Optimisation multidisciplinaire : étude théorique et application ... - ISAE

THÈSE
En vue de l'obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace
Spécialité : Mathématiques appliquées
Présentée et soutenue par Joël CLÉMENT
le 9 juin 2009
Optimisation multidisciplinaire :
étude théorique et application à la conception des avions
en phase d'avant projet
JURY
M. Philippe Dépincé, président du jury
Mme Nathalie Bartoli
M. Christophe Blondeau
M. Jean-Antoine Désidéri, rapporteur
M. Thierry Druot
M. Jean Hermetz, co-directeur de thèse
M. Mohamed Masmoudi, directeur de thèse
M. Patrick Siarry, rapporteur
École doctorale
Unité de recherche
: Aéronautique-Astronautique
: Équipe d'accueil ISAE–ONERA MOIS
Directeur de thèse : M. Mohamed Masmoudi
Co-directeur de thèse : M. Jean Hermetz

Remerciements
Ce n'est pas une chose simple de résumer ici, en quelques lignes, combien ont pu compter
pour moi les personnes qui ont participé de près ou de loin à ce doctorat, que ce soit en travaillant
avec moi, ou bien en partageant des instants de vie.
Je remercie...
... tout d'abord Mohamed Masmoudi, mon directeur de thèse, pour sa conance et pour
m'avoir permis de mener cette thèse au bout.
... mes encadrants à l'Onera, Nathalie Bartoli et Jean Hermetz, pour leur conseils concernant
l'optimisation et la conception des avions, pour avoir fait une relecture méticuleuse
du manuscrit de thèse, et surtout pour leur soutien.
... Patrick Siarry et Jean-Antoine Désidéri pour avoir accepté d'être mes rapporteurs de
thèse, et pour avoir jugé mon travail de doctorat avec la plus grande attention.
... Philippe Dépincé et Thierry Druot pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse.
... Grégoire Casalis, directeur de l'école doctorale ED-AA, ainsi que Maryse Herbillon et Annie
Carles-Baillé pour tous les services rendus.
... l'ensemble des personnes avec qui j'ai été amené à travailler au cours de ces trois années
et demi, et avec qui j'ai participé aux projets DOOM et OMD-RNTL, en particulier
Christophe Blondeau et Jean-Sébastien Schotté pour leurs échanges sur la MDO, Sébastien
Defoort, et Yogesh Parte pour son sérieux et son enthousiasme.
... l'équipe du DPRS/SAE, Bruno Lamiscare, Thomas(s), Martin, Louis, Peter, Jean-Louis,
Yaz, Murielle, Sébastien, Armand, ainsi que tous les nouveaux embauchés, jeunes et plein
d'avenir comme Michel ; l'équipe DTIM/M2SN, Pierre Mazet, François Rogier, Manuel
Samuelides, Dominique Kalfon, Guillaume, Patricia, Vincent ; et toutes les personnes de
l'institut de mathématiques de Toulouse, dont Jérôme, Sophie, Marc, Jean-Luc, Nadia,
Samy, Didier, Delphine. Un remerciement particulier à Noëlle Desblancs, secrétaire du
DPRS, ainsi qu'à Monique Perron pour leur enthousiasme et leur énergie.
... toutes les personnes, avec qui j'ai pu partager l'intimité de mon bureau et mon quotidien,
à commencer par François avec qui les échanges furent riches sur les mathématiques,
le jonglage (5 balles), l'acrobatie, l'escalade et le dessin, Mathieu, Laurent (3 balles), et
Franck (4 balles) pour ses précieux conseils concernant les avions, ses discussions sur la
vie, l'univers et tout le reste.

ii
... tous les doctorants de l'Onera, en particulier, Éric, Laurence, Antoine, Edouardo, Jean-
Baptiste, Cédric, Florent, Mickel, Laurent, Romain pour le squash, Stéphanie pour la
Danse, Julien, Domi, Sophie pour son énergie et sa joie de vivre inépuisable (mais alors
vraiment inépuisable [Tar07]), Pierre pour l'escalade et le cinéma.
... Nico (blond) pour toutes les fois où on a du sauver le monde, pour le séjour à Berlin, et
pour la soirée cirque présentée ensemble à Sup-aéro, Angel pour les semaines en espagnol
et les semaines en français, les potes de Sup-Aéro, Romain, Fabien, Pierre-Yves et les autres.
... tous les toits qui m'ont abrité au cours de cette thèse, et les personnes qui étaient dessous
avec moi : l'INSA avec Sze Ming ; la Tannerie avec Manu, Vincent, puis Gatien puis Seb ;
re l'INSA ; rue Cujas chez Julie ; et enn la maison rue Santos Dumont avec, encore une
fois Manu et Vincent, Nico (roux), Nacho, Aline, Miguel, Yannick, Antoine. Merci pour
tous les moments partagés, les repas, les fêtes et les dimanches après-midi sous la pluie.
... le LIDO, école de cirque de Toulouse, pour tous ces moments magiques que sont les essais
de cirque le mercredi soir, en en particulier Carlos, Sylvain, Isa, Yann, Héloïse, Cola, Lucia,
Rauni, Raoul, et tous les autres.
... Enrique Fraga pour les cours d'espagnol, Louise et Félicie pour les cours de dessins, Guy
de Toulza pour les cours d'histoire de l'art et Emmanuel Zenou pour les cours en traitement
d'image.
... les compagnons de galère Rémi et Jéré, toujours là pour aider à ramer.
... Guillaume qui m'a montré sa conance et son amitié en me faisant témoin de son mariage.
... Irène pour son café le dimanche matin à Saint Aubin.
... tous les gens qui m'ont été important et qui m'ont marqué pendant ces trois années et
demi, Gégé, Thomas, Anaïs, Jérôme, Gilles, Georey, Kako, Sarah, Maude(s), Gaëlle et
Godot, Typhaine et Elia, Violette, Thomas et Amandine, Romain, Coralie, Sophie, Carmen,
Maélis, Molej, Bruno(s), Charlotte, Guillaume, Le petit Manu, Totom, Seb de Boudu,
Rémi et Elise, Christelle, Guislain et Sonia, Julien, Camille(s), Etienne(s), Aude, Alex(s),
Victor, Louis, Henri, les funkyroots du luberon, Mathieu, Chiara, Yuki, Marguerite, Yrja,
Marion, Claire, Nadia et sa famille, Estelle, Mathilde, Paul, Gé, Jonas, Garet, Amy, Odile,
Aude et Arnaud, Arthur, Hélène, Irène, Ludovic, Chin, Laure(s), Borja, Sylvie, Ines Efron,
Olivier, Sonia, Juliana, Max, Yannick, la famille Roussier-Michon et tous les autres. . .
... et toute ma famille.

Résumé :
L'optimisation multi-disciplinaire propose des solutions aux problèmes de conception de systèmes
complexes. Le terme optimisation multi-disciplinaire laisse sous-entendre à tort qu'il ne
s'agit que d'un problème d'optimisation. Nous lui préférons ici le terme de conception collaborative.
En eet, l'optimisation ne représente qu'un aspect, qui ne peut être séparée du reste
du problème de conception. Le but n'est pas de créer un processus automatique, mais de faciliter
les échanges entre les équipes des diérentes disciplines.
De nombreuses méthodes, appelées communément formulations MDO (de Multi-Disciplinary
Optimization), apparaissent dans la littérature (MDF, IDF, AAO, BLISS, CO). Elles proposent
des stratégies permettant, d'une part, d'assurer la cohérence de la description du système complexe
et, d'autre part, d'eectuer la recherche de la conguration optimale. Dans un premier
temps, nous dressons un état de l'art des formulations MDO. Nous mettons en avant leurs points
communs et leurs diérences, an de proposer une implémentation de la manière la plus générale
qui soit. Ces méthodes sont construites avec le même noyau, ce qui permet de passer de l'une à
l'autre avec une grande exibilité.
Nous proposons, avec la méthode DIVE (Discipline Interaction Variable Elimination), un
cadre d'utilisation de méta-modèles au sein des formulations MDO. Le méta-modèle peut se
limiter à une approximation linéaire ou quadratique. Il peut s'appuyer sur des méthodes classiques
d'apprentissage, telles que les réseaux neuronaux, le Krigeage ou la SVM. Il peut également
faire appel à des techniques de projection sur des sous-espaces telles que la méthode POD.
Chaque méta-modèle est accompagné d'une région de conance qui en détermine la validité.
Cette approche par approximations locales et successives permet d'aborder les problèmes de
grande dimension.
Nous présentons des résultats obtenus avec deux cas-tests d'avions d'aaires supersoniques
obtenus sous deux environnements diérents (Scilab et ModelCenter).
Mots-clés : optimisation multi-disciplinaire, conception avion avant-projet, méta-modèles.

Abstract :
Multidisciplinary optimization proposes solutions for complex system design problems. The
name multidisciplinary optimization is often taken literally. We prefer to call it collaborative
design optimization. Indeed, the optimization tool is only one part which can not be separated
from the total design process. The goal of collaborative optimization is not to create an automatic
design process based on optimization algorithms but to allow easy interaction amongst teams
from dierent disciplines.
Many methods, commonly called MDO formulations (of Multi-Disciplinary Optimization),
appear in literature (MDF, IDF, AAO, BLISS, CO). They propose strategies making it possible,
on the one hand, to ensure the coherence of the complex system description, on the other hand,
to carry out the research of the optimal conguration. Initially, we draw up a state of the art
of MDO formulations. We show up their common points and dierences. Then we propose an
implementation in the most general way. These methods are built with the same core, which
makes it possible to pass from the one to the other with a great exibility.
We propose, with the DIVE method (Discipline Interaction Variable Elimination), a framework
for using surrogates models within MDO formulations. Meta-model can be limited to a
linear or quadratic approximation. It can be based on traditional learning methods, such as
neural networks, Kriging or SVM. One can also use projection techniques such as POD. The
meta-model provides an area of condence which determines its validity. This approach by local
and successive approximations makes it possible to tackle problems with a large number of
variables.
We have results obtained with two test-cases of supersonic business jet whitin two dierent
frameworks (Scilab and ModelCenter).
Key words : multidisciplinary optimization, conceptual aircraft design, meta-models.

Table des matières
v
Table des matières
Introduction 1
1 La conception d'un avion en phase avant-projet 7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Présentation générale de la conception avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Démarche de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet . . . . . . . . . . . 15
1.2 Le cas-test Sobieski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Le cas-test Dassault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire 29
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Outils et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Calcul des gradients (GSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Dénition de l'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Méta-modèles disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 AAO : All-At-Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 CO : Collaborative Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6 BLISS 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination . . . . . . . . . . . . 51
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vi
Table des matières
3 Implémentation des formulations MDO 57
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 Implémentation sous ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1 Les composants discipline du cas-test SSBJ . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.4 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Implémentation sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Principes repris de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.2 Implémentation des formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.3 Cas particulier de BLISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Outils supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Interface graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Résultats obtenus avec les formulations MDO 75
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.4 DIVE (sans méta-modèle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.5 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Coecients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.5 Coecients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Conclusion générale et perpectives 107
A Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS 111
A.1 Optimisations disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2 Optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.2.1 Calcul de la dérivée de f par rapport aux variables globales z . . . . . . . 112
A.2.2 Calcul de la dérivée de g par rapport aux variables globales z . . . . . . . 114
A.2.3 Problème d'optimisation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Table des matières
vii
B Algorithmes d'optimisation 117
B.1 Algorithme de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front de Pareto) . . . . . . . . . 118
B.3 Optimiseur LIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Références bibliographiques 123

1
Introduction
Dénition de l'optimisation multi-disciplinaire
La conception de système complexe (avions, hélicoptères, drones, etc. . .) est un sujet d'optimisation
multi-disciplinaire par excellence. La recherche de la meilleure performance, de la
meilleure qualité, au meilleur coût, est un enjeu majeur dans le domaine aérospatial. La maîtrise
de la conception et de la mise en ÷uvre des engins volants est primordiale. Chaque erreur peut
avoir des conséquences graves d'un point de vue économique ou opérationnel.
La complexité de cet exercice provient de plusieurs facteurs que nous allons énumérer cidessous.
• Il y a un grand nombre de domaines d'expertise ou disciplines impliqués.
La modélisation des phénomènes qui régissent le système complexe demande un eort
conséquent, et sollicite un grand nombre de domaines physiques (par exemple la mécanique
des structures, la mécanique des uides, la thermodynamique pour la propulsion).
Il existe des interactions entre ces diérents domaines, et il va falloir trouver un équilibre
entre les réponses des disciplines, an d'obtenir une description cohérente du système.
Les compétences et les modélisations disponibles dans chaque discipline ou sous-système
sont maîtrisées par des services spéciques, qui peinent à collaborer étroitement, non
par volonté délibérée, mais par la confrontation de cultures diérentes et une certaine
méconnaissance des contraintes et de la complexité des domaines voisins.
• Les temps de calcul des codes décrivant la physique des disciplines sont importants. Ils peuvent
également requérir une intervention humaine pour la bonne conguration des conditions
de calcul. Cela ne les rend pas toujours compatibles avec un processus d'optimisation.
• Les codes décrivant la physique des diérents domaines peuvent être entachés d'erreurs,
et posséder des imprécisions ou des irrégularités, ce qui va compliquer la recherche d'une
conguration optimale.
Le terme optimisation multi-disciplinaire laisse sous-entendre à tort qu'il ne s'agit que
d'un problème d'optimisation. Nous lui préférons ici le terme de conception collaborative. En
eet, l'optimisation ne représente qu'un aspect, qui ne peut être séparée du reste du problème
de conception (qui concerne avant tout les interactions entre les disciplines qui composent le
système). Le but n'est pas de créer un processus automatique, mais de faciliter les échanges
entre les équipes des diérentes disciplines.
On cherche à dénir un cadre qui permette de faciliter les échanges entre les diérentes disciplines,
an d'aider à la recherche de congurations optimales et à l'obtention de compromis entre

2 Introduction
les besoins des diérentes disciplines. Les décisions importantes concernant les congurations à
retenir sont bien évidemment laissées au jugement des acteurs de la conception.
L'optimisation multi-disciplinaire va essayer d'appuyer le processus de conception avec des
méthodes de natures diérentes.
• Recherche de l'équilibre entre les disciplines : il convient tout d'abord de clarier
quelles seront les variables qui participent à l'interaction entre les diérentes disciplines.
Par exemple, si deux disciplines échangent un nombre très important de variables (les
noeuds d'un maillage par exemple), il convient de les considérer comme une seule discipline.
L'équilibre entre ces deux disciplines sera obtenu avec une méthode appropriée. On
diminuera ainsi la complexité de l'échange entre les disciplines au niveau global. L'équilibre
entre les diérents domaines peut être obtenu par plusieurs méthodes. On peut le
voir comme un problème d'optimisation, ou bien comme l'ajout d'une contrainte supplémentaire
au niveau de l'optimiseur global. Pour un système complexe donné, il faut être
capable de choisir la méthode la plus appropriée pour résoudre le problème de cohérence
interdisciplinaire.
• Maîtrises des outils d'optimisation : pour la recherche de la conguration optimale,
les diérentes techniques d'optimisation doivent être considérées (optimisation à base de
gradient, algorithmes génétiques, méthodes locales ou globales). Il convient de trouver la
méthode la plus adaptée au problème de conception posé, an de le résoudre de la manière
la plus ecace qui soit.
• Dénition du rôle des disciplines : les sollicitations des disciplines peuvent être de
natures diérentes :
les disciplines contribuent seulement à la description des phénomènes physiques, et les
principaux choix de conception se font au niveau système, il s'agit d'analyse distribuée
;
les variables qui ne concernent que la discipline en question sont utilisées pour optimiser
localement les sorties de la discipline concernée. On parle alors de conception
distribuée : ici les disciplines participent aux choix de conception en agissant sur les
variables qui leur sont propres, et le niveau système assure que l'optimisation se déroule
bien dans le sens de l'objectif global.
• Utilisation de méta-modèles : an de faciliter l'échange entre les disciplines, il est
intéressant de pouvoir remplacer les codes de calculs souvent très gourmands en temps
d'exécution par des méta-modèles 1 . Ces substitutions permettent d'avoir une réponse quasi
instantanée et permettent ainsi un échange uide entre les disciplines. An de garder un
sens physique au niveau des réponses des disciplines, il est primordial que les méta-modèles
soient adaptés à la discipline considérée, ainsi qu'à la conguration étudiée. Il faut pour
cela des méta-modèles qui s'adaptent et qui se réactualisent en fonction des réponses des
codes de calculs plus ns. On arrive ainsi à des résultats précis sur les sorties des disciplines
lorsque l'on atteint la solution optimale. Les méta-modèles permettent aussi parfois
de régulariser les sorties des disciplines, et de faciliter ainsi la tâche à l'optimiseur.
1 Méta-modèles : ces modèles simpliés permettent d'obtenir des réponses en un temps raisonnable. En contrepartie,
la délité des réponses est dégradée. Ces méta-modèles peuvent tenir compte de la physique en jeu ou
non

3
Nous dénissons par stratégies pour l'optimisation multi-disciplinaire (plus communément
appelées formulations MDO 2 ) les méthodes qui utilisent ces diérents outils, an d'aider à la
recherche d'une conguration optimale.
Base documentaire sur l'optimisation multi-disciplinaire
L'optimisation multi-disciplinaire était peu représentée dans la littérature, mais les dernières
années ont vu paraître de nombreux papiers sur le sujet. Nous les classons ici en trois catégories.
Nous présentons tout d'abord les publications qui donnent une vue d'ensemble de l'optimisation
multi-disciplinaire, ainsi que des challenges actuels dans le domaine. Puis nous montrons quelques
articles qui décrivent une stratégie d'optimisation multi-disciplinaire en particulier. Enn, nous
donnons certaines références pour les sujets connexes à la MDO, tels que les algorithmes d'optimisation
ou les méta-modèles.
• Pour une vision globale de l'optimisation multi-disciplinaire, nous proposons plusieurs publications.
Les articles [SH96, BG98, Bar98] dénissent la MDO de manière générale, ainsi
que son application pour les challenges industriels. On peut trouver une présentation des
diérentes méthodes pour la MDO dans [CDF + 93, AL00, Ale]. L'article [MAP05] propose
une revue des diérentes stratégies d'optimisation et traite de sujets connexes à la MDO,
comme l'importance de la dénition des paramètres ou l'application de la théorie des jeux
à l'optimisation multi-disciplinaire. Nous pouvons trouver aussi des cours qui présentent
les formulations MDO et montrent des résultats sur des exemples analytiques et appliqués
[Sim98, WW04].
• Certaines publications sont plus axées sur une formulation MDO en particulier.
Collaborative Optimization (CO) : nous pouvons trouver une description de cette méthode
dans [BGKS96, NMA99, AR00]. En particulier, l'article [Lin04] propose une analyse
théorique de cette approche.
Concurrent Sub-Space Optimization (CSSO) : une description, ainsi qu'une implémentation
de cette méthode sous iSight, sont données dans [TNRB98].
Bi-Level Integrated System Synthesis (BLISS) : il existe de nombreuses publications
sur cette méthode. La version de base est présentée dans [KRS + 04]. Une autre version
utilisant les méta-modèles est décrite dans [Alt02]. La méthode BLISS 2000, qui propose
une généralisation de l'utilisation des méta-modèles, est décrite dans [Agt00].
Discipline Interaction Variable Elimination (DIVE) : [MP06] propose un cadre nouveau
d'utilisation des méta-modèles pour l'optimisation multi-disciplinaire.
D'autres articles présentent les développements récents et proposent une approche différente.
Il existe d'autres modes d'organisation de la conception qui ne sont pas basés
sur un découpage disciplinaire, mais sur une organisation hiérarchique et sur une restriction
de la communication entre les diérents niveaux [MP00]. Une méthode telle que
ATC (Analytical Target Cascading) [Kim01, MP00, MKP99] est plus appropriée dans
ce cas d'organisation hiérarchique. La comparaison des méthodes ATC, CO et d'autres
approches, est exposée dans [All04]. Une nouvelle méthode basée sur ATC et CO est
exposée dans [AKZP05].
• Enn, l'optimisation multi-disciplinaire requiert plusieurs outils qui sont décrits dans la
littérature.
2 MDO : multi-disciplinary optimization ou optimisation multi-disciplinaire

4 Introduction
Algorithmes d'optimisation : les principales méthodes utilisées en optimisation sont
présentées dans [Van01b, Gui03]. L'algorithme SQP qui sera utilisé dans la thèse est
décrit dans [Law01, Ber04]. Des éléments d'optimisation multiobjectif sont donnés dans
[SC02].
Global Sensitivity Equation (GSE) ou calcul par l'adjoint : une description de cette
méthode de calcul de gradients est donnée dans [HBSS90, Cea86, MP01, Jam90].
La description et l'utilisation de méta-modèles fait l'objet de nombreuses publications.
Pour les méthodes de surface de réponse, nous pouvons nous référer à [CST00, Vap95,
Pla99]. Les méthodes tenant compte de la physique de la discipline, telles que les POD,
sont décrites dans [GM97].
Cadre de la thèse
La thèse se déroule dans le cadre de l'École Doctorale Aéronautique et Astronautique (EDAA)
de l'Institut Supérieur de l'Aéronautique et de l'Espace (ISAE). Elle est dirigée par le Professeur
Mohamed Masmoudi du laboratoire Mathématique pour l'Industrie et la Physique (MIP) de l'université
Toulouse III. Le travail de recherche est eectué au sein de l'Oce Nationale d'études
et recherches aérospatiales (ONERA). Il est encadré par Jean Hermetz, chef d'unité Système
AéronautiquEs du Département PRospectives et Synthèse (DPRS/SAE), et par Nathalie Bartoli,
ingénieur de recherche à l'unité Modélisation Mathématique et Numérique du Département
Traitement de l'Information et Modélisation (DTIM/M2SN).
La thèse se situe au coeur de deux projets sur l'optimisation multi-disciplinaire.
• Le projet DOOM (Démarche Outillée pour l'Optimisation Multi-disciplinaire).
De 2005 à 2008, l'ONERA a décidé de mettre un place le projet fédérateur pluriannuel
DOOM (Démarche Outillée pour l'optimisation Multidisciplinaire), an de mener une
réexion approfondie sur le thème de la MDO, en analysant diérentes formulations de
problèmes et diérentes techniques d'optimisation. Le but est de développer des outils
adéquats et de les tester sur deux cas d'application choisis dans les domaines avion et
missile. Ce projet a donné lieu à plusieurs publications internes :
[BS06] concernant les formulations MDO ;
[BKS06] concernant les algorithmes d'optimisation ;
[BSBM07] concernant les méta-modèles ;
[Mor06] concernant la conception avion.
• Le projet OMD-RNTL 3 .
Ce projet réunit plusieurs universités et centres de recherche français ( l'INRIA, l'université
Paul Sabatier de Toulouse au travers du laboratoire MIP, les Unités mixtes CNRS-Mines
de Saint-Etienne et CNRS-Ecole Centrale de Nantes, l'UTC, ENS à Cachan etc. . .), ainsi
que plusieurs industriels (Dassault, Astrium, Renault), an de mener une réexion globale
sur l'optimisation multi-disciplinaire. Le but ici est de confronter le savoir des acteurs
de la recherche aux problèmes rencontrés par les industriels. Ce projet a donné lieu à
la rédaction d'un ouvrage qui vient de paraître chez Hermes [OMD09] sur l'optimisation
multi-disciplinaire.
3 http ://omd.lri.fr

5
D'autres thèses concernant l'optimisation multidisciplinaire on été eectuées durant cette
thèse. Nous pouvons citer la thèse de Céline Badue [Bad07], la thèse de Yogesh Parte concerant
l'optimisation multi-disciplinaire et encadrée par M. Masmoudi et la thèse Optimisation
multidisciplinaire appliquée aux fusées lanceuses de satellites de Jérôme Picard.
Objectifs et apports de la thèse
Le but de cette thèse est d'étudier, d'implémenter, et de comparer les diérentes formulations
MDO présentes dans la littérature. Nous le ferons pour les méthodes MDF, IDF, CO, BLISS et
DIVE. Le cadre applicatif se situe dans la conception avion au stade avant-projet. Nous avons à
notre disposition deux cas-tests de ce type.
Nous proposons une vision des formulations MDO la plus générale possible. Toutes les méthodes
reposent sur le même noyau et penvent être implémentées modulo un certain nombre de
choix, ce qui nous permettra de passer de l'une à l'autre avec une grande exibilité.
Notre contribution consiste à proposer un cadre pour l'utilisation de méta-modèles disciplinaires
au sein du problème de conception. Nous donnons aux méta-modèles un sens général,
commençant par les approximations linéaires ou quadratiques, en passant par les méthodes de
surfaces de réponses (krigging, réseau de neurones) et les réductions physiques de modèles (POD),
et même en considérant le modèle exact, lorsque le code présente une exécution rapide.
Le but de cette thèse n'est pas de faire une étude exhaustive sur les méta-modèles. L'idée
importante que nous souhaitons montrer est la viabilité de l'utilisation de méta-modèles disciplinaires
dans le cadre de l'optimisation multi-disciplinaire. Nous chercherons à prouver l'ecacité
de ce principe avec un exemple des plus simples qui soit, c'est-à-dire en utilisant des méta-modèles
linéaires. Ces méta-modèles présentent l'inconvénient de n'être valides que dans une petite région
de conance, mais cette région peut s'adapter au processus d'optimisation et on s'aranchit de
la dimension du problème.
Si l'on montre que cette méthode fonctionne avec des méta-modèles très simples, on peut
espérer qu'elle marchera d'autant mieux avec des méta-modèles plus perfectionnés. Le choix du
méta-modèle sera par la suite laissé aux soins de la discipline, qui saura proposer le méta-modèle
le plus adapté.
Plan de la thèse
Nous allons tout d'abord donner dans le chapitre 1 une vue générale de la conception avion
au stade avant-projet. Nous y présentons les diérents domaines qui interviennent, la démarche
de conception qui peut être découpée en plusieurs phases, et les paramètres qui peuvent servir de
variables de conception en phase avant-projet. An d'illustrer cette problématique de conception,
deux cas-tests de type avion d'aaires supersonique sont introduits. Ils permettent de décrire le
comportement physique de l'avion pour un nombre limité de paramètres, et de tester diérentes
stratégies d'optimisation, qui appuieront la recherche de compromis.
Nous donnons dans le chapitre 2 un cadre général pour l'optimisation multi-disciplinaire et
nous présentons plusieurs formulations MDO. La première partie du chapitre présente les éléments
qui constituent ces méthodes : les diérents types de variables, le problème d'équilibre
interdisciplinaire, les méthodes de calcul de gradients, le problème d'optimisation associé au
problème de conception et les méta-modèles disciplinaires. Dans une deuxième partie, nous allons
expliciter certaines formulations MDO, à savoir MDF, IDF, AAO, CO, BLISS, BLISS 2000
et DIVE.

6 Introduction
Nous décrivons dans le chapitre 3 l'implémentation des formulations MDO avec deux environnements
diérents : ModelCenter, qui est un logiciel facile d'utilisation et très pratique pour
la MDO, mais payant, et Scilab, un logiciel libre.
Dans le chapitre 4, nous analysons les résultats obtenus avec les environnements et les cas-tests
présentés auparavant, et nous cherchons à en tirer des conclusions sur l'ecacité des diérentes
formulations MDO et plus particulièrement sur la viabilité de l'utilisation de méta-modèles disciplinaires.
Enn, nous essayons en conclusion générale de proposer notre vision de l'optimisation multidisciplinaire,
et de donner quelques perspectives sur ce que pourrait être la suite de travail de
recherche.
En annexe, nous précisons la construction des fonctions objectifs et contraintes pour la méthode
BLISS, et nous détaillons quelques algorithmes d'optimisation.

Chapitre 1
La conception d'un avion en phase
avant-projet
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Présentation générale de la conception avion . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Démarche de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet . . . . . . . . . . . . 15
1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet . . . . . . . . . . 15
1.2 Le cas-test Sobieski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Le cas-test Dassault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 La conception d'un avion en phase avant-projet
Introduction
La conception d'un avion est une démarche qui consiste à trouver un compromis entre les
demandes des utilisateurs et ce que permettent de réaliser les moyens actuels. Ces demandes
peuvent provenir des compagnies aériennes pour le transport de personnes et de marchandises,
des besoins militaires avec les avions de combat et les drones, etc. . .
Avant même de construire l'engin volant, on doit être capable de le modéliser par des moyens
informatiques, an d'évaluer la viabilité du projet :
en terme physique : l'avion proposé est-il capable de répondre aux objectifs qui lui sont
demandés ?
en terme économique : son utilisation commerciale est-elle viable et permet-elle d'assumer
ses coûts de conception, de construction, d'utilisation et d'entretien ?
en terme écologique : est-il conforme aux normes environnementales sur la pollution,
s'inscrit-il dans une démarche de développement durable ?
Cette modélisation va solliciter diérents domaines de la physique, tels que la mécanique des
structures, l'aérodynamique, l'énergétique et la propulsion, l'acoustique, etc. . . Il va falloir être
capable de marier toutes ces disciplines an d'obtenir une description cohérente et able des
performances estimées de l'avion.
Les codes de calcul qui traduisent la modélisation de ces diérentes disciplines sont rapidement
gourmands en temps d'exécution. An de faciliter les échanges entre les diérents domaines,
on doit pouvoir disposer de codes plus simples, traduisant une modélisation approchée, rendant
compte des tendances principales au premier ordre, mais dont les temps d'exécution permettront
d'eectuer le calcul de ces disciplines couplées. Ces méta-modèles doivent s'adapter à la
conguration étudiée an de pouvoir donner des résultats cohérents.
La conception avion se déroule généralement en trois phases :
la phase de conceptual design, ou d'étude de concept permet d'évaluer des concepts d'avions
diérents et de déterminer les grandes tendances des performances estimées pour un nombre
restreint de paramètres inuant au premier ordre ;
la phase de preliminary design, ou d'étude préliminaire sert à déterminer la viabilité d'un
concept et de l'améliorer dans un voisinage restreint ;
la phase de detailed design ou de conception détaillée étudie en détail une conguration
donnée et permet de préparer la fabrication de l'engin volant.
Le nombre de paramètres considérés augmente à chaque phase 1 . Ces paramètres sont le fruit
de l'expérience acquise par les concepteurs au cours des années.
Une vision globale de la conception avion est donnée dans la section 1.1. Nous y présentons les
diérents domaines qui interviennent (cf section 1.1.2), puis la démarche de conception selon ces
diérentes phases (cf section 1.1.3), et enn nous exposons les diérents paramètres qui peuvent
servir de variables de conception en phase avant-projet (cf section 1.1.4).
An d'illustrer cette problématique de conception, deux cas-tests de type avion d'aaire
supersonique sont introduits. Ils permettent de décrire le comportement physique de l'avion pour
un nombre de paramètres limités, et de tester diérentes stratégies d'optimisation qui appuieront
la recherche de compromis. Ils sont décrits dans les sections 1.2 et 1.3. Pour chacun d'entre eux,
nous donnons une description des diérentes disciplines qui le composent et nous exposons le
problème d'optimisation associé.
1 Le plus souvent, ce sont les paramètres locaux qui augmentent. Ils peuvent aussi changer de nature. Par
exemple, un paramètre scalaire en phase de conceptual design peut devenir un vecteur en phase de preliminary
design.

