Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

RBR −1 soit triangulaire supérieure, avec les µ i sur sa diagonale. Choisissons de telles matrices Q et R .
Alors la matrice QAQ −1 ∗ RBR −1 est triangulaire supérieure par blocs, avec les λ i RBR −1 comme blocs
diagonaux. Chacun de ces blocs est lui-même triangulaire supérieur avec les λ i µ j sur la diagonale. Ainsi la
matrice (QAQ −1 ) ∗ (RBR −1 ) est triangulaire supérieure avec les produits λ i µ j sur la diagonale. Ces n 2
produits sont donc ses valeurs propres.
La matrice Q ∗ R est inversible et son inverse est Q −1 ∗ R −1 d’après (VI.1). La matrice A ∗ B est donc
conjuguée à la matrice (QAQ −1 ) ∗ (RBR −1 ) et a donc les mêmes valeurs propres.
4.1.3 Commentaires sur la première épreuve écrite
Cette première épreuve portait sur l’algèbre linéaire et matricielle. Elle a été discriminante, plus ou moins
bien réussie selon les candidats ; il en est d’ailleurs de même de la seconde épreuve. Nous nous contenterons
d’un commentaire général sur la rédaction des copies et d’un inventaire des erreurs les plus fréquentes. Il ne
s’agit pas de critiquer les candidats qui ont résolu peu de questions, ou qui ont fait des erreurs, mais de leur
donner des conseils en vue d’améliorer leurs résultats.
Rédaction
Certaines copies sont très bien rédigées, mais les correcteurs constatent une augmentation du nombre des
copies dont la rédaction laisse à désirer. De la part de professeurs en exercice, confrontés aux copies d’élèves et
à l’apprentissage de la rédaction, ils s’attendent à plus de maturation, même dans les copies peu remplies. De
fait, la majorité des copies allie un soin très relatif et une argumentation insuffisante. Voici un exemple pour
la question de l’argumentation : (II.1). Soient u et v deux éléments de End(E) qui commutent entre eux.
Démontrer que tout sous-espace propre de l’un est stable par l’autre. C’est une question simple. l’hypothèse
principale est ✭ u et v commutent ✮. On attend d’une copie bien rédigée qu’elle pointe l’endroit précis de
la solution où intervient cette hypothèse. De même, l’existence de vecteurs propres ≠ 0 vient du fait que
le corps des scalaires est le corps des nombres complexes, qui est algébriquement clos ; cela mérite d’être
mentionné chaque fois que l’on s’en sert. Pour le soin de l’écriture, penser que la copie est destinée à être lue
par des correcteurs.
La deuxième partie montre que la dualité n’est pas vraiment dominée par une majorité de candidats. Dans
certaines copies, le passage au dual est vécu comme l’adjonction automatique d’une étoile aux notations, sans
que cela garde un sens. Dans ces copies, on utilise bien sûr la notation E ∗ pour désigner le dual algébrique de
l’espace vectoriel E , puis, si F est un sous-espace vectoriel de E , on lui attribue immédiatement un espace
F ∗
qui est considéré comme un sous-espace de E . De même, au vecteur e , on fait correspondre un vecteur
e ∗ . de E ∗ . . .
Erreurs ou oublis fréquente
(I.1) : Définition d’une somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels (souvent les seules intersections
deux à deux sont envisagées).
Confusion entre sous-espace globalement invariant, et sous-espcae de points fixes.
(I.2.b) : Confusion entre restriction et application induite, entre image et espace d’arrivée. Il n’y a pas
unicité ✭ du ✮ supplémentaire. Confusion entre supplémentaire et complémentaire, entre union et somme.
(I.2.c) : Famille libre n’équivaut pas à chaque couple de vecteurs est libre.
(II.2) : Justifier l’existence d’une valeur propre : E ≠ {0} et C est algébriquement clos.
(II.5) : Oubli de la linéarité de l .
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