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FONCTIONS RÉGULUES 13
La fonction fk est bien k-régulue sur R 2 , et, comme k + 1 est impair, on a
Z(fk) = Z(f) = C \ {O}. Cela montre bien que ce dernier ensemble est un
fermé k-régulu, pour tout entier naturel k.
Cet exemple représente en fait le cas général. En effet, on verra dans le
Corollaire 6.5 que les topologies k-régulue et k ′ -régulue coincident pour k et k ′
des entiers naturels quelconques.
Propriétés élémentaires des fonctions k-régulues sur R n . Soit n un
entier naturel et k un entier surnaturel. Dans ce paragraphe nous allons
étudier les fonctions k-régulues sur R n , et les comparer avec d’autres classes
de fonctions sur R n .
Dans l’énoncé suivant, et dans le reste de l’article d’ailleurs, on utilise
librement la notion de dimension, ou plutôt de codimension, d’un fermé de
Zariski de R n , et plus généralement d’un ensemble semi-algébrique de R n [6,
§2.8].
Proposition 3.5. Soient n un entier naturel et k un entier surnaturel. Soit
f ∈ Rk (Rn ). Soient p et q des fonctions polynomiales sur Rn telles que
f(x) = p(x)/q(x) pour chaque x ∈ dom(f). Si p, q sont premiers entre eux,
alors Z(q) ⊆ Z(p) et codimRn Z(q) ≥ 2.
Démonstration. Il suffit de montrer l’énoncé lorsque k = 0. Montrons d’abord
l’inclusion Z(q) ⊆ Z(p). Soit x ∈ Z(q). Comme q n’est pas identiquement
nulle, l’ensemble de ses zéros Z(q) est nulle part dense dans R n . Il existe donc
une suite (xm) dans R n convergeant vers x telle que q(xm) = 0, pour tout k.
On a alors
p(x) = lim p(xm) = lim q(xm)f(xm) = q(x)f(x) = 0,
i.e., x ∈ Z(p).
Montrons ensuite que codim Z(q) ≥ 2. Par l’absurde, supposons que
codim Z(q) ≤ 1. Comme q n’est pas identiquement nulle, on a codim Z(q) =
1. Il existe donc un diviseur irréductible q ′ de q dans R[x1, . . . , xn] avec
codim Z(q ′ ) = 1. D’après ce qui précède, Z(q ′ ) ⊆ Z(p). Comme codim Z(q ′ ) =
1, on en déduit que q ′ divise p [6, Th. 4.5.1, p.85]. Cela contredit l’hypothèse
que p et q sont premiers entre eux.
Comme on a vu, l’énoncé ci-dessus peut être considérablement renforcé
lorsque k = ∞. En effet, dans ce cas la fonction f est régulière et est de
la forme p/q où q ne s’annule pas sur R n , i.e., Z(q) = ∅.
Corollaire 3.6. Soient n ≤ 1 et k un entier surnaturel. Toute fonction krégulue
sur R n est régulière.
Corollaire 3.7. Soit k un entier surnaturel. Une fonction k-régulue sur R 2
est régulière en dehors d’un ensemble fini.
Corollaire 3.8. Soient n un entier naturel et k un entier surnaturel. Soit
f ∈ R k (R n ). Le lieu indet(f) où f n’est pas une fonction régulière est un
fermé de Zariski de R n de codimension ≥ 2.