Rapport sur l'agrégation interne et le CAERPA de mathématiques ...

c) Vérifier que l’endomorphisme u ′ = uvu − λu convient.
8) Démontrer finalement que l’on A = End(E) .
Partie III
Soit n un entier 1 . On appelle dérivation de M n (C) toute application linéaire d de M n (C)
dans M n (C) telle que, pour tous X et Y ∈ M n (C) , on ait
d(XY) = d(X) Y + X d(Y).
1) Soit A ∈ M n (C) ; démontrer que l’application d A de M n (C) dans M n (C) définie par
est une dérivation.
d A (X) = AX − XA,
2) Dans cette question, on se propose de démontrer que toute dérivation de M n (C) est de la forme
ci-dessus.
a) Soit d : M n (C) → M n (C) une dérivation. Démontrer que l’application ρ de M n (C) dans M 2n (C)
définie par
ρ(X) =
( )
X d(X)
0 X
est un morphisme unitaire d’algèbres.
( )
A B
b) Démontrer qu’il existe une matrice inversible P =
où A , B , C , D appartiennent à
C D
M n (C) , telle que l’on ait, pour tout X ∈ M n (C) ,
c) Conclure.
P ρ(X) =
( )
X 0
P.
0 X
Partie IV
Soit n un entier 1 . Pour toute matrice M ∈ M n (C) , on note Tr(M) la trace de M , somme des
coefficients diagonaux de M .
1) a) Démontrer que l’application ψ de M n (C) × M n (C) dans C définie par
ψ(X, Y) = Tr(XY),
est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
b) Démontrer que, si (X 1 , . . . , X n 2) est une base de l’espace vectoriel M n (C) , il existe une autre
base (X ′ 1, . . . , X ′ n
) de M 2 n (C) telle que, pour tous entiers i et j compris entre 1 et n 2 , on ait
ψ(X i , X ′ j) = δ i,j
(symbole de Kronecker).
2) Démontrer que, pour toute matrice A ∈ M n (C) , on a
∑
1in 2 X i AX ′ i = Tr(A) 1 n .
36