liquide trouble devenait transparent (phase
liquide). En même temps qu’il fit cette découverte, un physicien allemand
nommé Otto Lehmann [11,13] étudiait le comportement de substances lors de
leur cristallisation. Ce dernier fut un des premiers scientifiques à utiliser un
microscope polarisant muni d'une platine chauffante. Reinitzer fit part de sa
découverte à Lehmann, sachant qu'elle l'intéressait beaucoup, et ce dernier fut
donc un des premiers scientifiques à étudier ce qu'il appela lui-même les
« cristaux liquides ».
Les cristaux liquides sont des matériaux qui présentent des propriétés
physiques intermédiaires entre les phases solides et liquides. Le premier cristal
liquide réellement stable ne fut synthétisé que vers 1973. Depuis de multiples
applications utilisant les cristaux liquides se sont développés (affichage,
imagerie, télécommunications, médecine, industrie...).
La physique de base nous enseigne que la matière ne peut se
présenter que sous trois états : solide, liquide ou gazeux. Cette classification
est en fait incomplète car de nombreuses substances organiques ne présentent
pas un changement d’état (ou transition de phase) unique entre le cristal et le
liquide, mais plutôt une série de transitions faisant apparaître des états, dont les
propriétés physiques sont intermédiaires entre le cristal et le liquide. Ces états

aptisés cristaux liquides par Lehmann sont dits aussi mésomorphes (du grec :
de forme intermédiaire) ou mésophases.
Les cristaux liquides sont des molécules de grand axe moléculaire
(forme allongée) de type cyanobiphenyle, fortement polarisées, et qui
présentent en fonction de la température ou de la concentration des états
physiques intermédiaires entre l'état cristallin et l'état liquide, appelés
mésophases [14]. Un cristal est caractérisé par un ordre tridimensionnel
d’orientation et de position alors qu’il y a à la fois désordre d’orientation et de
position dans un liquide. Dans cette phase intermédiaire, les molécules de
cristal liquide possèdent la capacité de couler comme un liquide ordinaire,
mais peuvent aussi s’organiser en domaine mono-cristallin comme dans les
solides.
Ainsi une phase cristal-liquide, appelée phase mésomorphe ou
mésophase, est caractérisée par un certain ordre d’orientation des molécules et
un désordre de position au moins partiel (Figure I.1).
Par conséquent :
• Comme dans les solides, les molécules de cristal liquide
peuvent s'organiser en domaines monocristallins.
• Comme dans les liquides, les molécules de cristal liquide
peuvent glisser les unes contre les autres jusqu'à prendre la forme du récipient
qui les renferme.
Figure I.1 : Le Cristal liquide est une phase intermédiaire les deux phases, solide et liquide.

I.1.2. Types de Cristaux Liquides
Il existe plusieurs types de cristaux liquides [15,16] dont les principaux
sont :
- Les substances qui présentent des propriétés de cristaux liquides dans un
certain domaine de température s’appellent les cristaux liquides
thermotropes. La phase d’un cristal liquide thermotrope change du solide
cristallin au cristal liquide quand la température est augmentée au dessus de son
point de fusion TM. Quand on augmente davantage la température, la phase de
ces matériaux change de l’état cristal liquide à l’état liquide isotrope.
- Les composés qui manifestent une phase cristal liquide dépendant de la
concentration du mélange sont appelés les cristaux liquides lyotropes. Les
molécules amphiliques dans l’eau forment une phase qui se range dans cette
catégorie.
On peut citer aussi les cristaux liquides polymériques, qui sont des
polymères possédant un état cristal liquide.
I.1.3. Phases de cristal liquide
Il existe plusieurs phases de cristal liquide dont les principales et les
plus utilisées sont les phases nématiques (parallèle et torsadées), smectique (A
et C) et cholestérique [17,18].
I.1.3.a. La phase nématique
Une phase nématique est une phase dans laquelle les molécules ne
présentent pas d’ordre positionnel, c’est-à-dire que leurs centres de gravité sont
placés de manière aléatoire dans l’espace, et qu’elles peuvent "couler"
librement les unes sur les autres comme dans une phase liquide. Les molécules
présentent par contre, en moyenne, un ordre d’orientation de leur grand axe. La
direction moyenne locale des axes moléculaires est alors repérée par un vecteur
, le directeur de la phase nématique. En représentant
n r
unitaire
schématiquement les molécules nématogènes (c’est-à-dire pouvant donner une

phase nématique) par des formes elliptiques allongées, une "image
microscopique" d’une phase nématique parallèle donnerait le schéma de la
figure I.2. Cette phase est la plus connue, la plus simple et aussi celle que l'on
retrouve le plus souvent dans les cristaux liquides.
Figure I.2 : Alignement global des molécules suivant le directeur nématique moyen dans une
phase nématique.
I.1.3.b. La phase cholestérique
Les cristaux liquides cholestériques sont aussi appelés « nématiques
chiraux » étant donné qu'ils sont composés de molécules nématiques ayant la
particularité de posséder un centre chiral. Ce centre chiral produit des forces
intermoléculaires qui alignent les molécules avec un léger angle entre elles.
Ceci mène à la création d'une structure hélicoïdale : l'axe directeur tourne
progressivement le long d'un axe perpendiculaire que l'on appelle l'axe
hélicoïdal.
Par conséquent en présence de cette chiralité, un ordre nématique
acquiert une torsion spontanée de pas p et d’axe perpendiculaire au directeur.
C’est cet ordre nématique chiral qui forme cette phase cholestérique (du nom
des esters de cholestérol, naturellement chiraux où il fut observé pour la
première fois).

Figure I.3 : a) Structure de la phase cholestérique, b) Orientation du directeur dans une
phase cholestérique en fonction du pas de l’hélice
Le pas d’une structure cholestérique est typiquement de l’ordre du
micromètre, ce qui confère à la structure cholestérique des propriétés optiques
remarquables.
I.1.3.c. La phase smectique
La phase smectique est semblable à la phase nématique en ce sens
que dans les deux cas les molécules sont alignées suivant un même axe
directionnel. Par contre, dans la phase smectique, il y a un certain niveau
d'ordre translationnel qui est absent de la phase nématique. Les molécules
tendent à former des plans ou des couches, ce qui crée un ordre positionnel (ou
translationnel).
Dans les smectiques, les molécules sont davantage ordonnées : leurs
centres de gravité sont dans des plans parallèles les uns aux autres. Il existe une
douzaine de variétés de cette phase smectique. Sans toutes les mentionner et les
décrire, disons que les deux plus connues sont:
– les smectiques A dans lesquels les molécules ont leur grand axe
perpendiculaire aux plans moléculaires (Figure I.4).

Figure I.4 : Structure de la phase smectique A.
– les smectiques C dans lesquels le grand axe est incliné, d’un certain angle par
rapport à ces plans, de telle sorte que les molécules peuvent tourner sur un cône
d’axe perpendiculaire aux plans (Figure I.5).
Figure I.5 : Structure de la phase smectique C.
Les trois phases qui viennent d’être exposées sont les principales et
de loin les plus utilisées. Cependant des travaux récents ont permis de dévoiler
de nouvelles phases telle que la phase colonnaire qui consiste en un
empilement colonnaire de molécules en forme de disque. Cette phase promet
de nouvelles applications, de part sa grande conductivité, par exemple pour
réaliser des cellules photovoltaïques colonnaires. Il existe aussi des variantes de

cellules utilisant les phases présentées plus haut, en modifiant soit l’ancrage
dans la cellule, soit la technique d’adressage électrique [18].
Pour les PDLC, la technologie n’est pas, à proprement parler, un
type de cellule. Elle consiste à encapsuler un cristal liquide nématique dans un
matériau polymère (qui se présente en général sous forme de film). En
l’absence de champ, le cristal liquide est enfermé dans une multitude de petites
bulles, sans orientations préférentielles entre chacune d’elles. Dans cette
situation, une lumière incidente n’est pas transmise suivant une direction fixe,
on dit qu’elle est diffusée et le film est translucide. Lorsqu’un champ est
appliqué, le nématique s’oriente selon le champ à l’intérieur de chaque bulle, la
lumière est alors transmise sans diffusion et le film est transparent. Notons que
pour ce type de matériaux, il n’est pas nécessaire de polariser la lumière.
I.1.4. Propriétés électrooptiques :
La forte anisotropie diélectrique et optique des cristaux liquides
(géométrie des molécules, présence de groupement polaires) est à l'origine de
l'anisotropie des propriétés physiques des cristaux liquides (anisotropie optique,
diélectrique, électrique, magnétique, etc.…).
En raison du caractère généralement uniaxial de ces mésophases on peut
définir pour chacune des propriétés de ces matériaux deux composantes, l'une
parallèle (notée //), l'autre perpendiculaire (notée⊥) au directeur (axe nématique
ou optique du milieu).
La biréfringence optique est définie par Δn = n// – n⊥ où n// et n⊥
représentent les indices de réfraction parallèlement et perpendiculairement à
l’axe nématique de la mésophase. La biréfringence Δn est généralement
positive (Δn >0) à cause de la forme allongée des molécules de cristal liquide.
Dans une phase nématique, on peut confondre parallèle avec
extraordinaire et perpendiculaire avec ordinaire puisque dans cette phase,
toutes les molécules sont en moyenne orientées suivant une même direction qui
est celle du directeur nématique.

L'anisotropie diélectrique est définie par Δε =ε// – ε⊥ où ε// et ε⊥
représentent les deux composantes réelles de la permittivité dans la mésophase,
le signe de Δε dépend de la position relative des dipôles engendrés par la
structure chimique de la molécule. Cette anisotropie diélectrique est à l'origine
de l'orientation des molécules sous l'effet d'un champ électrique ou magnétique
externe. Dans le cas d’une phase nématique, on peut écrire tout simplement
que Δε =εe – εo. Si cette anisotropie est positive, les molécules s'orientent
parallèlement au champ électrique et si elle est négative, les molécules
s'orientent perpendiculairement à ce dernier [19].
Cette anisotropie des propriétés physiques est, en général, plus
élevée que dans les cristaux usuels. On peut avoir en effet des cristaux liquides
dotés d’une biréfringence optique très élevée, de 0,1 à 0,2. D’autre part le
caractère orientationnnel de ces mésophases garantit leur caractère fluide et
dans une certaine mesure le basculement facile des axes optiques. Cette
propriété est cruciale pour l’application de ces matériaux aux dispositifs
électrooptiques.
Le principe des cellules à cristaux liquides est de créer une
interaction entre le champ électrique de commande, appliqué à la cellule (formé
n du cristal liquide), et l’orientation moléculaire
r
. Les molécules du milieu
nématique présentent une grande anisotropie diélectrique, ce qui les force à
s’orienter dans la direction du champ. En fait, les molécules se comportent
comme un dipôle induit par le champ appliqué. Un moment dipolaire
perpendiculaire à l’axe de la molécule et centré sur elle apparaît et l’entraîne
dans un mouvement de rotation. Cette rotation est plus ou moins freinée par la
viscosité et l’élasticité du milieu. Lors de la rotation moléculaire, l’indice
optique du milieu constitué par le cristal liquide est modifié et la biréfringence
est alors contrôlable électriquement. La biréfringence des molécules peut
atteindre 0.3 et sur une importante épaisseur de la cellule (plusieurs dizaines de
2π
important. De plus, les cristaux Δ ϕ = d n µm), on obtient un déphasage
λ
liquides gardent leur propriétés électrooptiques spectaculaires sur une très large

gamme spectrale (UV, vis, IR). Le champ électrique doit être suffisamment
puissant (1 V/µm) pour vaincre les forces élastiques intrinsèques au cristal
liquide. Il faut appliquer une tension minimale aux bornes de la cellule pour
changer l’orientation des molécules. C’est cette propriété de la variation de la
biréfringence en fonction du champ appliqué qui est à la base de la plupart des
applications électrooptiques des ces matériaux.
Les cristaux liquides nématiques sont définis par un état stable
(ordinaire) à l’équilibre et un autre instable (extraordinaire) sous l’action d’un
champ. Alors que Les cristaux liquides smectiques possèdent deux états
stables, et l’application d’un champ a tendance à faire passer les molécules
d’un état stable à un autre ; ces matériaux sont donc bistables. En fait, les
molécules présentent une polarisation permanente et lors de l’application d’un
champ électrique, la polarisation a tendance à s’aligner avec le champ appliqué
pour minimiser l’énergie électrique. L’axe de rotation d’ordre deux permet
l’existence d’un moment dipolaire permanent parallèle à cet axe. Ceci se traduit
par une variation de l’angle azimutal, c’est à dire que la molécule effectue un
mouvement de précession autour de l’axe z. On dit que la phase smectique est
ferroélectrique.
I.1.5. Applications des cristaux liquides :
Les cristaux liquides, comme nous l'avons vu précédemment
possèdent des propriétés spectaculaires, ils sont donc des composants
électrooptiques très efficaces. Les diverses méthodes de mise en oeuvre de ces
matériaux sont le fruit d’une recherche intense qui a réussi à s’imposer,
particulièrement dans le domaine de l’affichage et des écrans plats. L'écran
LCD est effectivement l'application la plus courante, la plus utilisée, mais aussi
celle qui a suscité le plus d'intérêt auprès de la communauté scientifique.
On utilise pour l'affichage, des cellules TN « twisted nematic » [20]
constitués d’un cristal liquide chiral (torsadé) en imposant par exemple un
ancrage différent sur les deux faces de la cellule. Ce qui donne une structure
hélicoïdale des molécules de cristal liquide le long de l’épaisseur de cette

cellule. Cette torsion naturelle forme un guide pour la lumière polarisée. Si le
pas de l'hélice est assez grand par rapport à la longueur d'onde de la lumière
une lumière polarisée qui entre avec son champ électrique le long des grands
axes des molécules voit sa direction de polarisation tourner comme les
molécules : c'est l'effet guide d'onde.
On construit de cette façon des cellules à phase nématique torsadée
TN. Elles contiennent des molécules formant un guide d'onde qui force la
lumière polarisée à tourner d'un angle droit sur l'épaisseur de la cellule. La
lumière est polarisée à l'entrée de la cellule, puis analysée à la sortie. Quand les
cristaux liquides sont au repos, leur phase est chirale par l'ancrage aux faces de
la cellule, le guide d'onde existe, et la lumière passe. Si on applique un champ
électrique entre les faces de la cellule, la phase nématique bascule, elle se
« détache » des parois, et le guide d'onde est détruit en une petite fraction de
seconde, si bien que la lumière polarisée ne tourne plus en traversant la cellule,
et se fait intercepter par l'analyseur en sortie. La figure I.6 décrit la disposition
des molécules de cristal liquide dans de telles cellules.
Figure I.6 : Disposition des molécules de cristal liquide dans une cellule TN.
Parmi les technologies les plus répandues et les plus étudiées, on peut citer:
– la technologie des écrans multiplexes classiques utilisant principalement des
cristaux liquides en phase nématique et au nombre desquelles on trouve les
technologies TN, STN (Twisted Nematic, Super Twisted Nematic).

