Gas Fa ston aites Lagr Grap raffe phe à e arrri riive, us!

Chemins et circuits d’un digraphe :
Un chemin conduisant du sommet a au sommet b
est défini par une suite de la forme
(x0,a1,x1,a2,x2,…..,xk-1,ak,xk) où les xi sont des
sommets (x0=a et xk=b)et les ai sont des arcs tels
que ai va de xi-1 à xi.
On appelle distance entre deux sommets d’un
digraphe la longueur du plus petit chemin les
reliant.
S’il n’existe pas de chemins entre les sommets
x et y, on pose d(x,y)=
Un circuit est un chemin fermé simple. (x0=xk).
Ici d(1,3)=2 ; d(1,4)=3
Et d(5,2)=
Le digraphe ci-dessus ne compte pas de circuit.
Il peut parfois dans la résolution d’un problème quelconque être utile de connaître le plus court chemin
possible entre un sommet en particulier et d’autres sommets. Il existe à cette fin un algorithme, celui de
Dijkstra qui permet de trouver cela.
3. Matrices et listes d’adjacences :
Les digraphes (tout comme les graphes non-orientés) peuvent être représentés algébriquement
sous la forme d’une matrice, d’ordre (nxn), aussi appelée matrice d’adjacence.
Soit G(X,A) un graphe orienté, avec X = x1; x2 : : : ;xn . La matrice d’adjacence du graphe est la
matrice (G) dont les coefficients (mij) j
sont définis par :
m ij
Théorie des graphes – page 36
=
1si
(x , x ) ∈ A
i
0 si (x , x ) ∉ A
Afin de différencier le graphe simple du graphe orienté, nous allons construire la matrice de deux
graphes semblables à ceci près que l’un sera orienté et l’autre non.
Graphe non-orienté
1
2
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1 1 0 1 0 0
Les lignes et les colonnes de cette matrice représentent les arêtes et
les sommets du graphe :
Si un arc relie le sommet 1 au sommet 5, on note un 1 à la position
(1,5) et à la position (5,1) étant donné que les arcs ne sont pas
orientés. Si il n’y a aucun arc reliant ces deux sommets on note un 0
à ces deux positions.
i
1
1
0
1
1
3
j
j
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
4
5