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2. Définitions et propriétés
Une coloration d'un graphe consiste en
l'attribution de couleurs aux sommets, de
telle sorte que deux
sommets adjacents n'aient jamais la même
couleur.
Si le graphe est coloré en k couleurs, on dit
qu’on a une k coloration du graphe.
Un graphe d’ordre n peut toujours être en n
couleurs. Cependant, on utilise
systématiquement le nombre minimum de
couleurs : on recherche toujours la
coloration minimale.
Nombre chromatique
Le nombre chromatique d’un graphe, noté
(G), est le nombre minimum de couleurs
nécessaires à sa coloration, c'est-à-dire le
plus petit nombre de couleurs permettant de
colorier tous les sommets du graphe sans
que deux sommets adjacents soient de la
même couleur.
Sous-graphe
Rappel :
Un sous-graphe d’un graphe G est un
graphe dont les sommets et les arêtes sont
des sommets et des arêtes de G.
Un sous-graphe est stable si ses sommets
ne sont reliés par aucune arête. Le cardinal
du plus grand stable est noté α(G).
Le nombre chromatique d’un sous-graphe
stable est toujours égal à 1 car aucun
sommet n’y est relié.
Un sous-graphe est une clique si tous ses
sommets sont reliés les uns aux autres par
une arête. Le cardinal de la plus grande
clique est noté ω(G).
Le nombre chromatique pour chaque sousgraphe
clique est toujours égal au degré,
d(C), de cette clique car les sommets y sont
tous liés.
3 couleurs
suffisent pour
colorer ce graphe
à 5 sommets.
Théorie des graphes – page 14
M
B O
O B
On peut utiliser
5 couleurs
différentes pour
ce graphe
d’ordre 5.
Cette coloration
ne convient pas
car le sommet
supérieur possède
la même couleur
orange que deux
sommets
adjacents.
Le nombre chromatique du graphe précédent est 3 :
(G)=3.
1
2
Et voici un stable :
Un autre stable serait
1,2,3 - α(G)=3
1 seule couleur est
nécessaire pour colorer ce
sous-graphe.
M
B O
R V
Voici un graphe G(X,A)
1
2
3
5
B O
3
4
Et voici une clique:
5
Une autre clique serait
2,4 - ω(G)=3
3 couleurs sont nécessaires
pour colorer ce sousgraphe.
O
O B
3
4