– la technologie utilisant des matrices actives (de dipôles non linéaires ou de
transistors) qui visent à réduire les limitations des écrans à multiplexage
direct.
– la technologie plus récente des cristaux liquides ferroélectriques (smectiques
C chiraux) qui tire parti des propriétés de bistabilité.
Les cristaux liquides sont présents dans la vie de tous les jours et
continuerons à être largement utilisés dans le futur. En effet, ils ont su
s'imposer dans de nombreuses applications telles que:
L’utilisation des cristaux cholestériques comme détecteurs de
température
Les cristaux liquides permettent, en effet, de réaliser des
thermomètres grâce à la phase cholestérique. Suite à leurs propriétés optiques,
les cristaux liquides cholestériques, vérifient la relation de Bragg et renvoient
par conséquent une longueur d'onde de lumière définie en fonction de la
longueur du pas de l'hélice formée pas les molécules et de l'angle d'incidence
de la lumière qui les éclaire. Or la longueur du pas de l'hélice est très sensible
aux variations de la température. La substance à cristaux liquides ne renverra
que la lumière de couleur caractérisée par une certaine longueur d’onde,
caractéristique d’une température donnée…
En médecine, les cristaux liquides se révèlent très efficaces pour réaliser
une vraie " carte de températures "du corps, en transformant les rayons
infrarouges émis par la chaleur corporelle en couleurs visibles. On peut ainsi
détecter des tumeurs, qui ont une température élevée, ou de visualiser le
parcours du sang lorsque l'organisme est soumis à des conditions extrêmes.
Les cristaux liquides sont largement utilisés dans l'industrie parce qu'ils
peuvent aisément être mis sous forme de films très fins mais néanmoins très
efficaces pour des températures élevées, car les influences extérieures sont

alors négligeables. Appliqué sur un circuit électronique ou sur un métal il
permet d'en visualiser les défauts « points chauds » pour les circuits
électroniques ou vice de conductivité thermique pour un métal.
Les cristaux liquides sont utilisés de manière un peu plus légère pour
fabriquer des tissus, des peintures ou de l'encre qui change de couleur en
fonction de la température environnante. Si cela n'apporte pas réellement de
réponse à un besoin technologique, on peut considérer que c'est caractéristique
de la banalisation de ces nouveaux matériaux.
La cagoule de soudage:
L'extinction obtenue par le système polariseur/analyseur est de l'ordre de
90 % de la lumière. Le filtre obtenu est donc d'un pourcentage équivalent aux
filtres de soudure classiques. De plus, le système passe de l'état clair à l'état
obscur rapidement.
Nous avons vu un large éventail d'applications des cristaux liquides
d'utilité publique mais aussi au service de l'industrie ou de la médecine. Leurs
extraordinaires propriétés optiques leur permettent de s'introduire dans de
nombreux autres domaines techniques.
I.
2.1.
Définitions
I.2. Les systèmes PDLC
Les PDLC sont des matériaux électrooptiques relativement
nouveaux.
Ce sont des matériaux hétérogènes constitués d’une dispersion de
microgouttelettes de cristal liquide dans une matrice de polymère solide et plus
ou moins flexible [21]. Ces matériaux présentent un intérêt considérable grâce
à leurs propriétés électrooptiques.
Ils peuvent en effet commuter entre un état
opaque fortement diffusif ( état off)
et un état transparent ( état on)
application d’un champ électrique
[ 16]
.
après

Les systèmes PDLC qui sont toujours étudiés pour maintes
applications (valves optiques, affichage, fenêtres commutables, polariseurs,
filtres optiques, holographie...) comportent plusieurs avantages tels la facilité
de fabrication, la facilité d'utilisation à grande échelle, la stabilité, la vitesse de
leur temps de réponse et le fait de ne pas nécessiter l’emploi de polariseurs qui
absorbent près de la moitié de la lumière incidente.
L'opacité (ou la transparence) d’un film PDLC est relié aux indices
de réfraction du polymère et du cristal liquide : lorsque les deux concordent, il
en résulte de la transparence. Les gouttelettes de cristaux liquides sont
anisotropes et ont ainsi des indices de réfraction différents selon qu'on les
mesure parallèlement (indice de réfraction extraordinaire, ne) ou
perpendiculairement (indice de réfraction ordinaire, no) à l'axe directeur
nématique. Notons que généralement ne, est d'environ 1.7 tandis que no et nm,
ce dernier étant l'indice de réfraction du polymère, sont d'environ 1.5. La
matrice de polymère est choisie généralement en vue d'avoir un indice de
réfraction le plus près possible de no. Il peut être bon de mentionner que les
indices de réfraction du cristal liquide ainsi que du polymère sont dépendants
de la température: l'indice de réfraction ordinaire du cristal liquide, no
augmente avec la température tandis que celui du polymère, nm diminue
lorsqu'on augmente la température. Par conséquent il est impossible d'avoir une
concordance parfaite entre les deux indices dans un grand intervalle de la
température [22].
I.
2.2.
Elaboration des matériaux
PDLC:
La préparation des PDLC peut s'effectuer en deux manières : par
encapsulation ou par séparation de phases.
- L’encapsulation : appelée émulsion, a le mérite d'être la première technique
à avoir été utilisée pour fabriquer des PDLC. Elle consiste à mélanger un cristal
liquide avec un polymère dissous dans l'eau. Puis, en laissant l'eau s'évaporer,

les gouttelettes de cristal liquide restent prises dans la matrice de polymère
dans laquelle elles sont insolubles.
- Il existe trois principales méthodes de préparation des films PDLC,
aboutissant toutes à une séparation de phase entre les cristaux liquides et la
matrice polymère.
C’est la méthode la plus utilisée qui peut se faire de trois manières
différentes [23].
• P.I.P.S ( Polymerization Induced Phase Separation ) :
Cette méthode consiste à induire la séparation de phases par
polymérisation. On doit d'abord préparer une solution homogène entre le cristal
liquide et un monomère, puis on initie une réaction de polymérisation. Dans le
cas d’une réticulation du prépolymère sous rayonnement U.V, on ajoute un
photo-amorceur. Au fur et à mesure que la réaction avance, les molécules de
cristaux liquides commencent à se dissocier de la matrice de polymère en
formation. Ainsi, les molécules commencent à se rassembler pour former des
gouttelettes de cristaux liquides. La taille des gouttelettes est fonction des
caractéristiques physico-chimiques des constituants du mélange, de la vitesse
de polymérisation et de la solubilité des cristaux liquides dans le polymère
[24,25].
fin de
• T.I.P.S ( Thermally Induced Phase Separation ) :
Cette méthode est utilisée lorsque le mélange polymère / cristal liquide
forme une phase unique à haute température. En baissant la température plus
ou moins rapidement, on aboutit à une séparation de phase caractérisée par
l’apparition de domaines riches en cristal liquide dispersés dans la matrice
polymère. Un refroidissement rapide donne lieu à des gouttelettes de petites
tailles.
séparation
séparation de phases solution
polymérisation
formation de gouttelette
homogène
Prépolymère
Agitation +
PDLC
Cristaux liquides

La taille des gouttelettes dépend donc la aussi de la vitesse de refroidissement
[24,25].
• S.I.P.S ( Solvant Induced Phase Separation ) :
Cette méthode est utilisée dans le cas de polymères dont la température
de décomposition est inférieure à la température de fusion.
Le mélange polymère - cristal liquide est obtenu à l'aide d'un solvant
approprié. La séparation de phases se produit lors de l'évaporation du solvant.
De même, la taille des gouttelettes dépend de la vitesse d'évaporation [24,25].
PDLC
I.
2.3.
Propriétés électrooptiques:
L'effet électrooptique de ces nouveaux matériaux repose non plus sur
le contrôle de la polarisation de la lumière comme c'est le cas pour l'effet
nématique en hélice, mais sur la diffusion de lumière par les gouttelettes de
cristal liquide inclues dans la matrice polymère.
Pour une bonne compréhension du principe de fonctionnement de ce
nouveau procédé, nous schématisons un film PDLC de façons suivante : des
gouttelettes de cristal-liquide (nématique) de l'ordre du micron sont dispersées
dans une matrice continue de polymère d'indice de réfraction nm . Chaque
gouttelette est équivalente à un milieu uniaxial caractérisé par deux indices de
réfraction : l'indice ordinaire n0 dans une direction quelconque perpendiculaire
à l’axe d’orientation moyenne des molécules et l'indice extraordinaire ne
parallèlement à cet axe. On identifie l'indice n0 à l'indice n⊥ et l'indice
extraordinaire ne à l'indice n//, puisqu’on se limite au cas des cristaux liquides
nématiques.
séparation de phases
solution Polymère
fin de
Refroidissement Chauffage +
PDLC
formation de gouttelette séparation homogène Cristaux liquides
fin de
séparation
formation
évaporation
de gouttelette
solution Polymère
Solvant +
homogène Cristaux liquides

Si un rayon lumineux incident arrive sur la gouttelette, en faisant un
n angle α avec l'axe nématique
r
de la gouttelette, il voit un indice de réfraction
apparent n (α) qui est la combinaison des deux indices n0 et ne et tel que:
n( α)
=
n
n
2 2 2 2
( n cos α + n sin α)
e
0
e
0
1/
2
Nous considérons que les molécules de cristal liquide, à l’intérieur
n de la gouttelette, sont orientées en moyenne autour du vecteur
r
appelé
directeur nématique de la gouttelette (Figure I.7).
Figure I.7 : Ellipsoïde des indices de réfraction.
Le principe de fonctionnement du mode électrooptique normal
(nématique à anisotropie diélectrique positive) est illustré sur la figure I.8.
Une cellule à PDLC possède au moins trois avantages : elle utilise moins
de cristaux liquides, son contenu ne peut pas couler et elle ne nécessite pas de
polariseurs de lumière. Son fonctionnement repose sur le fait que le cristal
liquide est biréfringent. L'astuce est de trouver un polymère transparent dont
l'indice optique est très proche de l'indice minimal du cristal liquide. Son
principe de fonctionnement est le suivant :
α

Absence du champ électrique.
(Etat non adressé : diffusant)
En absence du champ appliqué « état OFF». En pratique, les gouttelettes
ne sont jamais parfaitement sphériques; elles sont légèrement allongées et sont
donc distribuées de façon aléatoire. Les gouttelettes étant légèrement allongées,
les molécules de cristal liquide s'orientent dans le sens du plus grand axe sous
la configuration bipolaire. Dans ce cas, l'indice de réfraction dû au cristal.
Ces gouttelettes présentent, par
(n + 2n )/3
2 2
e o
liquide, appelé neff est
conséquent, des indices de réfraction différents entre elles et par rapport au
faisceau de lumière incident (perpendiculaire à la surface du film PDLC). Il en
résulte une diffusion de celle-ci dans le milieu et donc une transmission limitée
de la lumière à travers la cellule. Cet état OFF est caractérisé par l'opacité de la
cellule [26].
Application du Champ électrique
(Etat adressé : transparent)

a)- état OFF b)- état ON
Figure I.8 : Schéma du fonctionnement d'un système PDLC.
Figure I.9 : Principe de fonctionnement du mode éléctrooptique.
• En présence d’un champ électrique appliqué au film " état ON", les
molécules de cristaux liquides s'orientent selon la direction du champ
électrique imposé au dessus d’un certain champ de seuil. Les gouttelettes
présentent alors, principalement l'indice de réfraction no (indice ordinaire
moyen) par rapport à la lumière incidente. Il en résulte une transmission de la
lumière d'autant plus grande que la différence
Δ n = nm − no
est petite (nm est
l’indice de réfraction de la matrice polymère). Par conséquent, si l’indice de
réfraction de la matrice polymère est choisi très proche de l’indice ordinaire du
cristal liquide, l’état ON sera caractérisé par une transparence quasi complète
de la cellule à la lumière incidente.
Nous présentons sur la figure I.10 un exemple de réponse
électrooptique d'un film PDLC, c'est-à-dire le pourcentage de lumière
transmise en fonction de la tension appliquée à la cellule. La tension V90 est

définie comme la tension correspondant à 90 % de lumière totale transmise et
V10 comme celle correspondant à 10 % de lumière totale transmise. Un autre
paramètre crucial est la tension de seuil Vs, tension à partir de laquelle les
molécules de cristal liquide commencent à s’orienter, qui est recherchée à être
la plus faible possible.
• Notons qu'il existe un décalage entre les courbes électrooptique évaluées
en augmentant ou en diminuant la tension. Cet hystérésis qui est plus ou moins
important selon le composite étudié, la méthode d’élaboration utilisée ainsi
que des conditions de mesures, est dû à un effet de mémoire provenant d’une
relaxation plus ou moins lente des molécules de cristal liquide se trouvant prés
de l'interface [9].
Figure I.10 : Exemple de réponse électrooptique d'un film PDLC mesurée en transmission.
L’étude des propriétés électrooptiques des systèmes PDLCs est très
importante car elle permet d’améliorer et d’optimiser les performances
électrooptiques de ces matériaux. Par exemple, pour les applications dans le
domaine de l'affichage, on recherche des gouttelettes de diamètre se situant
entre 0.3 et 3 µm, tandis que pour les utilisations dans le domaine de
l'infrarouge, des gouttelettes supérieures à 25 µm sont requises [23].

