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FONCTIONS RÉGULUES 3
Dans ce travail, nous nous proposons donc d’étudier les fonctions rationnelles
sur R n qui s’étendent par continuité à R n tout entier. Par «continuité» nous
entendons ici la continuité par rapport à la topologie euclidienne. Remarquons
tout de suite qu’une fonction rationnelle sur R n étant continue sur son domaine
de définition, il s’agit de fonctions qui s’étendent par continuité à leur lieu
d’indétermination. Plus précisément, une fonction régulue sur R n est une
fonction à valeurs réelles définie en tout point de R n , qui est continue pour
la topologie euclidienne et qui est rationnelle sur R n . A titre d’exemple, la
fonction régulière
f(x, y) = x3
x 2 + y 2
sur R 2 \ {0} s’étend par continuité en l’origine et définit donc une fonction
régulue sur R 2 . Son graphe est la toile du célèbre parapluie de Cartan
(voir 6.14). L’ensemble des fonctions régulues sur R n est un sous-anneau du
corps R(R n ) des fonctions rationnelles sur R n , que nous notons R 0 (R n ). Une
fonction régulière sur R n étant évidemment régulue, nous obtenons une chaîne
de sous-anneaux
R ∞ (R n ) ⊆ R 0 (R n ) ⊆ R(R n ).
Plus généralement, une fonction sur R n est k-régulue, si elle est à la fois
régulière sur un ouvert de Zariski non vide, et de classe C k sur R n . Ici, k
désigne un entier surnaturel, i.e., k est ou bien un entier naturel, ou bien k est
égal à ∞. A titre d’exemple, la fonction régulière
f(x, y) = x3+k
x 2 + y 2
sur R 2 \ {0} s’étend par continuité en l’origine et définit une fonction krégulue
sur R 2 , si k est un entier naturel. Nous démontrons (cf. Théorème 3.3)
qu’une fonction ∞-régulue sur R n est nécessairement régulière. Pour k un
entier surnaturel, l’ensemble des fonctions k-régulues est un sous-anneau
du corps R(R n ) des fonctions rationnelles sur R n , qui sera noté R k (R n ).
Remarquons qu’il n’y a pas de conflit de notation ni avec l’anneau des fonctions
régulues R 0 (R n ), ni avec l’anneau de fonctions régulières R ∞ (R n ) introduits
ci-dessus. Nous obtenons finalement une chaîne de sous-anneaux
R ∞ (R n ) ⊆ · · · ⊆ R 2 (R n ) ⊆ R 1 (R n ) ⊆ R 0 (R n ) ⊆ R(R n ).
Le plus petit de ses sous-anneaux est égal à l’intersection de tous les autres
sous-anneaux de la chaîne, i.e.,
R ∞ (R n ) =
R k (R n ).
k∈N
Revenons au contenu de cet article. Dans un premier temps nous déterminons
les propriétés algébriques de l’anneau R k (R n ) des fonctions k-régulues
sur R n , où k est un entier naturel. Ces anneaux ont été assez peu étudiés ;
les seules références qui nous sont connues étant [20, 17]. L’anneau R ∞ (R n )
des fonctions régulières sur R n , en revanche, a attiré beaucoup d’attention [6].