Sémantique Axiomatique ou Logique de Hoare - Ensiie

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Calcul de WP Calcul de WP(i,Q) (c’est un prédicat) : (défini par induction sur la forme de l’instruction) WP(skip, Q)=Q WP(x :=e,Q) = Q[x/e] WP(i1 ;i2,Q) = WP(i1,WP(i2,Q)) WP(if e then i1 else i2,Q) = (e ⇒ WP(i1,Q)) ∧ (¬ e ⇒ WP(i2,Q)) Rappel : Q[x/e] désigne la formule Q dans laquelle on a remplacé toutes les occurences libres de x par e. WP(x :=x+y, x = 2 ∗ y)= x + y = 2 ∗ y (ENSIIE) Hoare 34 / 52
Exercice : - Calculer WP(x :=x+1 ; y :=y-1, x > y) =WP(x :=x+1 ; x > y − 1) = x + 1 > y − 1 - Calculer WP(if (x>y) then x :=x-y else y :=y-x endif, x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) =x > y ⇒ WP(x :=x-y ; x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∧ ¬x > y ⇒ WP(y :=y-x ; x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) =x > y ⇒ (x − y ≥ 0 ∧ y ≥ 0) ∧ ¬x > y ⇒ (x ≥ 0 ∧ y − x ≥ 0) - Prouver le triplet suivant en utilisant le calcul de WP {x = x 0 }if pair(x) then x := x + 2 else x := x + 1{x > x 0 ∧ pair(x)} soit P = WP(.., x > x 0 ∧ pair(x)) = pair(x) ⇒ (x+2 > x 0 ∧pair(x+2))∧¬pair(x) ⇒ (x+1 > x 0 ∧pair(x+1)) Il reste à montrer que x = x 0 ⇒ P, ce qui est vrai. (ENSIIE) Hoare 35 / 52
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