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FONCTIONS RÉGULUES 33
lorsque k est fini, où f est une fonction k-régulue sur Rn avec D(f) = U. Dans
le cas k = ∞, le module ˜ M(U) peut s’identifier avec la limite inductive des
localisations Mf , où f parcourt l’ensemble des fonctions régulières sur Rn qui
ne s’annulent pas sur U.
Plus généralement, soit V un ouvert k-régulu de Rn , et g une fonction krégulue
sur Rn telle que D(g) = V . Soit M un Rk (V )-module. La restriction
à V du faisceau ˜ M sur Spec Rk (V ) est un faisceau en Rk |V -modules, encore
noté ˜ M, déterminé par
˜M(U) = Mf
pour tout ouvert k-régulu U de V , et pour toute fonction k-régulue f sur V
avec D(f) = U. Dans le cas k = ∞, le module ˜ M(U) peut s’identifier avec la
limite inductive des localisations Mf , où f parcourt l’ensemble des fonctions
régulières sur V qui ne s’annulent pas sur U.
Un faisceau k-régulu sur R n est un faisceau en R k -modules sur R n . Soit F
un faisceau k-régulu sur R n . On dira que le faisceau F est quasi-cohérent s’il
existe un recouvrement de R n par des ouverts k-régulus Ui, i ∈ I, tel que, pour
tout i, il existe un R k (Ui)-module Mi avec ˜ Mi isomorphe à F |Ui .
Nous obtenons alors une version k-régulue du Théorème A de Cartan, cf. [27,
2.4] et [6, Chapitre 12].
Théorème 5.34. Soient n et k des entiers naturels. Le foncteur qui associe
à un R k (R n )-module M le faisceau ˜ M est une équivalence de catégories sur la
catégorie des faisceaux k-régulus quasi-cohérents sur R n . Le foncteur réciproque
est le foncteur “sections globales” H 0 . En particulier, le faisceau ˜ M est engendré
par ses sections globales.
Comme signalé dans l’introduction, ce résultat est faux pour k = ∞. En
effet, il existe des faisceaux réguliers quasi-cohérents sur R n qui ne sont pas
engendrés par leurs sections globales :
Exemple 5.35 (cf.[6, Example 12.1.5]). Soit p ∈ R[x, y] le polynôme défini par
p = x 2 (x − 1) 2 + y 2 .
Remarquons que p possède exactement deux racines réelles à savoir c0 = (0, 0)
et c1 = (1, 0). Soit Ui = R 2 \ {ci} pour i = 0, 1. Les ouverts réguliers U0 et
U1 constituent un recouvrement de R 2 . On définit un faisceau régulier quasicohérent
F par rapport à ce recouvrement. En fait, F va être localement libre
de rang 1. Explicitement, on construit F à partir des faisceaux R ∞ |U0 et R∞ |U1 en
les recollant au-dessus de U0 ∩ U1 à l’aide de la fonction de transition g01 = p
sur U0 ∩ U1. Plus précisément, deux sections s0 et s1 de R ∞ |U0 et R∞ |U1 audessus
d’ouverts de Zariski V0 et V1, respectivement, se recollent si g01s1 = s0
sur V0 ∩ V1.
Montrons que toute section régulière globale s de F s’annule en c1. La
restriction si de s à Ui est une fonction régulière sur Ui, pour i = 0, 1. La
condition de recollement est g01s1 = s0 sur U0 ∩ U1. Ecrivons si = pi/qi, où
pi, qi ∈ R[x, y], avec qi = 0 sur Ui et pi, qi premiers entre eux, pour i = 0, 1.
La condition de recollement implique que pq0p1 = p0q1 sur R 2 . Comme p est