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FONCTIONS RÉGULUES 31
Nullstellensatz régulu, ι est une bijection sur l’ensemble des idéaux maximaux
de R k (R n ). La version forte du Nullstellensatz (Corollaire 5.25) peut se
reformuler ainsi :
Théorème 5.27. Soient n et k des entiers naturels. L’application ι induit
une bijection entre Spec R k (R n ) et l’ensemble des sous-ensembles k-régulument
fermés et irréductibles de R n . Plus précisément, pour tout sous-ensemble fermé
k-régulument irréductible X de R n il existe un et un seul idéal premier p
de R k (R n ) tel que X = ι −1 (V(p)).
Comme précédemment, cet énoncé est faux si k = ∞. Par exemple, l’idéal
de R[x, y] engendré par le polynôme irréductible x 2 +y 2 est un idéal premier p.
Or,
ι −1 (V(p)) = O = ι −1 (V(MO)).
Soit F ⊆ R n un fermé k-régulu. Notons par ˜ F le plus petit sous-ensemble
fermé de Spec R k (R n ) tel que ι(F ) ⊆ ˜ F , i.e., ˜ F est l’adhérence de ι(F ) dans
Spec R k (R n ) i.e. ˜ F = V(ι(F )).
Lemme 5.28. Soient n un entier naturel et k un entier surnaturel.
(1) Soit Fα, α ∈ A une collection de sous-ensembles k-régulument fermés
de Rn . Alors
Fα =
Fα.
α∈A
α∈A
(2) Soient F1, . . . , Fm des sous-ensembles k-régulument fermés de Rn .
Alors
(F1 ∪ ·
· · ∪ Fm) = F1 ∪ · · · ∪ Fm.
Démonstration. La deuxième propriété est évidente. La première est valable
car ι est injectif.
Théorème 5.29. Soient n et k des entiers naturels. L’application ι induit
une bijection entre l’ensemble des sous-ensembles fermés de Spec R k (R n ) et
l’ensemble des sous-ensembles k-régulument fermés de R n . Plus précisément,
pour tout sous-ensemble k-régulument fermé X de R n il existe un et un seul
ensemble fermé Y de Spec R k (R n ) tel que X = ι −1 (Y ), à savoir Y = ˜ X.
Démonstration. Soit X un fermé k-régulu dans R n . Posons Y = ˜ X et montrons
que ι −1 (Y ) = X. Comme R n est noethérien, X possède un nombre fini de
composantes irréductibles k-régulues F1, . . . , Fm. D’après le lemme précédent,
Y = ˜ F1 ∪ · · · ∪ ˜ Fm. D’après le Théorème 5.27, on a alors
ι −1 (Y ) = ι −1 ( F1) ∪ · · · ∪ ι −1 ( Fm) = F1 ∪ · · · ∪ Fm = X .
Montrons l’unicité de Y . Soit Z un sous-ensemble fermé de Spec R k (R n )
tel que ι −1 (Z) = X. Comme Y est le plus petit fermé de Spec R k (R n )
contenant ι(X), on a Y ⊆ Z. Montrons l’inclusion inverse. Soit p ∈ Z, et soit
F = ι −1 (V(p)). Montrons d’abord que ι(F ) ⊆ Y . Soit x ∈ F . On a ι(x) ∈ V(p).
Comme V(p) est contenu dans Z, et comme ι −1 (Z) = X, on a x ∈ X. On a
également ι −1 (Y ) = X, donc ι(x) ∈ Y . Cela montre bien que ι(F ) ⊆ Y . Or,
d’après le Théorème 5.27, F est un fermé k-régulument irréductible dans R n ,
et p ∈ ˜ F . Il s’ensuit que p ∈ Y . Cela montre l’inclusion Z ⊆ Y .