Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

2) D’après la question précédente, la trace d’un élément g de G est une somme ξ 1 + · · · + ξ n , de racines
m -ièmes de l’unité. Comme il y a m racines m -ièmes de l’unité dans C , cette somme peut prendre au plus
m n
valeurs.
3) a) L’espace vectoriel engendré par G dans End(C n ) est une algèbre unitaire d’endomorphismes,
irréductible puisque G est irréductible. D’après (II.8), cette algèbre est égale à End(C n ) . Ainsi, l’ensemble
G est générateur de l’espace vectoriel End(C n ) ; il contient donc une base de cet espace vectoriel.
3) b) Soit (X 1 , . . . , X n 2) une base de M n (C) constituée d’éléments de G , et soit (X ′ 1, . . . , X ′ n 2 ) la base
associée comme dans la question (IV.2). Tout élément g de G peut s’écrire
g =
∑
γ j X ′ j où γ j ∈ C.
0jn 2
On a alors, d’après (IV.2),
Tr(X i g) =
∑
γ j Tr(X i X ′ j) = γ i .
0jn 2
Comme les X i appartiennent à G , d’après (V.2), Tr(X i g) ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs.
Par suite les γ i
aussi, et g aussi. Donc le groupe G est fini.
4) a) Si G est irréductible, c’est immédiat en prenant p = n , q = 0 . Si G n’est pas irréductible, il
existe un sous-espace vectoriel F de C n , de dimension p avec 1 p n − 1 , qui est stable par tous les
élements de G . Prenons un supplémentaire quelconque F ′
chaque élément de G dans la juxtaposition des deux bases a la forme voulue.
4) b) Écrivons le produit
(
T(g) U(g)
0 V(g)
) ( )
T(g ′ ) U(g ′ )
0 V(g ′ =
)
de F et des bases de F et de F ′ ; la matrice de
( )
T(g)T(g ′ ) T(g)U(g ′ ) + U(g)V(g ′ )
0 V(g)V(g ′ )
Comme G est un sous-groupe de GL(n, C) , on en déduit que T(g) appartient à GL(p, C) et V(g) à
GL(q, C) , et que les applications T et V sont des morphismes du groupe G dans les groupes GL(p, C) et
GL(q, C) . Les sous-groupes G 1 et G 2 en sont les noyaux. Ce sont donc des sous-groupes distingués de G .
Soit g ∈ G 1 ∩ G 2 ; on a
g =
( )
1p U(g)
, g
0 1 2 =
q
Comme g m = 1 n , on en déduit U(g) = 0 et G 1 ∩ G 2 = {1 n } .
( )
( )
1p 2 U(g)
, g
0 1 m 1p m U(g)
=
.
q 0 1 q
4) c) Le groupe K 1 ∩ K 2 est un sous-groupe distingué de K , a fortiori de K 1 et de K 2 . En comptant
les classes, on obtient
Card (K/(K 1 ∩ K 2 ) = Card (K/K 1 ) Card (K 1 /(K 1 ∩ K 2 )).
Par ailleurs, le groupe K 1 /(K 1 ∩ K 2 ) est isomorphe à un sous-groupe de K/K 2 . On en déduit
d’où le résultat demandé.
Card (K/(K 1 ∩ K 2 )) Card (K/K 1 ) Card (K/K 2 ),
4) d) On conclut qu’un sous-groupe G de M n (C) ayant la propriété indiquée (tout g ∈ G satisfait
à g m = 1 n ) est un groupe fini. Cela se démontre par récurrence sur l’entier n 0 . Pour n = 0 , il n’y a
rien à démontrer. Dans le cas général, si le groupe G est irréductible, il est fini d’après (V.3). Si G n’est
pas irréductible, il possède, d’après (V.4.b), deux sous-groupes distingués G 1
l’élément neutre {1 n } . Le groupe G/G 1
et G 2 , dont l’intersection est
est isomorphe à un sous-groupe de GL(p, C) , satisfaisant bien sûr
à la propriété g m = 1 p . Par hypothèse de récurrence, G/G 1 est un groupe fini. Il en est de même de G/G 2 .
Les groupes G 1 et G 2 ont un indice fini dans G et G 1 ∩ G 2 = {1 n } . D’après (V.4.c), le groupe G est fini,
et la démonstration par récurrence aussi.
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