1.1 Présentation générale de la conception avion 9
1.1 Présentation générale de la conception avion
1.1.1 Avant propos
Les systèmes aéronautiques, avions, hélicoptères, drones notamment, sont le fruit de compromis
techniques et économiques. Ces derniers sont établis sur la base d'un cahier des charges
contenant les principales spécications correspondant au besoin de l'utilisateur à couvrir. La
recherche de ces compromis est typiquement l'activité du concepteur : il va chercher les meilleures
congurations possibles au travers d'une approche heuristique mêlant expertise et techniques
d'optimisation. Les résultats obtenus et leur analyse peuvent alors conduire à une éventuelle
remise en cause des spécications initiales, traduisant le besoin exprimé par le client (ou issue de
l'analyse de marché). Le schéma 1.1 illustre cette démarche globale. Le bouclage entre l'analyse
des résultats de conception et le besoin utilisateur constitue la recherche du meilleur compromis.
✲
Spécications
Besoin utilisateur
✲
❄
Conguration
✻
Évaluation
✛
Fig. 1.1 Processus global de conception système.
Dans les grandes lignes, le besoin utilisateur (ou besoin opérationnel) évoqué ci-avant correspond
à l'obtention d'une performance minimale, pour un emploi particulier déni, en respectant
des contraintes d'emploi, réglementaires et de sécurité. Par exemple, on souhaite concevoir
un avion transportant n passagers et capable d'atteindre une distance franchissable donnée.
L'obtention de cette performance est généralement assujettie à la minimisation d'un paramètre
économique, proche de la notion de coût : selon la destination opérationnelle du véhicule, on
parlera de coût de possession (par exemple pour un véhicule militaire) ou de coût opérationnel
direct (DOC 2 ) pour les appareils civils.
Cette notion de coût doit être comprise au sens large : aujourd'hui, les impératifs de développement
durable introduisent dans celui-ci des notions d'impact écologique, dont la traduction est
essentiellement liée à la mise en place de taxes (taxe carbone, taxe d'atterrissage pour l'aide
aux riverains pour l'isolation acoustique). On notera que ces deux exemples typiques d'impact
environnemental peuvent être eux-mêmes des objectifs de conception.
On établit ainsi tous les éléments d'une optimisation sur lesquels un concepteur va s'appuyer :
fonction(s) à optimiser, contraintes à satisfaire. Il reste à préciser, d'une part, quels sont les
paramètres de conception sur lesquels il va pouvoir jouer, et, d'autre part, quelle sera la démarche
suivie pour aboutir à l'émergence des meilleurs compromis.
2 DOC : Direct Operating Cost.

10 La conception d'un avion en phase avant-projet
1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ?
Il y a plusieurs façons d'aborder la conception avion. Selon la section précédente, elle doit
aboutir à un appareil atteignant certaines performances, qui constituent soit un objectif de
conception, soit une contrainte à satisfaire (par exemple la vitesse minimale d'approche ou la
distance de décollage).
Prenons un exemple simple : un avion civil est généralement conçu pour emmener d'un point
A à un point B des passagers, il doit donc disposer d'une distance franchissable R que l'on peut
approcher à l'aide de l'équation de Bréguet :
R = F.V
g.C s
ln( M i
M f
). (1.1)
Cette performance, fondamentale pour des appareils commerciaux civils, dépend :
de l'aérodynamique du véhicule au travers de la notion de nesse F (rapport du coecient
de portance sur le coecient de traînée) ;
de sa vitesse de vol V ;
de la consommation spécique du moteur C s ;
de sa masse, au sens large, intégrant la charge utile, mais aussi et surtout sa masse propre
(ou masse à vide équipée/en ordre d'exploitation), qui se décline ici en masse en n de vol
(M f ) et masse au début du vol (M i ),
de g, l'accélération gravitationnelle (g = 9.81m.s −2 ).
L'aérodynamique du véhicule, comme sa structure, dépendent des dimensions de l'appareil.
L'impact de celles-ci sur les caractéristiques correspondantes, ici aérodynamiques et massiques,
est établi au travers de modèles qui traduisent une certaine représentation de la physique
en jeu. Ces modèles établissent le lien entre les paramètres qui décrivent l'avion, que l'on peut
également qualier de variables de conception, et les performances calculées.
D'autres caractéristiques, mises sous la forme de contraintes à respecter, proviennent de
diérentes disciplines, comme par exemple l'empreinte acoustique.
Généralement, on désigne par discipline un domaine d'expertise particulier. Cela peut correspondre
à un domaine physique, comme la mécanique des uides par exemple, ou bien à un
sous-système regroupant plusieurs domaines physique.
La discipline aérodynamique
Cette discipline fournit des caractéristiques de deux types diérents :
aérodynamique basse vitesse pour les performances au décollage (et montée) et à l'atterrissage
(et en approche) ;
aérodynamique en croisière : subsonique ou transsonique pour les avions commerciaux
actuels, supersonique pour les appareils de combat, bas subsonique (ou subsonique incompressible)
pour les avions légers, etc. . .
Selon les besoins et les missions, ces modèles peuvent être capables de restituer des caractéristiques
instationnaires de façon à représenter des phases transitoires requises pour des
aspects relevant de la dynamique du véhicule.
La discipline structure
La masse d'un système mécanique, quel qu'il soit, est le résultat du dimensionnement de ses
constituants assurant la reprise d'eort que cette structure subie. En première approche,
les eorts sont liés à :
la gravité, naturelle ou augmentée par les man÷uvres que l'appareil est susceptible de
faire (on parle de charges) ;

1.1 Présentation générale de la conception avion 11
la pression dynamique exercée par l'air et dépendant des conditions de vol (vitesse et
altitude) ;
les conditions atmosphériques pouvant être rencontrées sur l'ensemble du domaine de vol
de l'appareil, qui vont notamment dénir les eorts liés aux rafales. Ce domaine est tantôt
le résultat de compromis entre performances, coûts, et respect des contraintes réglementaires
pour les avions commerciaux, tantôt imposé par des considérations opérationnelles
pour les avions militaires ;
des considérations en rapport avec la charge marchande : les passagers requièrent des
conditions de confort (conditionnement d'air et pressurisation) qui sont dimensionnantes
pour la structure de l'appareil ;
les man÷uvres, décidées par le pilote, qui agissent indirectement sur la nature de la
charge mais qui induisent également des eorts locaux de déformation des structures (par
exemple déformation en torsion d'une voilure sous l'action de braquage d'un aileron).
On pourrait ajouter d'autres considérations liées à l'échauement cinétique (pour le vol
supersonique ou hypersonique) et toutes les contraintes logistiques. On notera également
que se cachent derrière la discipline structure plusieurs autres domaines ou disciplines,
comme les matériaux, les techniques de fabrication et de maintenance, etc. . .
La discipline performance opérationnelle
En plus du rayon d'action donné par la formule de Bréguet (voir équation (1.1)), de nombreuses
performances sont attendues généralement d'un appareil. Leur calcul se fait en
considérant en quelque sorte l'avion comme un point matériel (son centre de gravité) et en
s'intéressant exclusivement à la trajectoire de celui-ci. On considère donc généralement des
performances établies sur la base :
des équations de la mécanique du vol issues du principe fondamental de la dynamique :
mise en relation des forces de propulsion et aérodynamiques et des forces liées à la gravité
et à l'inertie, l'appareil étant supposé en régime permanent équilibré ;
de l'équation diérentielle de consommation instantanée : C = − dM c
. Son intégrale sur
dt
la durée de la mission nous donne la masse de carburant M c consommée.
Naturellement, l'examen des besoins conduit à la dénition de niveaux de performances
spéciques aux missions à remplir. Si l'on reste sur les avions civils, on considère généralement
:
les performances pour une trajectoire donnée, c'est-à-dire les taux de montée, consommation
en croisière (distance franchissable), consommation en phase d'attente (durée de
vol) ;
les performances de décollage (longueur de piste au décollage, distance d'accélérationarrêt),
et d'atterrissage (vitesse d'approche, distance d'atterrissage).
Ces performances sont analysées pour diérentes conditions atmosphériques (temps chaud
ou froid, aérodrome en altitude, etc. . .), et pour diérentes conditions d'utilisation (vol à
pleine charge, moteur en panne si il y en a plusieurs, etc. . .).
La discipline qualité de vol
Celle-ci s'intéresse au comportement de l'avion autour de son centre de gravité, donc à ses
capacités à man÷uvrer. Au travers des équations de la mécanique du vol, cette discipline
intègre tous les facteurs conditionnant les mouvements de l'appareil : matrice d'inertie, amplitude
et variation des forces aérodynamiques et de propulsion et paramètres de commande
(par exemple, les eorts aérodynamiques liés à une action du pilote au travers d'une gouverne).
Ces qualités de vol sont examinées pour diérentes conditions de vol. Elles doivent

12 La conception d'un avion en phase avant-projet
répondre à des niveaux d'exigences liés à l'emploi du véhicule : on ne demandera pas les
mêmes capacités de man÷uvre à un avion de type Airbus ou à un appareil de voltige.
La discipline énergétique et propulsion
Cette discipline englobe les caractéristiques et performances du groupe propulsif de l'appareil.
Un moteur est un système complexe en soi : il intègre les domaines cités auparavant :
aérodynamique (interne cette fois), structure et matériaux, combustion, thermique etc. . .
D'un point de vue système, la propulsion est vue de façon simpliée au travers d'une
représentation macroscopique (i.e. ne traduisant pas tous les détails techniques d'un moteur,
mais globalisant plutôt ses performances, par exemple la poussée fournie). Compte
tenu de l'importance grandissante de l'impact environnemental des avions, ce domaine est
plus que jamais fondamental pour la conception d'un avion.
La discipline acoustique
Les frottements aérodynamiques, internes (moteur) ou externes (cellule de l'avion), la combustion,
génèrent des ondes acoustiques intenses et multispectrales dont il est aujourd'hui
indispensable de tenir compte. L'impact acoustique est désormais considéré au même titre
que les autres contraintes opérationnelles et doit donc être envisagé au plus tôt dans la
conception d'un appareil.
La discipline thermique
L'importance de cette discipline dépend du type de système à concevoir. Les avions militaires,
par exemple, comme les missiles, vont connaître des écarts de température très
importants requérant une analyse thermique de leur structure. Pour un avion de transport
civil, les ux thermiques, bien que plus constants, imposent néanmoins des dispositifs de
conditionnement d'air et d'isolation non négligeables en termes de masse et d'encombrement.
Ce simple énoncé des disciplines intervenant dans la conception de systèmes aéronautiques
appelle plusieurs commentaires.
La délité des modèles : les modèles assurant les analyses disciplinaires peuvent être de niveaux
de délité variés. Par exemple, il existe plusieurs modèles, plus ou moins sophistiqués,
pour estimer la masse de structure d'une voilure soumise à des eorts dénis. Ces modèles
allant d'une simple loi issue d'observations expérimentales (analyse statistique, modèle
semi-empirique), à des calculs éléments nis en passant par des analogies de mécaniques
des solides (type modèle de poutre RDM 3 ). Le nombre de variables intervenant dans la discipline
augmente généralement avec la complexité du modèle. Les modèles statistiques se
contenteront de données dimensionnelles générales de la voilure (envergure, cordes, épaisseur
relative, èche etc. . .), soit quelques unités, alors qu'un modèle n de type éléments
nis. possède un nombre de variables qui augmente avec le ranement du maillage utilisé,
et la complexité des variables (nature des matériaux utilisés : métallique ou composite).
Selon les besoins, il faudra être capable de jongler entre les niveaux de délité. Par exemple,
lorsque l'on veut faire des calculs précis sur une conguration bien dénie, on doit disposer
de codes de haute délité qui permettront d'approcher au mieux la physique. Dans le
cadre d'une recherche de conguration optimale, on préfèrera utiliser des modélisations
simpliées, et plus enclins à répondre à un grand nombre de sollicitations en un temps
3 Résistance des matériaux.

1.1 Présentation générale de la conception avion 13
raisonnable. Au cours de l'optimisation, ces modèles simpliés pourront évoluer en tenant
compte des résultats obtenus avec les modèles de plus haute délité, an d'assurer une
certaine conance sur leurs sorties.
La nature des modèles : chaque domaine peut être abordé suivant plusieurs points de vue :
un point de vue analyse, où le modèle fournit une évaluation des performances pour des
caractéristiques données ;
un point de vue dimensionnement, où on attend du modèle local une proposition de
caractéristiques permettant d'optimiser un objectif propre à la discipline ou d'atteindre
une performance souhaitée.
L'interaction entre les modèles : nous pouvons considérer l'exemple de la discipline aérodynamique
et la discipline structure. La discipline aérodynamique calcule le champ de
pression autour de l'aile, pour des conditions de vol données. La discipline structure va
traduire ce champ de pression en eorts exercés sur l'aile et va dimensionner cette dernière
de manière à ce qu'elle résiste à ces eorts. La forme de l'aile ayant été modiée, le champ
de pression autour de l'aile le sera également. Il y a donc un équilibre à établir entre les
disciplines, an de dénir correctement la physique de notre problème.
La pluridisciplinarité des modèles : un modèle peut se situer à la jonction de plusieurs domaines.
À titre d'exemple :
le dimensionnement d'une structure se fait sur des contraintes de tenue statique et dynamique,
cette dernière pouvant être le lieu de sollicitations aérodynamiques périodiques
entrant en phase avec ses modes propres. On aborde ces phénomènes au travers d'une
discipline spécique, l'aéroélasticité, couplant structure et aérodynamique de façon intime
;
les nuisances sonores sont établies à travers la propagation d'ondes acoustiques dans un
environnement. Cette propagation est perturbée, en champ proche par l'avion, en champ
plus lointain par l'atmosphère généralement turbulente et siège de gradients thermiques
et éoliens. Il faut donc être capable de fusionner les deux disciplines en une seule appelée
aéroacoustique ;
le comportement de l'appareil et ses réponses aux sollicitations du pilote, automatique
ou non, est la conjonction de son inertie, de sa souplesse éventuelle et de la réponse des
gouvernes et actionneurs.
Ainsi, la conception d'un avion se trouve confrontée à l'association de nombreuses disciplines
couplées. Ces disciplines peuvent être chacune abordée de plusieurs points de vue et suivant
plusieurs niveaux de complexité. Le concepteur devra choisir parmi les diérents modèles proposés
par les disciplines en fonction de la délité requise sur les performances à calculer.
1.1.3 Démarche de conception
Découpage de la démarche de conception
La démarche de conception est conventionnellement séquencée en trois phases successives,
nommées respectivement conceptual design, preliminary design et detailed design. Chacune d'entre
elles ge progressivement la dénition du véhicule considéré. Elles s'appuient chacune sur un
processus de conception faisant intervenir des modélisations adaptées à ses objectifs propres. Le
schéma 1.2 issu de [Ray94] illustre leurs objectifs respectifs.
Chacune de ces étapes possède un rôle bien déni.
Étude de concept : (conceptual design) cette phase permet de réaliser les grands choix de
conception. Elle va permettre de se faire une première idée de la conguration de l'appareil,

14 La conception d'un avion en phase avant-projet
❅
Étude de concept
• Quelles spécications doit on suivre ?
❅
Spécications ❅ • À quoi le concept doit il ressembler ? Poids ? Coût ?
• Quels compromis doivent être pris en compte ?
• Quelles technologies doivent être utilisées ?
• Ces spécications mènent elles à des congurations
❛ ❛❛❛❛❛❛❛
faisable ? rentable ?
❛ ❛❛❛❛❛❛❛
❛ ❛❛❛❛❛❛❛
✦ ✦✦✦✦✦✦✦
Étude préliminaire
• Fixer la conguration
• Dénir la surface (lofting)
• Développer une base de données analytiques
• Concevoir les éléments majeur ?
• Développer un modèle analytique de calcul du coût
✦ ✦✦✦✦✦✦✦
Conception détaillée
• Concevoir les pieces à fabriquer
• Concevoir les procédés de fabrication
• Tester les principaux éléments
• Finaliser les estimations de poids
et de performances
Fabrication
✦ ✦✦✦✦✦
✦ ✦
Fig. 1.2 Phases de la démarche de conception [Ray94].
de ses principales dimensions et caractéristiques, comme le nombre de moteurs ou la nature
des propulseurs, le nombre de surfaces portantes et de contrôle etc. . ..
À ce niveau, la relative simplicité des modèles 4 permet des études paramétriques nombreuses
et variées, à même d'explorer toutes les options et de dégager les paramètres les
plus discriminants. On relèvera cependant que la qualité des réponses peut très rapidement
être mise en défaut lors de l'étude de nouveaux concepts et de nouvelles technologies, pour
lesquels la connaissance est parcellaire et peu able.
Étude préliminaire : (preliminary design) lorsque la conguration de l'appareil est gée dans
ses grandes lignes, cette phase vient préciser ses caractéristiques, avec un niveau de dénition
plus élevé et estimer de façon plus aboutie ses performances, en réponse aux spécications
initiales. Dans cette phase, la mise en ÷uvre d'outils et de modèles plus sophistiqués
requiert un eort de calcul plus conséquent : toute remise en cause des choix faits à l'étape
précédente est alors coûteuse.
4 Ces modèles peuvent être simples dans leur expression, mais traduire une connaissance solide, lorsqu'il s'agit
de technologies maîtrisées sur des types d'appareil bien connus.

1.1 Présentation générale de la conception avion 15
Conception détaillée : (detailed design) Cette phase prend le relais de l'étape précédente en
anant le véhicule au niveau requis pour lancer sa fabrication. C'est à ce niveau de connaissance
très intime du véhicule que la qualité des estimations est la plus proche de la
réalité. À ce niveau, toute remise en cause des choix faits aux étapes précédentes s'avère
extrêmement coûteuse, voire impossible.
Compte tenu de ses objectifs propres, chacune de ces phases va faire appel à un niveau de
connaissance et de modélisation adapté. La première d'entre elles doit explorer le domaine de conception
de la façon la plus vaste possible, quitte à estimer de façon peu dèle les caractéristiques
attendues, pourvu que leurs tendances restent acceptables. La seconde et la troisième doivent a
contrario analyser en détail une conguration, et, dans la mesure du possible, son voisinage, en
s'attachant à être le plus proche possible de la réalité physique du véhicule.
Cette présentation en phases reste arbitraire, bien que couramment admise et pratiquée. La
frontière entre les diérentes phases est généralement formalisée par chaque constructeur, en
fonction de son expérience et des savoir-faire internes à ses équipes.
La tendance actuelle, au travers des approches de conception, est triple :
formaliser et automatiser le processus de conception, et pour cela tenter de réduire les
délais de chacune de ces phases, et essentiellement de la seconde, de façon à réduire le cycle
complet de conception ;
faciliter les allers et retours entre les diérentes phases, de façon à disposer d'une meilleure
conance dans le calcul des performances du concept, sans pour autant ger la conguration
prématurément ;
conserver le plus longtemps possible des propositions alternatives, situation qui n'est actuellement
accessible qu'au niveau de la phase de conceptual design, mais qui peut être concrétisée
lorsque les deux points précédents sont maîtrisés.
1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet
Pour la conception d'un avion en phase d'avant-projet (ou phase de conceptual design), nous
allons limiter le nombre de paramètres servant à décrire l'avion. Ces paramètres proviennent en
général de l'expérience des concepteurs, et correspondent à ceux qui impactent au premier ordre
les objectifs de conception établis dans le cahier des charges. Nous allons présenter dans cette
section les principaux paramètres qui peuvent être utilisés comme des variables de conception,
dans le cadre plus précis de cas-tests de type avion d'aaires supersonique.
Les paramètres qui permettent de décrire la géométrie de l'avion sont illustrés sur la gure
1.3. Leur description, ainsi que celle de paramètres plus divers, sont données dans le tableau 1.1.
1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet
Nous donnons dans le tableau 1.2 certaines sorties que peuvent fournir les codes de conception.
Dans les sections qui suivent, nous allons illustrer la phase de conceptual design avec la description
de deux cas-tests d'avion de type SSBJ 5 . Ces deux cas-tests seront ensuite repris pour
illustrer les diérentes stratégies d'optimisation étudiées (cf chapitre 2).
5 SSBJ : Super Sonic Business Jet.

16 La conception d'un avion en phase avant-projet
D fus
✛ ✲
t
✻
.
❄
★
❅❅
.❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤✭
✧✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✛
✲
c
✻
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁ D mot
✛ ✲
.
✻
L mot
✁
.
❆ ✆
✻
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆ C r
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆
❆
✻
L fus
C tip
❄
❆
❆❆
❄
✆
✘✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘❳❳ ❄
❳❳
❳ ❳❳ Φ
❳ 100 ❳❳
❳
✛
b
✲
❄
❅❅
t der
.
✻
❄
★❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤✭
✧✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✛
✲
c der
❅ ❅
Φ 0
b der
✛Ctip
der
✲
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✁ ✁ ✟
✁
✟
✟
Φ der
0 ✟
Φ ✄ ☎
✟
der ✁ ✁ 100
✄ ☎✟
✟
✁
✟✟
✁
✛
✲
Cr
der
✻
❄
Fig. 1.3 Une possibilité de paramètres géométriques de l'avion.

1.1 Présentation générale de la conception avion 17
Type Nom Description
Géométrie
Voilure S surface de la voilure
b
envergure de la voilure
AR allongement relatif voilure(AR = b2 S )
C r corde à l'emplanture de l'aile
(généralement dans le plan de symétrie)
C tip corde à l'extrémité de l'aile
λ ou Xl w element (λ = C tip
C r
)
Φ 0 ou Λ èche en bord d'attaque voilure
Φ 100 èche en bord de fuite voilure
c
corde en une section de l'aile
t
épaisseur en une section de l'aile
épaisseur relative
t
c ou tw c
Dérive S der surface de la dérive
b der envergure de la dérive
AR der allongement relatif de la dérive
Cr
der corde à l'emplanture de la dérive
Ctip
der corde à l'extrémité de la dérive
λ der ou Xl t element dérive
Φ der
0 èche en bord d'attaque dérive
Φ der
100 èche en bord de fuite dérive
c der corde en une section de la dérive
t der épaisseur en une section de la dérive
der ou t t c épaisseur relative dérive
t
c
Fuselage D fus diamètre du fuselage
L fus longueur du fuselage
Moteur D mot diamètre du moteur
L mot longueur du moteur
Paramètres de vol
Divers
h
M
N mot
altitude de vol
nombre de Mach en croisière
nombre de moteurs
type de propulseur
architecture générale
(monoplan/biplan, etc. . .)
Tab. 1.1 Les paramètres de conception géométriques

18 La conception d'un avion en phase avant-projet
Discipline Nom Description
Structure
Propulsion
Aérodynamique
Performance
T OW ou W T
W F
W E
W W
W D
σ
Θ
masse totale au décollage
masse de carburant
masse des moteurs
masse des ailes
masse de la dérive
eorts physiques exercés sur l'avion
vrillage de l'aile
F
poussée
T emp température en sortie du moteur
SF C consommation spécique (Specic Fuel Consumption)
D
traînée
L
portance
L/D nesse
R
D décollage
V approche
rayon d'action
distance au décollage
vitesse en approche
1.2 Le cas-test Sobieski
Tab. 1.2 Les sorties des disciplines
Le cas-test d'avion d'aaires supersonique proposé par Sobieszczanski-Sobiesky [SAS98] est
dédié aux formulations MDO. Il permet la description et l'analyse simpliée des performances
d'un véhicule de type avion d'aaires supersonique. C'est un code de phase avant-projet (ou
conceptual design) et présente l'avantage de ne pas être coûteux en temps de calcul.
1.2.1 Description du cas-test
Le but de ce cas-test est de chercher la conguration qui maximise le rayon d'action R, tout
en respectant certaines contraintes disciplinaires.
Nous voyons sur le schéma 1.4 l'organisation du cas test.
Quatre disciplines composent ce cas-test. Les disciplines structure, aérodynamique et propulsion
sont couplées : les sorties de l'une seront des entrées pour les autres, et chaque variation dans
l'une va entraîner des changements pour les autres. La discipline performance prend en entrée
des sorties des trois autres disciplines pour calculer le rayon d'action. Chacune de ces disciplines
possède plusieurs types de variables :
les variables locales : ces variables sont propres à une discipline, par exemple l'element λ
pour la structure ;
les variables partagées : ces variables sont communes à deux disciplines au moins, comme
par exemple l'altitude h ;
les variables de couplage : certaines sorties de discipline sont des entrées pour d'autres. Par

1.2 Le cas-test Sobieski 19
Variables de conception
Codes de conception
W E ✛ ESF ✛ Propulsion
❄
✲ SF C
[t/c, h, M, AR, Λ, S ref ]
t/c, AR t/c, h, M
Λ, S ref AR, Λ, S ref [M, h] [M, h]
❄
Structure
❄
❄
✲ W ✲
T , Θ
W T , W F
[λ, x]
✻
❄
Aérodynamique ❄
❄
L ✛
✲ D
✲ L/D
✻
[C f ]
✻
❄
[T ]
❄
Performance
Optimisation
❄
σ 1→5 ≤ 1.09
0.96 ≤ σ ≤ 1.04
❄
❄
dp/dx ≤ 1.04 0.5 ≤ ESF ≤ 1.5
DT ≤ 0
T emp ≤ 1.02
❄
R
Fig. 1.4 Diagramme du cas-test Sobieski.
exemple, la masse totale W T est calculée par la discipline structure et sert d'entrée pour
la discipline aérodynamique.
Nous allons maintenant voir plus en détail chacune de ces disciplines.
La discipline structure
La discipline structure (cf tableau 1.3) a pour objectif de calculer les masses et les eorts
mécaniques subis par l'avion.
Elle prend en entrée les principales caractéristiques géométriques de l'appareil, telles que
l'allongement relatif AR, la èche Λ, l'épaisseur relative t/c et la surface de référence S REF . Ses
variables locales sont ici la section de caisson x et l'element λ.
Elle va calculer les contraintes subies par l'aile σ 1 → σ 5 , ainsi que l'angle de vrillage de la
voilure Θ, en fonction de la portance L fournie par la discipline aérodynamique et des dimensions
de l'avion. Elle va ensuite calculer la masse de carburant W F que peut contenir l'avion en fonction
des dimensions, et la masse totale W T , en fonction des dimensions, de la masse des moteurs W E
fournie par la discipline propulsion et de la masse totale estimée ŴT (ici égale à la portance).

20 La conception d'un avion en phase avant-projet
type nom description unité min max
entrée
locale λ element 0.1 0.4
. x section caisson 0.75 1.25
partagée AR allongement relatif 2.5 8.5
. Λ èche des ailes deg 40 70
. t/c épaisseur relative 0.01 0.09
. S REF surface de référence voilure ft 2 500 1500
aérodynamique L portance lb . .
propulsion W E masse moteur lb . .
sortie
constante
interne
W T masse totale lb . .
W F masse carburant lb . .
Θ vrillage de la voilure 0.98 1.02
σ 1 → σ 5 eorts sur l'aile (stress on wing) . 1.09
W F masse de carburant non consommable lb 2000
W O masses diverses lb 25000
N z facteur de charge extrême g 6
t = t/c S REF √ SREF AR
b = √ S REF AR
R = 1+2λ
3(1+λ)
Θ = pf(x, b/2, R, L)
F o1 = pf(x)
Ŵ T = L
W W = F o1(0.0051(ŴT N Z ) 0.557 S REF 0.649 AR 0.5 (t/c) −0.4 (1 + λ) 0.1 (0.1875S REF ) 0.1 /cos(Λ))
W F W = (5S REF /18)(2t/3)42.5
W F = W F W + W F O
W T = W O + W w + W F + W E
σ 1 → σ 5 = pf(t/c, L, x, b/2, R)
Tab. 1.3 Discipline structure du cas-test Sobieski.
La discipline aérodynamique
La discipline aérodynamique présentée dans le tableau 1.4 calcule les caractéristiques aérodynamiques
résultantes de l'avion, c'est-à-dire la portance, la traînée, la nesse et le gradient de
pression sur l'aile.
Elle prend en entrée toutes les variables partagées : les variables traduisant les dimensions
de l'appareil vues précédemment avec la discipline structure, ainsi que les variables exprimant
les conditions de vol que sont l'altitude h et le nombre de Mach M. Sa variable locale est le
coecient de traînée C f .
Cette discipline calcule la portance L (ici directement égale à la masse totale W T fournie par
la discipline structure), la traînée D en fonction des dimensions de l'avion, des dimensions du

1.2 Le cas-test Sobieski 21
moteur ESF (Engine Scale Factor) et de la masse totale W T , pour en déduire la nesse L/D.
Le gradient de pression sur la voilure dp/dx ne dépend ici que de l'épaisseur relative t/c.
type nom description unité min max
entrée
locale C f coecient de frottement 0.75 1.25
partagée AR allongement relatif 2.5 8.5
. Λ èche des ailes deg 40 70
. t/c épaisseur relative 0.01 0.09
. S REF surface de référence voilure ft 2 500 1500
. h altitude de vol ft 30000 60000
. M Mach de croisière 1.4 1.8
structure W T masse totale lb . .
structure Θ vrillage . .
propulsion ESF facteur d'échelle moteur . .
sortie
constante
interne
si h ≤ 36089ft
sinon
L portance lb . .
D traînée lb . .
L/D nesse . .
dp/dx gradient de pression . 1.04
W F masse de carburant non consommable lb 2000
W O masses diverses lb 25000
N z facteur de charge extrême g 6
W BE masse moteur de référence lb 4360
CD minM

22 La conception d'un avion en phase avant-projet
La discipline propulsion
La discipline propulsion présentée dans le tableau 1.5 calcule les principales caractéristiques
du moteur, ici ses dimensions, sa masse, sa consommation et sa température.
Elle prend en entrée les conditions de vol : l'altitude h et le nombre de Mach M. Sa variable
locale T traduit la position de la manette des gaz.
Elle calcule la température en fonction de ces dernières variables. La dimension des moteurs
ESF est fonction de la traînée D fournie par l'aérodynamique et de la variable T . La consommation
spécique de l'avion provient d'une formule semi-empirique, qui dépend des variables T ,
h et M. La masse des moteurs dépend de sa dimension ESF . La sortie DT permet de vérier si
la manette des gaz est susamment enclenchée pour fournir la poussée nécessaire.
type nom description unité min max
entrée
locale T position manette des gaz (initial throttle
0.1 1
setting)
partagée h altitude de vol ft 30000 60000
. M Mach de croisière 1.4 1.8
aérodynamique D traînée lb . .
sortie
SF C consommation spécique de carburant hr −1 . .
W E masse moteur lb . .
ESF facteur d'échelle moteur 0.5 1.5
DT diérence entre la poussée demandée et . 0
la poussée disponible
T emp température . 1.02
constante
interne
W F masse de carburant non consommable lb 2000
W O masses diverses lb 25000
N z facteur de charge extrême g 6
W BE masse moteur de référence lb 4360
T = T ∗ 16168.
T emp = pf(M, h, T )
ESF = (D/3)/T
SF C = 1.1324 + 1.5344M − 3.2956e −05 h − 1.6379e −04 T − 0.31623M 2 + 8.2138e −06 Mh
−10.496e −05 T M − 8.574e −11 h 2 + 3.8042e −09 T h + 1.0600e −08 T 2
W E = 3W BE ESF 1.05
T UA = 11484 + 10856M − 0.50802h + 3200.2M 2 − 0.29326Mh + (6.8572e −06 )h 2
DT = T − T UA
Tab. 1.5 Discipline propulsion du cas-test Sobieski.

