Sémantique Axiomatique ou Logique de Hoare - Ensiie

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Exemple : retour sur le programme fact On prend pour invariant de boucle l’assertion y ∗ x! = n! ∧ n > 0 ∧ x > 0. Elle est notée Inv ci-dessous. VC’({x = n ∧ n > 0} Fact {y=n ! ∧n > 0})= x=n ∧ n>0 ⇒ VC(y :=1 ;while ..., y=n ! ∧n > 0) = x=n ∧ n>0 ⇒ VC(y :=1, VC(while ..., y=n ! ∧n > 0)) = x=n ∧ n>0 ⇒ VC(y :=1 ; Inv ∧ (∀ x, y. Inv ∧ not(x=1) ⇒ y*x*(x-1) !=n ! ∧ x-1>0 ∧ n>0) ∧ (¬not(x=1) ∧ Inv ⇒ y=n ! ∧ n>0)= x=n ∧ n>0 ⇒ (Inv[y ← 1] ∧ (∀ x, y. Inv ∧ not(x=1) ⇒ y*x*(x-1) !=n ! ∧ x-1>0 ∧ n>0) ∧ (¬ not(x=1) ∧ Inv ⇒ y=n ! ∧ n>0)[y← 1]) = x=n ∧ n>0 ⇒ ((1*x !=n ! ∧ x>0 ∧ n>0) ∧ (∀ x, y. Inv ∧ not(x=1) ⇒ y*x*(x-1) !=n ! ∧ x-1>0 ∧ n>0) ∧ (¬not(x=1) ∧ 1*x !=n ! ∧ x>0 ∧ n>0 ⇒ 1=n ! ∧ n>0)) La formule est grosse mais elle se décompose en petits morceaux qui peuvent se démontrer séparément. (ENSIIE) Hoare 40 / 52
VC peut être adapté pour prouver l’arrêt d’une boucle si celle-ci est annotée par un variant (correction totale) VC(while e do Invariant Inv, Variant V i ,Q) = Inv ∧(∀x 1 . . . x m .Inv ∧ e ⇒ VC(i, Inv)) ∧(¬e ⇒ Q) ∧(Inv ⇒ V ∈ N) Le variant est une quantité positive ∧(Inv ∧ e ∧ V = V 0 ⇒ VC(i, V < V 0 )) ... qui décroit strictement au cours d’une itération (x 1 , . . . x n sont les variables modifiées dans i) (ENSIIE) Hoare 41 / 52
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Page 37 and 38: Programme annoté et Conditions de
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