De nombreux paramètres influencent les propriétés électrooptiques [27]
comme, par exemple la nature des deux constituants (polymère et cristal
liquide), la concentration de cristal liquide, la taille et la forme des gouttelettes,
ainsi que de la méthode de la séparation de phase utilisée. Les molécules de
cristaux liquides situées à l'intérieur des gouttelettes peuvent adopter
différentes configurations dépendant de leurs propriétés élastiques, de la
grandeur et de la forme des gouttelettes et de leur ancrage à l'interface
gouttelette-polymère. Lorsque les molécules en contact avec la matrice de
polymère s'orientent perpendiculairement à celle-ci, on fait face à une
configuration radiale, tandis que lorsque les molécules s'orientent
parallèlement, on retrouve la configuration bipolaire. Cette dernière
configuration est celle observée la plupart du temps. A moins que le système ait
été fabriqué par une polymérisation sous l'action d'un champ électrique ou
magnétique, l'axe directeur de chacune des gouttelettes est tout a fait aléatoire.
Les propriétés électrooptiques auxquelles s'intéressent les
spécialistes sont nombreuses et certains paramètres électrooptiques sont
prioritaires pour les diverses applications: la tension de seuil, tension de
saturation, transmittance à l’état off, le contraste de l'image et les temps de
réponse.
• La tension de commande ou tension de saturation est la tension
qu'il faut fournir à l'écran pour assurer la commutation de l'état non adressé
(opaque dans le cas des PDLC) vers l'état adressé (transparent). Cette tension,
qui dépend de la nature des deux constituants, du pourcentage relatif du
mélange ainsi que de la méthode de séparation de phase utilisée, est recherchée
à être minimale.
• Pour une application de visualisation, le contraste de l'image qui
est la différence visuelle entre les deux états optiques extrêmes, opaque et
transparent, doit être maximale afin d'assurer une bonne qualité visuelle de
l'écran.

• Pour la plupart des applications électrooptiques, les temps de
réponse de ces systèmes PDLC doivent être relativement courts. Ces temps
sont le temps de montée (τon) mis par le cristal liquide pour s'orienter lorsqu'il
est soumis à un champ électrique, et le temps de descente ou temps de
relaxation (τoff) mis par le cristal liquide pou revenir à son état initial de repos
lorsque l'on coupe le champ électrique [9].
I.
2.4.
Applications des matériaux PDLCs :
Les matériaux PDLC présentent un intérêt considérable pour leurs
nombreuses applications électrooptiques comme la visualisation, les fenêtres à
opacité variable et les valves optiques. Ils existent d’autres applications
potentielles tel que les filtres optiques, les fibres optiques [28], les capteurs
optiques, l’holographie et le stockage optique qui peuvent être réalisées dans un
film à nano-gouttes.
Les deux applications des composites polymère/cristal liquide, à
micro-gouttelettes, les plus recherchées sont la visualisation et les vitrages à
opacité contrôlée.
I.
2.4.
a.
Visualisation
Dans la réalisation des écrans de visualisation à base de PDLC deux
procédés optiques entrent en jeu : le procédé électrooptique diffusif et la
modulation de l'absorption par un colorant dichroïque incorporé en faible
pourcentage dans le film permettant d'avoir une visualisation en couleur.
Notons aussi que ces matériaux composites s'adaptent aisément à la
technologie des matrices actives grâces à leurs faibles tensions de commande et
leurs temps de réponse compatibles avec la vidéo.
I.
2.4.
b.
Vitrage à opacité variable
La seconde grande application des PDLC est la fabrication de
vitrages à opacité contrôlable électriquement. En fonction de l'utilisation
souhaitée on peut utiliser le mode normal (stores extérieurs ou partition de
bureaux) ou le mode inverse (pare-brise d'automobile par exemple). Les

contraintes électrooptiques sont différentes de celles imposées par la
visualisation : la tension seuil et les temps de réponse ont peu d'importance
alors que l'angle de vue, la simplicité de la mise en œuvre sur de très grandes
surfaces et le coût des matériaux sont cruciaux.
II.1. Non Linéarité Dans Les Milieux Isotropes
II.1.1. Introduction
Quand un faisceau lumineux interagit avec un matériau il provoque
une oscillation des charges des atomes. Dans un matériau linéaire le
déplacement de ces charges est proportionnel à l’intensité instantanée du
champ électrique appliqué au matériau. Ces charges qui oscillent avec la même
fréquence que celle de la lumière incidente, rayonnent de la lumière à la même
fréquence ou alors transfèrent de l’énergie suivant des modes non radiatifs
engendrant soit un échauffement du matériau soit un mécanisme de transfert
d’énergie. Il est facile de montrer que dans un matériau homogène et isotrope,
la lumière émise traverse l’échantillon dans la même direction que celle de la
lumière incidente. Le faisceau lumineux est effectivement emprisonné à
l’intérieur de l’échantillon; les charges excitées par le champ électrique de
l’onde lumineuse excitent à leur tour d’autres charges. Ceci a pour résultat que
la vitesse de la lumière est plus faible que par rapport au vide. L’absorption et
l’indice de réfraction sont dans ce cas là des propriétés linéaires du matériau
9,30]. 2[
pour une lumière incidente de faible intensité
Dans un système non linéaire, le déplacement des charges
électriques, à partir de la valeur d’équilibre, est une fonction non linéaire de
l’intensité du champ électrique appliqué. Tous les matériaux, quand ils sont
exposés à d’importantes intensités de lumière, montrent une réponse non
linéaire de leurs propriétés physiques. La réponse optique non linéaire peut être
expliquée en considérant la figure II.1 qui montre le potentiel et la force
associée en fonction du déplacement des charges. La charge occupe la position
ro, de faible énergie, à l’équilibre. Pour des forces faibles, le déplacement des

charges est faible et peut être approximé par un potentiel harmonique
(Figure II.1.a) et une force linéaire (Figure II.1.b). Quand le déplacement, à
partir de l’équilibre est important, l’approximation harmonique ne tient plus et
la force n’est plus une fonction linéaire du déplacement. Quand les charges
dans la molécule sont soumises à un potentiel harmonique, le moment dipolaire
induit est linéaire en champ électrique. Par contre si ces charges se trouvent
dans un potentiel non harmonique la réponse est non linéaire. Plus
généralement, dans une molécule non linéaire exposée à la lumière, le moment
dipolaire induit, dépendant du temps, est une fonction non linéaire du champ
appliqué.
Figure II.1 : le potentiel et la force associée en fonction du déplacement des charges.
II.1.2. Hyper polarisabilités d’ordre élevées
En résumé dans un milieu diélectrique linéaire, on peut
P immédiatement relier la polarisation électrique
r
(par unité de volume) du
E matériau à la valeur du champ électrique appliqué
r
par la relation matricielle:
r r
P = ε χ.
E
0
(II.1)
la susceptibilité χ étant la permittivité du vide et ε o
électrique du matériau.
se réduit à un scalaire, le milieu est isotrope, dans le cas contraire il est
E r
.
est toujours proportionnel à
L’induction électrique étant défini par :
P anisotrope mais
r
χ Si

D = ε . E + P
o
En utilisant l’équation (II.1), on peut écrire
r r
D = ε.
E
(II.2)
(II.3)
est la constante diélectrique du milieu. Dans le cas général des milieux ε Où
, est un tenseur. ε comme χ anisotropes,
Une première entorse à la théorie linéaire apparaît lorsque l’intensité
appliqué à l’échantillon devient très importante, sa susceptibilité
E du champ
r
électrique devient alors dépendante de la valeur et la nature du champ. Un
système optique est donc non linéaire quand sa sortie optique n’est plus linéaire
de sa fonction d’entrée.
Considérons la formulation linéaire précédente comme le premier terme du
développement en série d’une expression plus rigoureuse de la réalité
physique ; on posera donc :
r r r r r r r
1 2
P = χ. E + χ . E . E + χ . E . E . E + ...
étant le tenseur de
est le tenseur de
2
χ
1
χ
(II.4)
est le tenseur susceptibilité linéaire d’ordre 2,
susceptibilité quadratique, appelé hyper polarisabilité et
susceptibilité cubique, appelé aussi second hyper polarisabilité. Le vecteur
déplacement électrique s’écrit :
r r r r r r r
D = ε E + ε E E + ε E E E +
1 2
. . . . . . ...
(II.5)
2
étant les tenseurs constantes diélectriques non linéaires du premier et ε
χ
1
et ε
deuxième ordre respectivement. La limitation de ces développements à leurs 2
premiers termes suffit en général à rendre compte des phénomènes non
linéaires observés.
Dans le cas des effets non linéaires électrooptiques, le champ de
l’onde lumineuse dépendant du temps est composé, en général, d’une série de

longueurs d’onde et par conséquent il est commode d’exprimer le moment
dipolaire induit (polarisabilité) dans le domaine fréquentiel en prenant la
transformée de fourrier de l’équation (II.3) qui s’écrit :
et
w
P ( w ) = χ ( − w , w ). E ( w ) + χ
1
( −w
; w , w ) E ( w ). E ( w )
i ij j ijk 1 2 j 1 k 2
+ χ
2
( − w ; w , w , w ). E ( w ). E ( w ) E ( w ) + ...
ijk l 1 2 3 j 1 k 2 l 3
(II.6)
est l’amplitude de fourrier de la polarisabilité à la fréquence
est celle de la nième composante cartésienne du champ à la
. Les arguments des hyper polarisabilités doivent donner une
: la
1
χ ijk
E ( w )
n n
w n
P ( w ) Où
i
fréquence
somme nulle. Considérons, à titre d’exemple l’hyper polarisabilité
. Ce terme est en w 2 + w 1
doit être égal à
w
condition implique que
conséquence responsable pour le mixage de deux champs aux fréquences
=
w
et donne une polarisation qui oscille à la fréquence
[29,31]. w 2 + w 1
L’équation (II.6) peut être interprétée en considérant, par exemple, la
w
2
et w 1 respectives
contribution du deuxième ordre à la polarisation. En présence de deux champs
w
, un dipôle oscillant à la fréquence
. L’hyper
w
w
2
et w 1 optiques à des fréquences
apparaît. Ce dipôle rayonne la lumière à cette fréquence
polarisabilité représente ainsi l’intensité de la lumière rayonnée quand deux
champs optiques excitent, de façon coopérative, l’oscillation d’une molécule.
Ainsi, il est clair que la radiation résultante n’est pas nécessairement à la
même fréquence que celle des champs incidents. En d’autres termes à travers
cette hyper polarisabilité, la molécule mixe l’interaction des deux longueurs
d’onde lumineuses pour produire une autre longueur d’onde. La n ième hyper
polarisabilité représente donc le processus de mixage de (n+1) faisceaux
lumineux pour produire une radiation d’une autre longueur d’onde.

Génération d’harmoniques d’ordres élevés
Quand un champ électrique est appliqué à un matériau, un moment
P dipolaire est induit. La polarisation,
r
, définie comme le moment dipolaire par
unité de volume, s’exprime sous forme d’une série de puissance en fonction du
E champ appliqué
r
. Quand le matériau est non linéaire [29,32],
r r r
( , )
1 r r
( , )
2 r r
P r t = P r t + P ( r , t ) + P
3 r
( r , t ) + ....
(II.7)
P
n
r
, sont écrits en termes de champ appliqué comme :
r
n r
( , )
3
...
3 n r r r r
P r t = ∫d r dt ( ,... , ,...
1 1
∫d
r d t R r − r r − r t −t
n n 1 n 1
r r r r
t −t
) : E ( r , t )... E ( r , t )
n 1 n n
Où les polarisations,
(II.8)
Où R est la fonction réponse du matériau. Notons au passage que le champ
figurant dans cette équation est un champ macroscopique appliqué qui est
différent du champ électrique local existant au niveau de l’atome ou de la
molécule.
Si on admet que le champ appliqué puisse être écrit suivant un
développement en ondes planes,
r 1 r −i
w t
E ( t ) = ∑ E e n
2 n
n
(II.9)
La polarisation peut être écrite comme suit :
r
1
r
2
r r
P E : E E
3
r r r
= χ + χ + χ : E E E + ....
(II.10)
est la susceptibilité d’ordre n du matériau. La polarisation donnée par
l’équation (II.10) est en fait la transformée de fourrier de l’équation (II.8)
[29,31], c’est à dire la polarisation exprimée dans le domaine des fréquences.
Comme pour une molécule, la susceptibilité d’ordre n représente l’interaction,
n
χ
E r
Où

dans le matériau, entre n champs. La susceptibilité d’ordre 2 est la source des
effets non linéaires d’ordre 2, comme la génération de la seconde harmonique
(GSH) et l’effet électrooptique linéaire (EOL). La susceptibilité d’ordre 3 est la
source des effets de troisième ordre, comme la génération de la troisième
harmonique (GTH) et de l’effet électrooptique quadratique (EOQ) appelé effet
Kerr.
La génération de seconde harmonique est un processus par lequel la
fréquence de la lumière incidente à un matériau non linéaire est doublée. De
façon similaire, dans une génération de troisième harmonique la fréquence est
triplée par le milieu non linéaire. Les effets électrooptiques résultent de la
modification de l’indice de réfraction du matériau en réponse aux champs
externes appliqués.
II.1.3. Non linéarité électrooptique du second ordre : Effet
Pockels
On se focalise dans ce paragraphe à la non linéarité du second ordre
dont la source est la polarisation du second ordre,
2
( )
2
r w r w
P w = χ ( −w
; w , w ) : E E
3 3 1 2
L’équation (II.11) est
w
i
1 2
(II.11)
est l’amplitude du champ à la fréquence
rwi E
la source de beaucoup d’effets électrooptiques non linéaires. Cette équation
traduit en effet le processus connu comme la somme ou la différence des
est différent de w 1 dans des cas généraux où w 2 et w 1 fréquences de mixage
± w 1
w
.
=
2
w
= ±
w
3
de l’onde obtenue par mixage est donc :
Le cas spécial qui présente un grands intérêt pour les diverses
2
=
w
3
w
3
et la fréquence
= 0 et donc w 1 applications qu’on peut lui trouver est celui où
; l’hyper polarisabilité s’écrit ainsi par:
w
Où
w
2

