arXiv:math.AG/0206203 v2 4 Jan 2004

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30 31 26 EXPOSÉ II. MORPHISMES LISSES : GÉNÉRALITÉS, PROPRIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES au point p; B est dite lisse sur A si elle est lisse sur A en tout idéal premier p de B. Enfin, un homomorphisme local A → B d’anneaux locaux est dit lisse (ou B est dite lisse sur A) (2) si B est localisée d’une algèbre de type fini B1 lisse sur A. On note que la notion de lissité de X sur Y est locale sur X et sur Y ; si X est lisse sur Y , il est localement de type fini sur Y . Proposition 1.1. — L’ensemble des points x de X en lesquels f est lisse est ouvert. C’est trivial sur la définition. Corollaire 1.2. — Si B est lisse sur A en p, alors il est lisse sur A en q pour tout idéal premier q de B contenu dans p. 1.1 implique aussi que les deux dernières définitions 1.1 coïncident dans leur domaine commun d’existence. Proposition 1.3. — (i) Un morphisme étale, en particulier une immersion ouverte, un morphisme identique, est lisse. (ii) Une extension de la base dans un morphisme lisse donne un morphisme lisse. (iii) Le composé de deux morphismes lisses est lisse. (i) est trivial sur la définition, on a plus précisément : Corollaire 1.4. — étale = quasi-fini + lisse. (ii) résulte aussitôt du fait analogue pour les morphismes étales (I 4.6) et pour les projections Y [t1, . . .,tn] → Y (cf. (1.2)). Pour (iii), cela résulte formellement du fait que c’est vrai séparément pour « étale » (I 4.6) et des projections du type Y [t1, . . .,tn] → Y (cf. (1.3)), et des deux faits cités pour (ii) : Supposons Y lisse sur Z et X lisse sur Y , prouvons que X est lisse sur Z ; on peut supposer Y étale sur Z[t1, . . . , tn] et X étale sur Y [s1, . . .,sm], la première hypothèse implique donc que Y [s1, . . .,sm] est étale sur Z[t1, . . . , tn][s1, . . . , sm] = Z[t1, . . .,sm], donc X est étale sur Z[t1, . . .,sm], cqfd. Remarque 1.5. — L’entier n qui figure dans déf. 1.1 est bien déterminé, car on constate aussitôt que c’est la dimension de l’anneau local de x dans sa fibre f −1f(x) . On l’appelle « dimension relative » de X sur Y . Elle se comporte additivement pour la composition des morphismes. (2) Il vaut mieux dire alors, comme dans EGA IV 18.6.1, que B est « essentiellement lisse » sur A.
2. QUELQUES CRITÈRES DE LISSITÉ D’UN MORPHISME 27 2. Quelques critères de lissité d’un morphisme Théorème 2.1. — Soit f : X → Y un morphisme localement de type fini, soit x ∈ X et y = f(x). Pour que f soit lisse en x, il faut et il suffit que (a) f soit plat en x, et (b) f −1 (y) soit lisse sur k(y) en x. Le composé de deux morphismes plats étant plat, et Y [t1, . . . , tn] → Y étant un morphisme plat, on voit que lisse implique plat; compte tenu de 1.3 (ii) cela prouve la nécessité. Supposons (a) et (b) vérifiées, soient V un voisinage affine de y d’anneau A, U un voisinage affine de x au-dessus de V , d’anneau B. Prenant U assez petit, on peut supposer par (b) qu’il existe un k(y)-morphisme étale g: U|f −1 (y) −→ Spec k[t1, . . . , tn] (k = k(y)) défini par n sections gi du faisceau structural de U|f −1 (y). On constate facilement qu’on peut supposer que les gi (qui a priori sont des éléments de B ⊗A k = BS −1 , où S = A − p, p l’idéal premier de A correspondant à y) proviennent de sections du faisceau structural de U, donc que g est induit par un morphisme, encore noté g g: U −→ Y [t1, . . . , tn] (quitte à multiplier les gi par un même élément non nul de k). Or U est plat sur Y par (a), il en est de même de Y [t1, . . . , tn], d’autre part g induit un morphisme étale entre les fibres au-dessus de y, donc g est étale en x par (I 5.8), cqfd. Corollaire 2.2. — Soient S un préschéma, f : X → Y un S-morphisme de type fini, Y étant de type fini et plat sur S, x ∈ X, s la projection de x sur S. Pour que f soit lisse en x, il faut et il suffit que X soit plat (ou encore : lisse) sur S en x, et que le morphisme fs: Xs → Ys induit sur les fibres de s soit lisse en x. Seule la suffisance demande une démonstration, et résulte du critère 2.1, joint au critère de platitude (I 5.9). Pour énoncer le résultat suivant, « rappelons » qu’un morphisme f : X → Y locale- 32 ment de type fini est dit équidimensionnel en le point x ∈ X si (posant y = f(x)) on peut trouver un voisinage ouvert U de x, dont toute composante domine une composante de Y tel que, pour tout y ′ ∈ Y , les composantes irréductibles de f −1 (y ′ ) ∩ U aient toutes une même dimension indépendante de y ′ . Il suffit d’ailleurs dans cette condition de prendre pour y ′ les points génériques des composantes irréductibles de Y passant par y, et le point y. Si par exemple X et Y sont intègres et f dominant, la condition signifie que les composantes des f −1 (y) passant par x ont « la bonne » dimension, i.e. la dimension de la fibre générique (rappelons qu’elles sont toujours la dimension de la fibre générique). Si f est équidimensionnel en x, la dimension de sa fibre en x étant n, et si g: U → Y ′ = Y [t1, . . . , tn] est un Y -morphisme d’un voisinage U de x, induisant un morphisme sur les fibres de y qui est quasi-fini en x (ou encore, ce qui revient au même, si g est quasi-fini en x), alors on montre que
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