Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

4.2 Deuxième épreuve écrite
4.2.1 Énoncé de la deuxième épreuve écrite
Introduction et notations
Dans ce problème, on note N l’ensemble des nombres entiers, R le corps des nombres réels.
On dit qu’un endomorphisme T d’un espace vectoriel est nilpotent s’il existe un nombre entier s 0
tel que T s = 0 .
Si f est une fonction de classe C ∞ de la variable réelle x et n un entier 0 , on note f (n) ou
d n f
la dérivée n-ième de la fonction f .
dxn Si g est une fonction de classe C ∞ de la variable x = (x 1 , . . . , x n ) définie dans une partie ouverte
de R n , on note
∂g la dérivée partielle de g par rapport à la variable x i , pour 1 i n .
∂x i
Pour des entiers p et n tels que 0 p n , on définit les coefficients binomiaux par
( ( ( n n! n (n − 1) . . . (n − p + 1)
n n
=
= pour 0 < p < n, = = 1.
p)
p! (n − p)! p!
0)
n)
L’un des objets de ce problème est la démonstration et l’application de la formule de réversion de
Lagrange qui permet de calculer, dans certains cas, la dérivée n-ième d’une fonction réciproque.
On étudie d’abord la suite (u n ) n1
(E n ) x n + x n−1 + · · · + x − 1 = 0.
dont le terme général est l’unique solution 0 de l’équation
Dans un premier temps, on établit directement une expression explicite de u n
convergente (parties I et II).
On établit ensuite la formule de réversion de Lagrange (partie III).
comme somme d’une série
On applique enfin cette formule pour obtenir une autre démonstration de l’expression de u n
(partie IV).
On rappelle les résultats suivants qui pourront être utilisés sans démonstration :
A) Lorsque l’entier n tend vers +∞ , on a l’équivalence (formule de Stirling) :
n! ∼ n n e −n √ 2πn .
B) Pour tout entier q 1 , la série entière
∑
( ) n + q − 1
(−1) n n
n0
a un rayon de convergence égal à 1 et, pour −1 < x < 1 , sa somme est égale à 1/(1 + x) q .
C) Le théorème des fonctions implicites pour une fonction F de classe C ∞ , définie sur R 3 , peut s’énoncer
ainsi :
x n
On suppose qu’en un point (x 0 , y 0 , z 0 ) de R 3 , on a
∂F
F(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 et
∂z (x 0, y 0 , z 0 ) ≠ 0.
Il existe alors un voisinage ouvert U de (x 0 , y 0 ) dans R 2 , un voisinage ouvert V de z 0
fonction ϕ : U → V caractérisée par la condition
La fonction ϕ est de classe C ∞
∀(x, y) ∈ U, ∀z ∈ V,
(F(x, y, z) = 0 ⇐⇒ z = ϕ(x, y)).
sur U et pour tout point (a, b) de U , on a
F(a, b, ϕ(a, b)) = 0 ,
dans R et une
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