arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

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32 EXPOSÉ II. MORPHISMES LISSES : GÉNÉRALITÉS, PROPRIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
(i) u est injectif en x et Cokeru libre en x;
(ii) Il existe un voisinage ouvert U de x tel que u induise un isomorphisme de F |U
sur un facteur direct de G|U ;
(iii) u est universellement injectif en x ;
(iv) l’homomorphisme Fx ⊗ k(x) → Gx ⊗ k(x) sur les « fibres » restreintes induit
par u est injectif ;
(v) L’homomorphisme transposé ˇ G → ˇ F est surjectif au point x (ou encore, ce qui
revient au même, au voisinage de x).
(Démonstration circulaire, (iv)⇒(v) résulte de Nakayama, d’autre part (v)⇒(i)
puisqu’un faisceau quotient localement libre est nécessairement facteur direct).
Géométriquement, la situation envisagée signifie que u correspond à un isomorphisme
du fibré vectoriel dont le faisceau des sections est F, sur un sous-fibré du fibré vectoriel
analogue défini par G. Bien entendu, il ne suffit pas pour cela que F → G soit injectif.
Corollaire 4.5. — Soit f : X → Y un morphisme de S-préschémas, localement de type
fini, x ∈ X, y = f(x), s la projection de x et y sur S. On suppose Y lisse en y sur S.
Conditions équivalentes :
(i) f est lisse en x.
(ii) X est lisse sur S en x, et f ∗Ω1
1
Y/S → ΩX/S est universellement injectif en x,
i.e. c’est un homomorphisme injectif en x et son conoyau Ω1 X/Y est libre en x.
La nécessité résulte de 1.3 (iii) et de 4.3 (i)(ii), prouvons la suffisance. Comme les
dg (g ∈ Ox) engendrent le module Ω1 X/Y en x, on peut trouver des gi (1 i n) tels
que les images des dgi dans Ω1
X/Y forment une base de ce module. Prenant X assez
x
petit, on peut supposer que les gi proviennent de sections de OX, et définissent donc
un Y -morphisme g: X → Y ′ = Y [t1, . . . , tn]. Utilisant l’hypothèse et lemme 4.2, on
voit facilement que l’homomorphisme correspondant g∗Ω 1 Y ′
1
/S → ΩX/S est bijectif
en x, ce qui nous ramène à prouver le
Corollaire 4.6. — Soit f : X → Y un morphisme de S-préschémas lisses. Pour que f
soit étale en x ∈ X, il faut et il suffit que f ∗ Ω 1 Y/S
en x.
→ Ω 1 X/S soit un isomorphisme
On sait que c’est nécessaire par 4.1, et cette condition implique que f est non ramifié
en x par le même lemme. En vertu de 2.2, on est ramené au cas où S = Spec(k).
Comme Y est lisse sur k, il est régulier, donc a fortiori normal, et en vertu de (I 9.5
(ii)) on est ramené à prouver que Oy → Ox est injectif, ou encore que Oy et Ox ont
même dimension. Or ces dimensions sont respectivement les rangs de Ω 1 Y/k et Ω1 X/k
en y resp. x, donc égaux en vertu de l’hypothèse.
Remarques 4.7. — X et Y étant supposés lisses sur S, le critère 4.5 (ii) de lissité
de f : X → Y peut encore s’énoncer en disant que pour tout x ∈ X, l’application
tangente (relativement à la base S) de f en x, i.e. la transposée de l’homomorphisme