2 2 r
P ( w ) ( w ;0, w ) : E
0 r
= χ −
E
w
(II.12)
Cette équation traduit un effet électrooptique linéaire appelé effet Pockel
découvert en 1893.
Dans cet effet le matériau se présente sous forme d’un film mince
dont les faces sont recouvertes d’une mince couche conductrice afin de pouvoir
au moyen d’un voltage. Ce champ varie
0
E appliquer le champ statique
r
l’indice de réfraction du matériau dont la modification engendre un
proportionnel au champ
r
, [29,33] E
st
ou
E
w
r
E
0
statique,
r
π n
3
rE
o
l
Δ φ = φ − φ =
o λ
o
, du champ optique φ changement de la phase,
(II.13)
N : est l’indice de réfraction du matériau, l est l’épaisseur du film et r
est le coefficient électrooptique linéaire. Le changement de l’indice de
réfraction se traduit par une biréfringence du milieu. Le coefficient
électrooptique peut être mesuré dans une expérimentation utilisant
l’interféromètre de Mach-Zender [34,35] (Figure II.2) dans laquelle la source
lumineuse, qui est généralement un laser, doit être hautement polarisée. Dans
cet effet linéaire, la fréquence de l’onde incidente n’est pas changée,
l’amplitude et la phase du champ optique dépendent linéairement de l’intensité
du champ statique appliqué. L’effet Pockel est par conséquent un effet linéaire
que l’on ne rencontre que dans les matériaux dépourvus de centre de symétrie.
Cet effet occupe dans l’optoélectronique une place importante. Son utilisation
principale fait de lui un modulateur de polarisation. Il est aussi à la base d’un
grand nombre de dispositifs électrooptiques tels que les commutateurs, les
modulateurs, les déflecteurs….
0

Figure II.2 : L’interféromètre de Mach-Zender.
II.1.4. Non linéarité électrooptique du troisième ordre : Effet
Kerr
A la différence de l’effet linéaire, vu précédemment, dont il
possède les mêmes caractéristiques principales, l’effet électrooptique
quadratique est un processus optique non linéaire du troisième ordre qui peut
être généré à partir de matériaux de configuration orientationnelle moléculaire
quelconque. La polarisation du troisième ordre qui est la source de l’effet
électrooptique quadratique est :
P ( w ) = χ ( −w
; w , w , w
r
) : E
w rw E
rw
E
3 3 1 2
1 2
3
devant être nul c'est-à- χ
dire.
w 1 = -w
2 = 0 ou
w
le processus non linéaire
2
= w 1
(II.14)
avec l’argument de l’hyper susceptibilité d’ordre 2,
w
2
Voltage
= 0 et par conséquent,
w
2
+ w 1
= w 1 Quand les deux champs sont statiques, donc
est appelé effet Kerr électrooptique et quand deux des trois champs sont
conjugués complexes l’un de l’autre, il est appelé Effet Kerr optique [31].
L’effet Kerr électrooptique, auquel nous nous intéressons
particulièrement dans ce mémoire, peut donc être observé lorsque l’action du
+
w
=
w

champ statique, généralement continu, appliqué s’exerce non plus sur les
vibrations électroniques mais plutôt sur la structure même des édifices
moléculaires. Cet état découvert sur le verre, par Kerr en 1875, est presque
toujours associé aux liquides, parce que c’est sur cet état de la matière qu’il se
manifeste avec l’intensité la plus grande.
De nombreux liquides en effet, lorsqu’ils sont soumis à un champ
électrique externe deviennent assez fortement anisotropes par l’alignement de
leurs molécules dans le champ de polarisation.
Ce nouvel état optiquement biréfringent, est uniaxe, avec l’axe
optique orienté suivant la direction du champ. L’expérience montre en outre
que la biréfringence qui apparaît c'est-à-dire l’écart entre les indices de
réfraction extraordinaire ( mesuré dans la direction du champ appliqué) et
ordinaire (mesuré dans une direction perpendiculaire quelconque) est
proportionnel au carré du champ électrique appliqué, ce que l’on écrit sous la
forme :
Δ n = ne − no = B λ E
2
(II.15)
Dans le terme de λ L’introduction de la longueur d’onde,
proportionnalité est motivé par le souci d’éliminer la longueur d’onde de
l’expression globale du phénomène physique observé, c'est-à-dire du
déphasage introduit par le milieu sur les composantes de la vibration optique
polarisée parallèlement et perpendiculairement au champ électrique appliqué,
2π
l
Δ φ = Δ n = 2π
l B E
λ
2
(II.16)
Le coefficient B, appelé constante de Kerr, est fonction de la longueur
d’onde, de l’indice de réfraction, de la température et de la pureté du matériau.
II.1.5. Conclusions
En se limitant à une étude non linéaire électrooptique, c’est à dire
quand le matériau non linéaire considéré est soumis à un champ électrique
est associée à l’effet Pockel où la
1
χ
constant externe, l’hypersusceptibilité

iréfringence qui apparaît au sein de l’échantillon a une dépendance linéaire en
qui représente le terme quadratique de la
2
χ
intensité du champ appliqué.
susceptibilité est associé à l’effet Kerr électrooptique auquel nous nous
intéressons dans ce travail.
Dans un système isotrope, les effets optiques non linéaires apparaissent
pour des champs appliqués d’intensité comparable à celle du champ intra
atomique soit 10 10 V/m environ.
représente la composante
E En régime vibratoire, c'est-à-dire lorsque
r
électrique d’un champ électromagnétique de fréquence élevée, ces phénomènes
sont du domaine exclusif de l’optique cohérente. Seule la cohérence des lasers,
associée à leur courte longueur d’onde, permet en effet une concentration
d’énergie suffisante pour atteindre des valeurs de champ comparable à celle du
champ intra-atomique.
Encore cela n’est-il possible que si l’on dispose de lasers déclenchés
puissants. Les effets non linéaires générés ainsi sont de nature optique, c’est à
dire ces phénomènes optiques non linéaires sont crées localement par le champ
électrique vibratoire de l’onde lumineuse qui interagit avec le matériau.
On peut aussi parler de l’effet non linéaire électrooptique si le champ
de polarisation appliqué à l’échantillon est un champ statique externe ; ce qui
signifie que l’on a un champ constant et une onde lumineuse appliqués au
matériau. Dans ce cas l’effet non linéaire est crée par le champ externe et est
observé par l’onde lumineuse.
Théoriquement le mécanisme qui produit ces effets non linéaires,
qu’ils soient d’origine optique ou électrooptique, est l’orientation de la
structure ou du réseau moléculaire du matériau par le champ appliqué. Cette
réorientation qui est décrite par l’équation (II.3), se traduit par le fait que la
structure moléculaire du matériau ressemble à celle d’un réseau cristallin
possédant une symétrie uniaxiale d’axe de symétrie parallèle à la direction du
champ appliqué. Ceci provient tout simplement du fait que l’importante
polarisation créée par le champ déforme la structure moléculaire en engendrant
l’apparition de dipôles électriques alignés avec le champ appliqué. Le matériau

prend alors une structure uniaxiale et devient par conséquent optiquement
biréfringent.
L’optique non linéaire n’est pas un phénomène exotique. Tous les
matériaux sont optiquement non linéaires si la lumière (ou le champ externe
dans le cas de la non linéarité électrooptique) est d’intensité suffisante pour
créer une anisotropie locale. L’un des effets non linéaires les plus communs est
la variation de l’indice de réfraction n en fonction de l’intensité de la lumière
ou l’indice de réfraction non linéaire. Une équation qui décrit convenablement
cette dépendance pour beaucoup de matériaux est la suivante, appelée
quelquefois la non linéarité Kerr [36,37] :
n
2
dn
=
dI
=10 n2
-14 cm 2 /W.
n ≈ no + n2 I (II.17)
Où l’ordre de grandeur typique du coefficient non linéaire
est
Notons que cette équation (II.17) est une relation locale, c’est à dire que
l’indice de réfraction en un point donné à l’intérieur du matériau dépend
seulement de l’intensité de la lumière en ce même point. Ces valeurs montrent
de l’ordre de 0,1,
Δn
que pour obtenir un changement de l’indice de réfraction
on a besoin d’une intensité de 10.000 GW/cm 2 , qui ne peut être achevée que
dans des sources laser pulsés ultracourts et en focalisant toute la lumière sur un
seul point.
En régime non linéaire, la constante diélectrique, comme la
susceptibilité, n’ont de signification physique que locale. Ces grandeurs, dites
alors incrémentales, sont définies par :
∂D
ε ( E)
=
∂E
et
∂P
χ ( E)
=
∂E
(II.18)
Lorsque le milieu est isotrope, ces formules s’appliquent, en toute
rigueur, à chacun des coefficients du tenseur concerné, par exemple :

∂D
ε ij ( E ) =
∂E
i
j
(II.19)
II.2. Effet Kerr électrooptique
II.2.1. Introduction
Kerr [38] a découvert en 1875 que certains matériaux deviennent
doublement réfractant quand ils sont placés dans des régions où existent
d’importants champs électriques. Le fait que cet effet est limité à des régions
d’intenses champs électriques, ou pour certains matériaux, à des régions de
champs relativement faibles, laisse penser que cet effet Kerr n’est pas dû à un
effet électrooptique non linéaire du premier ordre en champ. Au fait on peut
penser que cet effet se produit à cause de la rotation et de la réorientation de la
structure du matériau au niveau moléculaire. Il peut être observé pour des
matériaux existant dans l’état gazeux, liquide ou cristallin. La réponse rapide
de la réorientation moléculaire fait de l’effet Kerr électrooptique un bon
candidat dans l’utilisation en tant que commutateurs ou portes optiques rapides.
II.2.2. Rappels théoriques sur l’effet Kerr électrooptique
II.2.2.a. Double réfraction de la lumière incidente
Comme on l’a expliqué auparavant, l’effet Kerr électrooptique se
produit quand des matériaux deviennent biréfringents lorsqu’ils sont soumis à
des champs électriques statiques relativement importants. C’est un effet
quadratique qui est décrit par l’hyper susceptibilité d’ordre 2 appelée aussi
susceptibilité cubique. Sous l’action du champ externe, la structure
moléculaire du matériau ressemble à celle d’un réseau cristallin de symétrie
uni axiale, donc optiquement biréfringente.
Suite à cette symétrie matérielle uniaxiale, une lumière incidente entrant
dans le matériau non linéaire, va être décomposée en deux ondes
indépendantes (Figure II.3):

- une onde ordinaire (désignée par l’indice or) obéissant aux lois de la
réfraction de Snell Descartes et sensible à un indice de réfraction ordinaire,
nor, mesuré dans la direction perpendiculaire à celle du champ appliqué, c'est-à-
dire à l’axe optique. Pour cette onde tout se passe comme si le milieu est
isotrope, ce qui en d’autres termes veut dire que l’indice de réfraction nor de
cette onde est indépendant de sa direction de propagation dans le matériau.
- une onde extraordinaire (désignée par l’indice ex) n’obéissant pas aux lois
de la réfraction et possédant un indice de réfraction extraordinaire, noté nex,
dépendant de la direction de propagation de l’onde par rapport à l’axe optique
du milieu non linéaire.
Les champs électriques (polarisations) de ces deux ondes oscillent dans
des plans orthogonaux.
Eor Figure II.3 : Décomposition de l’onde incidente en onde ordinaire de champ électrique
r
et
E onde extraordinaire de champ électrique
r
.
ex
(nor)
E r
or
X
E r
inc
Z
k r
(Onde incidente)
n r
(Axe optique)
(nex)
Ces effets de réfraction double peuvent être aisément observés
dans le Carbonate de Calcium (Ca CO3) et dans le quartz (silice pure ; SiO2).
, l’angle que fait la direction de l’onde lumineuse incidente α Si on désigne par
par rapport à l’axe optique du milieu devenu biréfringent suite à l’application
du champ externe, les indices de réfraction Ordinaire, nor, et Extraordinaire, nex,
correspondant au deux composantes Ordinaire et Extraordinaire de l’onde
E r
ex
Y

incidente s’écrivent, en utilisant l’ellipsoïde des indices pour un milieu uni
axial:
n ex
=
no ne
[( n sin( )) 2 ( cos( )) 2
o α + ne
α ]
et
n = n
or o
(II.20)
no et ne sont les indices de réfraction parallèlement et perpendiculairement à
l’axe optique. La biréfringence mesurée dépend donc de la direction de
propagation de l’onde lumineuse incidente. Par conséquent l’orientation du
matériau par rapport à l’onde incidente joue un rôle crucial dans les résultats
expérimentaux.
II.2.2.b. Biréfringence et différence de phase
Quand on discute de la biréfringence induite par effet Kerr électrooptique, il
est bien sur naturel que cela nous mène aux théories de la polarisation de l’onde
c'est-à-dire du champ électrique de cette onde. Un matériau biréfringent, suite à
un effet Kerr quadratique, possède donc deux indices de réfraction, un indice
extraordinaire nex , pour une onde se propageant dans une direction faisant un
avec l’axe optique (direction du champ externe appliqué) et un indice α angle
ordinaire dans une direction perpendiculaire quelconque. Ces deux indices
créent une différence de chemin optique entre les ondes ordinaire et
extraordinaire: L’onde extraordinaire présente une différence de phase par
rapport à la composante ordinaire. Ainsi, si l’onde incidente est polarisée
linéairement, à la sortie du matériau non linéaire la polarisation serait
elliptique.
, entre φ , et la différence de phase , Δ La différence de chemin optique,
les deux rayons lumineux ordinaire et extraordinaire sont données par les
équations suivantes :
Δ = d ( n −
n )
o ex
(II.21)

