arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

4. MORPHISMES ÉTALES. REVÊTEMENTS ÉTALES 3
Corollaire 3.4. — Soient X ′ , X deux préschémas de type fini sur Y , et g: X ′ → X
un Y -morphisme. Si X est net sur Y , le morphisme graphe Γg : X ′ → X ×Y X est
une immersion ouverte.
En effet, c’est l’image inverse du morphisme diagonal X → X ×Y X par
g ×Y idX ′ : X′ ×Y X −→ X ×Y X.
On peut aussi introduire l’idéal annulateur dX/Y de Ω1 X/Y , appelé idéal différente
de X/Y ; il définit un sous-préschéma fermé de X qui, ensemblistement, est l’ensemble
des points où X/Y est ramifié, i.e. non net.
Proposition 3.5. — (i) Une immersion est nette.
(ii) Le composé de deux morphismes nets l’est.
(iii) Extension de base dans un morphisme net en est un autre.
Se voit indifféremment sur (ii) ou (iii) (le deuxième me semble plus amusant).
On peut bien entendu aussi préciser, en donnant des énoncés ponctuels; ce n’est plus
général qu’en apparence (sauf dans le cadre de la définition b)), et barbant. On obtient
comme d’habitude des corollaires :
Corollaires 3.6. — (iv) Produit cartésien de deux morphismes nets en est un autre.
(v) Si gf est net, f est net.
(vi) Si f est net, fréd est net.
Proposition 3.7. — Soit A → B un homomorphisme local, on suppose l’extension
résiduelle k(B)/k(A) triviale ou k(A) algébriquement clos. Pour que B/A soit net, il
faut et il suffit que B soit (comme A-algèbre) un quotient de A.
Remarques. — – Dans le cas où on ne suppose pas l’extension résiduelle triviale,
on peut se ramener à ce cas en faisant une extension finie plate convenable sur A qui
détruise ladite extension.
– Donner l’exemple où A est l’anneau local d’un point double ordinaire d’une
courbe, B d’un point du normalisé : alors A ⊂ B, B est net sur A à extension 4
résiduelle triviale, et A → B est surjectif mais non injectif. On va donc renforcer la
notion de netteté.
4. Morphismes étales. Revêtements étales
On va admettre tout ce qui nous sera nécessaire sur les morphismes plats ; ces faits
seront démontrés ultérieurement, s’il y a lieu (4) .
(4) Cf. Exp. IV.