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FONCTIONS RÉGULUES 19
est un sous-ensemble k-régulument fermé de R 3 qui n’est pas localement fermé
au sens de Zariski. En effet, la clôture de Zariski de F est égale à C × R. Le
sous-ensemble F de C × R n’est pas Zariski ouvert pour la topologie induite
car son intersection avec {O} × R est réduite à l’origine de R 3 et n’est pas
ouvert dans {O} × R.
Dans le cas k = ∞, l’énoncé du Corollaire 4.10 peut être considérablement
renforcé car les fermés sont alors les fermés de Zariski.
Le Théorème 4.9 a encore l’énoncé suivant comme conséquence :
Corollaire 4.12. Soient ℓ, m, n des entiers naturels et k un entier surnaturel.
Soient
f : R n →R m et g : R m →R ℓ
deux applications k-régulues. Alors la composition g ◦f : R n →R ℓ est k-régulue.
Démonstration. L’application g ◦ f est bien-sûr de classe Ck . Soit U l’intersection
des domaines des fonctions coordonnées de f. La restriction de f à U est
donc une application régulière dans Rm . D’après le Théorème 4.9, il existe une
stratification
R m p
=
en sous-ensembles localement fermés de R m au sens de Zariski telle que la
restriction g |Si est régulière, pour tout i. Soit i tel que U ∩ f −1 (Si) est Zariski
dense dans U. Soit U ′ un ouvert Zariski dense dans U avec f(U ′ ) ⊆ Si. La
restriction à U ′ de g ◦ f est alors régulière.
Corollaire 4.13. Soient m, n des entiers naturels et k un entier surnaturel.
Une application k-régulue de R n dans R m est continue pour la topologie krégulue.
Démonstration. Soit f : R n →R m une application k-régulue et F un fermé krégulu
de R m . Il existe une fonction k-régulue g sur R m dont l’ensemble des
zéros est égal à F . D’après le Corollaire 4.12, g ◦ f est k-régulue. L’image
réciproque
f −1 (F ) = Z(g ◦ f)
est donc un fermé k-régulu de R n .
Grâce au Corollaire 4.12, on est en mesure de montrer que l’anneau R k (R n )
n’est pas noetherien, lorsque k est fini, même si la topologie k-régulue est
noethérienne :
Proposition 4.14. Soient n et k des entiers naturels. L’anneau R k (R n ) n’est
pas noethérien lorsque n ≥ 2.
Démonstration. Pour m ∈ N, soit fm la fonction k-régulue sur R n définie par
fm =
i=1
Si
x 3+k
2
x2 2 + (x1
.
− m) 2
Soit Im l’idéal de R k (R n ) engendré par les fonctions f0, . . . , fm. On montre
comme dans [22, Ex. 6.11] que la suite d’idéaux croissante I0, I1, . . . n’est