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FONCTIONS RÉGULUES 45
ensemble régulument fermé car Z = Z(x 2 + y 2 ). L’ensemble V est donc
un ensemble régulument fermé et non-régulument irréductible.
Figure 4. Parapluie de Cartan.
• Un parapluie cornu :
Considérons la sous-variété V d’équation s(x, y, z) = x2 +y2 ((y−z 2 ) 2 +
yz3 ) = x2 + y4 + y2z4 + y3z3 − 2y3z2 = 0 de R3 . La décomposition de V
A R
est la corne
en ensembles A R-irréductibles est W ∪ Z où W = Vreg
du parapluie et Z est le manche. L’ensemble W est régulument fermé
car W = Z(f) avec f = z 2 s(x,y,z)
x 2 +y 4 +y 2 z 4 . Par la Proposition 6.10, W est
régulument irréductible. Le manche Z est un ensemble régulument fermé
car Z = Z(x 2 + y 2 ). Comme pour le parapluie de Cartan, l’ensemble V
est donc un ensemble régulument fermé et non-régulument irréductible.
Figure 5. Un parapluie cornu.
On énonce maintenant un théorème qui résume ce qui précède.