arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

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34 EXPOSÉ II. MORPHISMES LISSES : GÉNÉRALITÉS, PROPRIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
Y ′ = S[tp+1, . . .,tn] de X ′ = S[t1, . . . , tn] (i.e. les gi (1 i p) engendrent J |X1) :
Y1
Y ′ = S[tp+1, . . . , tn]
X1
étale
′ X = S[t1, . . . , tn]
(ii) Y est lisse sur S en x, les gi (1 i p) définissent des éléments de Jx, les
dgi(x) (1 i n) forment une base de Ω1 X/S (x) sur k(x), les dg′ i (x) (p + 1 i n)
forment une base de Ω 1 Y/S (x) sur k(x) (où les g′ i désignent les restrictions des gi à Y ;
les différentielles sont prises par rapport à S).
(iii) Les gi (1 i p) définissent un système de générateurs de Jx, et les dgi(x)
(1 i n) forment une base de Ω1 X/S (x) sur k(x).
(iv) Y est lisse sur S en x, les gi (1 i p) forment un système minimal de
générateurs de Jx, les dg ′ i (x) (p+1 i n) forment une base de Ω1 Y/S (x) sur k(x).
De plus, sous ces conditions, J /J 2 est un Module libre sur Y en x, admettant
comme base en x les classes des gi (1 i p), et l’homomorphisme canonique
J /J 2 → Ω1 X/S ⊗ OY est universellement injectif en x.
Remarque. — Cela implique que p est bien déterminé par les autres conditions, soit
comme rang du Module libre J /J 2 sur Y en x, ou encore le nombre minimum de
générateurs de Jx sur X, ou enfin par le fait que la dimension relative de Y rel. S
en x est n − p.
Démonstration. — Supposons d’abord (i) vérifié. Alors par (I 4.6 (iii)) Y1 est étale
sur Y ′ , donc par définition il est lisse sur S en x (de dimension relative n−p), il en est
donc de même de Y . Il résulte alors de (4.8) que les dgi (1 i n) forment une base
de Ω1 X/S en x, et que les dg′ i (p + 1 i n) une base de Ω1 Y/S en x, d’où il résulte
par la suite exacte (4.3) que les gi (1 i p) sont linéairement indépendants dans
J /J 2 (considéré comme Module sur Y ) en x; comme les gi (1 i p) engendrent
Jx, il s’ensuit que les gi mod J 2 x forment une base de J /J 2 en x. Cela implique
d’une part que les gi (1 i p) forment un système minimal de générateurs de Jx,
d’autre part que l’homomorphisme J /J 2 → Ω1 X/S ⊗OY de (4.3) est universellement
injectif en x (car applique une base d’un Module libre en x sur une partie d’une base
d’un Module libre en x — N.B. il s’agit de Y -Modules). Cela prouve que (i) implique
(ii), (iii), (iv), ainsi que les dernières assertions de proposition 4.9.
(iii) implique (i) en vertu de corollaire 4.8.
(ii) implique (i). En effet, la première hypothèse dans (ii) signifie que (quitte à
remplacer X par un voisinage ouvert de x dans X) g induit un morphisme h: Y → Y ′ .
D’après 4.8, les deux autres hypothèses de (ii) signifient que g est étale en x, et h étale
en x. Soit alors Y ′′ l’image inverse de Y ′ par g. Donc Y est un sous-préschéma fermé
de Y ′′ , qui est étale sur Y ′ en x par (I 4.6 (iii)) puisque g est étale en x. Donc
le morphisme d’immersion Y → Y ′′ est lui-même étale (I 4.8) donc une immersion