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FONCTIONS RÉGULUES 35
Il nous reste à montrer l’énoncé lorsque k = ∞. Soit f une fonction
régulière sur U. Il existe des fonctions polynomiales p et q sur R n telles
que f(x) = p(x)/q(x) pour tout x ∈ U. Soit s une fonction polynomiale
sur R n dont l’ensemble des zéros est égal à F . L’ensemble des zéros de la
fonction polynomiale q 2 + s 2 est contenu dans le fermé de Zariski G = F \ U.
La fonction définie sur R n \ G par
g(x) = p(x)q(x)
q 2 (x) + s 2 (x)
est bien régulière, et sa restriction à U est égale à f.
Corollaire 5.38. Soient n un entier naturel et k un entier surnaturel. Soit F
un fermé k-régulu de R n . Si f est une fonction k-régulue sur F , alors il existe
une fonction k-régulue g sur R n dont la restriction à F est égale à f. Plus
précisément, l’application de restriction de R k (R n ) dans R k (F ) induit un
isomorphisme
R k (R n )/I(F ) ∼ = R k (F ).
Remarque 5.39. D’après le corollaire précédent, les fonctions k-régulues telles
que nous venons de les définir sur des sous-ensembles fermés k-régulus coïncident
avec les fonctions «hereditarily rational» de Kollár [17], lorsque k = 0.
L’exemple [17, Ex. 2] d’une fonction rationnelle continue sur une surface singulière
dont la restriction à l’axe des z n’est pas rationnelle n’est pas une fonction
régulue.
Soit F un sous-ensemble k-régulument fermé de Rn . La paire (F, Rk F ) est
un espace localement annelé en R-algèbres. Une variété k-régulue affine est un
espace localement annelé en R-algèbres isomorphe à (F, Rk F ) pour un certain
fermé k-régulu F de Rn , où n est un entier naturel. Un morphisme entre
variétés k-régulues affines est un morphisme d’espaces localement annelés en
R-algèbres.
Corollaire 5.40. Soient m et n des entiers naturels et k un entier surnaturel.
Soient F ⊆ R n et G ⊆ R m des fermés k-régulus. Une application f : G→F
est un morphisme de variétés affines k-régulues si et seulement s’il existe des
fonctions k-régulues f1, . . . , fn sur R m telles que
f(x) = (f1(x), . . . , fn(x))
pour tout x ∈ G.
Soit k un entier surnaturel. Soit (X, O) une variété k-régulue affine. Soit f
une fonction k-régulue sur X, i.e., f est une section globale de O. L’ensemble
des zéros de f dans le spectre Spec O(X) est noté V(f), i.e.,
V(f) = {p ∈ Spec O(X) | f ∈ p} .
Son complémentaire est noté U(f). Plus généralement, si E est un sousensemble
de O(X), l’ensemble des zéros communs dans Spec O(X) des éléments
de E est noté V(E), et son complémentaire est U(E). Plus précisément,
V(E) = {p ∈ Spec O(X) | E ⊆ p}