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Une fourmi se ballade sur des polyèdres platoniciens.
Existe-t-il un chemin qui lui permette de visiter une seule fois chaque sommet ?
1. Qu’est-ce qu’un polyèdre platonicien ?
Petit détour par la géométrie dans l’espace pour comprendre notre problème …
Un polyèdre platonicien est un polyèdre convexe régulier.
♦ Polyèdre : un polyèdre est un volume limité par des faces planes. L’intersection de deux faces
est une arête et l’intersection de deux arêtes est un sommet.
♦ Convexe : un polyèdre est convexe s’il est toujours situé d’un même côté du plan d’une
quelconque de ses faces.
♦ Régulier : un polyèdre convexe est régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers
isométriques et si en chaque sommet aboutit le même nombre de faces.
Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers
isométriques.
Euclide a prouvé qu'il existe exactement 5 polyèdres convexes réguliers :
le cube le tétraèdre l'octaèdre dodécaèdre l'icosaèdre
Le cube possède 8
sommets, 12
arêtes, 6 faces qui
sont des carrés.
Le tétraèdre
possède 4
sommets, 6 arêtes,
4 faces qui sont
des triangles
équilatéraux.
L’octaèdre
possède 6
sommets, 12
arêtes, 8 faces qui
sont des triangles
équilatéraux.
Théorie des graphes – page 28
Le dodécaèdre
possède 20
sommets, 30
arêtes, 12 faces
qui sont des
pentagones
réguliers.
L’icosaèdre
possède 12
sommets, 30
arêtes, 20 faces
qui sont des
triangles
équilatéraux.
Ces solides sont appelés communément solides de Platon en raison de ses travaux. Les Grecs ont
accordé une signification mystique aux cinq solides réguliers en les rattachant aux grandes entités qui,
selon eux, façonnaient le monde : le feu est associé au tétraèdre, l'air à l'octaèdre, la terre au cube,
l'univers au dodécaèdre et l'eau à l'icosaèdre.