1.2 Le cas-test Sobieski 23
La discipline performance
La discipline performance présentée dans le tableau 1.6 calcule le rayon d'action avec la formule
de Bréguet (cf équation (1.1)). Elle prend en entrée les conditions de vol M et h. La discipline
structure fournit la masse totale W T et la masse de carburant W F , la discipline aérodynamique
fournit la nesse L/D et la propulsion fournit la consommation spécique SF C.
type nom description unité min max
entrée
partagée h altitude de vol ft 30000 60000
. M Mach de croisière 1.4 1.8
structure W T masse totale lb . .
aérodynamique L/D nesse lb . .
propulsion SF C consommation spécique de carburant hr −1 . .
sortie
R rayon d'action Nm . .
interne
si h ≤ 36089
sinon
n si
R = M(L/D)661√ θ
SF C
θ = 1 − 6.875e −06 h
θ = 0.7519
( )
W T
ln
W T − W F
Tab. 1.6 Discipline performance du cas-test Sobieski.
La fonction pf
Elle est utilisée dans la plupart des disciplines. Selon les cas, la fonction pf nous donne une
approximation linéaire ou quadratique de certaines variables.
1.2.2 Problème d'optimisation associé
Nous allons voir ici le problème d'optimisation qui traduit la démarche de conception globale.
Nous allons aussi dénir des fonctions objectifs spéciques à chaque discipline, qui serviront à
poser des problèmes d'optimisation locaux.
Le problème d'optimisation global
La discipline performance nous donne le rayon d'action, qui sera notre fonction à maximiser.
Les diérentes disciplines nous donnent au total 12 contraintes d'inégalité sur leurs sorties. Le
problème d'optimisation à résoudre est alors le suivant :

24 La conception d'un avion en phase avant-projet
⎧
Soit X = [λ, x, C f , T, AR, Λ, t/c, S REF , h, M]
⎪⎨
⎪⎩
max R(X)
X
sous contraintes :
0.98 ≤ Θ(X) ≤ 1.02
σ 1 → σ 5 (X) ≤ 1.09
dp/dx(X) ≤ 1.04
0.5 ≤ ESF (X) ≤ 1.5
DT (X) ≤ 0
T emp(X) ≤ 1.02
La résolution du problème d'optimisation (1.2) va nous mener à la conguration optimale
qui maximise le rayon d'action.
Les fonctions objectifs disciplinaires
Les disciplines peuvent aussi avoir un rôle dimensionnant. Elles doivent alors choisir la valeur
de leurs variables locales. Il faut alors trouver des objectifs locaux pour chaque discipline. Chacune
résout un problème d'optimisation qui lui est propre, et renvoie une réponse optimisée par rapport
à ses variables locales.
Avec ce cas-test, on peut trouver des fonctions objectifs disciplinaires allant dans le sens de
la fonction coût globale, c'est-à-dire maximiser le rayon d'action R. On peut montrer qu'il s'agit
de minimiser la masse totale W T pour la discipline structure, de maximiser la nesse L/D pour
la discipline aérodynamique et de minimiser la consommation spécique SF C pour la discipline
propulsion.
On analyse la formule du rayon d'action :
R = M(L/D)661√ θ
SF C
(1.2)
( )
W T
ln
. (1.3)
W T − W F
Nous souhaitons connaître les sensibilités du rayon d'action aux variables locales que nous allons
nommer x = [x 1 , x 2 , x 3 ] : x 1 pour la discipline structure, x 2 pour la discipline aérodynamique
et x 3 pour la discipline propulsion.
R(x + ∆x) = R(x) + ∂R
∂x 1
∆x 1 + ∂R
∂x 2
∆x 2 + ∂R
∂x 3
∆x 3 .
Soit Y i une sortie de la discipline i qui soit une entrée de la discipline performance, on a :
∂R
= ∂R ∂Y i
.
∂x i ∂Y i ∂x i
On cherche à maximiser le rayon d'action : lorsque ∂R est négatif, on cherchera à minimiser
∂Y i
Y i par rapport aux variables locales x i . Dans le cas contraire on cherchera à maximiser Y i . Nous
allons voir cela en détail pour les trois disciplines.
La discipline structure
Nous avons :
∂R
∂x 1
=
∂R
∂W T
∂W T
∂x 1
+ ∂R
∂W F
∂W F
∂x 1
.

1.3 Le cas-test Dassault 25
On peut remarquer que la masse de carburant W F ne dépend que des variables partagées,
d'où ∂W F
= 0. Nous ne nous en occuperons pas dans les optimisations disciplinaires.
∂x 1
∂R α 1 W F
= −
∂W T W T (W T − W F ) , α 1 > 0.
∂R
La masse de carburant est inférieure à la masse totale, nous avons donc < 0. Par
∂W T
conséquent, nous allons chercher à minimiser la masse totale W T par rapport aux variables
locales x 1 , an d'augmenter la contribution du terme ∂R ∆x 1 .
∂x 1
La discipline aérodynamique
Nous avons :
∂R
=
∂R ∂(L/D)
,
∂x 2 ∂(L/D) ∂x 2
et
∂R
∂(L/D) = α 2(L/D), α 2 > 0,
∂R
d'où > 0, on cherchera alors à maximiser la nesse L/D par rapport à la variable
∂(L/D)
x 2 , an d'augmenter la contribution du terme ∂R ∆x 2 .
∂x 2
La discipline propulsion
Nous avons :
et
∂R
∂x 3
=
∂R ∂SF C
,
∂SF C ∂x 3
∂R
∂SF C = − α 3
SF C 2 , α 3 > 0,
∂R
d'où < 0, on cherchera alors à minimiser la consommation spécique SF C par
∂SF C
rapport à la variable x 3 , an d'augmenter la contribution du terme ∂R ∆x 3 .
∂x 3
Nous allons voir dans la section suivante un autre exemple de cas-test du même type.
1.3 Le cas-test Dassault
Ce cas-test d'avion d'aaires supersonique a été proposé par DASSAULT dans le cadre du
projet OMD-RNTL 6 . C'est un cas-test de type conception avant-projet. Il permet d'évaluer les
performances d'un avion d'aaires supersonique avec des codes de calcul simpliés. Il est décrit
brièvement dans cette partie. Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur à [Rav07]. Certaines
des formules proviennent de [Ray94], qui est l'une des grandes références dans le domaine de la
conception avion.
1.3.1 Description du cas-test
L'objectif ici sera de minimiser la masse au décollage de l'appareil, tout en respecant certaines
contraintes sur des performances, comme le rayon d'action ou la distance de décollage.

26 La conception d'un avion en phase avant-projet
Conception
T OW
Structure
✛
❄
traînée
✻
✻
portance
Aérodynamique
❄
✻
taille moteur(F 0)
Propulsion
masse moteur(F 0)
T OW , F 0
❄
Performance
Rayon d'action
Distance décollage
Vitesse d'approche
Fig. 1.5 Diagramme du cas-test Dassault.
L'organisation des disciplines est présentée sur la gure 1.5.
Il y a trois disciplines de conception :
la discipline structure évalue les masses, dont la masse de l'avion au décollage, en fonction
des paramètres de forme, de la masse au décollage elle-même (estimée), de la portance et
de la masse moteur. La masse au décollage est alors réactualisée ;
l'aérodynamique calcule la portance nécessaire en croisière en fonction de la masse, ainsi
que la traînée, en fonction des paramètres de forme, dont les dimensions du moteur fournies
par la propulsion ;
la discipline propulsion dimensionne les moteurs pour atteindre la poussée nécessaire.
Elle inue donc sur la discipline aérodynamique, au travers des dimensions des moteurs
et sur la discipline structure avec la masse des moteurs.
Le tableau 1.7 présente les diérents paramètres choisis pour cette application.
Dans ce cas-test, l'équilibre entre ces trois disciplines est assuré par la convergence des variables
que sont la masse au décollage T OW et la poussée F 0. Les autres sorties, telles que la
portance, la traînée ou la masse du moteur dépendent directement de ces dernières, et sont donc
considérées comme transparentes. Le tableau 1.8 présente les variables de couplage que l'on va
chercher à équilibrer.
Lorsque l'équilibre disciplinaire est eectué, c'est-à-dire que l'on a déni les valeurs des variables
T OW et F 0 pour une conguration donnée, on peut calculer certaines sorties qui seront
les critères dimensionnants pour l'avion. Ces critères peuvent être classés en deux catégories.
• Les performances en croisière :
6 Le site du projet : http ://omd.lri.fr.

1.3 Le cas-test Dassault 27
Rubrique Variable Unité Description
Conditions de vol Z m altitude
X mach
nombre de Mach
W fuel kg masse de carburant
Géométrie Voilure S m 2 surface de référence voilure
φ w 0 deg èche bord d'attaque voilure
φ w 100 deg èche bord de fuite voilure
Xl w
element voilure
épaisseur relative voilure
t w c
Géométrie Dérive φ t 0 deg èche bord d'attaque dérive
φ t 100 deg èche bord de fuite dérive
Xl t
element dérive
épaisseur relative pour la dérive
t t c
Géométrie Fuselage D fus m diamètre du fuselage
Divers α deg incidence max
Xfac
masse à l'atterrissage
masse au décollage
Tab. 1.7 Variables de conception du cas-test Dassault
Rubrique Variable Unité Description
Interaction T OW kg masse au décollage
F 0 N poussée
Tab. 1.8 Variables d'interaction du cas-test Dassault
le rayon d'action : un avion doit pouvoir franchir une distance donnée an de s'inscrire
dans le segment de marché souhaité. Le rayon d'action est calculé avec la formule de
Breguet (cf équation (1.1)).
• Les performances basse vitesse, l'avion doit respecter les contraintes réglementaires et liées
aux aéroports :
la distance au décollage : l'avion doit pouvoir décoller sur une distance acceptable an
d'accéder à la plupart des aéroports,
la vitesse d'approche : l'avion doit pouvoir voler à une vitesse susamment basse sans
risquer de décrocher, an d'atterrir dans de bonnes conditions.
Les critères en croisière et les critères basse vitesse sont antagonistes. En eet, une conguration
optimisée pour le rayon d'action seulement n'aura jamais la portance nécessaire en basse
vitesse pour satisfaire les critères de distance de décollage et de vitesse d'approche.

28 La conception d'un avion en phase avant-projet
1.3.2 Problème d'optimisation associé
Le problème proposé ici est de minimiser la masse totale au décollage (T OW ) tout en respectant
les contraintes suivantes sur les sorties de la discipline performance :
⎧
min T OW
⎪⎨
⎪⎩
R action ≥ 6500 km,
D décollage ≤ 1828 m,
V approche ≤ 70 m.s −1 .
On pourra bien sûr faire d'autres choix pour ce problème, et permuter une des contraintes
avec la fonction objectif. Le problème peut alors devenir le suivant :
⎧
min R action
Conclusion
⎪⎨
⎪⎩
T OW ≤ 50000 kg,
D décollage ≤ 1828 m,
V approche ≤ 70 m.s −1 .
Nous avons donné dans ce chapitre une vision globale de la conception avion, avec ses différentes
disciplines, ses diérentes phases et ses diérents paramètres de conception.
Ces notions ont été illustrées à l'aide de deux cas-tests. Ces derniers sont de même nature :
ils représentent assez bien l'organisation qui existe entre les diérentes disciplines et permettent
de tester plusieurs stratégies de conception. Cependant, la validité physique des modèles est
discutable : on ne retrouve pas la complexité des problèmes industriels, dans lesquels on doit
gérer un grand nombre de variables et où le temps d'exécution des modèles est conséquent. Ils
permettent tout de même de tester diérentes approches de conception.
Il va falloir maintenant associer le processus de conception (ici les modèles qui permettent
de décrire l'avion) au processus d'optimisation (les méthodes et algorithmes d'optimisation).
Nous allons voir dans le chapitre suivant les stratégies d'optimisation que l'on peut utiliser
pour appuyer la démarche de conception. Ces méthodes sont aussi appelées formulations pour
l'optimisation multidisciplinaire (ou formulations MDO).
Nous exposerons aussi l'utilisation de méta-modèles adaptatifs au sein d'un processus d'optimisation,
en l'illustrant avec deux méthodes : BLISS2000 et DIVE.
(1.4)
(1.5)

Chapitre 2
Les formulations pour l'optimisation
multi-disciplinaire
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Outils et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Calcul des gradients (GSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Dénition de l'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.5 Méta-modèles disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 AAO : All-At-Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 CO : Collaborative Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.6 BLISS 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination . . . . . . . . . . 51
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

30 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Introduction
Ce chapitre expose plusieurs stratégies d'optimisation multi-disciplinaire. Elles peuvent aussi
être appelées formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire, ou bien plus communément
formulations MDO.
Le mot optimisation multi-disciplinaire laisse entendre à tort qu'il ne s'agit ici que d'un
problème d'optimisation. Il faut bien garder à l'esprit que l'optimisation n'est qu'une partie du
processus de conception et qu'elle vient appuyer la recherche de la conguration répondant le
mieux à la demande exprimée par le cahier des charges. Il faut considérer les formulations MDO
comme des outils qui permettent de faciliter la gestion de l'interaction entre les disciplines et qui
peuvent servir d'aide à la décision. Le choix des paramètres et des modélisations disciplinaires,
la mise en place du problème et les décisions importantes concernant les congurations à retenir
sont bien évidemment laissés au jugement des acteurs de la conception.
Il convient tout d'abord de bien dénir les paramètres. Les codes de calcul des diérentes
disciplines prennent en entrée diérentes variables qui peuvent être classées en trois catégories :
les variables locales, spéciques à une seule discipline ;
les variables partagées, qui ont des eets directs sur plusieurs disciplines à la fois ;
les variables d'interaction ou de couplage, qui servent de lien entre les disciplines.
Les variables de couplage sont les entrées d'une discipline qui proviennent d'autres disciplines.
Une modication dans une discipline peut entraîner un changement dans toutes les autres.
L'analyse multi-disciplinaire doit prendre en compte cette interaction et chercher un équilibre au
travers des variables de couplage. En général, l'eectuer revient à résoudre la physique autour
de l'avion.
Une fois l'analyse multi-disciplinaire eectuée, on peut calculer les gradients (par exemple
à l'aide des méthodes adjointes). Ce calcul, lorsqu'il est eectué de manière ecace et précise,
permettra d'améliorer fortement les performances des algorithmes d'optimisation.
Les sorties disciplinaires serviront à dénir les objectifs et contraintes qui constitueront notre
problème d'optimisation. Les formulations MDO constituent diérentes façons d'assembler les
codes disciplinaires et les codes d'optimisation. Chacune possède sa manière de gérer l'interaction
entre les disciplines ou de séparer l'optimisation en plusieurs étapes : certaines variables sont
gérées par l'optimiseur système et d'autres sont xées par les disciplines au travers d'optimisations
locales.
Les codes disciplinaires peuvent être très gourmands en temps de calcul, et donc peu compatibles
avec un processus d'optimisation, qui va les solliciter un grand nombre de fois. Par
conséquent, il s'avère nécessaire d'utiliser des méta-modèles qui fourniront une approximation
des sorties disciplinaires et permettront de mener à bien l'optimisation. Leur domaine de validité
pourra être amené à évoluer en fonction du déroulement de l'optimisation.
L'utilisation des méta-modèles au sein de processus d'optimisation est un des enjeux majeurs
de la recherche actuelle en optimisation multi-disciplinaire. Les formulations BLISS 2000 et DIVE
(cf sections 2.2.6 et 2.2.7) proposent des solutions pour construire et actualiser les méta-modèles.
La première partie du chapitre (cf section 2.1) présente les éléments qui constituent les formulations
MDO. Les diérentes variables sont exposées (cf section 2.1.1), on dénit le problème
d'équilibre interdisciplinaire et on propose des méthodes pour le résoudre (cf section 2.1.2). Une
méthode adjointe pour calculer les gradients dans un contexte multi-disciplinaire est donnée (cf
section 2.1.3). Le problème d'optimisation est posé (cf section 2.1.4) et on introduit les méta-

2.1 Outils et dénitions 31
modèles disciplinaires (cf section 2.1.5).
Dans une deuxième partie (cf section 2.2), nous allons expliciter certaines formulations MDO,
à savoir MDF, IDF, AAO, CO, BLISS, BLISS 2000 et DIVE (cf sections 2.2.1 à 2.2.7).
La mise en ÷uvre de ces formulations et l'analyse des résultats obtenus avec les deux cas-tests
du chapitre 1 sont présentées dans les chapitres 3 et 4.
2.1 Outils et dénitions
2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations
Dans cette section, nous allons dénir les diérents paramètres et variables qui interviennent
dans la conception des systèmes complexes. Nous considérons ici les diérentes variables et sorties
comme des vecteurs. Pour simplier l'exposé, nous allons considérer ici un système contenant
deux disciplines (D 1 et D 2 ), représenté sur le schéma 2.1.
z
x 1
✲
D 1
Y 1 (x 1 , z, y 2 )
✲
✟ ✟✟✟✟✟✟✯
❍ ❍❍❍❍❍❍❥
✻
y 2 y 1
❄
x 2
✲
D 2
Y 2 (x 2 , z, y 1 )
✲
Fig. 2.1 Système à deux disciplines.
Les diérentes variables et sorties représentées sur cette gure sont :
x les variables de conception locales : les variables x 1 sont propres à la discipline 1 et
les variables x 2 sont propres à la discipline 2 ;
z les variables de conception partagées ;
p = [x, z] l'ensemble des variables de conception ;
y les variables de couplage, ou d'interaction : ici les variables y 1 (resp. 2) proviennent
de la discipline 1 (resp. 2) et sont utilisées comme paramètres de la discipline 2 (resp. 1) ;
Y l'ensemble des sorties provenant des codes de calcul disciplinaires : Y 1 représente les
résultats des calculs de la discipline 1 et Y 2 ceux de la discipline 2.
Nous avons ici trois types de variables : les variables locales, les variables partagées et les variables
d'interaction, que nous allons dénir plus précisément ci-dessous. Ce type de classication
des variables est courant dans la littérature, nous reprenons ici les notations de [SAS98].
Variables locales x
Nous appelons variable locale (ou privée) une variable qui intervient dans une discipline
seulement. Par exemple, le choix du matériau ou l'épaisseur des renforts internes à la structure

32 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
n'aectent pas directement l'écoulement autour de l'avion.
Variables de conception partagées z
Lorsqu'une variable locale possède une interaction avec une autre discipline, il convient de la
considérer comme une variable partagée : les variables partagées (ou publiques) possèdent des
eets directs sur plusieurs disciplines à la fois.
Par exemple, l'épaisseur d'une aile intervient dans le calcul de la traînée et dans le calcul en
mécanique des structures.
La détermination de ces paramètres publics est un enjeu majeur dans le processus de conception.
La solution obtenue dépend fortement de l'ensemble des paramètres choisis. Ce choix se
base, d'une part, sur l'art de l'ingénieur, et d'autre part, sur l'utilisation des méthodes adjointes :
l'expérience des équipes d'ingénieurs sur le dimensionnement des paramètres de forme doit
être prise en compte pour le choix des critères : par exemple, en aérodynamique, le choix
de la courbure du bord d'attaque de l'aile est le fruit d'une longue expérience ;
les méthodes adjointes permettent de calculer les gradients de manière ecace. On peut
ainsi eectuer un calcul de gradients de nos critères pour un grand nombre de paramètres.
La distribution de ces gradients sur la surface de la conguration initiale indique les régions
les plus importantes. On peut alors déterminer un ensemble de paramètres pertinents avec
l'utilisation des méthodes adjointes.
Une approche hiérarchique pour déterminer les paramètres les plus signicatifs est présentée
dans [TD02]. La méthode GSE expliquée en section 2.1.3 est une méthode adjointe
qui permet de calculer les gradients dans un contexte de disciplines couplées. Pour la description
des méthodes adjointes, nous renvoyons à [Cea86, MP01, Jam90]. Les méthodes
de diérentiation automatique peuvent être utilisées pour la génération du code adjoint
[Gri00, MP01].
Dans un contexte multi-disciplinaire, nous ne pouvons considérer qu'un nombre réduit de
paramètres partagés.
Variables de couplage y
Les disciplines prennent en entrée des données provenant d'autres disciplines. Ce sont les
variables de couplage ou d'interaction que nous noterons y.
Par exemple, le champ de pression autour de l'aile permettra à la discipline structure d'en
calculer la déformation. De même, la déformation élastique de l'aile a un eet sur le comportement
aérodynamique de l'aile.
On parle de couplage fort, en cas de problèmes multi-physiques. Le couplage est déjà présent
au niveau de l'analyse disciplinaire. En général, le vecteur y est porté par le maillage du problème.
C'est le cas de l'aéroélasticité ou du couplage uide-thermique. Il convient alors de considérer
que les deux disciplines n'en forment qu'une à l'échelle de l'optimisation multi-disciplinaire. En
eet, le fait de découpler ces deux disciplines ne ferait qu'augmenter la complexité du problème
global, en ajoutant un nombre de variables d'interaction conséquent.
On ne s'intéresse ici qu'au cas d'un couplage faible, où les variables d'interaction sont de
l'ordre de quelques dizaines.

2.1 Outils et dénitions 33
2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA)
Les disciplines sont reliées entre elles par des variables d'interaction : le moindre changement
dans une discipline aura une inuence sur toutes les autres. Il convient donc de trouver un
équilibre entre les disciplines au travers de ces variables d'interaction. Nous allons exposer le
problème d'équilibre interdisciplinaire dans cette section.
Le terme anglais MDA (MultiDisciplinary Analysis) signie analyse multi-disciplinaire. Pour
une conguration p = [x, z] donnée, les variables de couplage doivent vérier l'équation d'état :
ou bien, de façon équivalente :
y = Y (p, y), (2.1)
R(p, y) = y − Y (p, y) = 0, (2.2)
où R(p, y) représente le résidu, que l'on souhaite annuler.
Lorsque l'on considère deux disciplines, le problème s'écrit :
⎧
⎨ R 1 (p, y 1 , y 2 ) = y 1 − Y 1 (p, y 2 ) = 0,
⎩
R 2 (p, y 1 , y 2 ) = y 2 − Y 2 (p, y 1 ) = 0.
(2.3)
Eectuer une MDA revient à résoudre l'équation (2.2) en y. Cette équation peut être vue
comme une équation d'état du problème. Elle décrit la physique du système. Cette équation doit
être résolue d'une manière très précise. On peut aboutir à des performances qui peuvent paraître
intéressantes au niveau de la fonction objectif, mais avec un système qui ne satisfait pas les lois
de la physique.
Une MDA correspond donc à une analyse du système, qui tient compte des interactions entre
les disciplines, et qui cherche à équilibrer les sorties des disciplines. On dispose de plusieurs
méthodes pour résoudre ce problème, que l'on peut classer selon trois types :
recherche de zéros,
minimisation des résidus,
pénalisation de l'équation d'état.
Recherche de zéros :
on va chercher ici à annuler le résidu de l'équation d'état (2.2).
Méthode du point xe : on redénit y égal à la sortie du code de calcul Y (p, y), et on itère
cette opération jusqu'à la convergence. On considère que l'on a la convergence lorsque les
résidus R(p, y) de l'équation d'état sont assez petits. Cette méthode ne marche que si le
système a de bonnes propriétés : l'application qui à y associe Y (p, y) doit être contractante 1 .
Méthode de Newton : lorsque l'on a accès aux gradients de la fonction Y , on peut utiliser
la méthode de Newton [Gui03]. Partant du point y, on cherche un point y + h tel que
R(p, y + h) = 0. On développe l'équation à l'ordre 1. La direction h sera solution de
l'équation (2.4) :
Soit :
∂ y R(p, y)h = −R(p, y). (2.4)
(I d − ∂ y Y (p, y)) h = − (y − Y (p, y)) . (2.5)
1 L'application Y : y ↦→ Y (p, y) est dite contractante si et seulement si ∀(y, y ′ ) ‖Y (p, y) − Y (p, y ′ )‖ < ‖y − y ′ ‖

34 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Une recherche linéaire dans la direction h donne alors le pas optimal α :
min
α
‖R(p, y + αh)‖. (2.6)
Les variables de couplage sont actualisées : y n+1 = y n + αh. Le processus continue avec le
nouveau point y n+1 , jusqu'à la convergence.
Minimisation des résidus
La résolution de l'équation d'état peut être vue comme un problème d'optimisation : étant
donnée une conguration p, les variables de couplage y doivent minimiser les résidus de l'équation
d'état :
min
y
‖y − Y (p, y)‖ 2 . (2.7)
Pour résoudre ecacement ce problème de minimisation, les variables de couplage doivent
être normalisées. On peut choisir d'utiliser des méthodes d'optimisation classiques. La méthode
de Gauss-Newton (voir annexe B.1) s'avère très ecace pour ce genre de problème.
Pénalisation de l'équation d'état
Dans certaines approches MDO, une autre méthode consiste à rajouter une ou plusieurs contraintes
d'égalité dans le cadre d'une optimisation en fonction des variables y et p. La contrainte
d'égalité n'est autre que l'équation d'état du système :
y − Y (p, y) = 0. (2.8)
Il apparaît plus naturel de résoudre l'équation d'état de manière précise pour chacune des
congurations étudiées, plutôt que de le faire en cours d'optimisation et de ne satisfaire cette
équation qu'à la n du processus. Cependant, il peut arriver que, pour certaines congurations
p, il n'existe pas de variables de couplage y p permettant de satisfaire l'équation d'état. Dans
ce cas, le problème d'équilibre interdisciplinaire ne dépend plus seulement de y, mais aussi des
variables de conception p. On ne peut donc plus utiliser les méthodes de recherche de zéros ou
de minimisation des résidus vues précédemment. Seule la méthode de pénalisation de l'équation
d'état va pouvoir trouver des congurations permettant de satisfaire l'équation d'état.
2.1.3 Calcul des gradients (GSE)
En optimisation, pour l'utilisation des algorithmes de descente, il est important d'avoir de
bonnes informations sur les gradients des objectifs et des contraintes. En général, les codes de
calcul dont nous disposons ne fournissent pas le gradient. Dans le cas où ils le fournissent, il est
évident qu'il faut les utiliser et les injecter dans l'optimiseur. Sinon, on les calcule par diérences
nies ou bien avec la méthode GSE (Global Sensitivity Equation), deux approches que nous allons
détailler dans cette section.
Calcul par diérences nies
Soit une fonction F dénie sur R n à valeurs dans R. On souhaite calculer le gradient de F au
point p. Nous avons besoin pour cela de calculer n + 1 fois la fonction F : aux points p et p + h i e i
(h i e i étant une perturbation du i me paramètre de conception, avec e i vecteur de base normé et
h i scalaire). Le pas h i doit être choisi susamment petit pour avoir une bonne approximation
des gradients. Le gradient est ensuite donné par :

2.1 Outils et dénitions 35
∇F (p) =
(
..., F (p + h )
ie i ) − F (p)
, ... . (2.9)
h i
Lorsque le calcul de F nécessite une analyse multi-disciplinaire, le calcul du gradient par
cette méthode s'avère coûteux en temps de calcul.
Le choix du pas h peut s'avérer délicat. D'un côté, il doit être assez petit, an d'avoir une
bonne approximation du gradient. De l'autre côté, lorsque ce pas est trop petit, l'erreur provenant
de la résolution de l'équation d'état (cette résolution n'est jamais exacte, il reste toujours un
résidu qu'il faut prendre en compte, aussi petit soit-il) n'est plus négligeable devant la quantité
à calculer (dans notre cas, la diérence des sorties entre deux congurations très proches). Cette
erreur peut venir fausser les résultats du calcul de gradient lorsque le pas h i est trop petit.
On peut remarquer que plus on sera précis sur la résolution de l'équation d'état, plus on
pourra choisir h petit. On aura alors une meilleure approximation du gradient, mais celle-ci sera
plus gourmande en temps de calcul.
GSE : Global Sensitivity Equation
La méthode GSE est une méthode adjointe, on utilise l'information apportée par l'équation
d'état et sa dérivée. Cette méthode est décrite dans [BS06, SAS98, CDF + 93].
Considérons p = [x, z] l'ensemble des variables de conception.
On eectue une analyse multi-disciplinaire, ce qui nous donne y p = [y p 1 , yp 2 ], en utilisant les
équations d'état (cf équation (2.3)) :
R(p, y p ) = 0 ⇐⇒
{
R1 (p, y p 1 , yp 2 ) = yp 1 − Y 1(p, y p 2 ) = 0,
R 2 (p, y p 1 , yp 2 ) = yp 2 − Y 2(p, y p 1 ) = 0.
On considère que, pour toutes les congurations p ′ proches de la conguration p, on peut
résoudre le système couplé et dénir des variables de couplage y p′ satisfaisant l'équation
d'état :
∀p ′ ∈ V p , R(p ′ , y p′ ) = 0. (2.10)
Alors la dérivée de R par rapport à p est nulle, c'est-à-dire : D p R = 0.
Par dénition de R, on obtient les équations suivantes :
{
Dp y 1 − ∂ p Y 1 − ∂ y2 Y 1 D p y 2 = 0,
D p y 2 − ∂ p Y 2 − ∂ y1 Y 2 D p y 1 = 0.
(2.11)
On arrive ainsi au système linéaire suivant :
⎛
⎝
⎞ ⎛
I d −∂ y2 Y 1
⎠ ⎝
−∂ y1 Y 2 I d
⎞ ⎛
D p y 1
⎠ = ⎝
D p y 2
⎞
∂ p Y 1
⎠ (GSE). (2.12)
∂ p Y 2
Les sensibilités disciplinaires ∂ y2 Y 1 , ∂ y1 Y 2 , et ∂ p Y i peuvent être fournies par les disciplines,
ou bien, au pire des cas, calculées par diérences nies.
La résolution du système linéaire (GSE) nous donne les sensibilités globales : D p y.

