arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

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28 EXPOSÉ II. MORPHISMES LISSES : GÉNÉRALITÉS, PROPRIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
toute composante irréductible de U passant par x domine une composante irréductible
de Y ′ . D’ailleurs en vertu du « lemme de normalisation », un tel g existe toujours (et
réciproquement, s’il existe un Y -morphisme quasi-fini g d’un voisinage ouvert U de x
dans un Y -schéma de la forme Y ′ = Y [t1, . . . , tn], tel que toute composante de U
passant par x domine une composante de Y ′ , alors f est équidimensionnel en x). Ceci
posé :
Proposition 2.3. — Soient f : X → Y un morphisme localement de type fini, x un
point de X, y = f(x), on suppose Oy normal. Pour que f soit lisse en x, il faut et il
suffit que f soit équidimensionnel en x, et que f −1 (y) soit lisse sur k(y) en x.
On voit aussitôt sur la définition qu’un morphisme lisse est équidimensionnel (N.B.
un morphisme plat de type fini n’est pas nécessairement équidimensionnel en x, même
si sa fibre en x est irréductible). Prouvons la réciproque. Comme f −1 (y) est lisse
sur k(y) en x, on peut supposer (remplaçant au besoin X par un voisinage convenable
de x) qu’il existe un Y -morphisme
g: X −→ Y [t1, . . . , tn] = Y ′
induisant un morphisme étale sur les fibres de y, et a fortiori quasi-fini en x. Donc g
est non ramifié, et (f étant équidimensionnel en x) les composantes irréductibles de X
passant par x dominent chacun une composante de Y ′ , a fortiori l’homomorphisme
Oy ′ → Ox déduit de g (où y ′ = g(x)) est injectif. Cet homomorphisme est de plus non
ramifié, et Oy ′ est normal puisque localisé de l’anneau Oy[t1, . . . , tn], qui est normal
puisque Oy l’est. Donc l’homomorphisme Oy ′ → Ox est étale (I 9.5 (ii)).
Remarques 2.4. — L’énoncé précédent vaut encore en remplaçant l’hypothèse que Oy
est normal par l’hypothèse plus faible que Y est géométriquement unibranche en
y, (cf. I 11) — puisque (I 9.5) vaut sous cette hypothèse. Profitons de l’occasion
pour signaler en même temps que si le corps résiduel d’un anneau local intègre A
est algébriquement clos, alors analytiquement intègre (i.e. A est intègre) implique
géométriquement unibranche, la réciproque étant vraie de plus dans toute catégorie de
« bons anneaux », de façon précise dans une catégorie d’anneaux stable par les opérations
usuelles, et où la complétion d’un anneau local normal est normale (condition
remplie, en vertu du « théorème de normalité analytique » de Zariski, dans la catégorie
des algèbres affines et leurs localisées) (3) .
« Rappelons » enfin dans le contexte actuel le résultat suivant, dû à Hironaka (4)
qui permet parfois de s’assurer que f −1 (y) est un schéma réduit, i.e. que c’est aussi
ce que de nombreux géomètres algébristes considéraient abusivement comme la fibre
(sans multiplicité) de f au-dessus de x (savoir f −1 (y)réd) :
(3) Cf. EGA IV 7.8.
(4) Cf. EGA IV 5.12.10.