arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

9. PROPRIÉTÉS DE PERMANENCE 15
sans utiliser 7.6 (et par là, le Main Theorem); c’est l’inverse pour la deuxième démonstration.
Enfin, pour (ii) il semble qu’on ait besoin du Main Theorem en tous
cas.
Première démonstration. — On utilise la condition nécessaire et suffisante suivante
de normalité d’un anneau local noethérien A de dimension = 0. 18
Critère de Serre. — (i) Pour tout idéal premier p de A de rang 1, Ap est normal (ou
ce qui revient au même, régulier); (ii) Pour tout idéal premier p de A de rang 2,
on a profondeur Ap 2. (7)
Nous admettrons ici ce critère, qui est censé figurer au paragraphe des plats. Son
principal avantage est qu’il ne suppose pas a priori A réduit, ni a fortiori intègre. Ici,
on peut déjà supposer dimA = dimB = 0.
D’après les rappels du début du numéro, les idéaux premiers p de A qui sont de
rang 1 (resp. de rang 2) sont exactement les traces sur A des idéaux premiers q
de B qui sont de rang 1 (resp. de rang 2). Enfin, si p et q se correspondent, Bq est
étale sur Ap, donc a même profondeur que Ap, et est régulier si et seulement si Ap
l’est (9.1). Appliquant le critère de Serre, on trouve que A est normal si et seulement
si B l’est.
Deuxième démonstration. — Supposons B normal, soit L son corps des fractions, K
celui de A (A est intègre puisque B l’est). On a vu dans la démonstration de 9.3 que
B ⊗A K est un composé fini de corps, comme il est contenu dans L c’est un corps, et
comme il contient B c’est L. Un élément de K entier sur A est entier sur B, donc est
dans B puisque B est normal, donc dans A car B ∩ K = A (comme il résulte du fait
que B est fidèlement plat sur A).
Supposons maintenant A normal, prouvons que B l’est. En vertu de 7.6 on aura
B = B ′ n , où B′ = A[t]/FA[t], F et n étant comme dans 7.6. Donc L = B ⊗AK sera un
localisé de B ′ ⊗AK = K[t]/FK[t], et un produit de corps; extensions finies séparables
de K ce dernier produit (comme chaque fois qu’on localise un anneau artinien, ici B ′ K
par rapport à un ensemble multiplicativement stable) est un facteur direct de B ′ K ,
correspondant donc à une décomposition F = F1F2 dans K[t], le générateur de L
correspondant à t étant annulé déjà par F1. Or, A étant normal, les Fi sont dans
A[t] (supposant qu’ils sont unitaires). Remarquant que B → L = B ⊗A K est injectif
(A → K l’étant et B étant plat sur A) il s’ensuit qu’on aura déjà F1(u) = 0, avec
u la classe de t dans L. Supposant qu’on ait pris F de degré minimum, il s’ensuivra
que F2 = 1 (N.B. on aura F ′ (u) = F ′ 1(u)F2(u) + F1(u)F ′ 2(u) = F ′ 1(u)F2(u) puisque
F1(u) = 0, d’où F ′ 1 (u) = 0 puisque F ′ (u) = 0.)
Donc on a 19
(∗) L = B ⊗A K = K[t]/FK[t]
(7) Cf. EGA IV 5.8.6.