2π
φ = d ( n − n )
λ o ex
(II.22)
A λ Où d est la longueur parcourue par l’onde, de longueur d’onde
l’intérieur du matériau.
Pour décrire la biréfringence qui résulte de l’effet Kerr
électrooptique, il suffit tout simplement de déterminer la constante ou
coefficient de Kerr B du matériau en question. L’effet Kerr est représenté par
ce coefficient qui est mesuré en considérant le matériau disposé de telle sorte
, c'est-à-dire que la direction de propagation de π
2
soit égale àα
que l’angle
l’onde incidente est perpendiculaire à l’axe nématique du matériau. Dans ce
mode, la biréfringence peut être décrite en terme de différence dont les indices
de réfraction extraordinaire, ne, parallèlement au champ appliqué et ordinaire,
no, perpendiculairement à ce dernier. On montre expérimentalement que cette
biréfringence dépend de façon quadratique en fonction du champ électrique
: E appliqué
Δ n = B λ E
2
(II.23)
II.2.3. Mesure de constante de Kerr :
La technique expérimentale généralement utilisée pour la mesure de
la constante de Kerr fait appel à la rotation de la lumière polarisée par un
matériau présentant un effet Kerr. En effet en traversant un milieu qui peut
manifester un effet Kerr, c'est-à-dire dans lequel est apparue une biréfringence
sous champ électrique externe, la lumière se décompose en deux faisceaux dont
les polarisations sont orthogonales entre elles et d’indices de réfraction
différents. Cette différence dans les indices induit une différence de phase entre
les deux composantes lumineuses et par conséquent un changement de la
polarisation de l’onde à la sortie du matériau non linéaire.
Pour étudier l’effet Kerr on utilise des sources laser de faibles
puissances pour éviter une interaction importante avec le matériau,
le laser

HeNe est largement utilisé dans ce genre d’expérience [ 39,39]
. Les seuls
facteurs principaux dans l'appareillage pour la détermination de la constante de
Kerr sont la cellule de Kerr et le champ électrique. La matière la plus
communément employée comme cellule de Kerr est le nitrobenzène.
Cependant, celui-ci est un matériau fortement toxique. Des efforts ont
été faits pour trouver un matériau moins nocif pour créer l'effet Kerr ; le succès
a été trouvé en employant certains matériaux en céramique optiques [41]. En
outre, si les très grands champs électriques sont disponibles, des verres, avec
une certaine concentration élevée en bismuth, peuvent également être employés
comme cellules de Kerr [42].
Les détails concernant le dispositif et la technique utilisés pour la
mesure de l’effet Kerr seront donnés au chapitre III.

III.1. Introduction
Le travail réalisé dans cette partie du mémoire concerne l’étude de
l’effet Kerr électrooptique dans les matériaux PDLCs.
Ces systèmes sont des matériaux hétérogènes constitués d’une
dispersion de microgouttelettes de cristal liquide nématique dans une matrice
de polymère solide et plus ou moins flexible [43,44]. Ces matériaux qui se
présentent sous forme de films minces de quelques micros à quelques dizaines
de micros sont une classe de matériaux qui combinent les avantages des
cristaux liquides avec les bonnes propriétés mécaniques des polymères. Les
propriétés électrooptiques qui caractérisent ces matériaux dépendent de façon
cruciale de la morphologie des domaines de cristal liquide contenus dans la
matrice de polymère. Les trois effets électrooptiques, diffusant, déphasant et
diffractant, les plus importants varient en fonction de l’intensité du champ
appliqué.
Les PDLC font l’objet d’intenses recherches à travers le monde à
cause des nombreuses et intéressantes applications électrooptiques qu’on peut
leur trouver. Ces matériaux peuvent être classés en deux types selon leur
morphologie c'est-à-dire la taille de leurs gouttelettes de cristal liquide: le
premier type concerne les matériaux composites à micro gouttelettes qui sont
destinés à des applications électrooptiques basées sur l’effet de
diffusion [ 45,46]; Ils peuvent, en effet, commuter d’un état opaque à un état
transparent et possèdent de nombreuses applications électrooptiques comme
les fenêtres à opacité variable, les portes optiques et les écrans de visualisation
en particulier. Le deuxième type concerne les nanomatériaux PDLC c'est-à-dire
des matériaux présentant une morphologie à nano-gouttes. Ces systèmes qui
diffusent très faiblement la lumière, sont caractérisées par les deux autres
régimes des effets électrooptiques à savoir l’effet diffractant [45,47], où

l’application essentielle est l’holographie, et l’effet déphasant généralement
utilisé en télécommunications.
III.2. Effets non linéaires dans les cristaux liquides
La gigantesque non linéarité optique des cristaux liquides
nématiques (NLC) a été découverte en 1980 presque simultanément par trois
groupes [48, 49, 50].
Les matériaux isotropes non linéaires montrent des réponses
optiques quand leurs propriétés optiques dépendent du champ. Habituellement,
l’observation des réponses non linéaires dans un matériau nécessite
l’utilisation de champs statiques ou électromagnétiques (provenant d’une
source laser pulsé de haute puissance) d’intensité relativement importante.
Les cristaux liquides, par contre, possèdent une importante non
linéarité optique due au fait que ces molécules sont fortement anisotropes et
que leur réorientation moléculaire est hautement corrélée. L’indice de
réfraction change de façon drastique suite à une collective réorientation sous un
champ électrique appliqué au matériau. Par conséquent, leur extraordinaire et
large réponse non linéaire peut être observée sous l’influence d’un champ
statique faible, dans le cas de l’effet électrooptique non linéaire, ou d’un
champ optique de faible puissance, dans le cas de l’effet optique non linéaire;
ce qui présente un grand avantage par rapport aux milieux isotropes usuels qui
nécessitent des champs énormes pour manifester un effet non linéaire. Ainsi
dans les cristaux liquides, l’effet optique non linéaire important, c'est-à-dire
l’apparition d’une large biréfringence optique, est obtenu suite à la
réorientation moléculaire collective de toutes les molécules constituant le
milieu [51].
Les cristaux liquides montrent donc une grande non linéarité due à
leur grande anisotropie diélectrique couplée à la réorientation collective du
directeur nématique.
D'ailleurs,
leurs propriétés optiques sont sensibles à la
présence d'un
champ
électrique ou magnétique de faible intensité.

III.3. Effets non linéaires dans les matériaux PDLC
III.3.1. Introduction
Les micro et nano composites PDLC commencent à devenir très
importants en tant que matériaux non linéaires.
Les premiers matériaux PDLC élaborés par Fergason [46, 51] et
Doane [51, 52] sont des matériaux hétérogènes qui consistent en une dispersion
de microgouttelettes de cristal liquide nématique dans une matrice de
polymère. Pour des gouttelettes de cristal liquide de tailles de l’ordre de la
longueur d’onde de la lumière incidente, le matériau PDLC [51,53] est très
diffusant donc opaque à l’état off, non adressé. Par contre si un voltage,
d’intensité appropriée, est appliqué à l’échantillon qui se présente sous forme
de film mince, les molécules de cristal liquide, confinées à l’intérieur des
gouttelettes, tournent d’une manière collective pour s’aligner suivant la
direction du champ appliqué (Figure III.1).
Si le polymère est choisi tel que son indice de réfraction soit très
proche de l’indice de réfraction ordinaire du cristal liquide, le matériau devient
transparent dans cet état on, adressé. Cette transparence est une fonction
continue de la valeur du champ appliqué et peut donc être contrôlée
électriquement. De tels matériaux ont de nombreuses applications dans des
dispositifs électrooptiques [51, 54, 55]. Quand ces matériaux sont élaborés de
telle manière que les dimensions des domaines nématiques dispersés soient
substantiellement très petites devant la longueur d’onde de la lumière incidente,
ils deviennent pratiquement transparents même en absence de champ appliqué.
Les propriétés de base de ces nanomatériaux reposent non plus sur un
effet diffusif, comme pour les matériaux à microgouttelettes, mais plutôt sur les
deux autre effets optiques à savoir l’effet diffractant et l’effet déphasant. On est
intéressé ici par ce dernier effet dont l’origine provient de la réorientation
collective des gouttelettes de cristal liquide contenues dans le film PDLC
quand il est soumis à un champ électrique externe.

Figure III.1 : Le principe de fonctionnement d’une cellule à PDLC
III.3.2. Modèle de réponse électrooptique des matériaux
PDLC
Lumière
diffusée
Etat OFF diffusant
III.3.2.1. Introduction
Les matériaux PDLC sont des systèmes très complexes en raison
du fait que les gouttelettes de cristal liquide, dispersées dans la matrice de
polymère, adoptent en général des structures variées et complexes dépendant
des propriétés matérielles du polymère et du cristal liquide, de leurs
concentrations ainsi que du procédé utilisé pour leur élaboration. Ces matériaux
sont prometteurs pour des applications électrooptiques suite à l'orientation
possible des molécules de cristal liquide à l’intérieur des gouttelettes sous
l’effet de champs externes, électrique ou magnétique, modestement appliqués
au film PDLC[56, 57].
Lumière
incidente
Etat ON transparent
La plupart des applications de ces matériaux sont basées sur
leurs propriétés électrooptiques. Par conséquent la compréhension de la
réponse optique de ces matériaux est importante du point de vue de leurs
applications. De nombreux travaux ont été faits dans ce domaine en mesurant
et en comprenant la réponse optique à des champs électrique [54,58] ou
magnétique [59]. La complexité structurale des molécules à l’intérieur des
Matrice
polymère
Gouttelette
de CL
cavités pose un obstacle considérable à la modélisation de la réponse optique.
Les films PDLC se composent en plus de cavités irrégulières plus ou

moins aléatoirement distribuées. Le cœur du problème est de déterminer le
champ et la configuration du cristal liquide partout dans le film. C'est une tâche
compliquée pour un cristal liquide même dans les géométries les plus simples,
et une solution exacte pour des films PDLC semble difficile. Nous nous
contentons ici de donner une approche simpliste, basée sur l'hypothèse que
quand le champ appliqué réoriente le cristal liquide dans les inclusions, la
configuration de la gouttelette ne subit pas un changement significatif.
Ce modèle est basé sur une hiérarchie de paramètres d’ordre
[60], et la réponse optique est exprimée en termes de ces derniers. On suppose
dans ce modèle que la gouttelette de cristal liquide est de forme ellipsoïdale,
c’est soumise à un champ de cavité qui joue en quelque sorte le même rôle que
l’effet d’ancrage. L’orientation d’une gouttelette donnée en présence d’un
champ externe appliqué s’obtient en minimisant l’énergie libre de cette
gouttelette.
L’importance de ce modèle se trouve dans sa capacité de
décrire physiquement le phénomène de la réponse optique.
Les propriétés d’anisotropie des nématiques proviennent de l'ordre
d'orientation des molécules. Celles du matériau PDLC peuvent être liées à cet
ordre d'orientation par l'intermédiaire d'une hiérarchie de paramètres d'ordre
[61].
III.3.2.2. Paramètre d’ordre local
Sachant que localement, à l’intérieur de la gouttelette, le système est
r r
, le tenseur le plus approprié pour n( r ) nématique d’axe de symétrie locale
traduire cette symétrie uni axiale est le tenseur paramètre d’ordre
Q αβ
caractérisant l’ordre nématique local qui ne dépend que du directeur local
r r
: n( r )
1
Q = S
⎛
3 n n - δ
⎞
αβ ⎜
2 α β αβ ⎟
⎝ ⎠
(III.1)

Où
1 ⎛ r r 2
S = 〈 3 ( n . l ) -1 ) 〉
2
⎜
⎝
Est un vecteur unitaire
(III.2)
l S est appelé paramètre d'ordre scalaire et
r
donnant l’axe de symétrie moléculaire de la molécule de cristal liquide qu’on
suppose avoir une symétrie uniaxiale. La signification physique du directeur
r r
est qu'il est parallèle à la direction de l'orientation moyenne des n( r ) local
qui donne une mesure du degré Saxes
de symétrie des molécules, tandis que
d'ordre d'orientation est la valeur propre associée à ce tenseur.
La composante générale du tenseur constante diélectrique du cristal
r liquide, contenu dans l’élément de volume repéré par le vecteur position
r
et
r r
, s’écrit alors : n( r ) d’orientation nématique
2
3 Q
ε = ε δ + ε
αβ m αβ a αβ
(III.3)
est la constante diélectrique moyenne du cristal liquide nématique ε m Où
définie par :
ε = ρ
m
( ε + 2 ε )
//
3
⊥
(III.4)
est l’anisotropie diélectrique du système définie par : ε et
a
ε = ρ ( ε - ε )
a // ⊥
(III.5)
sont respectivement les constantes diélectriques ε ⊥
de la molécule
et ε //
l moléculaires parallèle et perpendiculaire à l’axe de symétrie
r
est la densité en nombre de molécules à l’intérieur de la gouttelette.
ρ et