36 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
La méthode GSE est bien moins coûteuse en terme de calcul que la méthode des diérences
nies, qui nécessite un calcul couplé par variables de conception. Avec la méthode GSE, il y a un
seul calcul couplé et les dérivées sont soit fournies par les disciplines, soit calculées par diérences
nies, discipline par discipline, ce qui n'implique pas de calcul couplé supplémentaire. On peut
donc payer le prix en temps de calcul pour résoudre l'équation d'état de manière très précise,
cette dernière n'étant résolue qu'une seule fois, et ainsi obtenir des gradients avec une bonne
précision.
La méthode GSE permet de calculer les gradients pour un plus grand nombre de paramètres.
On peut ainsi déterminer lesquels ont le plus d'inuence sur les critères étudiés, et choisir l'ensemble
des paramètres les plus pertinents (cf section 2.1.1).
2.1.4 Dénition de l'optimisation
Les sorties de ces disciplines détermineront les fonctions objectifs et contraintes. L'optimisation
peut se faire à un niveau global, où toutes les diérentes variables seront traitées au même
niveau. Il peut aussi y avoir des optimisations sur diérents niveaux, où certaines variables seront
optimisées par leur discipline, et un optimiseur fédérera les calculs au niveau système. Nous appellerons
variables système les variables qui sont gérées par l'optimiseur système, et variables
disciplinaires celles qui sont gérées par des optimiseurs disciplinaires.
Nous verrons cela plus en détail dans la section 2.2 traitant des formulations pour l'optimisation
multi-disciplinaire. En ce qui concerne l'optimisation et ses algorithmes, nous nous référerons
à [BKS06, Van01b, Gui03]. L'algorithme généralement utilisé pour ce genre de problème est l'algorithme
SQP 2 . Il permet de traiter les problème sde minimisation sous contraintes non linéaires.
Une description de cet algorithme est donné dans [Ber04] 3 .
Fonction(s) objectif
L'objectif recherché est fonction des sorties disciplinaires Y . Par exemple une discipline peut
traiter de la performance de l'avion et l'objectif peut représenter le rayon d'action ou DOC 4 .
Lorsque l'on a une optimisation sur plusieurs niveaux, il faut pouvoir dénir des objectifs
pour chaque discipline. Minimiser la masse pour la structure, ou maximiser la nesse en ce qui
concerne l'aérodynamique, sont des exemples d'objectifs disciplinaires.
Contraintes
Les contraintes peuvent intervenir sur plusieurs niveaux. Soit elles ne concernent qu'une seule
discipline, soit elles interviennent au niveau système.
Les contraintes de borne limitent le champ d'exploration d'une variable. Dans de nombreux
cas, à l'optimum, les variables arrivent en butée pour la plupart de ces contraintes. Le choix
des valeurs des bornes joue un rôle essentiel pour la conguration optimale obtenue.
p l ≤ p ≤ p u .
Les contraintes d'inégalité limitent en général les sorties des disciplines :
G(p, y) ≤ 0.
2 SQP : Sequential Quadratic Programming.
3 http ://www.applied-mathematics.net/optimization/thesis_optimization.pdf
4 DOC : Direct Operating Cost.

2.1 Outils et dénitions 37
Les contraintes d'égalité peuvent servir à la gestion des variables de couplage, en considérant
l'équation d'état (cf section 2.1.2) :
H(p, y) = R(p, y) = y − Y (p, y) = 0.
Problème d'optimisation
Au nal, le problème d'optimisation sera décrit de la façon suivante :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min F (p, y),
p,y
G(p, y) ≤ 0,
H(p, y) = 0,
p l ≤ p ≤ p u .
(2.13)
On peut aussi considérer le cas où l'on a plusieurs objectifs à minimiser, les fonctions F 1 et
F 2 par exemple. Dans ce cas, on ne cherchera pas une conguration optimale, mais un ensemble
de congurations qui seront optimales au sens de Pareto [SC02]. Une conguration p est Pareto
optimale si et seulement si ∀p ′ :
⎧
⎨
⎩
F 1 (p) ≤ F 1 (p ′ ),
ou
F 2 (p) ≤ F 2 (p ′ ).
Une méthode permettant de trouver ce front de Pareto est donnée en annexe B.2.
2.1.5 Méta-modèles disciplinaires
(2.14)
Lorsque les temps d'exécution des codes de calculs disciplinaires sont importants, il est essentiel
de travailler avec des approximations des modèles, que l'on appelle méta-modèles, et qui
présentent l'avantage de fournir des résultats beaucoup plus rapidement que les modèles originaux.
Les spécialistes des disciplines choisissent le méta-modèle qui convient le mieux. Il existe
des méta-modèles spéciques à une discipline qui prennent en compte la physique en jeu, et au
contraire des méta-modèles généralistes.
Nous allons passer en revue les diérents méta-modèles. On pourra se référer au rapport
fait dans le cadre du projet DOOM qui décrit ces méthodes [BSBM07]. Les modèles réduits
fournissent un moyen pratique pour réduire la complexité en MDO. Ces derniers possèdent une
validité locale, à l'intérieur d'une région de conance appropriée :
la linéarisation est valide pour un grand nombre de paramètres, si l'on utilise les méthodes
adjointes, mais uniquement dans une petite région de conance ;
les méthodes de surface de réponse ont en général un domaine de validité assez grand, mais
pour un petit nombre de paramètres.
Le schéma 2.2 montre la construction d'un méta-modèle disciplinaire.
Approximation du premier ordre
La façon la plus simple de construire un méta-modèle disciplinaire local est de linéariser les
sorties disciplinaires Y (x, y, z) :
On obtient :
Ỹ (x,y,z) (x ′ , y ′ , z ′ ) = Y (x, y, z) + ∂ x Y.(x ′ − x) + ∂ z Y.(z ′ − z) + ∂ y Y.(y ′ − y) (2.15)

38 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
x ′ , z ′ , y ′
❄
Méta-modèle(x, z, y, Y )
x, z, y k
❄
Discipline i
Y k
❄
Ŷ (x ′ , z ′ , y ′ )
❄
Fig. 2.2 Méta-modèle disciplinaire.
Dans certains cas, il est plus commode d'utiliser une transformation des variables pour effectuer
l'approximation linéaire (par exemple, en mécanique des structures, il est fréquent de
linéairiser selon l'inverse des variables de propriété de matériaux).
Le prix à payer pour l'utilisation de cette méthode est d'avoir une taille de région de conance
petite. Le domaine de validité du méta-modèle disciplinaire peut être déterminé avec la méthode
des régions de conance [Rav07]. Nous pouvons aussi choisir une taille xe. Il faut qu'elle soit
assez petite pour permettre à l'optimiseur de ne pas partir vers des congurations fausses, mais il
faut aussi qu'elle soit assez grande pour permettre d'atteindre l'optimum sans avoir à réactualiser
le méta-modèle un trop grand nombre de fois.
L'avantage de cette méthode est que l'on peut s'aranchir du nombre de variables. En eet,
la méthode adjointe (mode inverse en diérentiation automatique) peut être considérée pour les
calculs des gradients en grande dimension [Gri00, Mor85]. Dans ce cas, le coût de calcul des
gradients est guère plus élevé que celui les fonctions objectifs et contraintes, et reste indépendant
du nombre de variables.
Approximation par surface de réponse
Pour construire des modèles réduits, on procède de la façon suivante :
1. choix d'un échantillon d'entrée : nous utilisons des méthodes DOE (Design Of Experiments)
pour sélectionner un échantillon de points : x, z, y de taille n où n est petit ;
2. calcul des sorties Y k pour chacun des points x, z, y k (k ∈ [1, n]), avec le code de calcul
correspondant au modèle physique original ;
3. construction d'un méta-modèle,
4. le méta-modèle donne Ŷ (x′ , z ′ , y ′ ) : l'approximation des sorties au point [x ′ , z ′ , y ′ ].
Il existe deux catégories de méthodes pout construire les méta-modèles :

2.1 Outils et dénitions 39
l'approximation des fonctions objectifs et contraintes utilisant les méthodes de surface de
réponse [CST00, Vap95, Pla99], telles que les approximations polynômiales, les réseaux de
neurones, les SVM (Support Vector Machine), les RBF (Radial Basis Function), etc. ;
certains méta-modèles permettent de prendre en compte la connaissance du modèle, et ainsi
de préserver une partie de la physique représentée. Nous pouvons citer comme exemple la
méthode POD (Proper Orthogonal Decomposition) [GM97, LTB96, LA04, SK00].
Avec l'utilisation de méta-modèles, l'évaluation de la fonction coût est si peu coûteuse qu'il
est possible d'utiliser des algorithmes génétiques [MNP98, Pér98], et d'autres algorithmes d'optimisation
globale [Kel99b, Kel99a, MKRHU99].
An d'être cohérent au sein d'une optimisation (en particulier dans le cas d'algorithmes déterministes
à base de gradient), les méta-modèles doivent satisfaire plusieurs conditions.
• Les méta-modèles doivent évoluer avec le point. Ils doivent fournir un domaine de validité.
À l'intérieur de ce domaine, la qualité des réponses est acceptable dans le cadre d'une
optimisation. Lorsqu'on arrive au bord de ce domaine, il faut réactualiser le méta-modèle,
an qu'il soit able autour du point de conception courant.
• La construction et l'utilisation du méta-modèle au sein de l'optimisation ne doit pas être
plus coûteuse que l'utilisation du code de calcul brut. Il convient pour cela de choisir des
méta-modèles ecaces et adaptés.
• À l'optimum, on cherche à maximiser la abilité des réponses du méta-modèle. Il faut,
d'une part, que les sorties du méta-modèle soient exactes au point courant, an d'être sûr
des valeurs des objectifs et des contraintes obtenues. Il faut aussi que les dérivées soient
exactes au point courant, an de s'assurer que les conditions d'optimalité du premier ordre
soient bien respectées.
[Pow07] préconise que même la dérivée seconde doit être exacte à l'optimum.
Ces propriétés sont présentes dans le cas des méta-modèles linéaires. Pour montrer la viabilité
de l'utilisation de méta-modèles dans l'optimisation multi-disciplinaire, on peut commencer
avec les approximations linéaires. An d'obtenir de meilleurs résultats, on peut essayer d'autres
méta-modèles plus évolués et plus adaptés aux disciplines, mais qui respectent les conditions
vues précédemment.
Conclusion
Nous avons vu dans cette section les diérents outils qui serviront à constituer des stratégies
d'optimisation multi-disciplinaire. Les disciplines prennent en entrée diérentes variables, dont
les variables de couplage, qui permettront d'assurer l'équilibre interdisciplinaire avec une MDA ;
on pourra ensuite calculer les gradients des sorties disciplinaires à l'aide de la méthode GSE.
Les sorties des disciplines déniront les fonctions objectifs et contraintes de notre problème
d'optimisation. Leurs évaluations pourront être eectuées au travers de méta-modèles, ce qui
permettra de réduire le temps de réponse des disciplines, et ainsi la durée globale du processus
de conception.
Ces notions seront utilisées dans la suite du document. Elles constituent le vocabulaire de
base, qui permettra de décrire les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire, exposées
dans la section qui suit.

40 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
2.2 Les formulations MDO
Nous allons voir dans cette section diérentes formulations d'optimisation multi-disciplinaire
(MDO). Une formulation MDO est une manière d'associer une analyse d'un système complexe
à des outils d'optimisation.
Nous pouvons classer ces méthodes selon deux critères.
1. L'optimisation peut se faire sur un ou plusieurs niveaux :
toutes les variables de conception sont au même niveau, nous avons une formulation
mono-niveau, on parle alors d'analyse distribuée : les disciplines contribuent seulement
à la description des phénomènes physiques, et les principaux choix de conception se font
au niveau système ;
les variables locales peuvent être optimisées par leur propre discipline, c'est une formulation
multi-niveaux, on parle alors de conception distribuée : ici, les disciplines
participent aux choix de conception, en choisissant les valeurs des variables qui leur sont
attitrées, et le niveau système assure que l'optimisation se déroule dans le sens de l'objectif
global.
2. Les variables de couplage peuvent être gérées soit au niveau du solveur multi-disciplinaire,
soit au niveau de l'analyse système :
à chaque analyse système, on résout une MDA,
les variables de couplage sont ajoutées aux inconnues du problème d'optimisation. Elles
doivent satisfaire des contraintes d'égalité du type : Y (p, y) − y = 0. Ces contraintes expriment
le fait que l'équation d'état est satisfaite.
Nous allons voir plusieurs formulations MDO, à savoir les méthodes MDF, IDF, AA0, CO,
BLISS, sa variante BLISS 2000, et DIVE. Ces dernières sont classées dans le tableau 2.1, selon
ces deux critères.
MDA
contraintes d'égalité sur
l'équation d'état
optimisation
mono-niveau MDF IDF / AAO
optimisation
multi-niveaux BLISS / DIVE CO / BLISS 2000
Tab. 2.1 Classication des formulations MDO.
Les méthodes DIVE et BLISS 2000 présentent des solutions pour utiliser des méta-modèles
adaptatifs au sein de l'optimisation multi-disciplinaire.
Comme pour la section précédente, an de simplier l'exposé des formulations, nous considérons
ici un système composé de deux disciplines.

2.2 Les formulations MDO 41
2.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible
Cette méthode est la plus classique. On la retrouve aussi sous le nom de AIO (All In One),
ou FIO (Fully Integrated Optimization) [CDF + 93, BS06, Lab04].
Principe
C'est une formulation mono-niveau, où le couplage est pris en charge par une MDA. L'optimisation
se fait sur les variables de conception p = [x, z].
Le système eectue une analyse couplée, an de déterminer les sorties des disciplines qui
assurent l'équilibre du système. Il eectue ensuite le calcul des gradients, par exemple avec la
méthode GSE (cf section 2.1.3). L'optimiseur récupère les valeurs de la fonction coût et des
contraintes, ainsi que leurs gradients. À partir de ces informations, il va demander une analyse
système pour un nouveau point. Du point de vue de l'optimiseur, le système entier peut être
considéré comme une boîte noire.
Algorithme
Voici la procédure de la formulation MDF :
1. point de départ : p = [x, z] ;
2. l'analyse multi-disciplinaire (MDA) détermine les variables de couplage y ;
3. on en déduit les fonctions coût F et les contraintes G ;
4. le calcul des gradients (méthode GSE) donne les sensibilités globales D p y ;
5. on en déduit les gradients des objectifs D p F et des contraintes D p G ;
6. l'optimiseur choisit un nouveau point p ;
7. on itère les étapes 1-6 jusqu'à la convergence de la procédure.
Remarque
L'avantage de cette méthode est qu'elle satisfait l'équation d'état pour chaque point de calcul.
Lorsque l'on utilise par exemple l'algorithme CFSQP (C code for Feasible Sequential Quadratic
Programming [LT01]), on est assuré, dès que l'on trouve un point satisfaisant les contraintes, que
les points suivants restent admissibles.
Il est important d'avoir une précision sur l'analyse du système (MDA) plus ne que le pas
utilisé pour le calcul des sensibilités, an d'avoir des gradients cohérents. Cependant, la résolution
d'un système couplé en chaque point de l'optimisation peut s'avérer coûteuse en temps.
La méthode IDF que nous décrivons dans la section suivante essaye de traiter les variables
de couplage diéremment.
Le schéma 2.3 représente le fonctionnement de la méthodologie MDF.
2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible
Le premier constat pour la méthode MDF (décrite dans la section précédente) est que la
répétition des calculs couplés peut s'avérer lourde en temps de calcul. La solution proposée avec
les méthodes de type IDF consiste à remplacer les liens directs entre les disciplines, c'est-à-dire le
couplage, par des contraintes d'égalité. Ces contraintes permettent à l'optimiseur d'assurer une
cohésion interdisciplinaire. Cette formulation est exposée dans [CDF + 93, BS06, Sim98, Bro04,
NMA99].

42 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Analyse système
❄
MDA
D 1
✻
y 2
y 1
❄
D 2
p = [x, z]
F G D p F D p G
❄
Optimisation système
min F (p)
p
sous contraintes :
p l ≤ p ≤ p u
G(p) ≤ 0
Fig. 2.3 Diagramme de la formulation MDF.

2.2 Les formulations MDO 43
Principe
C'est une méthode mono-niveau, où le couplage est géré par des contraintes d'égalité.
L'optimiseur contrôle toutes les variables : locales x, partagées z et de couplage y.
Une contrainte d'égalité permet d'assurer que l'équation d'état est satisfaite, et garantit la
cohérence interdisciplinaire. Cette contrainte est la suivante :
Y (p, y) − y = 0. (2.16)
À chaque analyse du système, un seul appel à chaque discipline est eectué. Il renvoie à l'optimiseur
les valeurs des sorties Y .
Algorithme
Voici la procédure de la formulation IDF :
1. donnée du point de départ : [x, z, y] ;
2. l'analyse disciplinaire détermine les sorties Y ;
3. calcul des fonctions coût F , contraintes d'inégalité G et d'égalité H = Y − y ;
4. calcul des sensibilités disciplinaires : donne ∂ [x,z,y] Y ;
5. calcul de ∂ [x,z,y] F ; ∂ [x,z,y] G et ∂ [x,z,y] H ;
6. choix d'un nouveau point [x, z, y] par l'optimiseur ;
7. on itère 1-6 jusqu'à la convergence.
Remarques
Il y a autant de contraintes d'égalité que de variables de couplage. Un nombre élevé de variables
de couplage peut poser problème, car les algorithmes d'optimisation ont plus de dicultés
à gérer un grand nombre de contraintes d'égalité non linéaires.
L'avantage de ces méthodes utilisant les contraintes d'égalité sur l'équation d'état interdisciplinaire,
par rapport aux méthodes utilisant la MDA, est qu'elles permettent de traiter les
problèmes où il existe des congurations non faisables (avec des congurations dites non faisables,
on ne peut pas trouver de variables de couplage associées satisfaisant l'équation d'état).
On peut avoir des congurations trop mauvaises, pour lesquelles il devient dicile de calculer
la physique qui les régit, ou du moins d'en assurer la cohérence. Le problème d'équilibre interdisciplinaire
ne dépend plus seulement des variables de couplage y, mais aussi des variables de
conception p. La méthode IDF permet de pallier ce genre de problème, et c'est son principal
avantage par rapport à la méthode MDF.
Le schéma 2.4 illustre cette formulation.
2.2.3 AAO : All-At-Once
La méthode AAO est aussi appelée one shot, SAND ou SAD (Simultaneous Analysis and
Design) [BGKS96, AL00, GHN96].
Principe
De même que pour la méthode IDF, les variables de conception et de couplage sont traitées
au même niveau, et la cohérence interdisciplinaire est assurée par une équation d'égalité sur
l'équation d'état du système. La diérence avec la méthode IDF est que les équations d'état

44 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Analyse disciplinaire
❄
x 2 , z, y 1
❄
x 1 , z, y 2
D [x,z,y] [F, G, Y ]
D 1
D 2
x, z, y
F, G, Y
❄
Optimisation système
min F (x, z, y)
x,z,y
sous contraintes :
x l ≤ x ≤ x u
z l ≤ z ≤ z u
G(x, z, y) ≤ 0
Y − y = 0
Fig. 2.4 Diagramme de la formulation IDF.
disciplinaires (dont la résolution permet de déterminer les sorties disciplinaires) ne sont plus
résolues au niveau de la discipline, mais au niveau de l'optimiseur système. Par exemple, le
problème de mécanique des structures peut être vu comme la minimisation de l'énergie potentielle
et revient à la résolution d'un système linéaire. Ce dernier donnera lieu à une contrainte d'égalité
dans le problème d'optimisation (lignes équations d'état disciplinaires dans (2.17)) :
⎧
min F (x, z, y 1, y 2 ),
x,z,y
⎪⎨
⎪⎩
G(x, z, y 1 , y 2 ) ≤ 0,
x l ≤ x ≤ x u ,
z l ≤ z ≤ z u ,
y 1 = t 1 ,
y 2 = t 2 ,
t 1 = Y 1 (x, z, y 2 ),
t 2 = Y 2 (x, z, y 1 ).
cohésion interdisciplinaire
équations d'état disciplinaires
(2.17)
Remarque
Cette méthode peut être très ecace, mais sa convergence est compromise lorsque certaines
des équations d'état disciplinaires sont fortement non-linéaires. Nous pouvons prendre comme
exemple l'équation de Navier-Stokes pour la discipline mécanique des uides : même dans un
contexte monodisciplinaire, la convergence n'est pas toujours acquise.

2.2 Les formulations MDO 45
2.2.4 CO : Collaborative Optimization
Cette méthode est présentée dans [BS06, Bro04, BGKS96, AKZP05, NMA99, Lin04, AR00].
Principe
C'est une méthode multi-niveaux, où le couplage est géré avec des contraintes d'égalité. Elle
reproduit le fonctionnement des entreprises, où le niveau système donne des consignes que les
disciplines essayent de respecter.
L'optimisation se fait sur deux niveaux : système et discipline.
Au niveau système, l'optimiseur gère les variables partagées z et les variables de couplage y,
de manière à minimiser la fonction coût, tout en respectant les contraintes système.
Au niveau disciplinaire, le système envoie les variables de couplage y comme consignes aux
disciplines, et les valeurs des variables partagées z. La discipline i gère ses variables locales x i ,
ainsi qu'une copie des variables partagées z i . Elle choisit les valeurs de x i et z i de manière à
respecter au mieux les consignes données par le système, et de coller au mieux aux variables
partagées z, tout en respectant les contraintes disciplinaires. Par exemple, pour déterminer x 1
et z 1 , la discipline 1 résout le problème de minimisation sous contraintes suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min ‖y 1 − Y 1 (x 1 , z 1 , y 2 )‖ 2 + ‖z − z 1 ‖ 2 .
x 1 ,z 1
G 1 (x 1 , z 1 , z, y 2 ) ≤ 0
x l 1 ≤ x 1 ≤ x u 1
z l 1 ≤ z 1 ≤ z u 1
(2.18)
Le couplage, ainsi que la convergence des copies des variables partagées z 1 et z 2 , sont assurés
au niveau système par les contraintes suivantes d'égalité :
⎧
⎨ Y (x, z, y) − y = 0,
H = z − z 1 = 0,
(2.19)
⎩
z − z 2 = 0.
Algorithme
La procédure de la méthode CO est la suivante :
1. Point de départ : [z, y] ;
2. optimisations disciplinaires : on cherche les variables locales et les copies des variables
partagées z i qui optimisent le problème (2.18) : détermination de x 1 , x 2 , z 1 , z 2 et Y ;
3. on en déduit les fonctions coût F , et les contraintes d'inégalité G et d'égalité H ;
4. le calcul des sensibilités disciplinaires donne ∂ [z,y] Y ;
5. on en déduit les gradients ∂ [z,y] F , ∂ [z,y] G et ∂ [z,y] H ;
6. l'optimiseur choisit un nouveau point [z, y] ;
7. on itère 1-6 jusqu'à la convergence.
La gure 2.5 représente la méthode CO.

46 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
✲
Optimisation disciplinaire 1
‖y 1 − Y 1 (x 1 , z 1 , y 2 )‖ 2 + ‖z − z 1 ‖ 2
x 1,z 1
sous contraintes :
x l 1 ≤ x 1 ≤ x u 1
z l 1 ≤ z 1 ≤ z u 1
G 1 (x 1 , z 1 , y 2 ) ≤ 0
✲
Optimisation disciplinaire 2
min ‖y 2 − Y 2 (x 2 , z 2 , y 1 )‖ 2 + ‖z − z 2 ‖ 2
x 2,z 2
sous contraintes :
x l 2 ≤ x 2 ≤ x u 2
z l 2 ≤ z 2 ≤ z u 2
G 2 (x 2 , z 2 , y 1 ) ≤ 0
z, y
Optimisation système
Y, z 1 , z 2
❄ ❄
min
min F (z, y)
z,y
sous contraintes :
z l ≤ z ≤ z u
G(z, y) ≤ 0
y − Y = 0
z − z 1 = 0
z − z 2 = 0
Fig. 2.5 Diagramme de la formulation CO.

2.2 Les formulations MDO 47
2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis
Cette formulation est exposée dans [BS06, SAS98, KY00].
Principe
C'est une méthode multi-niveaux, où les variables de couplage sont gérées par une MDA.
On part du point p 0 = [x 0 , z 0 ]. Une analyse multi-disciplinaire détermine les variables de
couplage y 0 , et les valeurs des fonctions objectifs F 0 = F (x 0 , z 0 ) et contraintes G 0 = G(x 0 , z 0 ).
Une analyse de sensibilité globale (GSE) nous donne les valeurs des gradients D p F 0 et D p G 0 .
Nous pouvons construire en p 0 une approximation linéaire locale de F et G :
⎧
⎨ ˜F (p) = F 0 + D p F 0 (p − p 0 ),
(2.20)
⎩ ˜G(p) = F 0 + D p G 0 (p − p 0 ).
Optimisation des variables locales x i de la discipline i
⎧
min ∂ xi F 0 (x i − x
⎪⎨
0 i ),
x i
G 0 + ∂ xi G 0 (x i − x 0 i ), ≤ 0
(2.21)
⎪⎩
x l i ≤ x i ≤ x u i .
On récupère les optima x opt et les coecients de Lagrange λ associés aux contraintes. On
pose :
F x opt = F 0 + ∂ x F 0 (x opt − x 0 ),
G x opt = G 0 + ∂ x G 0 (x opt − x 0 ).
(2.22)
Les fonctions coût et contrainte au niveau global sont les suivantes (voir annexe A) :
f(Z) = F x opt + ( ∂ z F 0 + λ T ∂ z G 0
)
(z − z 0 ),
g(Z) = G − x opt + ∂ z G − 0 (z − z0 ),
(2.23)
où G − x opt
correspond aux contraintes non saturées après les optimisations disciplinaires.
Optimisation des variables globales z
An d'obtenir z opt , on résout le système suivant :
⎧ (
min ∂z F 0 + λ
⎪⎨
T )
∂ z G 0 (z − z 0 ),
z
G − x
+ ∂ opt z G − 0 (z − z0 ) ≤ 0,
⎪⎩
z l ≤ z ≤ z u .
(2.24)

48 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Algorithme
Voici le processus de la formulation BLISS :
1. nous partons du point : p 0 = [x 0 , z 0 ] ;
2. une analyse multi-disciplinaire nous donne les valeurs de F 0 et G 0 ;
3. l'analyse de sensibilité globale nous donne ∂ x F 0 , ∂ x G 0 , ∂ z F 0 et ∂ z G 0 ;
4. optimisation disciplinaire : x opt et λ (paramètres de Lagrange) ;
5. optimisation des variables globales : z opt ;
6. mise à jour des variables : x 0 = x opt et z 0 = z opt ;
7. on itère 1-6 jusqu'à la convergence.
Remarque
Il convient d'utiliser une méthode de région de conance pour la gestion des variables partagées,
an d'assurer une bonne abilité de l'approximation linéaire.
Cette formulation est représentée sur la gure 2.6.
[x 0 , z 0 ]
✲
MDA
GSE
y, F 0 , G 0
❄
∂ z F 0 ∂ z G 0
Optimisation disciplinaire
∂ x F 0 ∂ x G 0
❄
❄
x opt λ
❄
Optimisation système
❄
z opt
Mise à jour des variables
x 0 = x opt
z 0 = z opt
Fig. 2.6 Diagramme de la formulation BLISS.

