arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

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xvi TABLE DES MATI ÈRES IV. Morphismes plats ....................................................... 71 1. Sorites sur les modules plats . ........................ ..................... 72 2. Modules fidèlement plats .................................................. 74 3. Relations avec la complétion .............................................. 76 4. Relations avec les modules libres ..................... ..................... 76 5. Critères locaux de platitude ............................................... 78 6. Morphismes plats et ensembles ouverts .................................... 82 V. Le groupe fondamental : généralités ................................... 87 0. Introduction .............................................................. 87 1. Préschéma à groupe fini d’opérateurs, préschéma quotient . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2. Groupes de décomposition et d’inertie. Cas étale .......................... 92 3. Automorphismes et morphismes de revêtements étales . ................... 96 4. Conditions axiomatiques d’une théorie de Galois .......................... 98 5. Catégories galoisiennes .................................................... 104 6. Foncteurs exacts d’une catégorie galoisienne dans une autre ............... 110 7. Cas des préschémas ................................ ....................... 115 8. Cas d’un préschéma de base normale ...................................... 117 9. Cas des préschémas non connexes : catégories multigaloisiennes . ..........118 VI. Catégories fibrées et descente ......................................... 119 0. Introduction ..............................................................119 1. Univers, catégories, équivalence de catégories . ............................ 120 2. Catégories sur une autre ..................................................121 3. Changement de base dans les catégories sur E ............................ 124 4. Catégories-fibres; équivalence de E -catégories ............................. 128 5. Morphismes cartésiens, images inverses, foncteurs cartésiens . . . . . . . . . . . . . . 130 6. Catégories fibrées et catégories préfibrées. Produits et changement de base dans icelles ............................................................... 132 7. Catégories clivées sur E ...................................................136 8. Catégorie clivée définie par un pseudo-foncteur E ◦ → Cat ................ 139 9. Exemple : catégorie clivée définie par un foncteur E ◦ → Cat ; catégories scindées sur E . ..........................................................142 10. Catégories co-fibrées, catégories bi-fibrées ................................ 143 11. Exemples divers .......................................................... 144 12. Foncteurs sur une catégorie clivée ........................................ 148 13. Bibliographie ............................................................. 151 VII : n’existe pas VIII. Descente fidèlement plate ............................................ 153 1. Descente des Modules quasi-cohérents ..................................... 153
TABLE DES MATIÈRES xvii 2. Descente des préschémas affines sur un autre .............................. 158 3. Descente de propriétés ensemblistes et de propriétés de finitude de morphismes .............................................................. 158 4. Descente de propriétés topologiques ....................................... 160 5. Descente de morphismes de préschémas ...................................163 6. Application aux morphismes finis et quasi-finis ............................ 168 7. Critères d’effectivité pour une donnée de descente ......................... 170 8. Bibliographie .............................................................. 175 IX. Descente des morphismes étales. Application au groupe fondamental ...........................................................177 1. Rappels sur les morphismes étales ......................................... 177 2. Morphismes submersifs et universellement submersifs . . ................... 179 3. Descente de morphismes de préschémas étales ............................. 181 4. Descente de préschémas étales : critères d’effectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5. Traduction en termes du groupe fondamental . ............ ................187 6. Une suite exacte fondamentale. Descente par morphismes à fibres relativement connexes .................................................... 195 7. Bibliographie .............................................................. 199 X. Théorie de la spécialisation du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1. La suite exacte d’homotopie pour un morphisme propre et séparable ...... 201 2. Application du théorème d’existence de faisceaux : théorème de semicontinuité pour les groupes fondamentaux des fibres d’un morphisme propre et séparable .............................................................. 206 3. Application du théorème de pureté : théorème de continuité pour les groupes fondamentaux des fibres d’un morphisme propre et lisse . . . . ............. 212 4. Bibliographie .............................................................. 217 XI. Exemples et compléments .............................................. 219 1. Espaces projectifs, variétés unirationnelles ................................ 219 2. Variétés abéliennes ........................................................ 221 3. Cônes projetants, exemple de Zariski ...................................... 223 4. La suite exacte de cohomologie ............................................ 225 5. Cas particuliers de fibrés principaux . ..................................... 230 6. Application aux revêtements principaux : théories de Kummer et d’Artin- Schreier .................................................................. 233 7. Bibliographie .............................................................. 238 XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique . . ................... 239 1. Espace analytique associé à un schéma .................................... 239 2. Comparaison des propriétés d’un schéma et de l’espace analytique associé 242
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∆ X/Y ou simplement ∆ .........
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