arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

10. REVÊTEMENTS ÉTALES D’UN SCHÉMA NORMAL 17
Corollaire 9.11. — Soit f : X → Y un morphisme dominant, Y étant normal et X
connexe. Si f est net, f est étale, donc X est normal et par suite (étant connexe)
irréductible.
Soit U l’ensemble des points où f est étale, il est ouvert, et il suffit de montrer
qu’il est aussi fermé et non vide. U contient l’image inverse du point générique de Y
(car pour une algèbre sur un corps, non ramifié = étale) donc (X dominant Y ) est
non vide. Si x appartient à l’adhérence de U, alors il appartient à l’adhérence d’une
v
composante irréductible Ui de U, donc à une composante irréductible Xi = Ui de X
qui rencontre U, et par suite domine Y (car toute composante de U, plat sur Y ,
domine Y ). Par suite, si y est la projection de x sur Y , Oy → Ox est injectif (compte
tenu que Oy est intègre). Comme Oy est normal et Oy → Ox net, on conclut à l’aide
de 9.5(ii).
Corollaire 9.12. — Soit f : X → Y un morphisme de type fini dominant, avec Y normal
et X irréductible. Alors l’ensemble des points où f est étale est identique au
complémentaire du support de Ω1 X/Y , i.e. au complémentaire du sous-préschéma de X
défini par l’idéal différente dX/Y .
(C’est cela l’énoncé « moins trivial » auquel il était fait allusion dans la remarque 21
du N o 4.)
Remarque. — On se gardera de croire qu’un revêtement étale connexe d’un schéma
irréductible soit lui-même irréductible, quand on ne suppose pas la base normale.
Cette question sera étudiée au N o 11.
10. Revêtements étales d’un schéma normal
Proposition 10.1. — Soit X un préschéma étale séparé sur Y normal connexe de
corps K. Alors les composantes connexes Xi de X sont intègres, leurs corps Ki
sont des extensions finies séparables de K, Xi s’identifie à une partie ouverte non
vide du normalisé de X dans Ki (donc X à une partie ouverte dense du normalisé
de Y dans R(X) = L = Ki).
D’après 9.10 X est normal, a fortiori ses anneaux locaux sont intègres, donc les
composantes connexes de X sont irréductibles. Comme Xi est normal, et fini et dominant
au-dessus de Y , il résulte d’un cas particulier (à peu près trivial d’ailleurs) du
Main Theorem que Xi est un ouvert du normalisé de X dans le corps Ki de X.
Corollaire 10.2. — Sous les conditions 10.1, X est fini sur Y (i.e. un revêtement étale
de Y ) si et seulement si X est isomorphe au normalisé Y ′ de Y dans L = R(X)
(anneau des fonctions rationnelles sur X).