FONCTIONS RÉGULUES Table des matières 1. Introduction 2 2 ...

FONCTIONS RÉGULUES 9
Remarque 2.10. On aurait pu s’attendre à ce que les fonctions p et q ci-dessus
soient des fonctions polynomiales sur X. La notion de «fonction polynomiale»
sur une variété réelle algébrique affine n’as pas de sens intrinsèque. Cette notion
dépent du choix d’un plongement de X dans un espace affine R n . Cela dit, si
X est un fermé de Zariski de R n , pour un certain entier naturel n, on peut
supposer que p et q sont des fonctions polynomiales avec les propriétés voulues,
comme le montre la démonstration de 2.5.
Soit X une variété réelle algébrique affine. L’ensemble des fonctions rationnelles
sur X est un anneau de manière évidente, l’anneau total des fonctions
rationnelles sur X. On le note R(X).
Proposition 2.11. Soit X une variété réelle algébrique affine irréductible.
Alors R(X) est un corps.
Proposition 2.12. Soit X une variété réelle algébrique affine et notons X1, . . . , Xm
ses composantes irréductibles. Les morphismes de restriction R(X)→R(Xi) induisent
un isomorphisme d’algèbres réelles
m
R(X) −→ R(Xi).
i=1
En particulier, l’anneau R(X) est un produit de m corps.
Variétés réelles algébriques affines lisses et fonctions k-régulues. Rappelons
la définition d’une variété réelle algébrique lisse (cf. [6, Definition 3.3.9]) :
Définition 2.13. Soit X une variété réelle algébrique affine. La variété X est
lisse en un point x de X si l’anneau local Ox est régulier. La variété X est
lisse si elle l’est en chacun de ses points.
On rappelle le résultat suivant (cf. [6, Proposition 3.3.10]) :
Proposition 2.14. Soit X une variété réelle algébrique affine et notons
X1, . . . , Xm ses composantes irréductibles. Alors, X est lisse si et seulement
si
(1) X est réunion disjointe des Xi, et
(2) chaque variété réelle algébrique affine Xi est lisse.
On va étendre la notion de fonction k-régulue de l’introduction aux fonctions
réelles définies sur une variété réelle algébrique affine lisse. Remarquons que si
X est une variété réelle algébrique affine lisse, alors X possède une structure
sous-jacente de variété différentiable de classe C k , pour tout entier surnaturel k
(cf. [6, Proposition 3.3.6]). La définition suivante est donc naturelle.
Définition 2.15. Soit k un entier surnaturel. Soit X une variété réelle
algébrique affine lisse, et soit f une fonction réelle sur X. La fonction f est
k-régulue sur X si
(1) f est de classe C k sur X, et
(2) il existe un ouvert de Zariski U dense dans X tel que f |U est régulière.