2.2 Les formulations MDO 49
2.2.6 BLISS 2000
La méthode BLISS 2000 dérive de la méthode précédente. Elle généralise ici l'utilisation de
méta-modèles disciplinaires. Cette formulation est décrite dans l'article [Agt00].
Principe
C'est une formulation multi-niveaux où le couplage est géré par une pénalisation de l'équation
d'état. Nous montrons ici comment chaque discipline choisit ses variables locales, puis comment
sont construits les diérents méta-modèles, et enn nous exposons le problème d'optimisation
global.
Optimisations locales
Les variables locales sont solutions d'un problème d'optimisation disciplinaire. Ce problème
dépend des variables partagées z, des variables de couplage y et des poids w. Ces poids
vont servir à déterminer la fonction coût. La variable w se décompose en w = [w 1 , w 2 ],
où w 1 (resp. w 2 ) sont les poids de la discipline 1 (resp. discipline 2). Par exemple, pour
la discipline 1, chaque poids w 1j va servir à pondérer les sorties disciplinaire Y 1j pour
construire la fonction coût disciplinaire F 1 au point [z, y, w] :
∑n 1
F 1 (x 1 , z, y 2 ) = w 1j Y 1j (x 1 , z, y 2 ), (2.25)
j=1
où n 1 est le nombre de sorties Y 1 de la discipline 1. Le problème d'optimisation disciplinaire
pour la discipline 1 est alors :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∑
min w 1j Y 1j (x 1 , z, y 2 ),
n 1
x 1 j=1
(2.26)
G 1 (x 1 , z, y 2 ) ≤ 0,
x l 1 ≤ x 1 ≤ x u 1 .
Construction des méta-modèles disciplinaires
On choisit un échantillon de points z, y, w. La méthode de tirage de l'échantillon peut être
un hypercube latin.
Pour chacun des points z, y, w k = [z k , y k , w k ] de cet échantillon, on eectue une optimisation
locale pour chaque discipline.
Les sorties optimisées seront notées Y k : Y k = Y (x optk , z k , y k ), avec x optk les valeurs locales
optimales trouvées pour la conguration [z k , y k , w k ].
Après avoir eectué les optimisations disciplinaires pour tout l'échantillon z, y, w, on obtient
un échantillon de sorties Y .
On peut alors construire les méta-modèles disciplinaires à partir des échantillons d'entrées
et de sorties (cf section 2.1.5). Ces méta-modèles prennent en entrée les variables [z, y, w],
et renvoient en sortie une approximation des sorties disciplinaires optimisées : Ŷi(z, y, w).
Optimisation globale
La fonction coût globale F est l'une des sorties des disciplines, par exemple de la discipline
performance. L'optimisation système se fait au travers des méta-modèles. Les variables

50 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
[z, y, w] doivent être solutions du problème (2.27) :
⎧
min F (z, y, w),
z
⎪⎨
⎪⎩
y − Ŷ (z, y, w) = 0,
G(z, y, w) ≤ 0,
z l ≤ z ≤ z u ,
y l ≤ y ≤ y u ,
w l ≤ w ≤ w u .
(2.27)
La cohérence interdisciplinaire est assurée par la contrainte y − Ŷ (z, y, w) = 0.
On eectue un calcul disciplinaire au point [z, y, w] opt obtenu et on vérie que l'erreur entre
les vraies sorties des codes Y (z, y, w) et celles des méta-modèles Ŷ (z, y, w) est assez petite pour
armer la convergence du processus.
Si elle est trop grande, on réduit l'intervalle de variation des variables z, y, et w en le centrant
autour des valeurs optimales trouvées et on itère le processus.
Algorithme
La procédure de BLISS 2000 est la suivante :
1. choix d'un échantillon de points z, y, w ;
2. optimisations disciplinaires pour chaque point de z, y, w → échantillon des sorties disciplinaires
optimisées Y ;
3. constructions de méta-modèles disciplinaires à partir z, y, w et Y ;
4. optimisation du système approché par les méta-modèles → [z opt , y opt , w opt ] ;
5. test de convergence sur la diérence entre les sorties des méta-modèles et les sorties des
vrais codes disciplinaires : Y (z opt , y opt , w opt ) − Ŷ (zopt , y opt , w opt ) ;
si oui, arrêt,
si non retour à 1.
Remarque
Les poids w sont choisis par une méthode d'échantillonage dans un intervalle donné. Par
exemple, pour la discipline 1, les poids w 1j associés à la sortie Y 1j sont pris dans l'intervalle
[w 1jmin , w 1jmax ]. Lorsque l'on ne possède pas d'information particulière sur la fonction coût
disciplinaire, l'intervalle conseillé dans l'article de référence [Agt00] est [−2, 2] pour chacun des
poids. Lorsque l'on sait quelle sortie peut faire oce de fonction coût, on peut xer le poids
correspondant à 1 pour minimiser cette sortie ou -1 pour la maximiser, et mettre à 0 les autres
poids pour cette discipline.
Cette formulation est représentée sur la gure 2.7.

2.2 Les formulations MDO 51
Choix d'un échantillon de points z, y, w
✛
z, y, w
❄
Optimisations disciplinaires
Y
❄
Contruction de méta-modèles disciplinaires
Ŷ
❄
Optimisation système
[z opt , y opt , w opt ]
❄
Convergence ? Y − Ŷ non
✲ Réduction des intervalles de z, y, et w
oui
❄
Stop
Fig. 2.7 Diagramme de la formulation BLISS 2000.
2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination
La formulation DIVE, inspirée de la méthode BLISS 2000 (cf section 2.2.6), est décrite dans
[MPHC08].
Principe
C'est une méthode multi-niveaux où le couplage est géré avec une MDA. Comme son nom
l'indique, cette méthode cherche à réduire la complexité du problème d'optimisation par une
élimination en trois temps des diérents types de variables.
Élimination des variables locales x
Dans un premier temps, chaque discipline optimise par rapport à ses variables locales x,
an de minimiser une fonction objectif qui lui est propre. Elle doit aussi tenir compte
des contraintes locales. Cela peut être par exemple minimiser la masse pour la discipline
structure ou maximiser la nesse pour le module aérodynamique.
Nous laissons à chaque discipline le soin de dénir sa fonction objectif F i .

52 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
Les problèmes d'optimisation disciplinaires sont alors les suivants :
⎧
⎪⎨ min F i (x i , z, y),
x i
G i (x i , z, y) ≤ 0,
(2.28)
⎪⎩
x l i ≤ x i ≤ x u i .
Les variables locales x i sont donc gérées par les disciplines qui fourniront des sorties optimisées
par rapport à ces dernières, et elles seront transparentes pour le reste du système.
Dans certains cas, il est plus commode de traiter les variables locales comme des variables
globales. On évite de faire une optimisation par rapport à x à chaque sollicitation de la
discipline.
Élimination des variables de couplage y
Les variables de couplage y doivent minimiser les résidus de l'équation d'état :
min
y
‖Y (z, y) − y‖ 2 . (2.29)
Cette approche spécique à la méthode DIVE pour résoudre les équations d'état du système
dière des autres formulations où l'on trouve le plus souvent l'utilisation d'une méthode de
point xe (MDF : cf section 2.2.1, BLISS : cf section 2.2.5) ou bien l'ajout de contraintes
d'égalité (IDF : cf section 2.2.2, CO : cf section 2.2.4). Cette caractéristique fait de DIVE
une méthode plus robuste, car elle pose mieux le problème de résolution de l'équation
d'état et permet de le traiter de façon plus ecace avec des techniques de minimisation
classiques. La méthode de Gauss-Newton est certainement la mieux adaptée à la résolution
de ce type de problèmes. On trouve aussi des cas où la méthode de point xe s'avère très
ecace.
Élimination des variables globales z
Les variables partagées sont traitées au niveau de l'optimiseur système. Les contraintes ne
pouvant pas être satisfaites aux niveaux disciplinaires seront remontées au niveau système,
où elles ne dépendent désormais que des variables partagées z.
Les disciplines utilisent des méta-modèles pour leurs sorties, comme ceux vus en section
2.1.5. Ces méta-modèles disciplinaires renvoient, en plus des sorties Y , un indice α i sur la
abilité de la réponse fournie par le méta-modèle. Lorsque α i < 0, le méta-modèle est valide
en ce point, sinon, il faut le réévaluer, an d'avoir une évaluation disciplinaire correcte. Cet
indice, qui peut traduire la fonction indicatrice d'une région de conance, permet de savoir
s'il faut ou non réactualiser le méta-modèle disciplinaire.
Le problème qu'il faut résoudre au niveau global est le suivant :
⎧
min F (x, z, y),
⎪⎨ z
G i (z) ≤ 0,
(2.30)
α i (z) ≤ 0,
⎪⎩
z l ≤ z ≤ z u .
La solution obtenue doit satisfaire plusieurs conditions pour être considérée comme solution
du problème de conception :
la abilité de chaque méta-modèle doit être vériée au point optimal ;
si l'optimum est situé sur le bord du domaine de validité du méta-modèle (c'est-à-dire
lorsque l'indice de abilité vérie α i = 0), il faut réévaluer ce méta-modèle autour de
l'optimum et relancer l'optimisation ;

2.2 Les formulations MDO 53
si les équations d'état ne sont pas résolues de manière assez précise, il faut aussi réévaluer
les méta-modèles.
La conguration va ainsi évoluer dans l'espace de conception, jusqu'à l'obtention d'une
solution globale.
Algorithme
L'algorithme de la méthode DIVE est le suivant :
1. initialisation des variables z et des méta-modèles disciplinaires ;
2. élimination des variables locales x ;
3. élimination des variables de couplage y ;
4. résolution du problème d'optimisation en z ;
5. vérication de la qualité de la solution optimale z opt :
si la solution est sur le bord du domaine de validité, ou si les équations d'état ne sont
pas satisfaites : ré-actualisation des méta-modèles autour de ce point,
si cette solution est valide, arrêt.
Remarques
Voici les principales particularités de cette formulation :
le choix des optimisations disciplinaires est laissé aux expert des disciplines (un exemple
de choix de fonctions coût allant dans le sens de la fonction objectif globale est donné pour
le cas-test Sobieski (cf section 1.2.2)) ;
une importance particulière est donnée à la résolution précise des équations d'état en
formulant cette étape comme un problème d'optimisation et en vériant qu'à l'optimum
ces équations sont bien résolues de manière précise ;
l'évaluation de la abilité des méta-modèles disciplinaires fait de la méthode DIVE une
généralisation de la méthode des régions de conance ;
dans certaines circonstances, la formulation DIVE est similaire à d'autres formulations :
si l'on n'utilise pas de méta-modèles et que l'on considère toutes les variables au niveau
global, cela revient à la formulation MDF ;
l'évaluation de la qualité de l'optimum, par rapport à la abilité donnée par chacun des
méta-modèles disciplinaires et à la précision de la résolution des équations d'état, assure
la robustesse de cette méthode.
La méthode DIVE est inspirée de la méthode BLISS 2000, les principales diérences entre
ces deux formulations sont les suivantes.
Les fonctions coût disciplinaires sont déterminées par la discipline. Ce n'est pas une somme
pondérée par les variables w comme avec BLISS 2000. On réduit le nombre de variables à
gérer au niveau système, car les poids n'interviennent pas dans DIVE.
Pour BLISS 2000, les variables de couplage sont traitées au même niveau que les variables
partagées, avec une pénalisation de l'équation d'état. Pour DIVE, elles sont traitées séparément
en amont. On réduit encore le nombre de variables au niveau système on résout
avec précision l'équation d'état.
An de prouver la viabilité de cette formulation, on peut utiliser par exemple les méta-modèles
linéaires (cf section 2.1.5), avec une région de conance assez petite pour assurer la convergence

54 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire
du processus.
Le schéma de la formulation DIVE est exposé sur la gure 2.8.
NON
z opt acceptable ?
✻
OUI
✲
z opt
Niveau système
min F (z)
z
sous contraintes :
G(z) ≤ 0
α i ≤ 0, indices de abilité des méta-modèles
z l ≤ z ≤ z u
z
✛
Y
α i
❄
Élimination des variables de couplage
min
y
‖Y − y‖ 2
✻
Y
y
❄
Niveau disciplinaire
D 1 : x 1
D 2 : x 2
✻
✻
✲
Actualise Méta-Modèles
Fig. 2.8 Diagramme de la formulation DIVE.
Conclusion
Nous avons dressé un état de l'art des formulations MDO dans ce chapitre, en dénissant
les éléments de base et en montrant les diérentes manières de les assembler pour en faire des
stratégies d'optimisation.
Le prochain chapitre va s'intéresser à la mise en ÷uvre pratique et à l'implémentation informatique
des formulations MDO. Il faudra parfois prendre quelques libertés par rapport aux

2.2 Les formulations MDO 55
dénitions des formulations données dans la littérature, et y apporter quelques modications,
pour les appliquer aux diérents cas-tests. Nous nous intéresserons aussi à la substitution des
codes de calcul disciplinaires par des méta-modèles linéaires et adaptatifs.

Chapitre 3
Implémentation des formulations MDO
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 Implémentation sous ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1 Les composants discipline du cas-test SSBJ . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.4 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Implémentation sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Principes repris de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.2 Implémentation des formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.3 Cas particulier de BLISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Outils supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Interface graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

58 Implémentation des formulations MDO
Introduction
Nous allons voir dans ce chapitre diérentes voies pour implémenter les formulations MDO.
Nous proposons ici deux approches conceptuellement opposées : tout d'abord, l'utilisation de
ModelCenter, un logiciel payant dédié à l'intégration de processus distribués, puis l'utilisation
de Scilab, un logiciel libre pour le calcul scientique. Le choix de ces deux logiciels s'inscrit dans
le contexte des projets liés à la thèse. En eet, l'implémentation des formulations MDO sous
ModelCenter a été motivée par le projet DOOM, et l'utilisation du logiciel Scilab vient du projet
OMD-RNTL, qui cherche à promouvoir ce logiciel.
Dans une première partie, nous allons examiner l'implémentation sous ModelCenter, qui est
un logiciel facile d'utilisation et très pratique pour la MDO, mais payant. Nous y intégrons le
cas-test Sobieski vu dans le chapitre 1 (cf section 3.1.1) et nous implémentons les formulations
MDF, IDF , CO et DIVE (cf sections 3.1.2 à 3.1.5), à l'aide des outils proposés par le logiciel.
Nous ne parlons pas ici des méta-modèles.
Puis nous allons voir dans une deuxième partie la mise en place sous Scilab d'une application
dotée d'une interface graphique pour la MDO, ainsi que l'implémentation des formulations. L'implémentation
sous ModelCenter a permis de se faire la main sur l'implémentation des méthodes
et d'en tirer quelques enseignements. Les principes vus sous ModelCenter peuvent être repris
pour notre application développée sous Scilab (cf section 3.2.1). En particulier, nous pouvons
reprendre le principe qui consiste à partir de l'implémentation d'une formulation pour en créer
une autre. Nous cherchons alors à implémenter les formulations de la manière la plus générale
qui soit. On propose le choix d'utiliser l'optimisation des variables locales ou non, ou encore le
choix d'utiliser les méta-modèles linéaires ou non. An d'obtenir des résultats complémentaires,
nous développons aussi des outils, comme les points de départ multiples ou la construction de
front de Pareto (cf section 3.2.4). L'application prendra la forme d'une interface graphique qui
permettra entre autres, de choisir les paramètres de l'optimisation, d'exécuter les formulations
MDO et de visualiser l'évolution des variables et des sorties (cf section 3.2.5).
Nous présenterons les avantages et inconvénients des deux approches, l'une avec ModelCenter,
facile d'accès mais où il devient dicile de sortir des sentiers battus (que ce soit pour des raisons
de prix, ou parce qu'il est dicile d'implémenter de nouveaux outils pour la MDO), et l'autre avec
Scilab, où l'on possède une grande liberté d'action et une grande maîtrise de l'environnement,
mais où chaque outil reste à créer, ce qui demande un eort conséquent en implémentation.
3.1 Implémentation sous ModelCenter
Dans cette partie, nous présentons l'implémentation du cas-test Sobieski (cf section 1.2) sous
ModelCenter. Le logiciel ModelCenter est un logiciel développé par la société Phoenix.Il est
très ergonomique et permet de mettre en place rapidement des modèles et analyses de système,
et de les coupler avec des optimiseurs, avec comme particularité la possibilité d'accéder à des
modèles distribués via le réseau (protocole HTTP). Les diérentes disciplines ont été codées en
Fortran. Elles se présentent dans ModelCenter sous forme de composants. Un composant est
l'encapsulation d'un code de calcul dont on décrit, à l'aide d'un langage de script, les entrées et
sorties d'exécution.
Le logiciel propose des composants spéciques :
un composant nommé convergeur, pour la recherche de zéros. Il permet, lorsqu'on lui spécie
les variables de couplage et les sorties associées, de trouver l'équilibre interdisciplinaire

3.1 Implémentation sous ModelCenter 59
à l'aide d'une méthode de point xe (cf section 2.1.2) ;
un composant pour l'optimisation. Il propose plusieurs algorithmes, dont un dérivé de SQP
et distribué par Vanderplaast R&D : DOT-SQP (voir [Van01a]). On lui spécie les sorties
qui détermineront les fonctions coût et contraintes, ainsi que les variables à optimiser. On
dénit ainsi le problème d'optimisation global. On peut attribuer un optimiseur une discipline
ou un sous-ensemble de composants, pour qu'il optimise ses variables locales par
rapport à un objectif qui lui est propre.
Les liens entres les diérentes disciplines, le composant convergeur et les modules d'optimisation
sont créés grâce à l'éditeur de liens proposé par le logiciel. On peut ainsi attribuer les
variables aux diérentes disciplines, spécier au composant convergeur les variables de couplage
et les sorties associées, spécier aux composants pour l'optimisation les variables à optimiser, et
spécier quelles sorties seront les objectifs et les contraintes de l'optimisation.
Nous allons tout d'abord détailler l'intégration des codes disciplinaires sous forme de composants
(cf section 3.1.1), puis nous allons détailler l'implémentation de quatre formulations
MDO : la méthode MDF, la méthode IDF, la méthode CO et la méthode DIVE (cf sections 3.1.2
à 3.1.5).
3.1.1 Les composants discipline du cas-test SSBJ
Les disciplines sont représentées par leur code de calcul. Ici, les codes sont écrits en langage
FORTRAN, et fonctionnent avec des chiers de données d'entrée et de sortie. Nous pouvons les
intégrer dans ModelCenter sous la forme de composants.
Nous allons prendre l'exemple de la discipline performance qui calcule le rayon d'action. Pour
en faire un composant, nous devons créer un chier Range.filewrapper, qui contient les instructions
RunCommand, RowFieldInputFile inputFile et RowFieldOutputFile outputFile.
À l'appel de la discipline, on va exécuter l'instruction RunCommand :
_________________________________________________________________________________
RunCommand
{
generate inputFile
run "Range"
parse outputFile
}
_________________________________________________________________________________
Nous allons détailler les trois temps de l'exécution de cette commande.
1. Dans un premier temps, l'instruction generate inputFile permet de créer un chier
d'entrée Range.txt, à partir des valeurs des variables présentes dans ModelCenter. L'instruction
RowFieldInputFile inputFile 1 décrit le nom du chier à générer, ainsi que
les diérentes variables :
_________________________________________________________________________________
RowFieldInputFile inputFile
{
templateFile: Range.txt.template
fileToGenerate: Range.txt
1 inputFile et ouputFile sont des labels permettant de renvoyer à la section correspondante.

60 Implémentation des formulations MDO
variable: M double 2 4 description="Mach"
variable: H double 3 4 description="Altitude"
variable: Fin double 4 4 description="Finesse"
variable: Wt double 5 5 description="Masse totale"
variable: Wf double 6 6 description="Masse de carburant"
variable: Sfc double 7 5 description="Consommation spécifique"
}
_________________________________________________________________________________
On va donc prendre dans ModelCenter la valeur des diérentes variables d'entrée du code
Range et les écrire dans le chier Range.txt :
_________________________________________________________________________________
Valeur courante
M Mach : 1.4
H Altitude : 60000.0
Fin Finesse : 7.172897
Wt Masse totale : 73713.833041
Wf Masse de carburant : 19291.560467
Sfc Consommation spécifique : 0.931565
_________________________________________________________________________________
2. L'instruction run "Range" va exécuter le code de la discipline performance. Ce code ira
lire dans le chier Range.txt les valeurs des variables d'entrée, eectuera le calcul du rayon
d'action et écrira les sorties dans le chier ResRange.txt :
_________________________________________________________________________________
R Rayon d'action: 1874.825010
_________________________________________________________________________________
3. Enn, l'instruction parse outputFile permet à ModelCenter de lire les valeurs des sorties
dans le chier ResRange.txt :
_________________________________________________________________________________
RowFieldOutputFile outputFile
{
fileToParse: ResRange.txt
variable: R double 1 4 description="Rayon d'action"
}
_________________________________________________________________________________
Pour intégrer les codes disciplinaires sous forme de composants ModelCenter, il faudra donc
écrire un chier .filewrapper pour chacune des disciplines. À chaque appel d'un code, les
sorties sont gardées en mémoire. On n'exécutera le composant que si les variables d'entrée ont
été modiées depuis le dernier appel.
3.1.2 MDF
La formulation MDF (Multi Disciplinary Feasible, cf section 2.2.1) est la méthode la plus
naturelle : en chaque point de conception, une analyse multi-disciplinaire est eectuée et les
sorties sont ensuite communiquées à l'optimiseur. Nous voyons dans la gure 3.1 l'implémentation
de la méthode MDF sous ModelCenter.

3.1 Implémentation sous ModelCenter 61
Fig. 3.1 Implémentation de MDF sous ModelCenter.
Nous voyons sur cette gure les quatre disciplines alignées en diagonale. Les trois premières
en partant du coin en haut à gauche, sont les disciplines de conception (la discipline structure, la
discipline aérodynamique et la discipline propulsion). Elle sont reliées au composant convergeur
situé en bas à gauche, qui permet d'eectuer l'analyse multi-disciplinaire.
Ces disciplines, une fois le processus d'équilibre interdisciplinaire convergé, envoient leurs
sorties à la discipline performance située en bas à droite, qui va calculer le rayon d'action (notre
fonction objectif à maximiser) et le communiquer à l'optimiseur.
Les valeurs du rayon d'action et des contraintes disciplinaires sont visibles dans les tableaux
situés à droite. Nous voyons aussi la valeur des 10 variables de conception dans le tableau situé
en haut à gauche, ainsi que le nombre d'appels aux disciplines dans le tableau situé en haut au
milieu.
Avec l'algorithme DOT-SQP, le calcul des gradients (cf section 2.1.3) est eectué par diérences
nies et il n'y a pas la possibilité de fournir les gradients par un autre moyen (par exemple, avec
la méthode GSE). En chaque point de conception où l'on souhaite calculer ce gradient, il faudra
donc faire autant de calculs couplés qu'il y a de variables de conception.
3.1.3 IDF
La méthode IDF (Individual Disciplinary Feasible, cf section 2.2.2), permet de casser les liens
directs qui existent entre les disciplines, et de traiter le problème de couplage non plus au niveau
de l'analyse du système, mais désormais au niveau de l'optimiseur. Nous voyons sur la gure 3.2
l'implémentation de la méthode IDF sous ModelCenter.
Comme nous pouvons le voir sur la gure, dans le tableau en haut à gauche, le nombre de
variables à optimiser a augmenté. L'optimiseur gère désormais les variables de conception et les
variables de couplage. Les quatre disciplines sont situées sur la diagonale. Elles ne sont plus
reliées entre elles au travers du convergeur, comme pour la méthode MDF (cf section 3.1.2). Le

62 Implémentation des formulations MDO
Fig. 3.2 Implémentation de IDF sous ModelCenter.
couplage est géré par l'optimiseur avec l'ajout de contraintes d'égalité sur l'équation d'état (cf
section 2.1.2) :
y − Y (p, y) = 0 (3.1)
Ces contraintes doivent être normalisées, on utilisera par exemple les contraintes suivantes :
y − Y (p, y)
Y (p, y)
= 0 (3.2)
En pratique, l'algorithme DOT-SQP ne propose pas de prendre en compte les contraintes d'égalité.
Une solution est de changer cette contrainte en deux contraintes d'inégalité :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y − Y (p, y)
− ≤ 0
Y (p, y)
y − Y (p, y)
≤ 0
Y (p, y)
L'algorithme DOT-SQP possède comme paramètre de réglage le seuil d'activation des contraintes
c a , ainsi que le seuil de violation des contraintes c v (c a et c v sont strictement positifs).
(3.3)
Soit G i (p, y) une contrainte d'inégalité (on va chercher à avoir G i (p, y) < 0 ,
lorsque G i (p, y) ≥ −c a , la contrainte est considérée comme active, elle doit être prise en
compte ;
lorsque G i (p, y) ≥ c v , la contrainte est dépassée, il faut faire en sorte de la réduire.
Nous voyons sur la gure 3.3, une illustration de ces paramètres.
Si l'on choisit ces paramètres trop petits, l'optimiseur s'arrête prématurément, avec une erreur
signalant qu'il ne peut pas satisfaire les contraintes d'égalité. Si on les relâche trop, les valeurs
des variables de couplage ne sont plus ables, et les valeurs des fonctions objectif et contraintes
ne sont plus valables : on arrive à des performances intéressantes, mais qui ne reètent plus la
réalité. Ce dosage empirique et délicat détermine très fortement l'issue de l'optimisation.

3.1 Implémentation sous ModelCenter 63
G(p,y)>0
G(p,y)

64 Implémentation des formulations MDO
locales, et il n'y a plus de copie des variables partagées. Ici, les disciplines cherchent à ce que
leurs sorties correspondent aux valeurs demandées par le système, tout en respectant leurs propres
contraintes.
Par exemple, le système va donner une masse totale y W T et un angle de vrillage yΘ comme
objectifs à la discipline structure. Pour déterminer ses variables locales que sont x la section de
caisson et λ l'element, cette discipline doit résoudre le problème suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min
x,λ (yΘ − Y Θ ) 2 + (y W T
− Y W T
) 2 ,
sous contraintes :
0.98 ≤ Y Θ ≤ 1.02,
σ 1 → σ 5 ≤ 1.09.
À chaque appel d'une discipline, on lance une optimisation disciplinaire.
De même que pour la méthode IDF (cf section 3.1.3), l'équilibre interdisciplinaire est alors
assuré par la contrainte normalisée :
y − Y
= 0. (3.5)
Y
Nous retrouvons ici la même diculté pour le réglage des paramètres de seuil d'activation et
de violation des contraintes spéciques à l'algorithme DOT-SQP.
(3.4)
3.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire)
La méthode DIVE (Disciplinary Interaction Variable Elimination, cf section 2.2.7) essaie de
réduire la complexité du problème global en éliminant successivement les diérentes variables.
Nous implémentons ici une version sans la gestion des méta-modèles, et nous ferons appel aux
vrais codes disciplinaires. La gure 3.5 expose l'implémentation de la méthode DIVE.
Fig. 3.5 Implémentation de DIVE sous ModelCenter.

3.1 Implémentation sous ModelCenter 65
La première étape de la méthode DIVE est l'élimination des variables locales. Les trois
disciplines de conception sont couplées avec un optimiseur. Les optimisations locales se font
selon des critères choisis au préalable. Dans notre cas, nous choisissons de minimiser la masse
totale W T pour la structure, maximiser la nesse L/D pour l'aérodynamique et minimiser la
consommation spécique du moteur SF C pour la propulsion (ce choix de fonctions objectif
disciplinaires est justié dans la section 1.2.2).
La deuxième étape consiste en l'élimination des variables de couplage. Les disciplines sont
reliées entre elles par le module convergeur. Ce dernier va chercher les valeurs des variables
de couplage qui vont satisfaire l'équation d'état interdisciplinaire. On peut aussi remplacer le
composant convergeur par un composant optimiseur, et poser le problème de cohérence interdisciplinaire
comme un problème d'optimisation.
Enn, la troisième étape consiste à eectuer l'optimisation globale. L'optimiseur principal
(ou système) ne gère ici que les variables partagées et va chercher à optimiser le rayon d'action,
tout en s'occupant des contraintes qui n'ont pas été satisfaites lors des optimisations locales.
En pratique, l'algorithme est le suivant :
1. l'optimiseur système gère les variables partagées, et cherche à maximiser le rayon d'action ;
2. pour chaque calcul du rayon d'action, le composant convergeur est mis en route pour
rechercher la cohérence disciplinaire, il s'occupe des variables d'interaction ;
3. enn, à chaque fois que le composant convergeur fait appel à une discipline, une optimisation
des variables locales correspondantes est eectuée.
3.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter
Nous avons vu dans cette section l'implémentation du cas-test SSBJ sous ModelCenter et de
plusieurs formulations MDO, à savoir les méthodes MDF, IDF, IDF séquentiel, CO et DIVE.
Nous pouvons désormais faire le point sur les diérents avantages et inconvénients que l'on peut
rencontrer lors de l'utilisation de ce logiciel.
Les principaux avantages de ModelCenter sont :
• une grande simplicité d'utilisation, il est facile de créer des composants à partir de codes
existants, et de les coupler avec les optimiseurs ;
• c'est un outil ergonomique, on voit graphiquement l'organisation de notre système et on
peut interpréter rapidement les diérentes formulations ;
• il est intuitif, on peut facilement jongler avec les diérentes variables, grâce au link editor ;
• le module d'optimisation DOT-SQP est un outil ecace et robuste, et il est très pratique de
pouvoir créer autant de composants optimiseur que l'on souhaite ;
• de nombreux outils permettent d'analyser les résultats ;
• il permet d'exécuter des codes situés sur diérentes machines éloignées physiquement.
Cependant, il y a aussi plusieurs inconvénients :
• le module d'optimisation DOT-SQP ne permet pas de choisir le mode de calcul des gradients
ou d'intégrer nos propres gradients. Seul le calcul de gradients par diérences nies est
disponible. On ne peut donc pas utiliser la méthode GSE (cf section 2.1.3), qui permettrait
de gagner un temps conséquent sur le calcul des gradients.
• il est possible d'intégrer ses propres codes d'optimisation, dans lesquels on pourrait fournir
les gradients, mais cela constitue un travail d'informaticien chevronné.
• c'est un logiciel qui coûte assez cher : la licence de base ne fournit pas tous les diérents
outils et l'on est contraint de payer, à chaque fois que l'on doit utiliser de nouveaux mod-

