arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

5. LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DES MORPHISMES ÉTALES 5
Définition 4.9. — On appelle revêtement étale (resp. net) de Y un Y -schéma X qui
est fini sur Y et étale (resp. net) sur Y .
La première condition signifie que X est défini par un faisceau cohérent d’algèbres
B sur Y . La deuxième signifie alors que B est localement libre sur Y (resp. rien du
tout), et que de plus, pour tout y ∈ Y , la fibre B(y) = By ⊗Oy k(y) soit une algèbre
séparable (= composé fini d’extensions finies séparables) sur k(y).
Proposition 4.10. — Soit X un revêtement plat de Y de degré n (la définition de ce
terme méritait de figurer dans 4.9) défini par un faisceau cohérent localement libre B
d’algèbres. On définit de façon bien connue l’homomorphisme trace B → A (qui est
un homomorphisme de A -modules, où A = OY ). Pour que X soit étale, il faut et
il suffit que la forme bilinéaire trB/A xy correspondante définisse un isomorphisme
de B sur B, ou ce qui revient au même, que la section discriminant
dX/Y = dB/A ∈ Γ(Y, n n
ˇB ⊗A
ˇB)
soit inversible, ou enfin que l’idéal discriminant défini par cette section soit l’idéal
unité.
En effet, on est ramené au cas où Y = Spec(k), et alors c’est un critère de séparabilité
bien connue, et trivial par passage à la clôture algébrique de k.
Remarque. — On aura un énoncé moins trivial plus bas, quand on ne suppose pas a 6
priori que X est plat sur Y mais qu’on fait une hypothèse de normalité.
5. La propriété fondamentale des morphismes étales
Théorème 5.1. — Soit f : X → Y un morphisme de type fini. Pour que f soit une
immersion ouverte, il faut et il suffit que ce soit un morphisme étale et radiciel.
Rappelons que radiciel signifie : injectif, à extensions résiduelles radicielles (et on
peut aussi rappeler que cela signifie que le morphisme reste injectif par toute extension
de la base). La nécessité est triviale, reste la suffisance. On va donner deux
démonstrations différentes, la première plus courte, la deuxième plus élémentaire.
1) Un morphisme plat est ouvert, donc on peut supposer (remplaçant Y par f(X))
que f est un homéomorphisme sur. Par toute extension de base, il restera vrai que
f est plat, radiciel, surjectif, donc un homéomorphisme, a fortiori fermé Donc f est
propre. Donc f est fini (référence : théorème de Chevalley) défini par un faisceau
cohérent B d’algèbres. B est localement libre, de plus en vertu de l’hypothèse il est
partout de rang 1, donc X = Y , cqfd.
2) On peut supposer Y et X affines. On se ramène de plus facilement à prouver
ceci : si Y = Spec(A), A local, et si f −1 (y) est non vide (y étant le point fermé de Y )
alors X = Y (en effet, cela impliquera que tout y ∈ f(X) a un voisinage ouvert U
tel que X|U = U). On aura X = Spec(B), on veut prouver A = B. Mais pour ceci,
on est ramené à prouver l’assertion analogue en remplaçant A par A, B par B ⊗A A