III.3.2.3. Energie de champ électrique
Si notre système est soumis à l’action d’un champ électrique statique
r
, la contribution anisotrope à la densité d'énergie libre du système E externe
st
provenant de l'interaction du cristal liquide nématique avec ce champ est:
1
1
ε
F -
0
r r
= − ε ε E E Q = − ε ε E E = D. E
3 0 a stα st β αβ 2 0 αβ st α st β E 2 st
est le vecteur déplacement
D r
électrique défini par :
r ) r
D = ε E
st
(III.6)
est la constante diélectrique du vide et
(III.7)
ε Où
)
est le tenseur constante diélectrique du système nématique dont les
donnés par ε αβ composantes relativement à un repère d’observation Oxyz sont
l’équation (III.3),
parcourant les coordonnées x, y et z. β et α
Notons au passage qu’on utilise ici la convention d’Einstein selon
laquelle il y a sommation sur tout indice répété. En introduisant le polynôme de
P ( u . nr ) Legendre
v
, d’ordre 2, défini par :
r r 1 r r
P ( u . n ) = (3( u . n )
2
− 1)
2 2
2
(III.8)
est un vecteur unitaire donnant la direction du champ électrique
appliqué, on peut écrire :
1 2 r
r
F = − ε ε E S P ( u . n )
E 3 o a st 2
(III.9)
u r
Où
εo

La densité d’énergie électrique moyenne d’une gouttelette de cristal liquide
E soumise à un champ électrique uniforme
r
est :
st
1 r r 1
F = − ε ε g E E Q ( r) d
3
r
E 3 0 a st st
∫
V αβ
α β d V
d
(III.10)
de la gouttelette. g est le V L'intégration est étendue sur le volume
d
facteur de dépolarisation sans dimension qui traduit l’interaction, par le
phénomène de polarisation électrique, entre les diverses gouttelettes constituant
l’échantillon PDLC[62].
Pour simplifier on suppose ici que ce facteur de dépolarisation est constant et
de l’ordre de 0.85.
Il est utile, à ce niveau de calcul, de définir un tenseur de paramètre
d'ordre de gouttelette de façon analogue à la définition du paramètre d'ordre
local comme suit :
1 r 3 r 1 1
Q Q ( r
3
) d r S
⎛ r r
3 n ( r ) n ( r ) -δ
⎞ r
= d r
d
∫ =
V αβ
∫ ⎜
V
V
V
2 α β αβ
⎟
αβ
⎝ ⎠
d
d
d
d
est la moyenne du
(III.11)
Qαβ
Ainsi le paramètre d'ordre de gouttelette
sur le volume de la gouttelette; ce paramètre
Qαβ
paramètre d’ordre local
d’ordre est également symétrique, de trace nulle et peut aussi être diagonalisé.
Sachant que la gouttelette que l’on considère dans ce travail est d’anisotropie
possédant une symétrie de révolution autour de l’axe nématique de la
r
est uniaxial est peut être écrit en terme de , le tenseur N gouttelette
d
par:
λd
lié à la valeur propre unique
r
N
d
Q dαβ
vecteur propre

1
⎛ ⎞
Q = 3 N N -
d
λ ⎜ δ ⎟
d 2 d d αβ
αβ ⎜ α β ⎟
⎝ ⎠
(III.12)
Rappelons que l’indice « d » indique la gouttelette et que les indices α et β
parcourent les coordonnées x, y, z.
( ( ) )
1 r r 2
λ = 〈 S 3 N . n ( r ) -1 〉 La valeur propre associée est
d 2 d d
(III.13)
Où 〈 ...〉d dénote maintenant la moyenne en volume de la gouttelette.
Nous supposons ici que S est constant puisque le directeur nématique
local varie lentement à l’intérieur d’une gouttelette à configuration bipolaire.
Nous supposerons également que Sd est constant pour une gouttelette
donnée sachant [64] qu’on a émis l’hypothèse que la structure de la gouttelette
ne change pas sous l’effet du champ électrique appliqué. Ainsi la valeur propre
peut être écrite par : λd
λ = SS
d d
( ( ( ) ) 2 r r
(III.14)
1
S = 〈 3 N . n r -1〉
d 2 d d
Où (III.15)
Sd est le paramètre d’ordre scalaire de la gouttelette. La signification physique
r
est qu'il est parallèle à la direction de N du directeur de la gouttelette
d
n l'orientation moyenne du directeur nématique local
r
alors que le paramètre
de la gouttelette donne une mesure du degré d'ordre d'orientation du Sd
d'ordre
directeur nématique en volume de gouttelette. Le degré d'ordre d'orientation des
molécules de cristal liquide dans une gouttelette est donné par:

( ) 2 r r
1
〈 3 N . l -1〉
= SS
2 d d d
(III.16)
L'énergie électrique moyenne d'une gouttelette nématique à
supposé constant, est par Sconfiguration
uniaxiale, avec le paramètre d'ordre
conséquent:
.
1
-
2 r r
F = ε ε g E SS P ( u . N )
E 3 0 a st d 2 d
(III.17)
, le cristal liquide préfère s’aligner tel que le directeur de
E r
st
r
soit parallèle au champ appliqué N
d
III.
3.2.4.
Energie de forme
de
gouttelette
cavité
ε > 0 Comme
a
Intéressons nous maintenant à la détermination de l'énergie élastique liée
à l’intérieur de la
r
à la déformation du champ directeur nématique local
n ( r )
gouttelette. Cette densité d'énergie libre élastique, appelée aussi énergie de
Frank, est donnée, pour un tel champ arbitraire et en négligeant les termes de
surface, par:
1 r 2 1 r r 2 1 r r 2
F = K ( Ñ . n ) + K ( n . Ñ × n ) + K ( n × . Ñ × n
el 1 2 3
)
2 2 2
(III.18)
sont les constantes élastiques de Franck associées à la
K
3
et
K ,
2
K Où
1
déformation Splay, Twist et Bend respectivement. En utilisant l’approximation
, on obtient : K
Où
= K =
3
K =
2
K de la constante unique,
1
⎛ ⎞
1 1 1
F = K
⎜
+
⎟
el 2 ⎜
R
2
R
2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 2 ⎠
(III.19)

-1 r r -1
R = ∇ . n et R = ∇ × n
1 2
(III.20)
Sont les rayons de courbure du champ de directeur associés à la divergence
N et au rotationnel de
r
respectivement.
Pour simplifier les calculs, nous supposons que la forme de la cavité
contenant le cristal liquide est légèrement ellipsoïdale d’axe de symétrie donné
.
r
L
par le vecteur unitaire
est l'excentricité de l’élliposoide, l'énergie libre élastique par unité de ξ Si
volume prend la forme [60] :
r r
( )
1 K
F = - ξ
2
SS P L . N
el 3 2 d 2 d
R
eff
(III.21)
Etant le rayon de courbure effectif moyen.
Reff
Ainsi, aux premiers ordres, l'effet de la forme de cavité sur le paramètre
d'ordre de gouttelette est analogue à celui d'un champ externe, le directeur
r
r
de la cavité. L de gouttelette préfère s’aligner parallèlement à l'axe N
d
III.
3.2.5.
Orientation moyenne des
gouttelettes dans l'échantillon
:
D’une gouttelette isolée placée dans un
E champ externe
r
est donc:
st
F
La densité d’énergie libre totale
r r r r
( ) ( )
1 K 2 1
F = - ξ SS P L . N - ε ε E
2
SS P u . N
3 2 d 2 d 3 o a st d 2 d
R
eff
(III.22)

Cette énergie peut s’écrire, à une constante additive près et en unités
comme :
K e
2
SS / 3 R
2
d eff
de
r r
2 r r
( ) ( )
F = - P L . N - e P u . N
2 d 2 d
Où
( )
e = E g R / ξ ε ε / K
st eff o a
(III.23)
(III.24)
E : est le champ appliqué sans dimensions appelé champ réduit. Ainsi comme
r
et l'axe de symétrie de E le montre l’équation (III.23), le champ électrique
st
r
traduisant le champ de cavité, agissent tous les deux en tant que L cavité
champs, qui en général, entrent en compétition dans l’alignement du directeur
de la gouttelette.
La configuration d’équilibre de l’orientation de la gouttelette (Figure
r
, et on N par rapport à F III.2) s’obtient en minimisant cette énergie
d
obtient :
Et
r r r
N . ( u × L)
= 0
d
2 2 r r
( e -1) +
4 e ( u . L)
(III.25)
2 r r 2
r r 1 3
e -1 + 2 ( u . L)
P ( u . N
2 ) = +
d 4 4 2 2
(III.26)

E r
st
L'équation (III.26) permet ainsi le calcul de la direction du directeur de
u gouttelette si e,
r
r
sont connus. L et
Le paramètre d'ordre d'échantillon peut maintenant être défini comme :
r r
( )
1
S = P u . N = (3cos
2
( θ ) −1)
s 2 d s 2
β
(III.27)
Où la moyenne est faite sur toutes les orientations possibles des gouttelettes de
r
qu’on suppose L l'échantillon c’est à dire sur les différentes orientations de
Donne ainsi une mesure de l'alignement des directeurs des S aléatoires.
s
gouttelettes dans l’ensemble de l'échantillon.
on obtient:
r
L
u r
θ
Figure III.2 : configuration d’équilibre de la gouttelette sous les deux
champs : champ de forme de cavité et champ électrique.
En moyennant sur
N r
2 r r 2
1 r r 1 1
e -1+ 2 ( u . L)
S = P ( u . N
2 ) d d
s
∫ Ω = +
4π d L
∫
Ω
4 16π 2 L
2
(III.28)
β
d
r
L
z
y
2 2 r r
( e -1) + 4 e ( u . L)
x

L
est un élément d’angle solide associé à l'orientation de d Ω
L
L'intégration donne : d Ω = 2π sin β. dβ
L
( e
2
+ ) ( e
2
+
2 ) ( e )
3 1 3 3 1 -1
1 e + 1
S = + +
In
s 4 16 e
2
32 e
3 e -1
(III.29)
Où
Cette équation qui exprime la dépendance du paramètre d’ordre de
l’échantillon en fonction du champ appliqué est notre résultat central. La
réponse optique et diélectrique de l'échantillon peut être exprimée en termes de
. S ce paramètre d’ordre
s
est fonction du champ sans S Le paramètre d'ordre d'échantillon
s
dimension e. Des moments de distribution d’ordres élevés du directeur peuvent
être évalués de manière similaire.
III.4. Effet Kerr dans les systèmes PDLC:
III.4.1. Introduction
Quand un matériau PDLC est élaboré par une méthode qui permet
l’obtention des gouttelettes de l’ordre du nano c'est-à-dire de dimensions très
petites par rapport à la longueur d’onde, celui-ci devient pratiquement
transparent. Dans ce cas, les domaines de cristal liquide sont assez larges pour
qu’une importante réorientation moléculaire se produit sous un champ
appliqué, mais assez petits pour que l’effet de diffusion par ces gouttelettes soit
substantiellement réduit. De tels matériaux semblent présenter un important
effet Kerr [51].
L’activité électrique des systèmes PDLC qui n’a pas une origine
électronique est due essentiellement à la réorientation collective des nano-
gouttelettes anisotropes de cristal liquide sous l’effet du champ externe
appliqué. En absence de champ, le matériau PDLC est isotrope dans son
ensemble ; en effet le matériau montre un indice de réfraction qui est une

moyenne entre l’indice de la matrice polymère et l’indice isotrope du cristal
liquide puisque les gouttelettes sont orientées de façon aléatoire. Remarquons
au passage qu’en absence de champ le matériau PDLC n’est isotrope qu’à une
échelle macroscopique, à l’échelle microscopique, au niveau des gouttelettes il
est anisotrope. Après application d’un champ électrique externe, tous les
domaines nématiques s’alignent suivant le champ et le système devient
biréfringent, possédant une symétrie uniaxiale d’axe parallèle au champ
appliqué. Ceci cause un important changement dans l’indice de réfraction à
partir de l’état isotrope macroscopique. Il est montré que ce changement de
, est
Δn
l’indice du milieu, c'est-à-dire l’apparition d’une biréfringence optique
proportionnel au carré du champ appliqué :
Δ n = B λ E
2
(III.30)
Cette dépendance quadratique provient du fait que l’alignement des
domaines de cristal liquide est dû à l’anisotropie de la polarisabilité d’ordre
élevé.
III.4.2. Dispositif expérimental pour la mesure de l’effet
Kerr
La technique expérimentale généralement utilisée pour mesurer la
constante de Kerr est illustrée sur la figure III.3. Cette technique fait appel à la
rotation de la polarisation de la lumière incidente polarisée linéairement par un
matériau présentant un effet Kerr.
La lumière polarisée provenant d’une source laser est d'abord
envoyée sur une lame demi onde afin de tourner la polarisation de l’onde
lumineuse incidente sur un plan donné, puis elle passe à travers un polariseur.
,
E r
in
Cette onde se propage selon la direction Oz et son champ optique,
appartient au plan xOy. Le faisceau lumineux est ensuite envoyé dans la cellule
de Kerr,
contenant le matériau dont on veut déterminer la biréfringence.
cellule est placée dans une enceinte transparente
dont deux de ces faces sont
Cette

ecouvertes d’une couche conductrice afin que l’on puisse appliquer un champ
électrique pour créer l’effet Kerr.
Le champ électrique appliqué au matériau est
dirigé suivant l’axe Oy, perpendiculairement à la direction de propagation de la
lumière. La lumière traverse ensuite un analyseur avant d’être envoyée dans un
photodétecteur.
Initialement, l’ensemble, analyseur - cellule de Kerr – polariseur, est
disposé de telle sorte qu'aucune lumière ne soit transmise en absence de champ
électrique appliqué. Quand le champ électrique est appliqué à la cellule de
Kerr, la cellule fait tourner la polarisation de la lumière et le détecteur verra
une fraction de l'intensité de la lumière incidente.
Cet appareillage peut utiliser deux relations reliant les deux
par l’analyseur : I
f
, et transmise I intensités de lumière, incidente
o
induit par la traversée de l’échantillon, φ - La première utilise le déphasage
I = I sin
2
( φ)
f o
(III.31)
- La deuxième est la loi de Malus qui se traduit par :
I = I cos
2
( δ )
f o
(III.32)
est l’angle avec lequel la polarisation incidente a tourné après avoir traversé le δ
matériau.
Expérimentalement, on peut facilement mesurer les intensités
relatives de la lumière : On envoie un faisceau de lumière plane polarisée sur un
matériau placé entre deux polariseurs croisés. En absence de champ électrique
(état off), on aligne les polariseurs de sorte qu'aucune lumière ne traverse le
deuxième polariseur (extinction). Puis, en appliquant le champ électrique, la
polarisation tourne et la lumière sortant de l’analyseur n’est pas complètement
éclipsée dans le système. Finalement, il suffit de relier l'intensité de la lumière
.
φ , soit au déphasageδ
sortante soit à l’angle de rotation de la polarisation