66 Implémentation des formulations MDO
ules (par exemple le module DARWIN pour l'optimisation avec des algorithmes génétiques).
Cet outil présente donc l'avantage d'être pratique, intuitif et simple d'utilisation. Mais son
utilisation est limitée par son coût et l'intégration de nouveaux outils d'optimisation n'est pas
une tâche aisée.
3.2 Implémentation sous Scilab
Une alternative à ModelCenter est d'utiliser un logiciel libre, et nous allons voir dans cette
section l'implémentation des formulations MDO sous Scilab 2 . Nous pourrons nous inspirer des
principes et des outils vus avec ModelCenter, et en établir de nouveaux. Ce logiciel présente
l'avantage d'être gratuit et nous donne la possibilité d'en maîtriser chaque partie. Cependant ce
n'est pas un logiciel conçu spécialement pour l'optimisation multi-disciplinaire et son utilisation
pour la MDO va demander un plus grand eort de programmation. Comme son nom l'indique :
Scilab pour Scientic Laboratory, est un logiciel dédié au calcul scientique. Il se présente
comme une alternative libre au logiciel commercial Matlab 3 . Le choix du logiciel Scilab pour
l'implémentation des formulations MDO n'est pas anodin. Tout d'abord, des logiciels comme
Scilab ou Matlab orent la possibilité d'implémenter et de tester des programmes rapidement.
Un des avantages de Scilab par rapport à Matlab est que, même s'il ne regroupe pas tous les
outils présents dans Matlab, il permet de réaliser la plupart des programmes courants et surtout
il est gratuit. De plus, un des objectifs du projet OMD-RNTL est de promouvoir l'utilisation du
logiciel Scilab. Il était donc important, dans ce contexte, de développer une application avec ce
logiciel. Nous donnons dans cette section un plan d'ensemble des ambitions de ce logiciel. Le but
de cet outil est de prouver la capacité du logiciel Scilab pour l'optimisation multi-disciplinaire.
Pour cela, on souhaite créer un programme permettant de tester ces diérentes méthodes sur
plusieurs cas-tests.
L'implémentation sous ModelCenter nous a permis de comprendre certains principes que
nous pouvons reprendre pour ce programme sous Scilab (cf section 3.2.1).
Nous souhaitons créer un outil qui puisse être utilisé par plusieurs cas-tests. Nous mettons en
place une interface entre les codes de calcul et notre programme. Nous implémentons des outils
pour l'optimisation multi-disciplinaire, qui seront utilisables par n'importe quel code de calcul
disciplinaire, et par conséquent tout cas-test pourra être réalisé.
Les formulations MDO possèdent souvent plusieurs points communs, et on peut passer de
l'une à l'autre en changeant certains éléments de l'implémentation. Par exemple, la méthode
MDF utilise une analyse système de type MDA. Lorsqu'on choisit d'utiliser une analyse système
de type IDA (pour laquelle les disciplines sont appelées indépendamment, et où la cohérence
interdisciplinaire est assurée par des contraintes d'égalité) nous obtenons la méthode IDF. Nous
allons donc implémenter les formulations MDO de la manière la plus générale possible (cf section
3.2.2).
Nous proposons notamment le choix de la fonction objectif et des contraintes sur les sorties
an de ne pas se limiter à un seul problème d'optimisation.
Des outils qui permettront d'obtenir des résultats supplémentaires sont réalisés, comme les
points de départ multiples ou la construction de fronts de Pareto (cf section 3.2.4).
L'application prendra la forme d'une interface graphique, qui permettra entre autres, de
choisir les paramètres de l'optimisation, d'exécuter les formulations MDO et de visualiser l'évolution
des variables et des sorties (cf section 3.2.5).
2 http ://www.scilab.org
3 http ://www.mathworks.fr

3.2 Implémentation sous Scilab 67
3.2.1 Principes repris de ModelCenter
La mise en place des formulations MDO sous ModelCenter (cf section 3.1) a permis de nous
faire une première expérience, et d'en tirer quelques enseignements sur leur implémentation. Nous
retenons tout particulièrement trois points.
1. Sous ModelCenter, les codes disciplinaires ne sont exécutés que dans le cas où les variables
d'entrée ont été modiées depuis le dernier appel ; an d'éviter les calculs inutiles, nous
pouvons donc garder en mémoire les dernières sorties et faire un test sur les variables, et
ainsi réduire le nombre d'appels aux codes de calcul ;
2. L'optimiseur DOT-SQP disponible sous ModelCenter gère les contraintes d'égalité sous la
forme de deux contraintes d'inégalité (Y − y < 0 et Y − y > 0), nous pouvons implémenter
les contraintes d'égalité sous cette forme, ou bien de façon classique (Y − y = 0) ;
3. On peut partir de l'implémentation d'une formulation pour en créer une autre. Par exemple,
en partant de la formulation MDF, si l'on supprime le composant convergeur qui assure
la cohérence interdisciplinaire, et que l'on ajoute des contraintes d'égalité pour assurer
cette cohérence, on obtient la formulation IDF. Toujours en partant de la formulation
MDF, si l'on attribue des optimiseurs locaux à chaque discipline, on se rapproche, en
première analyse, de la formulation DIVE. Dans notre logiciel sous Scilab, nous cherchons
à implémenter les formulations de la manière la plus générale qui soit. Cela permettra de
passer facilement d'une formulation à l'autre.
3.2.2 Implémentation des formulations MDO
Nous cherchons à implémenter les formulations MDO de la manière la plus générale possible.
Nous nous inspirons fortement de la méthode DIVE (cf section 2.2.7). Comme nous pouvons le
voir sur la gure 3.6, une formulation MDO peut se composer de trois parties.
1. Niveau disciplinaire : à ce niveau, nous dénissons le type d'appel aux disciplines.
Les disciplines peuvent être appelées de façon normale, ou bien elles peuvent être reliées à
un optimiseur qui va eectuer l'optimisation des variables locales, à chaque appel du code
de calcul disciplinaire.
Ces réponses disciplinaires (optimisées localement ou non) peuvent être approchées par des
méta-modèles. Chaque discipline doit être en mesure de proposer le méta-modèle qui lui
convient le mieux. Au niveau système, nous considérons que les réponses des sollicitations
aux disciplines sont fournies par les méta-modèles. L'appel brut au code disciplinaire doit
être considéré comme un méta-modèle valide en chaque point.
An de prouver la viabilité de l'utilisation des méta-modèles dans un processus d'optimisation
multi-disciplinaire, nous proposons ici des approximations linéaires, avec une taille
de région de conance xe. Nous chercherons empiriquement la bonne taille qui permette
d'assurer la cohérence des sorties au cours de l'optimisation, tout en laissant la possibilité
d'atteindre rapidement l'optimum. Nous faisons l'hypothèse que, si cette méthode marche
avec ces méta-modèles très simples, alors elle ne pourra que mieux fonctionner avec d'autres
méta-modèles plus élaborés, et surtout plus adaptés 4 .
2. Niveau système : nous pouvons faire le choix entre deux types d'analyses système.
4 Il faut garder à l'esprit que la complexité d'un méta-modèle ne fait pas toujours son ecacité ; il reste à
trouver une approximation qui soit en adéquation avec la modélisation disciplinaire.

68 Implémentation des formulations MDO
Initialiser / Régénérer Méta-modèles
✲
Mode d'appel aux disciplines
• optimisation locale :
✲
D ✛ Optimiseur local
ou
• appel normal
Type de Méta-modèle
• code de calcul brut
ou
• approximation linéaire
Méta-modèles disciplinaires
❄
Analyse système
Type analyse système
• MDA
ou
- point xe
- Gauss-Newton
- optimisation
• IDA
Calcul de gradient
si MDA :
• diérences nies
ou
• GSE
Sorties, Gradients
❄
✻
Variables
Optimisation système
Optimiseur système
• CFSQP
ou
• LIN
Cohérence interdisciplinaire
si IDA :
• Y − y = 0
ou
• |Y − y| < ε
Point optimal
❄
Non
• méta-modèle valide ?
• équation d'état résolue ?
Oui
✲ Convergence
Fig. 3.6 Implémentation des formulations MDO sous Scilab.

3.2 Implémentation sous Scilab 69
• MDA (Multi-Disciplinary Analysis) : les disciplines sont dépendantes les unes des autres.
L'analyse système permet de résoudre l'équation d'état interdisciplinaire et de dénir
ainsi la valeur des variables d'interaction. Pour eectuer cette MDA, nous pouvons
choisir les méthodes de point xe, de Gauss-Newton et de minimisation vues dans la
section 2.1.2.
Lorsque l'on choisit une analyse système de type MDA, on peut aussi faire un choix pour
le calcul des gradients : utiliser les diérences nies ou bien la méthode GSE.
• IDA (Individual Disciplinary Analysis) : les disciplines sont considérées indépendantes.
On ne tient pas compte à ce niveau de l'interaction entre les disciplines. L'équilibre
interdisciplinaire est assuré par des contraintes d'égalité au niveau de l'optimiseur.
Pour l'analyse système de type IDA, on peut faire le choix de considérer ces contraintes
d'égalité en tant que telles (Y − y = 0), ou bien de les considérer comme des contraintes
d'inégalité (|Y − y| < ε).
3. Optimiseur système : dans le logiciel Scilab, il n'y a pas d'optimiseur permettant de
gérer les contraintes d'égalité ou d'inégalité non linéaires.
Il existe cependant une interface avec le code CFSQP [Law01] qui implémente la méthode
SQP (Sequential Quadratic Programming).
Il existe aussi la fonction linpro qui permet de résoudre des problèmes d'optimisation
linéaires. Nous pouvons créer avec cette fonction une méthode itérative, qui linéarise notre
problème et qui utilise la méthode des régions de conance. Nous appelons cet optimiseur
LIN. Cet optimiseur est détaillé en annexe B.3
Ce logiciel propose le choix parmi ces deux optimiseurs système.
Nous pouvons alors dénir 6 choix pour l'implémentation d'une formulation MDO : 3 choix
majeurs qui détermineront sa nature et 3 choix mineurs qui seront des options supplémentaires.
Ces choix sont proposés par l'interface graphique (cf gure 3.7).
Choix majeurs :
Fig. 3.7 Fenêtre de choix pour la formulation MDO.
• optimisation disciplinaire : sans ou avec optimisation disciplinaire de type CO ou
DIVE ;

70 Implémentation des formulations MDO
• méta-modèle disciplinaire : sans ou avec utilisation d'approximations linéaires ;
• analyse du système : MDA ou IDA.
Choix mineurs :
• optimiseur système : CFSQP ou LIN ;
• calcul de gradient (si MDA) : diérences nies ou GSE ;
• contraintes d'égalité sur l'équation d'état (si IDA) : Y − y = 0 ou |Y − y| < ε.
L'exécution de la formulation MDO va donc se dérouler de la sorte :
1. Initialisation / Régénération des méta-modèles :
Si nous utilisons des méta-modèles, ces derniers sont actualisés au point courant. Leur domaine
de validité est déni. Lorsqu'il n'y a pas de méta-modèle, nous utilisons directement
les sorties des codes de calcul disciplinaires (optimisées par rapport aux variables locales
ou non) et nous les considérons pour la suite comme des méta-modèles valides en tout point.
2. Optimisation
L'optimisation se déroule au travers des méta-modèles. Pour dénir le problème d'optimisation
nous devons :
choisir une des sorties des disciplines comme notre fonction objectif à maximiser ou
minimiser,
déterminer les valeurs de bornes pour les variables en fonction des régions de conance,
xer des bornes pour les sorties, qui déniront nos contraintes d'inégalité.
3. Vérication de la validité du point optimum : on regarde si le point optimal trouvé
satisfait bien les conditions suivantes :
le point trouvé n'est pas sur le bord de la région de conance,
l'équation d'état est bien satisfaite en ce point,
la validité du méta-modèle est maximale en ce point (par exemple, pour les méta-modèles
linéaires, l'évaluation est exacte au centre de la région de conance).
Si oui, nous pouvons considérer que la conguration optimale est atteinte. Dans le cas
contraire, on reprend à partir du point 1.
3.2.3 Cas particulier de BLISS
La formulation BLISS (cf section 2.2.5) dière des autres, dans le sens où les optimisations
locales et globales se font en série. Voici l'implémentation faite pour un cycle de BLISS. On
utilise tout d'abord des appels normaux aux disciplines, pour eectuer l'analyse système de type
MDA, et le calcul des gradients de type GSE. Une fois les sorties et les gradients calculés, on
peut procéder aux optimisations disciplinaires.
Nous implémentons les instructions pour calculer les fonctions objectifs et contraintes disciplinaires,
à partir d'une approximation à l'ordre 1 des sorties disciplinaires. Pour l'optimisation
de la discipline performance, on ajoute l'information donnée par les coecients de Lagrange
obtenus avec les autres disciplines (cf section 2.2.5).

3.2 Implémentation sous Scilab 71
3.2.4 Outils supplémentaires
Nous avons aussi implémenté deux outils pour pouvoir mieux analyser les formulations. Tout
d'abord, nous pouvons exécuter une formulation en partant de plusieurs points initiaux. Ces
points sont sélectionnés aléatoirement dans l'espace de conception, via l'outil MULTI-START mis
en place.
L'outil PARETO permet de construire un front de Pareto pour deux fonctions objectifs choisies,
en utilisant la méthode des objectifs contraints (voir annexe B.2).
Le logiciel permet de visualiser les valeurs des gradients, ainsi que celles des coecients de
Lagrange associés aux contraintes du problème :
avec les gradients, on peut voir l'inuence des variables sur les diérentes sorties ;
les coecients de Lagrange permettent de mesurer l'impact de la variation d'une contrainte
sur le résultat obtenu. En eet, les coecients de Lagrange nous donnent la sensibilité de la
fonction coût à la variation des contraintes : λ = df . En considérant le problème linéarisé
dg
autour de l'optimum, lorsque l'on relâche une contrainte d'une quantité dg, la fonction
objectif peut alors être améliorée d'une quantité λdg. Nous pouvons ainsi déterminer quelles
sont les contraintes qui possèdent le plus d'inuence sur notre solution.
3.2.5 Interface graphique
L'interface graphique se compose de quatre parties :
la fenêtre principale, qui permet de choisir le cas-test, régler les options et lancer les formulations
;
la fenêtre d'achage des variables ;
la fenêtre d'achage des sorties ;
le compteur du nombre d'appels aux codes disciplinaires.
• La fenêtre principale (voir gure 3.8) permet d'eectuer diérentes actions :
choisir et charger un cas test (Sobieski ou Dassault) ;
choisir la formulation MDO (directement, ou avec la fenêtre de choix présente dans la
gure 3.7) ;
régler des paramètres de l'optimisation :
dx : pas pour les diérences nies,
eps : paramètre de CFSQP pour la convergence,
tol : tolérance pour la convergence de la MDA,
miter : nombre maximal d'itérations,
iprint : mode d'achage de CFSQP,
epsilon : seuil de la contrainte |(Y − y)‖ ≤ ɛ,
nb_multistart : nombre de points dans l'échantillon pour le multistart,
taille_rc : taille par défaut de la région de conance,
da : nombre de points du front de Pareto.
Les boutons permettent d'eectuer plusieurs actions :
CHARGER_CAS_TEST : charger un cas-test ;
INIT : initialisation de points par les milieux des bornes ;
RAND : initialisation aléatoire ;
EXEC : exécuter la formulation MDO sélectionnée ;
COURBE : tracer l'évolution des variables ou des sorties sélectionnées ;
MULTI : eectuer la formulation en partant de plusieurs points diérents ;

72 Implémentation des formulations MDO
ABORT : arrêter l'optimisation en cours ;
GRADIENT : acher les valeurs des gradients des sorties sélectionnées ;
LAGRANGE : calculer et acher les coecients de Lagrange associés aux contraintes.
Fig. 3.8 Fenêtre principale de l'application Scilab.
• La fenêtre des variables permet l'achage des valeurs des variables au cours de l'optimisation.
Elle permet aussi le choix des valeurs initiales des variables et de leurs contraintes
de borne.
• La fenêtre des sorties permet de choisir la (ou les, dans le cas de l'optimisation multiobjectif)
fonction(s) coût, ainsi que les contraintes de borne sur les sorties, qui déniront
les contraintes d'inégalité du problème d'optimisation.
Sur ces deux fenêtres, on peut visualiser les coecients de Lagrange associés aux contraintes
de borne ou aux contraintes d'inégalité.
• Enn, une dernière fenêtre permet de visualiser le nombre d'appels aux disciplines.
Les fenêtres des variables, des sorties et des compteurs sont présentées sur la gure 3.9.
Conclusion
Nous avons vu dans ce chapitre l'implémentation des diérentes formulations MDO, sous deux
environnements, ModelCenter et Scilab. Dans le chapitre qui suit, nous allons voir et analyser les
résultats obtenus sur chacun des deux cas-tests présentés dans le chapitre 1. Nous pourrons ainsi
les comparer et tirer des conclusions quant à l'utilité et l'ecacité des diérentes formulations.
Nous essaierons aussi de montrer ce que l'on peut gagner en substituant aux codes de calcul
disciplinaires des méta-modèles évolutifs.

3.2 Implémentation sous Scilab 73
Fig. 3.9 Fenêtres des variables, des sorties et des compteurs.

Chapitre 4
Résultats obtenus avec les formulations
MDO
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter . . . . . . . . 76
4.1.1 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.4 DIVE (sans méta-modèle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.5 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Coecients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.5 Coecients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

76 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons montrer les résultats obtenus avec les diérentes implémentations
vues dans le chapitre 3. Le but ici est de montrer avec ces résultats les performances
des diérentes formulations, mais aussi la viabilité et l'ecacité de l'utilisation de méta-modèles
linéaires. Les codes du cas-test Sobieski sous ModelCenter et Scilab présentent quelques différences,
qui peuvent se retrouver au niveau des résultats obtenus.
Dans une première section, nous présentons les résultats obtenus avec le cas-test Sobieski
implémenté sous ModelCenter (cf section 4.1). Dans les sections suivantes, nous présentons les
résultats obtenus avec le logiciel Scilab : pour le cas-test Sobieski (cf section 4.2), et pour le
cas-test Dassault (cf section 4.3).
En conclusion, nous essaierons de tirer, à partir de ces résultats, des remarques générales sur
les formulations MDO, et sur l'utilisation des méta-modèles dans l'optimisation multi-disciplinaire.
4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter
Dans cette partie, nous analysons les résultats obtenus avec le cas-test Sobieski (cf section 1.2)
sous ModelCenter. Les formulations testées ici sont les formulations MDF, IDF, CO et DIVE.
On rappelle que l'objectif ici est de maximiser le rayon d'action.
Les tableaux 4.1 à 4.4 donnent les résultats suivants :
• les rayons d'action atteints par chacune des formulations (cf tableau 4.1) ;
• les variables optimales obtenues (cf tableau 4.2) ;
• le nombre d'appels eectués par les codes de calcul disciplinaires (cf tableau 4.3) ;
• les sorties des disciplines (cf tableau 4.4) :
le rayon d'action R et les sorties directement liées à son calcul, à savoir la masse totale
W T , la masse de carburant W F , la nesse L/D et la consommation spécique SF C ;
les sorties des disciplines qui serviront de contraintes d'inégalité pour le problème d'optimisation.
Type Sorties MDF CO IDF DIVE
Rayon d'action R 3495 3249 3452 3504
Après MDA . 3241 3499 .
Tab. 4.1 Rayons d'action atteints (Sobieski, ModelCenter).

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter 77
Type Variables MDF CO IDF DIVE lb ub
Partagées
Locales
t/c 0.06 0.055 0.06 0.06 0.01 0.09
h 60000 60000 60000 60000 30000 60000
M 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.8
AR 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 8.5
Λ 70 70 69.4 70 70 140
S REF 1500 1483.1 1477.9 1500 500 1500
Structure λ 0.26 0.25 0.28 0.1 0.1 0.4
x 0.76 1.04 0.88 0.75 0.75 1.25
Aérodynamique C f 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 1.25
Propulsion T 0.16 0.14 0.16 0.16 0.1 1
Tab. 4.2 Variables optimales obtenues (Sobieski, ModelCenter).
Nombre d'appels MDF CO IDF DIVE
Structure 239 639 104 693
Aérodynamique 239 717 120 78
Propulsion 239 440 64 271
Performance 45 77 136 15
Total 762 1873 424 1057
Itérations DOT-SQP 4 4 8 2
Tab. 4.3 Nombres d'appels aux disciplines (Sobieski, ModelCenter).
En première remarque, nous pouvons dire que chacune des formulations converge vers une
même conguration optimale. Nous allons tout d'abord analyser ces résultats pour chacune des
formulations, puis nous essayerons, par une analyse comparative, de faire ressortir des remarques
générales.
4.1.1 MDF
Pour cette méthode présentée en section 2.2.1, nous remarquons que :
• le convergeur fait entre 4 et 8 appels à chaque discipline, avant d'obtenir un équilibre interdisciplinaire
avec une précision relative de 10 −5 . Nous pouvons dire ici que la recherche
de la cohérence interdisciplinaire est assez facile, puisqu'elle peut être résolue avec une
méthode de point xe avec un nombre d'itérations faible.
• Le rayon d'action maximum est obtenu en 4 itérations de l'algorithme DOT-SQP, il at-

78 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Type Sorties MDF CO IDF DIVE lb ub
Performance R 3495 3249 3452 3504
L/D 13.4 14.1 12.7 13.2
W T 74253.3 74971 70778.1 73446.2
W F 19317.9 17651.2 18959.9 19350.6
Sfc 0.92 0.93 0.92 0.92
Contraintes
Structure Θ 0.96 1.03 0.97 0.96 0.95 1.05
σ 1 0.99 0.93 0.96 1.01 1.09
σ 2 1.00 0.95 0.97 1.01 1.09
σ 3 1.00 0.97 0.98 1.01 1.09
σ 4 1.00 0.97 0.98 1.01 1.09
σ 5 1.00 0.98 0.99 1.01 1.09
Aérodynamique dp/dx 1.04 1.02 1.04 1.04 1.04
Propulsion ESF 0.73 0.80 0.75 0.73 0.5 1.5
DT 0.003 -325.5 -0.48 -0.01 0
T emp 0.84 0.84 0.84 0.84 1.02
Tab. 4.4 Les sorties optimales obtenues (Sobieski, ModelCenter).
teint la valeur de 3495 Nm 1 . La gure 4.1 montre l'évolution du rayon d'action au cours
des itérations.
• Il y a 6 variables de conception qui atteignent leurs bornes : l'altitude h, le nombre de
Mach M, l'allongement AR, la surface de référence S REF , la èche Λ et le coecient de
frottement C F .
• Les contraintes non-linéaires saturées sont : dp/dx et DT .
• Le nombre d'appels aux disciplines est de 239 pour chacune des disciplines de conception
(Structure, Aérodynamique et Propulsion) et de 45 pour la discipline performance. Pour
chaque analyse du système, le convergeur va appeler le même nombre de fois les disciplines
de conception.
• Les gradients sont calculés par diérences nies. On pourrait avoir moins d'appels aux
codes de calcul disciplinaires en utilisant la méthode GSE. Malheureusement, l'algorithme
DOT-SQP, présent dans ModelCenter, établit lui même les gradients par diérences nies et
ne permet pas de les lui transmettre par ailleurs.
1 Nautic Miles

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter 79
Fig. 4.1 Évolution du rayon d'action avec la formulation MDF (Sobieski, ModelCenter).
4.1.2 IDF
Cette formulation (cf section 2.2.2) présente un nombre d'appels aux disciplines beaucoup
moins important que celui obtenu avec la méthode MDF. Cependant, elle présente plus de dif-
cultés pour le réglage des paramètres de l'optimiseur DOT-SQP (cf section 3.1.3), et l'équation
d'état interdisciplinaire est résolue de manière moins précise, ce qui va aecter directement la
qualité des résultats.
• Nous avons obtenu des résultats corrects avec les paramètres de l'optimiseur suivant : 0.01
pour le seuil d'activation et 0.1 pour le seuil de violation des contraintes. Pour d'autres
réglages de ces seuils, nous n'obtenons pas de résultats satisfaisants. Si l'on serre trop ces
paramètres, l'optimiseur s'arrête avec une erreur signalant qu'il ne peut pas satisfaire les
contraintes d'égalité. Si on les relâche trop, les valeurs des variables de couplage ne sont plus
ables et l'optimiseur s'arrête bien avant d'obtenir un rayon d'action correct. Ce dosage
est empirique et détermine très fortement l'issue de l'optimisation.
• Nous obtenons ici un rayon d'action R de 3452 Nm, la gure 4.2 montre l'évolution du
rayon d'action R.
• À la n de l'optimisation, les plus grandes erreurs de couplage en relatif sont de l'ordre de
0.2, ce qui reste assez important. On ne peut pas se contenter d'une précision relative aussi
peu satisfaisante et les résultats obtenus ici ne sont pas utilisables à un niveau industriel.

80 Résultats obtenus avec les formulations MDO
• An de se faire une idée des vrais résultats que l'on peut atteindre avec cette méthode, on
refait un calcul couplé (MDA) avec les variables de conception optimales obtenues avec la
formulation IDF. Le tableau 4.1 présente les résultats obtenus après une MDA, on obtient
un rayon d'action de 3499 Nm. Il y a donc une diérence entre le rayon d'action de 3452
Nm calculé avec la méthode IDF et la vraie valeur pour la conguration obtenue.
• La variable S REF obtenue est de 1477 ft 2 . Si l'on prend une surface de référence S REF de
1500 ft 2 , on obtient un rayon d'action de 3450 Nm et les contraintes sont toujours respectées.
La méthode IDF n'a pas convergé ici exactement sur la conguration optimale.
• Cette méthode est donc avantageuse en terme de nombre d'appels aux disciplines et s'avère
peu précise et peu robuste.
Fig. 4.2 Évolution du rayon d'action avec la formulation IDF (Sobieski, ModelCenter).
4.1.3 CO
La formulation CO est présentée en section 2.2.4. On rappelle ici qu'il s'agit d'une version
simpliée (cf section 3.1.4).
• Le rayon d'action obtenu avec cette méthode est de 3249 Nm, la gure 4.3 montre l'évolution
du rayon d'action R.

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter 81
• Pour avoir une idée des vraies valeurs des sorties obtenues avec cette méthode, on eectue
une MDA avec les paramètres de conception obtenus [x CO , z CO ] , on obtient alors un rayon
d'action d'une valeur de 3241 Nm, ce qui reste proche du résultat précédent. On constate
cependant que la contrainte de la discipline structure sur le vrillage Θ n'est plus respectée.
• Le nombre d'appels aux diérentes fonctions est largement supérieur à celui de la méthode
MDF, nombre bien évidemment dû aux optimisations disciplinaires.
• An de réduire ce nombre d'appels, on peut essayer de ne pas imposer de point de départ
sur les variables locales pour les optimisations disciplinaires, c'est-à-dire de repartir
du dernier point optimal trouvé. Cependant, on se rend compte que cette technique ne
marche pas toujours bien et il apparaît des problèmes de robustesse. Les tests que nous
avons eectués montrent que l'on peut le faire seulement avec les variables locales de la
discipline propulsion. Lorsqu'on le fait avec d'autres disciplines, nous obtenons de mauvais
résultats, car l'optimisation s'arrête (non-convergence) avant de trouver un optimum satisfaisant.
• La robustesse des optimisations locales joue un rôle essentiel dans les formulations de type
multi-niveaux.
Fig. 4.3 Évolution du rayon d'action avec la formulation CO (Sobieski, ModelCenter)

82 Résultats obtenus avec les formulations MDO
4.1.4 DIVE (sans méta-modèle)
La méthode DIVE est implémentée ici sans la gestion des méta-modèles (cf section 3.1.5).
• Le rayon d'action obtenu avec cette méthode est de 3504 Nm. Le couplage est bien assuré.
La contrainte dp/dx est saturée. Seules les variables t/c et T n'atteignent pas leurs bornes.
• La diérence avec le résultat obtenu avec MDF s'expliquerait principalement par une masse
de carburant W F plus élevée, due à une épaisseur relative t/c légèrement plus importante
et malgré une nesse L/D plus basse. Ces résultats sont cohérents du point de vue de la
physique.
• Le nombre d'appels aux disciplines est assez élevé, à cause des optimisations locales. On
peut essayer de ne pas forcer un point de départ identique pour toutes les optimisations
locales, mais on rencontre, comme pour la méthode CO, des problèmes de robustesse (échec
de la convergence au niveau global).
• Cependant, le nombre d'itérations de l'algorithme DOT-SQP est très bas : seulement 2 itérations.
On peut faire l'hypothèse que, comme la plupart des variables partagées z atteignent
leurs bornes, leur optimisation est plus aisée, et que l'optimisation des variables locales est
plus sensible et doit être laissée aux experts des disciplines.
La gure 4.4 représente l'évolution du rayon d'action au cours des itérations de l'algorithme
DOT-SQP.

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter 83
Fig. 4.4 Évolution du rayon d'action avec la formulation DIVE (Sobieski, ModelCenter)
4.1.5 Remarques
Les formulations testées nous mènent vers la même conguration optimale. Quelques points
permettent de les comparer :
• la performance obtenue : lorsque que l'on regarde les vrais résultats (ceux obtenus après
une MDA), la méthode qui nous mène à la meilleure performance est la formulation DIVE,
ce qui montre à la fois l'importance de l'optimisation multi-niveaux, et la pertinence des
fonctions coût disciplinaires choisies (cf section 1.2.2) ;
• la précision des résultats obtenus : les méthodes MDF et DIVE nous donnent, de par leur
nature et de par les résultats obtenus, une très bonne précision sur les sorties fournies ; la
méthode CO nous donne ici une précision acceptable, quant à la méthode IDF, elle fournit
une précision passable et qui ne peut être satisfaisante, même à un niveau de conceptual
design ;
• le nombre d'appels aux disciplines : la méthode la plus rapide est IDF (on pourrait imaginer
utiliser cette méthode IDF pour une première approche de l'optimum et terminer la
recherche de cet optimum avec une autre méthode plus précise) ; les méthodes multi-niveaux
sont plus gourmandes en temps de calcul, par le fait que l'on eectue une optimisation locale
à chaque appel de la discipline ;

84 Résultats obtenus avec les formulations MDO
• la diculté d'implémentation : les méthodes qui traitent le problème de couplage avec des
contraintes d'égalité sont plus diciles à mettre en place, car elles demandent un réglage
n de l'optimiseur. En général, il vaut mieux utiliser les formulations utilisant une MDA,
car elles sont plus faciles à régler, l'équation d'état est résolue de façon précise et la qualité
des résultats obtenus est donc meilleure.
Nous allons voir dans les sections qui suivent les résultats obtenus avec les cas-test Sobieski
et Dassault sous Scilab. Nous pourrons ainsi confronter ces remarques à l'implémentation sous
un autre logiciel, ainsi qu'à un nouveau cas-test.
4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab
Nous voyons dans cette partie les résultats obtenus pour le cas-test Sobieski (cf section 1.2).
Dans un premier temps, nous analysons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire (cf
section 4.2.1) pour les trois méthodes disponibles avec le logiciel développé sous Scilab.Nous
voyons ensuite les résultats obtenus pour plusieurs formulations (cf section 4.2.2), à savoir les
méthodes MDF, DIVE, IDF, CO et BLISS, et nous comparons leurs performances respectives.
Nous montrons quelques résultats complémentaires pour la méthode DIVE. Nous testons la
robustesse de cette méthode en la lançant à partir de plusieurs points de départ tirés aléatoirement
dans l'espace de conception (cf section 4.2.3). Nous cherchons à obtenir un front de Pareto pour
deux fonctions objectifs, à savoir minimiser la masse totale W T et maximiser le rayon d'action
R (cf section 4.2.4). Nous montrons enn les coecients de Lagrange associés à chacune des
contraintes du problème, an de voir quelles contraintes jouent un rôle prédominant dans le
problème d'optimisation (cf section 4.2.5).
4.2.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA)
L'analyse multi-disciplinaire revient à trouver un équilibre entre les diérentes disciplines (cf
section 2.1.2). Nous avons à notre disposition trois méthodes :
la méthode du point xe (MDA FP) ;
la minimisation des résidus (MDA OPTIM) ;
la méthode de Gauss-Newton (MDA GN).
Nous allons voir dans cette section l'ecacité de chacune de ces méthodes, pour deux cas
diérents :
1. appels directs aux disciplines ;
2. appels aux disciplines avec optimisation des variables locales ;
Appels directs aux disciplines
Nous considérons dans un premier temps les appels aux codes disciplinaires bruts. La gure
4.5 montre la convergence en précision de ces méthodes (log 10 ( ∑ i
‖Y i − y i ‖ 2 )), en fonction du
nombre d'analyses disciplinaires. La précision désirée pour la MDA est de 10 −15 . Les oscillations
observées avec la méthode de Gauss-Newton ne compromettent en rien sa convergence, et cette
méthode atteint la précision demandée.

