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♦ CONCLUSION :
Selon le pas récurrent et
la thèse cela équivaut au
nombre de chemins
partant de i pour
rejoindre l.
k =(m (k) i,j ) =
avec m (k) i,j =
n
l=
1
m
m (k−1) i,l . ml,j
Σ
(k-1) x
( k−1)
l,
j
Si le deuxième terme vaut 0, le
produit vaut 0 et donc le « chemin
matriciel » n’est pas compté dans la
somme des chemins partant du
sommet vers l’autre. Tandis que si le
deuxième terme vaut 1, il est compté
dans la somme.
i,
l
. m
Théorie des graphes – page 38
C’est un terme de la
matrice d’adjacence qui
signifie qu’un arc part ou
non de l vers j selon qu’il
valle 0 ou 1.
Au total, nous avons le nombre de chemins de longueur (k-1) (pour se rendre de i à l) + 1 (de l à j).
C’est grâce à ce théorème que nous allons résoudre notre problème.
4. Résolution du problème
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
Représentons donc notre parcours sous la forme d’un digraphe (ci-contre).
Construisons donc la matrice de notre digraphe, la matrice
0 1 0 1
0
0
0 1 1 0
Chaque arête représente un parcours de 0,5 km. Les éléments de la
matrice ² donneront les chemins de longueur 2x0,5 km= 1km.
Calculer le nombre de trajets de S1 à S4 de longueur égale à 1,5 km revient à
calculer m (3) 1,4.
Il faut simplement calculer ³.
1
1
1
0
x
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
x
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
=
0
0
0
0
2
0
1
2
2
1
2
0
0
1
0
1
2
2
2
1
1
1
Il y a deux chemins
de longueur 1,5 km
partant de S1 vers S4