arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

36
30 EXPOSÉ II. MORPHISMES LISSES : GÉNÉRALITÉS, PROPRIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
où n est la dimension de la fibre de f en x, et d le degré de transcendance de k(x)
sur k(y), d’où (posant coprof = dim − prof) (5)
(3.2) coprof Ox = coprof Oy.
Il en résulte par exemple que Ox est Cohen-Macaulay (resp. sans composantes immergées)
si et seulement si il en est de même de Oy.
4. Propriétés différentielles des morphismes lisses
Pour simplifier, nous nous restreindrons pour l’essentiel au calcul différentiel d’ordre
1, nous bornant à de rapides indications pour l’ordre supérieur (où les résultats
sont tout aussi simples).
Pour la définition du faisceau des 1-différentielles Ω1 X/Y d’un Y -préschéma X,
cf. (I No 1). Supposons que X et Y soient des S-préschémas, le morphisme structural
f : X → Y étant un S-morphisme. Alors f définit un homomorphisme de Modules
(compatible avec f)
(4.1) f ∗ : Ω 1 Y/S −→ Ω1 X/S
en d’autres termes, Ω1 X/S est contravariant en le S-préschéma X. D’ailleurs (4.1)
équivaut à un homomorphisme de Modules sur X
(4.1bis) f ∗ Ω 1 Y/S
−→ Ω 1 X/S
également dénoté par f ∗ à défaut de mieux, et qui s’insère dans une suite exacte
canonique d’homomorphismes de Modules
(4.2) f ∗ Ω 1 Y/S
−→ Ω 1 X/S −→ Ω 1 X/Y
−→ 0
Tous ces homomorphismes sont définis par la condition d’être de nature locale (ce qui
ramène au cas affine) et de commuter avec les opérateurs d. L’exactitude de (4.2) est
classique et triviale, et se transcrit dans le cas affine en la suite exacte (correspondant
à un homomorphisme B → C de A-algèbres) :
(4.2bis) Ω 1 B/A ⊗B C −→ Ω 1 C/A −→ Ω1 C/B
−→ 0
Lemme 4.1. — Soit f : X → Y un morphisme de S-préschémas. Si f est non ramifié
(resp. étale) alors f ∗Ω1
1
Y/S → ΩX/S est surjectif (resp. un isomorphisme). La
réciproque est vraie dans le cas « non ramifié », si f est supposé localement de type
fini.
(5) Pour ces formules, cf. EGA IV 6.1 et 6.3.