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Est-il possible de tracer ces figures sans lever le crayon et sans repasser deux
fois par le même trait ?
1. Modélisation en termes de graphe
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Prenons la première figure. Celle-ci s’apparente à un graphe. Dessiner la
figure « sans lever le crayon et sans repasser deux fois par le même trait »
revient à passer sur chaque arête du graphe une seule fois.
Si le graphe de la figure répond au critère du théorème précédent, nous
pourrons trouver un cycle eulérien et résoudre le problème.
Mais pour cette première figure, sommet x, d(x)= 3 ! Il ne s’agit donc
pas d’un graphe eulérien.
Le graphe eulérien impose deux choses : passer sur chaque arête une seule fois et revenir à son point de
départ. Or, pour dessiner chaque trait, il n’est pas nécessaire de revenir au point de départ : il n’est pas
nécessaire de trouver un cycle eulérien dans le graphe, une chaîne eulérienne suffit. Notre graphe doit
être semi-eulérien.
2. Graphe semi-eulérien
Définition
Un graphe est semi-eulérien lorsqu’il possède une
chaîne eulérienne : on peut le tracer en passant par toutes
les arêtes une et une seule fois (sans l’obligation de finir
au point par lequel on a commencé).
Démonstration
Théorème
Condition nécessaire
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Théorie des graphes – page 24
Exemple de graphe semi-eulérien
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Un graphe simple connexe G=(X ,A) est semi-eulérien
ssi au plus 2 de ses sommets sont de degré impair.
Ce théorème est une conséquence du théorème pour les graphes eulériens.
Premier cas : G n'admet pas de sommet de degré impair. Soit sommet x, d (x) est pair, et il est donc
possible de trouver un cycle eulérien qu’il suffit de prendre comme chaîne eulérienne.
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