Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

2) Démontrer que l’image de l’application φ engendre l’espace vectoriel M nm (C) .
On suppose désormais n = m .
3) Posons
a) Démontrer que l’on a P 2 = 1 n .
P =
∑
E i,j ∗ E j,i .
1i,jn
b) Démontrer que, pour toutes matrices A , B ∈ M n (C) , on a
P (A ∗ B) P = B ∗ A.
4) Soient A et B ∈ M n (C) .
a) Calculer la trace et le déterminant de la matrice A ∗ B . b) Déterminer les valeurs propres de
A ∗ B en fonction de celles de A et de B .
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4.1.2 Solution de la première épreuve écrite
Partie I
1) (i) ⇒ (ii) : comme les p i sont des projecteurs, on a bien p 2 i = p i . Pour j ≠ i , p i s’annule sur W j ,
donc p i p j = 0 . Soit x ∈ W et soit x = x 1 + · · · + x n sa décomposition sur la somme directe des W i . On a
p i (x i ) = x i et p i (x j ) = 0 si j ≠ i , d’où p i (x) = x i et x = p 1 (x) + · · · + p n (x) .
(ii) ⇒ (i) : comme p 2 i = p i , les p i sont des projecteurs dont les images respectives sont les W i .
Pour j ≠ i , on a p i p j = 0 , donc p i s’annule sur W j . Soit x ∈ W ; démontrons que x s’écrit de façon
unique x = x 1 + · · · + x n où x i ∈ W i pour 1 i n . Comme p 1 + · · · + p n = 1 W , on a
(1) x = p 1 (x) + · · · + p n (x) où p i (x) ∈ W i pour 1 i n.
Supposons que l’on ait
x = y 1 + · · · + y n où y i ∈ W i pour 1 i n.
Comme y j ∈ W j , on a p i (y i ) = y i et p i (y j ) = 0 pour j ≠ i , d’où p i (x) = y i et l’unicité de l’écriture (1) .
2) a) Les unités matricielles satisfont aux relations
(2) E i,i E j,j = δ i,j , E 1,1 + · · · + E n,n = 1 n .
Le morphisme ρ transforme ces égalités en
p i p j = δ i,j , p 1 + · · · + p n = 1 W .
2) b) Plus généralement, on a les relations
(3) E i,j E j,k = E i,k , E i,j E k,l = 0 si j ≠ k.
On en déduit
(4) ρ(E i,i )ρ(E i,j ) = ρ(E i,j ), ρ(E i,j )ρ(E j,i ) = p i , ρ(E j,i )ρ(E i,j ) = p j .
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