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab 85
Fig. 4.5 Convergence de la MDA, appels directs aux disciplines(Sobieski, Scilab).
Le tableau 4.5 montre le nombre réel d'appels pour chaque discipline (en eet, lorsqu'une
discipline est sollicitée, alors que ses entrées n'ont pas été modiées depuis le dernier calcul, on
récupère les sorties en mémoire et on ne réeectue pas le même calcul).
Nombre d'appels MDA FP MDA OPTIM MDA GN
Analyses disciplinaires 5 95 221
Structure 5 70 158
Aérodynamique 5 70 158
Propulsion 5 44 96
Performance 1 1 1
Tab. 4.5 Nombres d'appels aux disciplines, MDA (Sobieski, Scilab).
Au vu de ces résultats, la méthode de point xe semble être la plus ecace. Il est cependant
important d'avoir d'autres possibilités, au cas où on aurait aaire à un cas-test plus dicile,
pour lequel la méthode de point xe ne convergerait pas.
Optimisation des variables locales
Nous considérons des appels aux disciplines avec optimisation des variables locales. Les fonctions
coût disciplinaires sont celles démontrées dans la section 1.2.2 (minimiser la masse totale
pour la discipline structure, maximiser la nesse pour la discipline aérodynamique et minimiser
la consommation spécique pour la discipline propulsion).

86 Résultats obtenus avec les formulations MDO
La gure 4.6 montre la convergence en précision de ces méthodes (log 10 ( ∑ ‖Y i − y i ‖ 2 )), en
i
fonction du nombre d'analyses disciplinaires. La précision désirée pour la MDA est de 10 −15 . Les
oscillations observées avec la méthode de Gauss-Newton ne compromettent en rien sa convergence,
et cette méthode atteint la précision demandée.
Fig. 4.6 Convergence de la MDA, optimisation des variables locales (Sobieski, Scilab).
Le tableau 4.6 montre le nombre d'appels pour chaque code de calcul disciplinaire (ce qui
comprend les appels pour les optimisations disciplinaires).
Nombre d'appels MDA FP MDA OPTIM MDA GN
Analyses disciplinaires 6 89 289
Structure 24 296 873
Aérodynamique 16 184 582
Propulsion 24 208 592
Performance 1 1 1
Tab. 4.6 Nombres d'appels aux disciplines, MDA OPT (Sobieski, Scilab).
Ici, les nombres d'analyses des disciplines sont voisins de ceux obtenus avec des appels aux
disciplines normaux. Le nombre d'appels aux codes de calculs disciplinaires est plus élevé, en
raison des optimisations disciplinaires.
En conlusion de cette analyse, nous ferons appel à la méthode de point xe pour assurer la
convergence de la MDA.

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab 87
4.2.2 Les formulations MDO
Dans cette section, nous testons plusieurs formulations MDO avec le cas-test Sobieski, à
savoir MDF, DIVE, IDF, CO et BLISS.
Nous voyons dans le tableau 4.7 le point de départ pour toutes les formulations, ainsi que
la meilleure conguration trouvée. Nous rappelons l'intervalle de variation [lb,ub] des variables.
L'objectif de cet exercice est de maximiser le rayon d'action (R).
Variables Valeur initiale Valeur optimale lb ub
λ 0.25 0.12 0.1 0.4
x 1 0.75 0.75 1.25
C f 1 0.75 0.75 1.25
T 0.5 0.156 0.1 1
t c 0.05 0.06 0.01 0.9
h 45000 60000 30000 60000
M 1.6 1.4 1.4 1.8
AR 5.5 2.5 2.5 8.5
Λ 55 70 40 70
S REF 1000 1500 500 1500
R 536 3494
Tab. 4.7 Congurations initiale et optimale (Sobieski, Scilab).
Pour la suite, nous considérons que les congurations obtenues avec les diérentes formulations
sont proches de celle-ci et nous n'en donnerons pas les détails. Nous préciserons juste, pour
chacune des formulations, le rayon d'action et le nombre d'appels aux disciplines.
MDF et DIVE
Le tableau 4.8 présente les résultats obtenus avec les formulations MDF et DIVE.
• Ici, la diérence fondamentale entre ces deux formulations est l'utilisation des méta-modèles
disciplinaires avec la méthode DIVE.
• La précision exigée pour la MDA est de 10 −15 .
• Le pas choisi pour les calculs de gradients par diérences nies est de 10 −2 .
• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.
Les résultats obtenus avec CFSQP sont moins bons, en termes de rayon d'action et de
nombre d'appels. Par souci de clarté, nous montrons uniquement les résultats obtenus avec
l'optimiseur LIN.
• La formulation DIVE utilise les méta-modèles linéaires. An d'avoir de bons résultats en
terme de nombre d'appels, la taille de la région de conance des méta-modèles disciplinaires
est xée à 1 (nous utilisons des variables normalisées).
• Les formulations MDF et DIVE obtiennent le même rayon d'action de 3494 Nm.
• La formulation DIVE est la plus performante, en terme de nombre d'appels.

88 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Formulation MDF DIVE
R 3494 3494
Nombre d'appels
Structure 221 117
Aérodynamique 261 143
Propulsion 141 65
Performance 140 91
Total 763 416
Tab. 4.8 Résultats pour les formulations MDF et DIVE (Sobieski, Scilab).
• L'utilisation de méta-modèles locaux et adaptatifs permet donc d'arriver à des solutions
cohérentes (la qualité de la solution obtenue est la même que pour le cas sans méta-modèle),
tout en réduisant de manière conséquente le nombre d'appels.
Fig. 4.7 Déplacement des régions de conance, formulation DIVE (Sobieski, Scilab).
La gure 4.7 montre le déplacement des régions de conance pour deux variables. An d'illustrer
ce phénomène, la taille de la région de conance est xée ici à 0.05 . La variable en abscisse
est l'element et la variable en ordonnée est la position de la manette des gaz T . Les valeurs des
variables sont normalisées.

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab 89
DIVE avec optimisation des variables locales
Nous nous intéressons à l'optimisation des variables locales. Les fonctions coût disciplinaires
sont ici celles démontrées dans la section 1.2.2 (minimiser la masse totale pour la discipline
structure, maximiser la nesse pour la discipline aérodynamique et minimiser la consommation
spécique pour la discipline propulsion).
• Nous testons ici deux versions :
1. DIVE OPT : optimisation des variables locales ;
2. DIVE MM OPT : utilisation des méta-modèles linéaires et optimisation des variables
locales.
• La précision exigée pour la MDA est de 10 −15 .
• Le pas choisi pour les calculs de gradients par diérences nies est de 10 −2 .
• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.
Les résultats obtenus avec CFSQP sont moins bons, en termes de rayon d'action et de
nombre d'appels. Par souci de clarté, nous montrons uniquement les résultats obtenus avec
l'optimiseur LIN.
• An d'avoir de bons résultats, en terme de nombre d'appels, la taille de la région de con-
ance des méta-modèles disciplinaires est xée à 1.
Le tableau 4.9 présente les résultats obtenus.
Formulation DIVE OPT DIVE MM OPT
R 3489 3492
Nombre d'appels
Structure 183 465
Aérodynamique 120 1993
Propulsion 104 311
Performance 28 119
Total 435 2888
Tab. 4.9 Résultats pour la formulation DIVE avec optimisation des variables locales (Sobieski,
Scilab).
DIVE OPT
• L'utilisation de l'optimisation disciplinaire s'avère assez ecace. La solution est trouvée en
4 itérations de l'optimiseur global.
• En conséquence, le nombre d'appels obtenu est meilleur que pour la formulation MDF (cf
tableau 4.8).
• La solution obtenue n'est pas tout à fait la solution optimale.
DIVE MM OPT
• Dans ce cas, l'optimisation de méta-modèles linéaires ne conduit pas forcément à de
meilleurs résultats.

90 Résultats obtenus avec les formulations MDO
• La qualité de la solution est meilleure (3492 Nm pour DIVE MM OPT, contre 3489 Nm
pour DIVE OPT).
• Les nombres d'appels aux disciplines sont assez importants.
L'optimisation des variables locales (DIVE OPT) donne un bon résultat en terme de performance.
Par contre, dans ce cas, l'utilisation des méta-modèles (DIVE MM OPT) devient trop
coûteuse et n'apporte pas d'amélioration conséquente.
IDF
Le tableau 4.10 présente les résultats obtenus avec la formulation IDF (cf section 2.2.2).
Formulation
IDF
R 3596
après MDA 3455
Nombre d'appels
Structure 1188
Aérodynamique 1188
Propulsion 678
Performance 1527
Total 4581
Tab. 4.10 Résultats pour la formulation IDF (Sobieski, Scilab).
• Le pas choisi pour le calcul des gradients par diérences nies est de 10 −4 , et le seuil de la
contrainte ‖y − Y ‖ < ɛ est xé à 0.1.
• L'optimiseur utilisé ici est CFSQP, nous n'obtenons pas de bons résultats avec l'optimiseur
LIN.
• Les essais eectués avec l'utilisation de contraintes de la forme ‖y − Y ‖ = 0 ne sont pas
concluants.
• Le rayon d'action obtenu avec la formulation IDF est de 3596 Nm. Cependant, comme
l'équation d'état n'est pas résolue de façon précise, ce rayon d'action n'est pas utilisable
en l'état. Il convient d'eectuer une MDA en partant de la conguration optimale an de
récupérer le vrai rayon d'action, qui est de 3455 Nm.
• Cette méthode requiert un grand nombre d'appels et obtient un résultat moyen et peu
précis.
CO
Le tableau 4.11 présente les résultats obtenus avec la formulation CO (cf section 2.2.4).
• De même que pour la méthode IDF, nous n'obtenons pas de bons résultats avec l'optimiseur
LIN, nous utilisons donc l'optimiseur CFSQP.
• Les contraintes d'égalité du type Y − y = 0 ne donnent pas non plus de bon résultats.
• Nous utilisons donc les contraintes du type ‖Y − y‖ < ɛ, avec ɛ = 0.1.
• Le pas choisi pour les calculs des gradients par diérences nies est de 10 −4 .

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab 91
Formulation
CO
R 3451
après MDA 3165
Nombre d'appels
Structure 49964
Aérodynamique 3851
Propulsion 27435
Performance 1544
Total 82794
Tab. 4.11 Résultats pour la formulation CO (Sobieski, Scilab).
• Le rayon d'action obtenu avec la méthode CO est de 3451 Nm. De même que pour IDF,
l'équation d'état n'étant pas résolue de manière précise, ce résultat n'est pas utilisable.
Après une MDA, nous obtenons le vrai rayon d'action, qui est de 3165 Nm.
• Cette méthode fait littéralement exploser le nombre d'appels aux disciplines.
BLISS
Le tableau 4.12 présente les résultats obtenus avec la formulation BLISS (cf section 2.2.5).
• Les problèmes d'optimisation de niveau disciplinaire et de niveau système étant linéaires,
nous utilisons ici l'optimiseur LIN.
• La précision exigée pour la MDA est de 10 −15 .
• Le pas choisi pour les calculs de gradients par diérences nies est de 10 −2 .
Formulation
BLISS
R 3485
Nombre d'appels
Structure 54
Aérodynamique 62
Propulsion 38
Performance 29
Total 183
Tab. 4.12 Résultats pour la formulation BLISS (Sobieski, Scilab).
De même que pour la méthode DIVE avec optimisation des variables locales, la convergence se
fait en 4 itérations. Les nombres d'appels obtenus correspondent à 4 analyses multi-disciplinaires
(MDA) et 4 calculs de gradients (GSE). Nous obtenons avec cette formulation le meilleur résultat,
en terme de nombre d'appels aux codes de calculs disciplinaires, mais pas le meilleur rayon
d'action.

92 Résultats obtenus avec les formulations MDO
4.2.3 Multi-start pour DIVE
Les formulations permettant d'avoir le meilleur rayon d'action sont MDF et DIVE avec
l'optimiseur LIN. Parmi ces deux, celle qui permet d'eectuer le moins d'appels est la méthode
DIVE. An de tester sa robustesse 2 , nous eectuons cette formulation avec 100 points de départ
pris au hasard dans l'espace de conception.
La formulation trouve une solution dans tous les cas. Comme le résume le tableau 4.13, nous
obtenons 2 rayons d'action diérents : 3494 Nm dans 94% des cas et 2516 Nm dans 6% des cas.
R % nombre d'appels moyen
3494 94 473
2516 6 752
Tab. 4.13 Multistart avec la formulation DIVE (Sobieski, Scilab).
• Nous pouvons constater ici que ce problème possède un minimum local à 2516 Nm.
• À titre de comparaison, le nombre total d'appels obtenu précédemment avec la formulation
DIVE utilisant les méta-modèles linéaires est de 412 (cf tableau 4.8).
• Dans la grande majorité des cas (94%), la formulation converge vers le bon optimum, et
ce, avec un nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires qui reste faible.
• Ces résultats nous montrent la robustesse de la méthode DIVE.
4.2.4 Front de Pareto
Nous cherchons ici à optimiser deux objectifs diérents : à savoir minimiser la masse totale et
maximiser le rayon d'action. Pour cela, nous recherchons l'ensemble des solutions non-dominées
qui constituent le front de Pareto.
La gure 4.8 présente le front de Pareto obtenu avec la méthode des objectifs contraints (cf
section B.2). La formulation utilisée est la méthode DIVE avec les méta-modèles linéaires.
• En abscisse, nous avons la masse totale W T et en ordonnée nous avons le rayon d'action
R.
• La croix bleue en bas à gauche indique la conguration qui minimise la masse totale W T .
• La croix bleue en haut à droite indique la conguration qui maximise le rayon d'action R.
• La courbe en points bleus est obtenue en minimisant la masse totale W T avec une contrainte
sur le rayon d'action R.
• La courbe rouge est obtenue en maximisant le rayon d'action avec une contrainte sur la
masse W T .
• Nous pouvons constater que ces deux courbes concordent, ce qui permet d'armer que
nous avons le bon front de Pareto.
4.2.5 Coecients de Lagrange
Les coecients de Lagrange λ déterminent la sensibilité de la fonction objectif f aux contraintes
g : λ = df
dg .
2 Nous dénissons ici la robustesse comme la capacité d'une méthode à trouver la bonne solution pour n'importe
quel point de départ.

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 93
Fig. 4.8 Front de Pareto Masse / Rayon d'action (Sobieski, Scilab).
Les contraintes qui possèdent les plus grands coecients de Lagrange sont donc celles qu'il
va falloir essayer de relâcher pour améliorer notre objectif. À l'optimum, nous pouvons regarder
les coecients de Lagrange, an de savoir quelles sont les contraintes les plus importantes.
Le tableau 4.14 présente les diérentes variables et sorties, ainsi que leurs coecients de
Lagrange associés. Ici les contraintes les plus déterminantes sur notre rayon d'action sont les
contraintes de bornes sur les variables de coecient de frottement C f , de nombre de Mach M,
et d'allongement relatif AR et la contrainte sur la sortie de gradient de pression dp/dx.
4.2.6 Remarques
Les résultats obtenus dans cette section nous permettent de faire les remarques suivantes :
• Pour ce cas-test, la méthode de point xe est la plus ecace pour eectuer l'analyse multidisciplinaire,
et ce, dans tous les cas de gure considérés (appels normaux, optimisation
des variables locales).
• Le méthodes IDF et CO, où la cohérence interdisciplinaire est gérée avec des contraintes
d'égalité sur l'équation d'état, ne donnent pas de bon résultats.
• Les méthodes DIVE et BLISS permettent d'obtenir les meilleurs résultats, en terme de
nombre d'appels. Parmi ces deux formulations, la méthode DIVE est celle qui atteint le
meilleur rayon d'action.
• Cette méthode est robuste, comme le prouvent les résultats obtenus avec le multi-start,
ainsi que la construction du front de Pareto pour deux objectifs distincts.
4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab
Nous voyons dans cette partie les résultats obtenus pour le cas-test Dassault (cf section 1.3).
Contrairement au cas-test Sobieski vu précédemment, ce cas-test ne présente pas de variables

94 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Variables Valeur lb ub Lagrange
λ 0.12 0.1 0.4 0
x 0.75 0.75 1.25 -10.5
C f 0.75 0.75 1.25 -544
T 0.156 0.1 1 0
t c 0.06 0.01 0.9 0
h 60000 30000 60000 0.24
M 1.4 1.4 1.8 -5488
AR 2.5 2.5 8.5 -722
Λ 70 40 70 72.4
S REF 1500 500 1500 1.07
Sorties
Θ 1.03 0.97 1.03 78.8
ESF 0.73 0.5 1.5 0
σ 1 0.91 1.05 0
σ 2 0.93 1.05 0
σ 3 0.95 1.05 0
σ 4 0.96 1.05 0
σ 5 0.96 1.05 0
dp/dx 1.04 1.04 7179
DT 0 0 350.3
Tab. 4.14 Coecients de Lagrange à l'optimum (Sobieski, Scilab).
locales.
Dans un premier temps, nous analysons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire (cf section
4.3.1) pour les trois méthodes disponibles avec le logiciel développé sous Scilab. Nous voyons
ensuite les résultats obtenus pour plusieurs formulations (cf section 4.3.2), à savoir les méthodes
MDF, DIVE et IDF.Nous montrons quelques résultats complémentaires pour la méthode DIVE.
Nous testons la robustesse de cette méthode en la lançant à partir de plusieurs points de départ
tirés aléatoirement dans l'espace de conception (cf section 4.3.3). Nous cherchons à obtenir un
front de Pareto pour deux fonctions objectifs, à savoir minimiser la masse totale W T et maximiser
le rayon d'action R (cf section 4.3.4). Nous montrons enn les coecients de Lagrange associés à
chacune des contraintes du problème, an de voir quelles contraintes jouent un rôle prédominant
dans le problème d'optimisation (cf section 4.3.5).
4.3.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA)
L'analyse multi-disciplinaire revient à trouver un équilibre entre les diérentes disciplines (cf
section 2.1.2). Nous avons à notre disposition trois méthodes :
la méthode du point xe (MDA FP) ;

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 95
la minimisation des résidus (MDA OPTIM) ;
la méthode de Gauss-Newton (MDA GN).
Nous allons voir dans cette section l'ecacité de chacune de ces méthodes pour deux cas :
1. appels directs aux disciplines ;
2. utilisation de méta-modèles linéaires.
Appels directs aux disciplines
Nous considérons dans un premier temps les appels aux codes disciplinaires bruts.
La gure 4.9 montre la convergence en précision de ces méthodes (log 10 ( ∑ ‖Y i − y i ‖ 2 )), en
i
fonction du nombre d'analyses disciplinaires.
Fig. 4.9 Convergence de la MDA, appels directs aux disciplines (Dassault, Scilab).
Le tableau 4.15 montre le nombre réel d'appels pour chaque discipline (en eet, lorsqu'une
discipline est sollicitée, alors que ses entrées n'ont pas été modiées depuis le dernier calcul, on
récupère les sorties en mémoire et on ne réeectue pas le même calcul).
• La méthode de point xe est la plus rapide jusqu'à une précision d'environ 10 −11 .
• Au delà, la méthode de minimisation des résidus devient la plus ecace.
Appels aux méta-modèles linéaires
Dans cette section, nous regardons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire, lorsque
les disciplines sont substituées par des méta-modèles linéaires. La gure 4.10 montre la convergence
en précision de ces méthodes (log 10 ( ∑ ‖Y i − y i ‖ 2 )), en fonction du nombre d'analyses
i
disciplinaires.

96 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Nombre d'appels MDA FP MDA OPTIM MDA GN
Analyse disciplinaires 25 22 97
Structure 25 22 97
Aérodynamique 25 22 97
Propulsion 25 22 97
Performance 1 1 1
Tab. 4.15 Nombres d'appels aux disciplines, MDA (Dassault, Scilab).
Fig. 4.10 Convergence de la MDA, utilisation de méta-modèles linéaires (Dassault, Scilab).
Le tableau 4.16 montre le nombre d'appels pour chaque code de calcul disciplinaire brut
(qui sera ici le nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires pour élaborer le méta-modèle
linéaire).
• Le comportement des courbes reste similaire au cas des appels normaux aux disciplines.
• La méthode de point xe est la plus rapide, pour une précision de l'ordre de 10 −12 . Au
delà, la méthode de minimisation des résidus est la plus ecace.
• Le nombre d'appels aux disciplines est ici le nombre d'appels nécessaire à la génération des
méta-modèles linéaires.
4.3.2 Les formulations MDO
Ce cas-test ne possède pas de variables locales, nous ne testons que les formulations MDO
mono-niveau, à savoir MDF, DIVE et IDF.
Nous voyons dans le tableau 4.17 le point de départ pour toutes les formulations, ainsi que

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 97
Nombre d'appels MDA FP MDA OPTIM MDA GN
IDA 23 21 103
Structure 18 18 18
Aérodynamique 18 18 18
Propulsion 19 19 19
Performance 21 21 21
Tab. 4.16 Nombres d'appels aux disciplines, MDA MM (Dassault, Scilab).
la meilleure conguration trouvée. Nous rappelons l'intervalle de variation [lb,ub] des variables.
L'objectif de cet exercice est de minimiser la masse totale au décollage (TOW).
Variables Valeur initiale Valeur optimale lb ub
z 13250 14894 8000 18500
xmach 1.8 1.6 1.6 2
S 150 100 100 200
φ w 0 55 46.8 40 70
φ w 100 5 -5.3 -10 20
xl w 0.275 0.05 0.05 0.5
t w c 0.06 0.04 0.04 0.08
φ w 0 55 70 40 70
φ w 100 5 0 0 10
xl w 0.275 0.05 0.05 0.5
t w c 0.065 0.05 0.05 0.08
D fus 2.25 2 2 2.5
W fuel 27500 15000 15000 40000
α 12.5 15 10 15
xfac 0.9 0.85 0.85 0.95
T OW 55875 33065 50000
Tab. 4.17 Congurations initiale et optimale (Dassault, Scilab).
Pour la suite, nous considèrerons que les congurations obtenues avec les diérentes formulations
sont proches de celle-ci et nous n'en donnerons pas les détails. Nous préciserons juste, pour
chacune des formulations, la masse au décollage (TOW) et le nombre d'appels aux disciplines.
MDF et DIVE
Nous donnons dans le tableau 4.18 les résultats obtenus avec les formulations MDF et DIVE
avec méta-modèles linéaires.
• La précision exigée pour la MDA est de 10 −15 .

98 Résultats obtenus avec les formulations MDO
• Le pas choisi pour les calculs de gradients par diérences nies est de 10 −2 .
• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.
• La formulation DIVE utilise les méta-modèles linéaires. An d'avoir de bons résultats en
terme de nombre d'appels, la taille de la région de conance des méta-modèles disciplinaires
est xée à 0.2 (cette valeur est déterminée empiriquement, en deçà le nombre d'appels sera
plus élevé, au delà nous n'obtenons pas la convergence du processus).
Formulation MDF CFSQP DIVE CFSQP MDF LIN DIVE LIN
TOW 33207 33203 33065 33065
Nombre d'appels
Structure 1475 234 1564 576
Aérodynamique 1475 234 1564 576
Propulsion 1506 247 1599 608
Performance 1568 273 1699 672
Total 6024 988 6426 2432
Tab. 4.18 Résultats pour les formulations MDF et DIVE (Dassault, Scilab).
• Pour chacun des optimiseurs, les formulations MDF et DIVE obtiennent quasiment les
mêmes résultats (33207 kg pour MDF CFSQP et 33203 kg pour DIVE CFSQP, 33065
kg pour MDF LIN et DIVE LIN). L'utilisation des méta-modèles adaptatifs permet
donc d'arriver à la bonne solution.
• L'optimiseur CFSQP est le plus ecace, en terme de nombre d'appels. Cependant, pour
un coût un peu plus élevé, l'optimiseur LIN atteint la meilleure solution.
• La formulation DIVE est la plus performante, en terme de nombre d'appels, ce qui justie
l'utilisation des méta-modèles.
La gure 4.11 montre le déplacement des régions de conance pour deux variables. An
d'illustrer ce phénomène, la taille de la région de conance est xée ici à 0.05 . La variable en
abscisse est la èche en bord de fuite de l'aile φ w 100 et la variable en ordonnée est la èche en
bord de fuite de la dérive φ t 100. Les valeurs des variables sont normalisées.
IDF
Le tableau 4.19 présente les résultats obtenus avec la formulation IDF. Nous y voyons trois
versions diérentes :
• IDF CFSQP : on utilise l'optimiseur CFSQP et la gestion des contraintes d'égalité est
de la forme ‖Y − y‖ ≤ ɛ, où epsilon = 0.01.
• IDF LIN : on utilise l'optimiseur LIN et la gestion des contraintes d'égalité est de la
forme : ‖Y − y‖ = 0.
• IDF LIN MM : on utilise les méta-modèles linéaires, ainsi que l'optimiseur LIN. La gestion
des contraintes d'égalité est de la forme : ‖Y − y‖ = 0.
• Avec la première méthode IDF CFSQP, nous avons un nombre d'appels peu élevé. On se

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 99
Fig. 4.11 Évolution des régions de conance, formulation DIVE (Dassault, Scilab).
Formulation IDF CFSQP IDF LIN IDF LIN MM
TOW 32847 33065 33065
après MDA 33135
Nombre d'appels
Structure 550 924 486
Aérodynamique 550 924 486
Propulsion 550 924 486
Performance 550 924 486
Total 2200 3696 1944
Tab. 4.19 Résultats pour la formulation IDF (Dassault, Scilab).
rend compte après une MDA que le résultat n'est pas très précis.
• La méthode IDF LIN nous mène à la masse au décollage optimale de 33065 kg.
• La méthode IDF LIN MM nous mène à ce même résultat, mais avec un nombre d'appels
aux codes de calcul disciplinaires moindre. Ce résultat justie l'utilisation de méta-modèles.
• La méthode IDF avec l'optimiseur LIN, s'avère très ecace pour ce cas-test, qui ne possède
que deux variables de couplage.
• L'utilisation de méta-modèles linéaires s'avère encore très ecace et s'adapte tout à fait à
la méthode IDF.

100 Résultats obtenus avec les formulations MDO
4.3.3 Multi-start pour DIVE
An de tester la robustesse de la formulation DIVE avec utilisation de méta-modèles linéaires,
nous eectuons cette formulation pour 100 points de départ pris au hasard dans l'espace de
conception. Nous utilisons ici l'optimiseur LIN.
Pour les 100 points, nous obtenons ici deux cas de gure diérents :
R % nb appels moyen
30065 98 2558
Nan 2 190
Tab. 4.20 Multistart avec la formulation DIVE (Dassault, Scilab).
• Sauf pour deux points, où l'analyse des codes disciplinaires pose problème, nous obtenons
ici un très bon résultat, avec 98 points qui convergent vers la solution optimale.
• À titre de comparaison, le nombre total d'appels obtenu précédemment avec la formulation
DIVE utilisant les méta-modèles linéaires était de 2432 (cf tableau 4.11).
4.3.4 Front de Pareto
Nous cherchons ici à optimiser deux objectifs diérents : à savoir minimiser la masse totale et
maximiser le rayon d'action. Pour cela, nous recherchons l'ensemble des solutions non-dominées
qui constituent le front de Pareto.
La gure 4.12 présente le front de Pareto obtenu avec la méthode des objectifs contraints (cf
section B.2). La formulation utilisée est la méthode DIVE avec les méta-modèles linéaires.
• en abscisse, nous avons la masse totale W T En ordonnée nous avons le rayon d'action R.
• La croix bleue en bas à gauche indique la conguration qui minimise la masse totale W T .et
• La croix bleue en haut à droite indique la conguration qui maximise le rayon d'action R.
• La courbe en points bleus est obtenue en minimisant la masse totale W T avec une contrainte
sur le rayon d'action R.
• La courbe rouge est obtenue en maximisant le rayon d'action, avec une contrainte sur la
masse W T .
• Ici la maximisation du rayon d'action (courbe rouge) pose quelques problèmes de convergence.
• Pour se faire une idée du front de Pareto, nous nous erons d'avantage à la courbe bleue
et non à la courbe rouge.

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 101
Fig. 4.12 Front de Pareto Masse / Rayon d'action (Dassault, Scilab).
4.3.5 Coecients de Lagrange
Les coecients de Lagrange λ déterminent la sensibilité de la fonction objectif f aux contraintes
g : λ = df
dg .
Les contraintes qui possèdent les plus grands coecients de Lagrange sont donc celles qu'il
va falloir essayer de relâcher pour améliorer notre objectif. À l'optimum, nous pouvons regarder
les coecients de Lagrange, an de savoir quelles sont les contraintes les plus importantes.
Le tableau 4.21 présente les diérentes variables et sorties, ainsi que leurs coecients de
Lagrange associés.
Ici, les contraintes les plus déterminantes sur notre rayon d'action sont les contraintes de
bornes sur les variables d'épaisseur relative de l'aile t w c , d'element voilure xl w , de nombre de
Mach xmach et de rapport masse à l'atterrissage sur masse au décollage xfac.
4.3.6 Remarques
Les résultats obtenus dans cette section nous permettent de faire les remarques suivantes :
• L'analyse multi-disciplinaire peut être eectuée avec l'algorithme de point xe, lorsque
nous ne demandons pas une précision trop élevée. Dans le cas contraire, on peut utiliser la
minimisation des résidus.
• La méthode DIVE, avec l'utilisation de l'optimiseur LIN et des méta-modèles linéaires,
permet d'obtenir les meilleurs résultats, avec une masse au décollage T OW optimale, pour
un nombre d'appels correct.
• La méthode DIVE est robuste, comme le prouvent les résultats obtenus avec le multi-start.

