Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

4 Rapport sur les épreuves écrites
4.1 Première épreuve écrite
4.1.1 Énoncé de la première épreuve écrite
Notations
On désigne par C le corps des nombres complexes.
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. On désigne par E ∗ l’espace vectoriel dual de E . On
désigne par End(E) l’algèbre des endomorphismes de E et par GL(E) le groupe des endomorphismes
inversibles de E . On note 1 E l’application identique de E .
Si u est un endomorphisme de E , on note t u l’endomorphisme de E ∗ transposé de u ; si X est
une partie de End(E) , on note t X l’ensemble des transposés des élements de X .
Soit u une application linéaire d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F et soit x un
vecteur de E . Pour alléger les notations, il nous arrivera d’écrire ux pour désigner l’image u(x) du
vecteur x par l’application u .
Soit n un entier 1 ; on désigne par M n (C) l’algèbre des matrices carrées complexes à n lignes
et n colonnes. On note E i,j la matrice de M n (C) dont tous les coefficients sont nuls excepté celui de
la i -ème ligne et j -ième colonne qui est égal à 1 . On note GL(n, C) le groupe des matrices inversibles
et 1 n la matrice unité de M n (C) .
Soient A et B deux C-algèbres possédant chacune un élément unité ; un morphisme unitaire
d’algèbres de A dans B est une application C-linéaire qui préserve les produits et les éléments unités.
Les deux premières parties sont indépendantes. La sixième partie est indépendante des précédentes.
Partie I
1) Soit W un C-espace vectoriel de dimension finie. Soient p 1 , . . . , p n des endomorphismes de W .
Pour i = 1, . . . , n , on note W i l’image de p i .
Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’espace vectoriel W est somme directe des sous-espaces W i et, pour i = 1, . . . , n , p i est le
projecteur d’image W i parallèlement à la somme directe des W j , j ≠ i .
(ii) Pour i = 1, . . . , n , on a p 2
i = p i ; pour j ≠ i , on a p i p j = 0 ; et on a p 1 + . . . + p n = 1 W .
2) Soit toujours W un C-espace vectoriel de dimension finie, soit n un entier 1 et soit
ρ : M n (C) → End(W) un morphisme unitaire d’algèbres.
a) Pour i = 1, . . . , n , on note p i l’endomorphisme ρ(E i,i ) . Démontrer que les endomorphismes p i
satisfont à la condition (ii) de la question (I.1).
b) Pour i = 1, . . . , n , on note W i l’image de p i . Démontrer que la restriction de ρ(E i,j ) à W j
induit un isomorphisme de W j sur W i .
c) Dans la suite de cette question, on fixe une base (w 1 , . . . , w r ) de l’espace vectoriel W 1 . On pose
v 1 = w 1 , v 2 = ρ(E 2,1 )w 1 , . . . , v n = ρ(E n,1 )w 1 .
34