L’angle de rotation de la polarisation est relié à l’intensité du champ électrique
appliqué par:
2 2
2 π E
δ = K
d
2
(III.33)
Où d est la longueur sur laquelle la lumière traverse la cellule de Kerr.
Laser
Lame
λ / 2
Polariseur
E
in
r
x
III.4.3. Calcul de la biréfringence induite par effet Kerr
On se propose, dans cette partie du travail, de déterminer
théoriquement la dépendance de la biréfringence optique, créée par effet Kerr
électrooptique dans un film PDLC, en fonction du champ électrique statique
appliqué au matériau. Ceci nous permettra d’accéder à la constante de Kerr B,
qui nous intéresse, en utilisant la relation (III-30).
z
Matériau
Isolons à cet effet une gouttelette de cristal liquide, de directeur
r
à l’intérieur du matériau PDLC (Figure III.4.a). Nous N nématique
d
supposons, pour simplifier les calculs, que cette gouttelette est à configuration
uni axiale, c'est-à-dire que toutes les molécules de cristal liquide qu’elle
renferme, sont disposés parallèlement à son axe nématique. Dans ces
conditions les indices de réfraction de la gouttelette parallèlement et
y
E
st
r
perpendiculairement au directeur nématique sont identiques à ceux d’une
molécule de cristal liquide. Le repère OXYZ qui est rigidement attaché à la
par rapport au repère fixe ϕ et θ gouttelette est repéré par les angles
V
Lame
λ / 4
Analyseur
Figure III.3 : Dispositif de mesure de la constante de Kerr.
Photo
détecteur

d’observation Oxyz comme le montre la figure. Le trièdre d’observation Oxyz
s’obtient à partir du trièdre OXYZ, rigidement attaché à la gouttelette, en
autour de l’axe OX (situé dans le plan Oxy et θ effectuant une rotation d’angle
perpendiculaire au plan formé par les axes Oz et OZ) amenant l’axe OZ sur
autour de l’axe Oz, amenant l’axe OX sur ϕ Oz, suivie d’une rotation d’angle
appliqué au film est dirigé suivant
, relativement au
X ϕ
N r
d
E
op
r
x
z
Est r
θ
E r
st
Ox. Le champ statique
l’axe Oz et l’onde lumineuse incidente de champ électrique ou
E optique,
r
, est polarisée dans le plan Oxz.
op
On cherche à déterminer la biréfringence induite par effet Kerr
électrooptique, traduisant la différence entre les indices de réfraction
parallèlement et perpendiculairement à la direction du champ appliqué (axe
Oz). Si n// et n┴ désignent ces indices respectifs, la biréfringence s’écrit :
Δ n = n − n
// ⊥
N r
d
Z
(III.34)
Par un calcul simple et en s’aidant de l’ellipsoïde des
indices donné par la figure III.4.b, on obtient les expressions suivantes :
y
X
no
Y
a) b)
Figure III.4: a) Orientation de la gouttelette, de directeur nématique
repère d’observation xOy, b) Ellipsoïde des indices.
ne
Z
O
no
Y

Et
n
n =
0
// 1
⎛ n
2 ⎞ 2
⎜
1+ cos
2
θ (
o
−1)
⎟
⎜
n
2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ e ⎠
n
n =
0
⊥ 1
⎛ n
2 ⎞ 2
⎜
1+ sin
2
θ cos
2
ϕ(
o
−1)
⎟
⎜
n
2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ e ⎠
(III.35)
(III.36)
En faisant la différence entre ces deux indices, on arrive à une
exprimée par la relation suivante : Δn
biréfringence
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ 1 1
⎪
Δ n = n
o
⎨ −
⎬
⎪
1 1
⎡ ⎛ 2 2 2 2
n ⎞⎤ ⎡ ⎛ n ⎞⎤
⎪
⎪ ⎢
1 cos
2
θ
⎜ o
1
⎟⎥ ⎢
1 sin
2
θ cos
2
ϕ
⎜ o
⎪
1
⎟⎥
⎪ ⎢
+ − + −
⎜
n
2 ⎟⎥ ⎢ ⎜
⎪
n
2 ⎟⎥
⎪ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎣ ⎝ e ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ e ⎠⎥
⎩
⎦ ⎭
(III.37)
Les expressions des indices qu’on vient d’obtenir sont relatifs à une
gouttelette bien définie d’orientation donnée par le vecteur directeur nématique
r
. Pour établir la biréfringence pour l’ensemble ϕ et θ repéré par les angles N
d
du matériau PDLC, il suffit de faire une moyenne sur les différentes
orientations possibles de ces gouttelettes quand le film est soumis au champ
externe d’intensité E. Le calcul de cette moyenne se fait sans peine quand on
utilise le fait que même sous champ électrique, les gouttelettes présentent une
puisque le matériau possède toujours ϕ distribution aléatoire en angle azimutal
une symétrie de révolution autour de l’axe Oz, direction du champ appliqué.

Par conséquent les indices de réfraction pour l’ensemble de
puisque dans ce cas la ϕ l’échantillon ne dépendront pas de l’angle azimutal
donne ½. Par ailleurs, la moyenne sur sin
2
ϕ ou de cos
2
ϕ moyenne de
s’obtient de façon aisée en écrivant tout simplement, comme θ l’angle polaire
on l’a vu précédemment (Voir équation (III.27)), que
cos
2
θ
2S + 1
=
s
3
(III.38)
Ss étant le paramètre d’ordre d’échantillon dont la valeur dépend de l’intensité
du champ statique appliqué.
Finalement en utilisant ces résultats et en tenant compte du fait que
est petite devant l’unité, on obtient
du film PDLC : Δn
la biréfringence
⎛ 2 2
1 − n + n ⎞⎛ 3cos
2
o e θ −1⎞
Δ n =
⎜ ⎟⎜ ⎟
2 ⎜
n
2 ⎟⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎟
⎝ e ⎠⎝
⎠
Δ nm = ne − no
la biréfringence moléculaire,
(III.39)
Et enfin, en utilisant l’équation (III.38) et en utilisant le fait que les
deux indices moléculaires, ordinaire et extraordinaire, sont proches, on obtient
une expression simple et significative de la biréfringence :
Δ n = Δn
S
m s
(III.40)
Cette équation est notre résultat central qui traduit la variation de la
biréfringence d’un matériau PDLC en fonction du champ électrique
appliqué au film.

III.5. Résultats et discussions
III.5.1. Introduction
La dispersion de gouttelettes de cristal liquide nématique dans une
matrice de polymère produit un matériau possédant des propriétés optiques et
électrooptiques très intéressantes. Des travaux antérieurs concernaient surtout
des systèmes PDLCs dans lesquels les gouttelettes ont des dimensions de
l’ordre de la longueur d’onde du visible, c'est-à-dire de l’ordre du micron
(PDLC à micro gouttelettes). Ces matériaux sont très diffusants et trouvent
d’importantes applications électrooptiques basées sur l’effet de commutation
entre un état opaque et un état transparent.
Il a été trouvé [51] que quand ces matériaux sont élaborés de façon à
ce que les dimensions des domaines nématiques sont substantiellement très
petite devant la longueur d’onde de la radiation incidente, ces matériaux sont
pratiquement transparents et pouvant manifester un large effet Kerr comparés
aux matériaux isotropes. Ainsi, ces films à nanogouttes destinés à des
applications basés sur l’effet de Kerr non linéaire, doivent être élaborés de telle
sorte que les gouttelettes de cristal liquide doivent être de dimensions
relativement petites pour éviter d’avoir un important effet de diffusion et en
même temps assez larges pour avoir une orientation substantielle du directeur
nématique nécessaire à la création de la biréfringence. Tous les résultas
théoriques et discussions de cette partie du travail concernent un matériau
PDLC élaboré à partir d’un mélange de monomère de tripropylène glycol di-
acrylate (TPGDA) et de cristal liquide eutectique E7.
Les caractéristiques physiques de ces composants sont exprimées en
unités MKSA :
- indice de réfraction ordinaire du E7 : no= 1.5183
- indice de réfraction extraordinaire du E7 : ne= 1.7378
- indice de réfraction du polymère: np= 1.5110
- anisotropie diélectrique du E7 : Δε = 14.ε0

- excentricité de la gouttelette ellipsoïdale ξ = 0.7
- coefficient de courbure : rc = 0.4
- Paramètre d’ordre de gouttelette : Sd = 0.75
- Facteur de dépolarisation : g = 0.85
- Constante élastique du E7 : K = 14. 10 -12
Le coefficient de courbure rc est défini comme étant le rapport entre
le rayon de courbure effectif de la gouttelette et son rayon réel. Rappelons que
le rayon de courbure effectif traduit le degré de courbure du directeur
nématique local, moyennée sur sa distribution à l’intérieur de la gouttelette. Ce
coefficient traduit en quelque sorte l’effet d’ancrage qui maintient le vecteur
nématique moyen de la gouttelette sur une certaine direction privilégiée.
III.5.2. Variation de la transmittance en fonction de la
longueur d’onde et de la concentration :
Comme les nano composites PDLC, destinés à des applications
basées sur l’effet Kerr électooptique, doivent être élaborés de manière que les
tailles des domaines de cristal liquide sont très petites par rapport à la longueur
d’onde d’utilisation dans le but d’éviter une diffusion relativement élevée, il est
utile d’étudier le comportement de la transmission de ces matériaux en fonction
de la concentration du cristal liquide, qui contrôle la taille et la densité des
gouttelettes, et la longueur d’onde.
Commençons d’abord par donner un bref rappel sur l’expression
théorique de la transmission lumineuse par ces matériaux.
transmise par un film PDLC d’épaisseur z est donnée par I L’intensité,
t
la loi de Beer – Lambert:
σ
−ρ
σ z
I = I e
t 0
(III.41)
est la densité en nombre des gouttelettes de gouttelettes,
ρ

Est la section efficace de diffusion moyenne d’une gouttelette ( coefficient
d’absorption ) .
Dans l’approximation de la diffraction anormale (ADA) [ 63 ,
64]valable pour des gouttelettes de dimensions relativement importantes par
rapport à la longueur d’onde, la section efficace de diffusion totale du film
PDLC est donnée par:
2 ⎡ 2
⎤
1 ⎛
2
Δn
⎞ n
0 2 n
0
4
( ) m ⎢
⎛ Δ ⎞ Δ
⎥
σ = σ k d ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ( 1+ S ) + ( 7 −10S
0
)
2 ⎜ n ⎟ ⎢⎜ Δn ⎟ 3 Δn
S 105 S ⎥
⎝ m ⎠ ⎢⎝ m ⎠ m
⎥
⎣ ⎦
Δn ≡ n − n
0 m 0
et
Δ n = n − n
m e o
(III.42)
avec (III.43)
(III.44)
Ss est le paramètre d’ordre du film dépendant du champ électrique appliqué et
est l’indice de réfraction de la matrice de n donné par l’équation (III.29) et
m
polymère.
La figure III.5 montre l’influence de la concentration du cristal
liquide, sur la transmission du film, pour différentes longueurs d’onde. On a
supposé, dans nos calculs, qu’en augmentant la concentration du CL, la taille
et la densité des gouttelettes en nombre augmentent linéairement.

