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FONCTIONS RÉGULUES 27
Démonstration. D’après le Corollaire 4.4, la topologie k-régulue sur R n est
noethérienne. Il existe donc un nombre fini de fonctions k-régulues f1, . . . , fm
dans I telles que
Z(f1, . . . , fm) = Z(I).
Soit
f = f 2 1 + · · · + f 2 m.
Comme f ∈ I et Z(f) = Z(I), la fonction f est un générateur radical de I
d’après la Proposition 5.14.
Proposition 5.16. Soient n et k des entiers naturels. Soit f une fonction krégulue
sur R n , et soit I un idéal de R k (R n ). Alors, f ∈ Rad(I) si et seulement
si Z(f) ⊇ Z(I).
Démonstration. D’après la Proposition 5.15, il existe g ∈ I telle que Rad(g) =
Rad(I). En particulier, on a
Z(g) = Z(Rad(g)) = Z(Rad(I)) = Z(I).
L’énoncé est donc une conséquence de la proposition suivante.
Proposition 5.17. Soient n et k des entiers naturels. Soient f et g des
fonctions k-régulues sur R n . Alors, f ∈ Rad(g) si et seulement si Z(f) ⊇ Z(g).
Démonstration. Supposons que f ∈ Rad(g), et soit x ∈ Z(g). Il existe un
entier naturel N tel que f N ∈ (g), i.e., f N = gh pour une certaine fonction
k-régulue h sur R n . Comme g(x) = 0, on a f N (x) = 0 et donc f(x) = 0, i.e.,
x ∈ Z(f).
Réciproquement, supposons que Z(f) ⊇ Z(g). Cela veut dire que g ne
s’annule pas sur D(f). En particulier, la fonction 1/g existe sur D(f) et y est
k-régulue. D’après la version k-régulue de l’inégalité de Lojasiewicz, il existe
un entier naturel N tel que l’extension par 0 de f N /g sur Z(f) est k-régulue
sur R n . Notons cette extension par h. On a donc f N = gh, i.e., f ∈ Rad(g).
Corollaire 5.18. Soient n et k des entiers naturels. Soient f et g des fonctions
k-régulues sur R n . Alors, Rad(f) = Rad(g) si et seulement si Z(f) =
Z(g).
En utilisant Proposition 5.15 encore, on obtient la caractérisation géométrique
suivante des générateurs radicaux d’un idéal de fonctions k-régulues :
Corollaire 5.19. Soient n et k des entiers naturels. Soit f une fonction krégulue
sur R n , et soit I un idéal de R k (R n ). Alors, Rad(f) = Rad(I) si et
seulement si Z(f) = Z(I).
Ou encore plus généralement :
Corollaire 5.20. Soient n et k des entiers naturels. Soient I et J des idéaux
de R k (R n ). Alors, Rad(I) = Rad(J) si et seulement si Z(I) = Z(J). En
particulier, deux idéaux radicaux de R k (R n ) sont égaux si et seulement s’ils
ont le même ensemble des zéros.
En résumé :