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Lorsqu'un chemin existe entre deux sommets dans un graphe, on se pose rapidement la question du
plus court chemin possible entre ces deux sommets. Tant que le graphe est de taille raisonnable, il n’y
a pas de problème ... Mais dès que le graphe comporte plusieurs dizaines de sommets et d'arêtes, trouver
le plus court chemin entre deux points devient vite un casse-tête ! Résoudre ce problème va donc
consister à proposer un algorithme, aussi rapide que possible.
1. Définitions
Graphe valué ou pondéré
Un graphe est valué lorsqu’à chaque arête
ou arc est associé un nombre réel.
Si ce nombre est positif, on parle de poids et
de graphe pondéré.
Lorsque les nombres (si compris entre 0 et
1) représentent des probabilités, on peut
parler de graphe probabiliste.
Soit un graphe G=(X, A). Chaque arête ai
(arc si il s’agit d’un graphe orienté) est
munie d’un poids pi .
Un chemin C=< a1, a2, ..., an > possède un
poids qui est la somme des poids des arcs
qui constituent le chemin.
Exemple d’application
Théorie des graphes – page 40
Dans le graphe pondéré ci-dessus,
le poids de la chaîne 1-2-3-4 est 3+2+5=10.
Un exemple classique de graphe pondéré est celui où on pondère des trajets routiers en termes de temps,
de distance ou de coût (carburant, péage, …). Trouver le chemin le plus court consiste alors à trouver le
chemin le plus rapide, le moins distant ou le moins coûteux. De nos jours, l'algorithme du plus court
chemin est utilisé dans plusieurs applications informatiques telles que les GPS.
Concrètement :
Un automobiliste doit se
rendre de Durbuy à Arlon.
Si vous observez la carte
ci-dessous, vous remarquez
qu’un faisceau de
trajectoires possibles
s’offre à lui : il peut passer
par Bastogne, Marche, …
D
1
A
3
1
2
4
3
5
2
4
5
3