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FONCTIONS RÉGULUES 11
d’un ensemble semi-algébrique est semi-algébrique [6, Prop. 2.2.2]. Il s’ensuit
que f est une fonction semi-algébrique.
Corollaire 3.2. Soient n un entier naturel et k un entier surnaturel. Un sousensemble
fermé k-régulu de R n est semi-algébriquement fermé.
Théorème 3.3. Soit n un entier naturel. On a
R ∞ (R n ) = Q(R n ),
i.e., une fonction réelle sur R n est ∞-régulue si et seulement si elle est
régulière.
Cet énoncé se généralise certainement au cas où X est une variété réelle
algébrique affine lisse mais la preuve en devient plus technique et ne nous
semble pas apporter d’idée nouvelle.
Démonstration. Comme une fonction régulière est trivialement ∞-régulue, il
suffit de démontrer la réciproque.
Soit U le domaine de la fonction rationnelle f. Ecrivons f = p/q, où p et q
sont des fonctions polynomiales sur R n , q ne s’annulant pas sur U. On montre
que la fraction rationnelle p/q est définie en tout point de R n . Autrement
dit, on montre que, pour tout x ∈ R n , la fraction rationnelle p/q appartient
à l’anneau local Qx des germes des fonctions régulières en x. Il suffit de le
montrer pour x l’origine de R n .
D’après la proposition précédente, la fonction f sur R n est semi-algébrique.
Comme f est de classe C ∞ , elle est Nash. Une fonction Nash sur R n est,
en particulier, analytique réelle [6, Proposition 8.1.6]. Du coup, f s’étend à
un ouvert de C n contenant R n comme fonction analytique complexe, encore
notée f. En particulier, f définit un germe d’une fonction analytique complexe
en 0 ayant la propriété que qf = p. La fonction polynomiale q divise donc p
dans l’anneau local H0 des germes des fonctions analytiques complexes en 0.
Cela implique que q divise p dans la complétion de H0, à savoir l’anneau des
séries formelles complexes C[[x1, . . . , xn]]. Ce dernier est aussi la complétion
de l’anneau local O0 des fonctions rationnelles complexes sur C n définies
en 0. Comme ce dernier anneau est noethérien, q divise p dans O0 (cf. [30,
Corollary 2, p. 257]. Comme
O0 ∩ R(x1, . . . , xn) = Q0,
la fonction rationnelle réelle p/q appartient à Q0.
On a donc démontré que f est une section globale du faisceau Q, i.e., f est
une fonction régulière sur R n .
La topologie k-régulue de R n . Soient n un entier naturel et k un entier
surnaturel. Un sous-ensemble F de R n est un fermé k-régulu s’il existe un
sous-ensemble E de R k (R n ) tel que
Z(E) = F.
Remarquons que F n’est pas a priori le lieu des zéros communs d’un nombre
fini de fonctions k-régulues. Un sous-ensemble U de R n est un ouvert k-régulu
si son complémentaire est un fermé k-régulu. Les ouverts k-régulus de R n
constituent une topologie sur R n , la topologie k-régulue.