Gas Fa ston aites Lagr Grap raffe phe à e arrri riive, us!

Propriété n°4
♦ Si n est impair et que n 3 alors Kn a (n-1)/2 chaînes hamiltoniennes n’ayant
aucune arête commune.
Exemple : Ici, un graphe de type K5.
Les chaînes 1 – 2 – 3 – 4 – 5 et 1 – 3 – 5 – 2 – 4
n’ont aucune arête commune.
Théorème (Ore)
♦ Soit G = (X, A) un graphe simple d'ordre n 3. Si pour toute paire {x, y} de
sommets non adjacents, on a d(x) + d(y) n, alors G est hamiltonien.
Corollaire (Dirac)
♦ Soit G = (X, A) un graphe simple d'ordre n 3. Si pour tout sommet x de G, on a
d(x) n/2, alors G est hamiltonien.
Explication : En effet, un tel graphe vérifie les conditions du théorème précédent. Si x et y ne sont pas
adjacents, on a bien : d(x) + d(y) n/2 + n/2 = n
Autres théorèmes
♦ Soit G un graphe simple, non-orienté ayant n sommets et m arêtes.
Si m (n²-3n+6)/2, alors G est hamiltonien.
♦ Soit G un graphe simple, non-orienté ayant n sommets.
S’il existe au moins (n-1)n/2+2 arêtes, alors G est hamiltonien.
Toutes ces conditions sont suffisantes, mais pas nécessaires.
1 2
5
4
5. Résolution du problème
3
En effet, voici un exemple de graphe hamiltonien. Nous pouvons en
dégager le cycle 1 – 2- 3 – 4 – 5 .
♦ Pourtant,
♦ il n’est pas complet.
♦ il ne répond pas au critère de Ore : d(3)+d(5)=5