Transmission (%)
Cet effet s’observe clairement sur les courbes qui montrent
Concentration de CL(%)
Figure III.5 : Variation de la transmission en fonction de la concentration de CL pour
différentes longueurs d’ondes : de la gauche vers la droite, λ = 0.1, 0.3, 0.6, 1 et 2 µm.
qu’effectivement la diffusion augmente quand la concentration augmente. Pour
des faibles concentrations en CL, le film est pratiquement transparent, ce qui
est évident puisque, pour ce cas, les gouttelettes sont de dimensions
relativement très petites et en nombre faible et par conséquent l’effet de
diffusion est très réduit. Par contre au dessus d’une certaine concentration
(dépendant de la longueur d’onde) la transmission diminue rapidement dû à
l’augmentation de la taille et du nombre des gouttelettes. On observe
finalement que l’effet de diffusion est d’autant plus important pour les courtes
longueurs d’onde, c'est-à-dire quand cette dernière se rapproche de la taille des
domaines de cristal liquide. Les mêmes données sont reproduites sue les

courbes de la figure III.6 qui montre que pour une concentration donnée, c'est-
à-dire une taille et une densité en objets diffusants fixées, la transmission croit
quand la longueur d’inde augmente et qu’elle est plus importante pour les
concentrations faibles.
Transmission (%)
10% de CL
30%
50%
III.5.3. Variation de la biréfringence en fonction du champ
appliqué
70%
L’effet Kerr électrooptique manifesté par le matériau PDLC est
80%
Longueur d’onde λ(µm)
Figure III.6 : Variation de la transmittance en fonction de la longueur d’onde pour
différentes concentrations de Cristal liquide.
représenté sur la figure III.7 qui traduit les variations de la biréfringence
optique Δn en fonction du champ électrique appliqué au film, pour différentes
tailles des gouttelettes, en utilisant l’expression théorique de la biréfringence
donnée par l’équation (III.40). On a maintenu la concentration de cristal liquide
constante; la densité varie en même temps que la taille. On observe d’abord
qu’en dessous d’un certain champ seuil, il n’apparaît aucune biréfringence, le
champ n’étant pas suffisant pour réorienter les domaines de cristal liquide et le

film reste optiquement isotrope. Ensuite passé ce seuil, les gouttelettes
commencent à se réorienter, de façon collective, au fur et à mesure que
l’intensité du champ augmente, ce qui engendre au sein de l’échantillon une
biréfringence qui est d’autant plus importante que le champ appliqué est
important. Quand l’intensité du champ est suffisamment élevée, l’orientation
est totale et la biréfringence atteint une valeur de saturation.
Biréfringence (Δn)
0.08 µm
Champ électrique appliqué (V/µm)
Figure III. 7: Variation de la biréfringence d’un film PDLC en fonction du champ
appliqué pour différentes tailles de gouttelettes.
On observe, par ailleurs, que la biréfringence est plus faible pour des
gouttelettes de tailles petites et que la saturation s’obtient pour des champs de
valeurs plus élevées. Ceci s’explique par le fait que les petites gouttelettes qui
possèdent un rayon de courbure relativement faible, donc soumises à un
ancrage important, nécessitent un champ plus élevé pour commuter. Ceci
explique aussi la forme des courbes qui est plus allongée pour les tailles faibles.
L’expression de la biréfringence donnée par l’équation (III.40) dans
laquelle le paramètre d’ordre Ss du film dépend du champ appliqué E de façon
0.2
0.15
0.1

complexe, ne laisse pas voir de façon évidente la nature quadratique de l’effet
Kerr. Pour nous assurer que la non linéarité qui apparaît dans nos matériaux
est un effet Kerr électrooptique quadratique, il faut montrer que nos courbes
concernant la biréfringence peuvent être lissées avec la biréfringence exprimée
dans l’équation traduisant l’effet Kerr quadratique à savoir l’équation :
Biréfringence (Δn)
Δ n = B λ E
2
(III.45)
0.08 µm
Champ électrique appliqué (V/µm)
Figure III. 8 : Variation de la biréfringence d’un film PDLC en fonction de faibles
valeurs du champ électrique appliqué pour différentes tailles de gouttelettes.
Précisons, à cet effet, que cette relation n’est valable que pour des
champs appliqués d’intensité bien en dessous de la valeur de saturation. La
figure III.8 montre en effet que si on se limite aux champs inférieurs à 1 V/µm,
l’accord entre les deux courbes est très bon et donc on peut dire que
l’expression de la biréfringence obtenue à partir du modèle rend bien compte
de la dépendance quadratique en champ comme cela a été observé
expérimentalement. Les gouttelettes de petite taille donnent un meilleur accord
dû au fait qu’on est loin des champs de saturation. Au contraire quand la taille
0.2
0.15
0.1

augmente, l’accord est moins bon, car l’effet de commutation devient beaucoup
plus facile et on atteint rapidement la saturation. La figure III.9, qui représente
la variation de la biréfringence en fonction du carré du champ électrique
appliqué, montre bien que cette dépendance est quadratique puisque l’on
obtient des droites. La constante de Kerr peut être aisément obtenue à partir de
courbes expérimentales traduisant la variation de la biréfringence en fonction
du carré du champ appliqué.
Biréfringence (Δn)
0.1 µm
Carré du champ électrique appliqué (V 2 /µm 2 )
Figure III. 9 : Variation de la biréfringence d’un film PDLC en fonction du
carré du champ électrique appliqué pour différents diamètres de gouttelettes.
III.5.4. Influence de la concentration de CL sur la constante de Kerr
La variation de la constante de Kerr en fonction de la taille des domaines
de cristal liquide inclues dans la matrice polymère d’un système PDLC est montré sur
la figure III.10. Rappelons que lorsque la concentration de CL augmente, il s’ensuit
une augmentation linéaire à la fois de la taille et de la densité en nombre des
gouttelettes. Aussi, comme on l’observe sur la figure III.10, la constante de Kerr
apparaît très faible pour des petites valeurs de la concentration en CL, suite au fait
que les gouttelettes de cristal liquide sont, dans ce domaine de concentrations, de
0.2
0.15

tailles très petites et en nombre réduit ; ce qui donne un effet Kerr très faible suite à
l’existence d’une biréfringence très faible. Au fur et à mesure que la concentration
augmente, le nombre et la taille des gouttelettes augmentent, ce qui engendre une
biréfringence d’autant plus élevée et donc des valeurs de la constante de Kerr plus
importantes puisque les gouttelettes de grande tailles commutent beaucoup plus
facilement nécessitent des champs faibles.
Constante de Kerr B (×10 -14 )
On montre que cette variation de la constante de Kerr en fonction de la
concentration suit une loi exponentielle quand on dépasse la concentration de 15%.
III.5.5. Influence de la taille sur la constante de Kerr
Concentration de CL (%)
Figure III. 10: Variation de la constante de Kerr d’un film PDLC en fonction de
la concentration du Cristal liquide.
L’effet de la taille et de la courbure, c'est-à-dire de la géométrie de
distribution du directeur nématique local à l’intérieur de la gouttelette de CL,
est illustré sur la figure III.11. Rappelons que le coefficient de courbure a été

défini comme le rapport du le rayon de courbure effectif du directeur
nématique sur le rayon de la gouttelette. De cette définition, il s’ensuit que q’un
coefficient de courbure faible donne une importante déformation du directeur
nématique et par conséquent la gouttelette est soumise à un important ancrage.
Par contre pour des coefficients élevés, la distribution des molécules à
l’intérieur de la gouttelette se rapproche de plus en plus d’une configuration
uniforme où l’ancrage est très faible ; Les gouttelettes commutent facilement
dans cette situation. Ces effets sont bien montés sur la figure III.11.
Constante de Kerr B (×10 -13 )
Taille de la gouttelette ( µm )
Figure III. 11: Variation de la constante de Kerr en fonction de la taille
des gouttelettes pour différents coefficients de courbure.
qui laisse voir que la constante de Kerr augmente avec la taille et le coefficient
de courbure. En effet les faibles tailles nécessitent des champs élevés pour
commuter; pour des faibles valeurs de champs appliqués, la réorientation
moyenne des gouttelettes et par suite la biréfringence induite au sein du film
PDLC est faible. Pour des tailles importantes, le phénomène inverse est
observé ; la variation est beaucoup plus rapide et on atteint la saturation plutôt,
1.2
0.9
0.7
0.5
0.3

ce qui explique l’importance des valeurs de la constante de Kerr obtenues pour
ce cas. On observe enfin que pour une taille de gouttelette, la constante de Kerr
augmente quand le rayon de courbure effectif augmente, ceci s’explique par la
diminution de l’effet d’ancrage qui favorise une commutation facile et donc un
effet Kerr important. Nous remarquons enfin que la saturation est difficilement
atteinte pour les très petites tailles dont la commutation complète doit
nécessiter des champs de valeurs très importantes.

Conclusion générale
Le travail réalisé dans ce mémoire concerne l’étude des
caractéristiques électrooptiques des matériaux PDLC à nano gouttes, qui
présentent un effet Kerr important. Ces matériaux présentent, en effet, un
intérêt considérable grâce à leurs importantes et nombreuses applications
électrooptiques basées sur le régime déphasant, comme les filtres
optiques dans le domaine des télécommunications, les modulateurs
optiques et les portes optiques à réponse rapide… Ils peuvent être aussi
utilisés comme matériaux de fibres optiques afin d’élargir la bande
passante. L’effet Kerr électrooptique qui est important dans ces nano
composites, comparé aux systèmes isotropes, provient de la réorientation
moléculaire des molécules. L'effet Kerr électrooptique est considéré
comme un outil puissant par lequel on peut avoir des informations sur les
caractéristiques micro et macroscopiques de ces matériaux.
Pour manifester un important effet Kerr, les PDLC doivent être
élaborés de façon que les domaines de cristal liquide soient de
dimensions à la fois assez petites, par rapport à la longueur d’onde
d’utilisation, pour réduire considérablement l’effet diffusif et assez
grandes pour qu’il puisse y avoir une réorientation collective des
molécules de cristal liquide engendrant une biréfringence macroscopique
donnant l’effet Kerr. L’obtention de tels matériaux à nano gouttes n’est
conditionnée par le choix de la composition du mélange Polymère/cristal
liquide et la méthode d’élaboration utilisée.
Les propriétés électrooptiques de ces matériaux hétérogènes
dépendent énormément des propriétés morphologiques et structurales des
gouttelettes nématiques constituant le film PDLC et il est par conséquent
très important de connaître l’influence de ces paramètres sur l’effet Kerr
électrooptique quadratique dont l’étude s’avère très importante.

A travers notre étude on a montré que l’effet non linéaire le
plus important dans le système PDLC est l’effet Kerr quadratique. En
effet, Nous avons obtenu à partir d’un modèle simple que la biréfringence
induite par l’application d’un champ électrique a une dépendance
quadratique en champ électrique appliqué ; ceci a été vérifié
expérimentalement dans de nombreux laboratoires qui mènent des
recherches dans ce domaine [51]. Les matériaux PDLC présentent une
constante de Kerr gigantesque par rapport aux matériaux isotropes usuels.
Les champs électriques qu’il faut appliquer à ces matériaux, pour
qu’ils manifestent un effet Kerr, sont relativement faibles.
On a montré aussi que l’effet Kerr caractérisé par la
biréfringence ou par la constante de Kerr augmente avec la concentration
de cristal liquide dans le mélange initial, devenant de plus en plus
important quand la taille et la concentration augmentent. Cependant avec
la croissance de la taille des gouttelettes, le film PDLC commence à
devenir opaque et par conséquent l’effet déphasant ne sera pas mis bien à
profit dans le matériau. Il faut donc trouver un compromis sur la taille
des gouttelettes de cristal liquide afin d’avoir un film PDLC qui
manifeste le meilleur effet Kerr avec un minimum de diffusion.
La variation de la constante de Kerr en fonction de la
concentration suit une loi exponentielle quand on dépasse une certaine
concentration minimale.
Pour établir l’expression théorique de la biréfringence induite par
effet Kerr dans un système PDLC, nous avons fait appel à un modèle
simple basé sur une hiérarchie de paramètres d’ordre. Ce modèle permet,
en effet, l’obtention du paramètre d’ordre d’échantillon en fonction du
champ appliqué. La biréfringence est liée au champ appliqué par
l’intermédiaire de ce paramètre d’ordre.

RESUME
On s’est intéressé dans ce mémoire à l’étude des
caractéristiques électrooptiques des matériaux PDLC à nano gouttes
présentant un effet Kerr électrooptique non linéaire important. Ces
matériaux montrent un grand intérêt pour leurs importantes et
nombreuses applications électrooptiques basées sur le régime déphasant,
comme les filtres optiques dans le domaine des télécommunications, les
modulateurs optiques et les portes optiques à réponse
rapide…Contrairement aux systèmes isotropes, l’effet Kerr dans ces
systèmes provient de la réorientation moléculaire collective des cristaux
liquides.
NOUS AVONS ENTREPRIS CE CE TRAVAIL TRAVAIL EN EN DONNA DONNANT DONNA NT DES DES
DES
CONCEPTS CONCEPTS DE DE BASE BASE GEN GENERAUX GEN GENERAUX
ERAUX SUR SUR LES LES CRISTA CRISTAUX CRISTA UX LIQUIDES ET
LES LES MATERIAUX MATERIAUX MATERIAUX PDLC PDLC EEN
E N METTANT L’ACCEN L’ACCENT L’ACCEN
T T SUR SUR LES LES METHODES
METHODES
D’ELABORATION D’ELABORATION ET ET LES LES PROPRIETES PROPRIETES ELECTROO
ELECTROOPTIQUES ELECTROO
ELECTROOPTIQUES
PTIQUES DE DE CES
CES
DERNIERS
DERNIERS.
DERNIERS .
Nous avons ensuite défini les effets optiques et électrooptiques
non linéaires dans les matériaux aussi bien isotropes qu’anisotropes. Une
description détaillée est consacrée à l’effet Pockels et l’effet Kerr
quadratique.
Nous avons finalement effectué une étude systématique sur
l’effet Kerr dans les systèmes PDLC qui nous a permit de déduire une
expression théorique de la biréfringence, en fonction du champ appliqué,
induite par effet Kerr à partir d’un modèle simple de réponse
électrooptique basée sur une hiérarchie de paramètres d’ordre. Ce modèle
a montré que cette biréfringence a une dépendance quadratique en champ
électrique.
On a montré, par ailleurs et par ce modèle, que l’effet Kerr
caractérisé par la biréfringence ou par la constante de Kerr augmente

avec la concentration de cristal liquide dans le mélange initial, devenant
de plus en plus important quand la taille et la concentration augmente.
Mots clés
Effet Kerr, polymères, cristaux liquides, composite, électrooptique,
propriétés optiques et électrooptiques, effets non linéaires.

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