Optimisation multidisciplinaire : étude théorique et application ... - ISAE

38 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
x ′ , z ′ , y ′
❄
Méta-modèle(x, z, y, Y )
x, z, y k
❄
Discipline i
Y k
❄
Ŷ (x ′ , z ′ , y ′ )
❄
Fig. 2.2 Méta-modèle disciplinaire.
Dans certains cas, il est plus commode d'utiliser une transformation des variables pour effectuer
l'approximation linéaire (par exemple, en mécanique des structures, il est fréquent de
linéairiser selon l'inverse des variables de propriété de matériaux).
Le prix à payer pour l'utilisation de cette méthode est d'avoir une taille de région de conance
petite. Le domaine de validité du méta-modèle disciplinaire peut être déterminé avec la méthode
des régions de conance [Rav07]. Nous pouvons aussi choisir une taille xe. Il faut qu'elle soit
assez petite pour permettre à l'optimiseur de ne pas partir vers des congurations fausses, mais il
faut aussi qu'elle soit assez grande pour permettre d'atteindre l'optimum sans avoir à réactualiser
le méta-modèle un trop grand nombre de fois.
L'avantage de cette méthode est que l'on peut s'aranchir du nombre de variables. En eet,
la méthode adjointe (mode inverse en diérentiation automatique) peut être considérée pour les
calculs des gradients en grande dimension [Gri00, Mor85]. Dans ce cas, le coût de calcul des
gradients est guère plus élevé que celui les fonctions objectifs et contraintes, et reste indépendant
du nombre de variables.
Approximation par surface de réponse
Pour construire des modèles réduits, on procède de la façon suivante :
1. choix d'un échantillon d'entrée : nous utilisons des méthodes DOE (Design Of Experiments)
pour sélectionner un échantillon de points : x, z, y de taille n où n est petit ;
2. calcul des sorties Y k pour chacun des points x, z, y k (k ∈ [1, n]), avec le code de calcul
correspondant au modèle physique original ;
3. construction d'un méta-modèle,
4. le méta-modèle donne Ŷ (x′ , z ′ , y ′ ) : l'approximation des sorties au point [x ′ , z ′ , y ′ ].
Il existe deux catégories de méthodes pout construire les méta-modèles :