102 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Variables Valeur lb ub Lagrange
z 14894 8000 18500 0
xmach 1.6 1.6 2 1858
S 100 100 200 37
φ w 0 46.8 40 70 0
φ w 100 -5.3 -10 20 0
xl w 0.05 0.05 0.5 2517
t w c 0.04 0.04 0.08 12425
φ t 0 70 40 70 0.77
φ t 100 0 0 10 0.05
xl t 0.05 0.05 0.5 28
t t c 0.05 0.05 0.08 1429
D fus 2 2 2.5 445
W fuel 15000 15000 40000 1.06
α 15 10 15 200
xfac 0.85 0.85 0.95 2433
Sorties
T OW 33065 50000 0
R 6500 6500 0.00036
D 1828 1828 0.91
V 70 70 59.2
Tab. 4.21 Coecients de Lagrange à l'optimum (Dassault, Scilab).
• La méthode IDF marche bien pour ce cas-test, car il ne possède que deux variables de
couplage. De très bons résultats sont obtenus avec l'optimiseur LIN. Pour ce cas-test,
les méta-modèles linéaires s'adaptent très bien à cette méthode. Leur utilisation permet
d'améliorer les résultats, en terme de nombre d'appels.
• La maximisation du rayon d'action pose quelques problèmes de convergence, ce qui ne nous
permet pas d'obtenir un front de Pareto complet.
Conclusion
Nous avons pu tester les formulations vues au chapitre 2 sur deux environnements (Model-
Center et Scilab), et pour deux cas-tests (Sobieski et Dassault).
Nous essayons ici de donner quelques remarques générales sur les formulations MDO.
1. L'analyse multi-disciplinaire (MDA) : on a pu voir l'ecacité des trois méthodes
disponibles sur les diérents cas-tests.

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 103
Pour le cas-test Sobieski, la méthode la plus ecace est clairement la méthode de point
xe.
Pour le cas-test Dassault, tout dépend de la précision demandée pour la MDA. Pour une
précision correcte, nous choisirons la méthode de point xe, et pour une précision très
forte, nous choisirons la méthode de minimisation des résidus de l'équation d'état.
2. Les optimiseurs : sous Scilab, nous avons à notre disposition deux optimiseurs : LIN et
CFSQP. Le résultat obtenu dépend aussi de l'optimiseur utilisé.
L'optimiseur LIN donne une solution beaucoup plus précise, et en général avec un nombre
d'appels moindre que l'optimiseur CFSQP.
L'optimiseur CFSQP permet d'obtenir une solution avec la méthode IDF et en utilisant
les contraintes sur l'équation d'état de la forme ‖Y − y‖ ≤ ε.
Sous ModelCenter, l'optimiseur DOT-SQP s'avère très ecace, mais ne permet pas de calculer
les gradients autrement que par diérences nies (an d'utiliser la méthode GSE par
exemple).
3. Les formulations mono-niveau : nous donnons ici quelques remarques sur les formulations
les plus basiques, que sont les méthodes MDF et IDF.
• MDF (Multi-Disciplinary Feasible)
Cette formulation est la plus naturelle. Le principe est de résoudre l'équation d'état
interdisciplinaire. Nous obtenons de bons résultats avec cette formulation. Ces résultats
peuvent servir de référence, et l'on peut dire qu'une méthode est ecace si elle permet
de faire mieux que la formulation MDF.
Lorsque l'analyse multi-disciplinaire demande beaucoup d'appels aux disciplines, cette
formulation peut s'avérer trop coûteuse.
• IDF (Individual Disciplinary Feasible)
Cette formulation peut s'avérer très ecace lorsque les contraintes sur l'équation d'état
interdisciplinaire sont peu nombreuses.
Dans le cas contraire, il est dicile d'obtenir de bons résultats.
Les contraintes d'égalité du type ‖Y − y‖ ≤ ɛ permettent parfois d'arriver à une con-
guration proche de la solution optimale, mais ne permettent pas d'avoir des résultats
assez précis pour être exploités.
4. Les formulations multi-niveaux : les optimisations disciplinaires permettent d'améliorer
la qualité des réponses aux sollicitations disciplinaires, et donc de faciliter l'optimisation
au niveau système. Cependant ces optimisations supplémentaires peuvent avoir un coût
conséquent sur le nombre d'appels aux disciplines.
• CO (Collaborative Optimization)
La nature des optimisations disciplinaires permet d'assurer le couplage. En eet, les
disciplines cherchent à obtenir les sorties les plus proches possibles des consignes données
par le niveau système.
Cependant, les réponses des disciplines ne vont pas forcément dans le sens de la fonction
objectif système.

104 Résultats obtenus avec les formulations MDO
Les résultats obtenus montrent que le nombre d'appels explose avec cette méthode.
• DIVE sans méta-modèles (Discipline Interaction Variable Elimination)
Il y a peu d'itérations au niveau de l'optimiseur global : les optimisations locales étant
gérées par les disciplines, l'optimisation globale en devient plus ecace et plus rapide.
Nous arrivons avec l'implémentation sous Scilab à obtenir un nombre d'appels similaire
à celui obtenu avec la méthode MDF.
• BLISS (Bi-Level Integrated System Synthesis)
Nous avons ici la meilleure formulation au niveau du nombre d'appels.
Cependant, le résultat obtenu avec cette méthode est un peu moins précis que pour la
méthode MDF.
5. Utilisation de méta-modèles linéaires. Nous montrons ici la viabilité de l'utilisation
des méta-modèles linéaires, ainsi que leurs limitations.
• DIVE
L'utilisation des méta-modèles linéaires permet d'obtenir des résultats très proches,
voire identiques à ceux obtenus avec la formulation MDF. Ces méta-modèles locaux
s'adaptent avec l'évolution de la conguration, au cours de l'optimisation. Par ce biais,
ils permettent donc d'obtenir une solution précise.
Cette méthode nécessite beaucoup moins d'appels aux codes de calcul disciplinaires
que la méthode MDF.
Cette méthode permet d'obtenir de bons résultats, et de manière plus rapide.
Ces résultats montrent donc la viabilité et l'ecacité de cette formulation.
• IDF
L'utilisation des méta-modèles linéaires avec la formulation IDF peut s'avérer fructueuse.
Les résultats obtenus avec le cas-test Dassault nous montrent l'ecacité de cette
méthode.
• Optimisation disciplinaire et méta-modèles : dans ce cas, les résultats ne sont pas aussi
concluants que dans le cas mono-niveau.
Nous considérons ici les résultats obtenus avec le cas-test Sobieski, dans le cas où les
disciplines optimisent leurs variables locales.
Les solutions obtenues avec l'utilisation des méta-modèles et sans méta-modèles sont
identiques et proches de la solution optimale.
Cependant, le nombre d'appels est plus élevé avec l'utilisation des méta-modèles que
sans.
L'utilisation des méta-modèles linéaires s'avère donc viable, mais pas forcément ecace.
Nous pouvons considérer que la génération du méta-modèle est trop coûteuse
dans ce cas.
• Recommandations sur les méta-modèles à utiliser : les méta-modèles linéaires utilisés ici
sont les plus simples qui soient. Malgré cela, nous obtenons de très bons résultats. Cette
formulation peut être beaucoup plus ecace si l'on utilise des méta-modèles plus adaptés
aux disciplines. Nous conseillons cependant d'utiliser des méta-modèles respectant
certains critères :

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 105
(a) la construction du méta-modèle ne doit pas être trop coûteuse en nombre d'appels
aux disciplines (comme cela peut être le cas quand la discipline optimise ses variables
locales) ;
(b) le méta-modèle doit être adaptatif, an d'être able autour du point de conception
demandé par l'optimiseur ;
(c) à l'optimum, nous devons maximiser la abilité. Pour cela, il faut que les méta-modèles
utilisés fournissent des sorties exactes au point courant (an d'être sûr des sorties qui
seront exploitées par la suite), ainsi que des dérivées exactes en ce point (an d'être
sûr de vérier les conditions d'optimalité au premier ordre).

107
Conclusion générale et perpectives
Nous avons pu voir dans cette thèse diérents éléments concernant l'optimisation multidisciplinaire.
Nous avons tout d'abord apporté une vision globale de la conception avion, et
donné l'exemple de deux cas-tests pour la conception avion avant-projet. Puis nous avons posé
les éléments de base de l'optimisation disciplinaire, à savoir la dénition des variables et des
sorties, le problème d'interaction entre les disciplines, les diérentes méthodes pour calculer les
gradients, la manière de poser le problème d'optimisation et l'utilisation de méta-modèles disciplinaires.
À partir de ces éléments de base, nous avons pu décrire les diérentes formulations
MDO.
Dans une troisième partie, nous avons fait part de notre expérience sur l'implémentation
de ces formulations sous deux environnements diérents (ModelCenter et Scilab) et pour deux
cas-tests (Sobieski et Dassault). ModelCenter est un logiciel très pratique, mais payant, et on
se retrouve parfois limité pour l'implémentation des diérents outils. Avec Scilab, on possède
plus de liberté, mais l'eort en implémentation est plus conséquent. Pour le logiciel développé
sous Scilab, nous avons réalisé une implémentation des formulations MDO de la manière la plus
générale qui soit : nous avons mis toutes ces formulations sous le même chapeau, ce qui nous
permet de passer de l'une à l'autre avec une grande exibilité.
Dans ce travail, nous avons mis en oeuvre des méta-modèles, tout en nous acquittant de
la diculté posée par la dimension. En grande dimension, le méta-modèle est fourni avec une
région qui peut être de petite taille. Cette région de conance suit le processus d'optimisation.
Le méta-modèle peut se limiter à une approximation linéaire ou quadratique. Il peut s'appuyer
sur des méthodes classiques d'apprentissage, telles que les réseaux neuronaux, le Krigeage ou la
SVM. Il peut également faire appel à des techniques de projection sur des sous-espaces, telles
que la méthode POD. Dans le cas où le modèle d'origine est simple, il peut jouer le rôle de
méta-modèle.
La méthode DIVE, introduite dans le cadre de cette thèse a de nombreuses propriétés intéressantes.
En particulier, en conant à chaque discipline le soin de construire le méta-modèle qui
lui est propre, on augmente l'autonomie de chaque discipline. On n'impose pas de méta-modèle
particulier et chaque discipline choisit son méta-modèle en fonction des propriétés du modèle en
question. L'une des qualités majeures de DIVE est de satisfaire avec la plus grande précision
les contraintes d'interaction du système. Ces contraintes représentent la physique du système et
l'optimisation au niveau système ne peut donner de résultats cohérents que si ces contraintes
sont satisfaites.
Nous avons pu tester et comparer les diérentes formulations MDO. Les résultats obtenus
avec les deux cas-tests nous ont permis d'en tirer certaines conclusions :
• l'équation d'état doit être résolue de façon précise. Nous préconisons les méthodes utilisant

108 Conclusion
la MDA. Les méthodes qui traitent le couplage à l'aide de contraintes d'égalité sur l'équation
d'état demandent un eort conséquent en réglage de l'optimiseur, et ne sont ecaces
que dans le cas où il y a peu de variables de couplage.
• L'utilisation des méta-modèles linéaires dans le cadre de la formulation DIVE s'est avérée
très performante. On obtient des résultats aussi précis que dans le cas sans méta-modèle,
et avec un nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires fortement diminué. Ces
résultats incitent fortement à essayer d'améliorer ces résultats en étudiant cette méthode
avec des méta-modèles plus élaborés et plus adaptés aux disciplines. Il faudra cependant
qu'il respectent plusieurs conditions :
il doivent être capables de se réactualiser lorsque leur abilité n'est plus assez bonne,
an de s'adapter à la conguration étudiée ;
durant l'optimisation, on cherche seulement à ce que la sortie des méta-modèles ait une
précision correcte, an de ne pas tomber sur des congurations aberrantes ;
à l'optimum, on cherche à maximiser la abilité, les sorties et les gradients fournis par
les méta-modèles doivent alors être exacts au point courant.
• L'utilisation de ces méta-modèles présente aussi des limites. Par exemple, lorsque l'on
cherche à construire un méta-modèle à partir des réponses des disciplines optimisées par
rapport à leurs variables locales, on se rend compte que la construction du méta-modèle
coûte trop cher, et on se retrouve avec un nombre d'appels aux codes de calcul plus élevé.
Nous essayons de donner ici quelques remarques sur ce que doit être le rôle de l'ingénieur en
optimisation multi-disciplinaire. Sans être un spécialiste dans chacun des domaines, les acteurs
de l'optimisation multi-disciplinaire doivent posséder une culture dans plusieurs domaines de
natures variées.
• Optimisation : il faut connaître les diérents algorithmes d'optimisation existants et être
capable de les adapter au problème de conception posé.
• Conception de système complexe : an de traiter au mieux la recherche de la conguration
optimale, il est essentiel de posséder une bonne connaissance du système complexe
étudié.
Organisation du processus de conception : il faut posséder une bonne vue d'ensemble
de l'organisation du système, connaître les diérentes disciplines impliquées dans le
processus et savoir de quelle manière elles interagissent entre elles.
Pour chacune des disciplines, il faut avoir une bonne culture sur le domaine et en
particulier sur plusieurs points.
Connaître la physique des disciplines impliquées : chacune des discipline va solliciter
un ou plusieurs domaines de la physique. Il faut pouvoir appréhender la nature du
problème physique donné, an de mieux connaître la modélisation que l'on va pouvoir
faire pour décrire le comportement du système.
Code haute précision : la modélisation va donner lieu à un code de calcul qui va
permettre de calculer avec précision la physique du domaine. Il est essentiel d'en connaître
les principes, les entrées et les sorties, ainsi que les domaines d'application de

109
ces modélisations.
Méta-modèles ou codes de substitution : ces codes haute précision peuvent être gourmands
en temps de calcul, et ne sont pas toujours compatibles avec un processus
d'optimisation. Il faut pouvoir leur substituer des méta-modèles, dont le domaine
d'application sera plus restreint et dont les réponses seront moins précises. An de
garder une cohérence physique, il est essentiel que les méta-modèles s'adaptent avec
l'évolution de la conguration, par exemple en tenant compte des réponses données
par les codes haute délité.
Optimisation disciplinaire : lorsque la discipline cherche à optimiser la valeur de ses
variables locales, on doit être en mesure de choisir la méthode d'optimisation la plus
adaptée.
Équilibre entre les disciplines : an de donner une description cohérente du système
complexe, il est essentiel de tenir compte de l'interaction entre les diérentes sorties.
On se doit alors d'équilibrer les entrées et les sorties qui participent au couplage des
disciplines. An d'obtenir une réponse dans un temps raisonnable et qui pourra être
intégrée dans un processus d'optimisation, on pourra rechercher cet équilibre au travers
des réponses données par les méta-modèles.
• Connaissance des outils informatiques : l'implémentation du système complexe et du
processus d'optimisation demande une bonne connaissance des environnements informatiques.
Il faut maîtriser les codes de calcul des diérentes disciplines et arriver à les faire
communiquer de façon ecace. Une fois le système complexe implémenté, il faut pouvoir
le faire interagir avec les codes d'optimisation.
Une connaissance solide dans chacun de ces domaines permettra au spécialiste de l'optimisation
multi-disciplinaire d'être au c÷ur de la conception de système complexe et d'aider à la
communication entre les diérentes équipes impliquées.

111
Annexe A
Fonctions objectifs et contraintes pour
la méthode BLISS
Nous allons montrer dans cette annexe comment sont construits les problèmes d'optimisation
dans la formulation BLISS (Bi-Level Integrated System Synthesis, cf section 2.2.5). L'optimisation
disciplinaire des variables locales sera exposée dans la section A.1. Le problème d'optimisation
global sera donné dans la section A.2, où l'on précisera l'information apportée par les optimisations
locales.
Nous partons du point de conception p 0 = [x 0 , z 0 ]. Une MDA nous permet de dénir les
variables de couplage y, qui seront transparentes pour la suite. On en déduit les valeurs des
fonctions objectifs et contrainte.
{
F0 = F (x 0 , z 0 ),
G 0 = G(x 0 , z 0 ).
(A.1)
Une analyse de sensibilité globale (GSE) nous donne les gradients :
{
Dp F 0 = D p F (x 0 , z 0 ),
D p G 0 = D p G(x 0 , z 0 ).
Hypothèse 1. Nous allons faire l'approximation suivante. Les gradients ∂ z G(x, z) seront supposés
constants et égaux à ∂ p G 0 autour du point [x 0 , z 0 ].
A.1 Optimisations disciplinaires
Nous allons tout d'abord optimiser les variables locales x pour chacune des disciplines. Les
x seront solutions du problème (A.2) qui dépend de z.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min
x
̂Fx (x).
G(x, z) ≤ 0
x l ≤ x ≤ x u
(A.2)
Les fonctions coût seront les linéarisations de la fonction coût globale par rapport aux variables
locales, obtenues précédemment avec GSE.

112 Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS
̂F x (x) = F 0 + ∂ x F 0 (x − x 0 ).
(A.3)
Le problème (A.2) est équivalent au problème suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min
x
∂ x F 0 (x − x 0 ).
G(x, z) ≤ 0
x l ≤ x ≤ x u
(A.4)
Nous noterons x z les variables optimales et λ z les coecients de Lagrange associés. Ils doivent
satisfaire les conditions d'optimalité d'ordre 1 (théorème KKT [Gui03]) :
∂ x F 0 + (λ z ) T ∂ x G = 0,
λ zT G(x, z) = 0,
λ z ≥ 0.
(A.5)
(A.6)
L'optimisation sera eectuée avec z = z 0 . Les solutions du problème en z 0 sont x z0 et λ z0 .
Nous dénissons pour la suite les valeurs :
⎧
⎨
⎩
A.2 Optimisation globale
̂F x opt = ̂F (x z0 , z 0 ),
G x opt = G(x z0 , z 0 ).
Nous allons alors dénir les fonctions coût et contrainte globales :
{
f(z) = ̂F (x z , z),
g(z) = Ĝ(x z, z).
Pour pouvoir poser notre problème d'optimisation global, il nous faut obtenir des informations
sur les gradients de f et g.
A.2.1
Calcul de la dérivée de f par rapport aux variables globales z
Dans cette section, nous souhaitons connaître les sensibilités de f et g. Nous allons montrer
le résultat suivant :
Propriété 1.
D z f = ∂ z F 0 + (λ z ) T ∂ z G 0 .
(A.7)
Démonstration. La fonction coût globale est :
f(z) = ̂F (x z , z) = F 0 + ∂ x F 0 (x z − x 0 ) + ∂ z F 0 (z − z 0 ).

A.2 Optimisation globale 113
La dérivée de f par rapport aux variables globales z est donnée par :
D z f = ∂ x F 0 D z x + ∂ z F 0 .
(A.8)
Le terme D z x étant dicile à calculer, il nous faut parvenir à une expression de D z f diérente.
On dérive la condition de KKT sur l'optimalité des problèmes d'optimisation locaux (A.6)
par rapport à z.
⎛
⎝
...
D z λ i (G i (x z , z 0 )) + λ z i (∂ xG i D z x + ∂ z G i ) = 0
...
⎞
⎠ .
(A.9)
Nous avons alors :
pour les λ z i nuls, λz i (∂ xG i D z x + ∂ z G i ) = 0 ;
lorsque λ z i > 0, la contrainte G i(x z , z) est saturée, c'est-à-dire égale à zéro. En utilisant ce
résultat dans (A.9), le premier terme s'annule et on obtient : λ z i (∂ xG i D z x + ∂ z G i ) = 0.
D'où :
∀i, λ z i (∂ x G i D z x + ∂ z G i ) = 0.
(A.10)
Soit :
(λ z ) T (∂ x GD z x + ∂ z G) = 0,
(λ z ) T ∂ x GD z x = −(λ z ) T ∂ z G. (A.11)
On déduit de (A.5) que :
(λ z ) T ∂ x G = −∂ x F 0 ,
puis on injecte ce résultat dans (A.11) pour avoir :
(λ z ) T ∂ z G = ∂ x F 0 D z x.
Le terme ∂ x F 0 D z x qui posait problème dans (A.8) peut être remplacé par (λ z ) T ∂ z G. Les coef-
cients de Lagrange (λ z ) nous permettent de remonter l'information donnée par les optimisations
disciplinaires.
Nous faisons ici l'hypothèse (ou l'approximation) que les contraintes disciplinaires sont linéairement
dépendantes en z autour du point [x 0 , z 0 ]. Soit ∂ z G(x z , z) = ∂ z G 0 .
On a alors :
D z f = ∂ z F 0 + (λ z ) T ∂ z G 0 .
Les variables x sont optimisées au point z 0 . La fonction coût que nous allons considérer au
niveau global est alors :

114 Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS
et sa dérivée :
f(z) = F x opt + (∂ z F 0 + (λ z0 ) T ∂ z G 0 )(z − z 0 ),
D z f = ∂ z F 0 + (λ z0 ) T ∂ z G 0 .
Nous avons alors démontré le résultat recherché.
A.2.2 Calcul de la dérivée de g par rapport aux variables globales z
On rappelle l'expression de g :
g(z) = G(x z , z).
Dans cette section, nous allons voir que les contraintes qui sont déjà saturées après les optimisations
disciplinaires ne dépendent plus des variables globales z. Nous proposerons aussi une
façon de traiter les autres contraintes dans le problème d'optimisation global.
Propriété 2.
D z g = ∂ z G − 0 ,
où G − sont les contraintes non saturées par les optimisations locales.
Démonstration.
D z g = ∂ x GD z x + ∂ z G.
Le vecteur des contraintes G peut se décomposer en deux sous-ensembles :
G(x z , z) =
( G 0 (x z , z)
G − (x z , z)
)
(A.12)
G 0 (x z , z) = 0, ce sont les contraintes actives,
G − (x z , z) < 0, ce sont les contraintes satisfaites.
• G 0 : nous avons pour les composantes i de λ z associées à G 0 (x z , z) : λ z i > 0.
D'après (A.10) nous avons :
∂ x G i D z x + ∂ z G i = 0.
(A.13)
Nous avons alors :
∀i / λ i > 0, D z g i = 0.
Les composantes de g qui ont déjà été saturées par les optimisations disciplinaires ne
varieront plus lors de l'optimisation en z. Elles resteront saturées. Nous ne tiendrons plus
compte de ces contraintes lors de l'optimisation en z.

A.2 Optimisation globale 115
• G − : nous faisons le choix de ne pas tenir compte, dans sa dérivée, du terme ∂ x G − D z x, et
de ne garder que la dépendance directe en z : ∂ z G −
Nous faisons ici l'hypothèse (ou l'approximation) que les contraintes disciplinaires non
actives sont linéairement dépendantes en z autour du point [x 0 , z 0 ]. Soit ∂ z G − (x z , z) =
∂ z G − 0 .
Nous rappelons que l'optimisation globale s'est faite autour de z 0 . La fonction contrainte du
problème d'optimisation global sera alors :
Sa dérivée sera alors donnée par :
g(z) = G − x opt + ∂ z G − 0 (z − z0 ).
D z g = ∂ z G − 0 .
Nous avons montré dans cette section les deux résultats suivants :
{
Dz f = ∂ z F 0 + (λ z ) T ∂ z G 0 ,
D z g = ∂ z G − 0 .

116 Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS
A.2.3
Problème d'optimisation en z
Les fonctions coût et contrainte du problème global sont alors :
⎧
⎨
⎩
f(z) = F xopt + ∂ z F 0 + (λ z0 ) T ∂ z G 0
g(z) = G − x opt + ∂ z G − 0 (z − z0 )
Le problème d'optimisation global à résoudre en z sera :
⎧
⎪⎨
min
z
∂ z F 0 + (λ z0 ) T ∂ z G 0 (z − z 0 ),
⎪⎩
G − x opt + ∂ z G − 0 (z − z0 ) ≤ 0,
z l ≤ z ≤ z u .
Il faut cependant rappeler que nous faisons ici une approximation en considérant les termes
∂ z G(x z , z) = ∂ z G 0 constants autour de [z 0 , x 0 ]. Il en va de même pour la linéarisation de la
fonction coût. On peut mettre en place une région de conance pour les variables partagées z
pour éviter de s'éloigner trop du point initial et d'utiliser une information sur les gradients trop
dégradée.

117
Annexe B
Algorithmes d'optimisation
Dans cette annexe, nous allons présenter certains algorithmes et méthodes d'optimisation
cités dans cette thèse. La section B.1 expose la méthode de Gauss-Newton et la méthode des
objectifs bornés permettant de déterminer un front de Pareto est donnée en section B.2. Nous
présentons un optimiseur LIN qui linéarise notre problème et qui utilise la méthode des régions
de conance en section B.3.
B.1 Algorithme de Gauss-Newton
Cette méthode s'applique aux problèmes de moindres carrés du type :
j(h) = 1 2 ‖J(h)‖2 = 1 2
∑N t
i=1
‖J i (h)‖ 2 .
(B.1)
où J est une application de R Nt dans lui-même.
On note DJ la diérentielle de J. Le gradient de j est donné par :
∇j(h) = DJ(h) T J(h).
(B.2)
Nous allons chercher à annuler ce gradient pour obtenir un minimum. Pour cela, on eectue
un développement limité du gradient dans une direction d :
∇j(h + d) = ∇j(h) + ∇ 2 j(h)d + O(d 2 ).
(B.3)
Nous négligeons les termes d'ordres supérieurs et nous recherchons un d tel que :
∇j(h + d) = 0.
(B.4)
Le vecteur d doit donc satisfaire l'équation :
∇ 2 j(h)d = −∇j(h).
(B.5)
Le calcul de la matrice Hessienne est en général très coûteux. Cependant, nous pouvons
remarquer que :
m∑
∇ 2 j(h) = DJ(h) T DJ(h) + J i (h)∇ 2 J i (h).
(B.6)
Nous pouvons ignorer le second terme de la Hessienne. Cela présente l'avantage de ne pas
avoir à calculer les dérivées secondes de J. Cette approximation est justiée si les quantités
i=1

118 Algorithmes d'optimisation
J i (h)∇ 2 J i (h) sont négligeables, soit parce que les termes J i (h) sont proches de 0, ce que nous
espérons, soit parce que les termes de dérivée seconde ∇ 2 J i (h) sont faibles autour de ce minimum.
Dans ce cas, on peut approcher la Hessienne par :
∇ 2 J i (h) ≃ DJ(h) T DJ(h)
Nous avons alors le système suivant à résoudre :
DJ(h) T DJ(h)d = −DJ(h) T J(h)
(B.7)
(B.8)
Lorsque la matrice DJ(h) T DJ(h) n'est pas inversible, mais au moins semi-dénie positive,
nous pouvons remplacer le système (B.8) par :
(DJ(h) T DJ(h) + λ)d = −DJ(h) T J(h), λ > 0
(B.9)
L'utilisation d'une méthode directe est peu appropriée pour ce genre de problème. En eet,
le calcul de la matrice DJ(h) est très coûteux. Nous préférerons utiliser des méthodes itératives,
qui permettent de se servir uniquement des produits matrice-vecteur z = DJ(h)d puis DJ(h) T z
pour obtenir DJ(h) T DJ(h)d .
Un bon exemple de méthode itérative très performante est celui du Gradient Conjugué (voir
[Gui03]).
B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front de
Pareto)
Il arrive que l'on ne cherche pas à optimiser un objectif en particulier, mais plutôt à trouver
un compromis entre plusieurs critères. Nous allons montrer ici la construction d'un front de
Pareto pour deux fonctions f 1 (x) et f 2 (x) à minimiser selon la variable x. Nous présentons la
méthode des objectifs bornés dite aussi méthode ε-contrainte (voir [SC02]). Le front de Pareto
est l'ensemble des solutions non dominées, au sens de Pareto, ou Pareto-optimales.
Un point p est sur ce front si et seulement si :
⎧
⎨
∀y.
⎩
f 1 (p) ≤ f 1 (y)
ou
f 2 (p) ≤ f 2 (y).
(B.10)
Voici une méthode simple pour déterminer le front de Pareto pour ces deux fonctions.
• On calcule les optima de chacune des fonctions f 1 et f 2 :
x 1 minimise f 1 et x 2 minimise f 2 .
La gure B.1 présente en abscisse la valeur de la fonction f 2 et en ordonnée la valeur
de f 1 . Les deux optima x 1 et x 2 sont représentés par leurs coordonnées respectives
(f 2 (x 1 ), f 1 (x 1 )) et (f 2 (x 2 ), f 1 (x 2 )).
• On part du point x 2 et on résout le problème (B.11) pour plusieurs valeurs du réel c 1 prises
dans un ordre croissant dans l'intervalle [f 2 (x 2 ), f 2 (x 1 )] :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min f 1 (x)
x
sous contraintes :
f 2 (x) ≤ c 1 .
(B.11)
L'ensemble des solutions obtenues seront notées x c1 . Elles sont sur le front de Pareto et
représentées par les symboles o sur la gure B.2. Les contraintes d'inégalité f 2 (x) ≤ c 1
sont représentées par les lignes en pointillés.

B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front de Pareto) 119
f 1
f 2 (x 2 )
f 1 (x 2 )
✻
.
*
f 1 (x 1 )
x 2
x 1
*
o
*
o
o
o
.
✲
Fig. B.1 Optima x 1 et x 2 .
f 2 (x 1 ) f 2
f 1
f 2 (x 2 )
f 1 (x 2 )
✻
.
*
f 1 (x 1 )
x 2
x 1
*
o
*
o
o
o
.
✲
f 2 ≤ c 1
f 2 (x 1 ) f 2
Fig. B.2 Solution des problèmes (B.11).
On remarque que, lorsque c 1 est proche de f 2 (x 2 ), le point obtenu est proche de x 2 .
Lorsque c 1 tend vers f 2 (x 1 ), le point se rapproche de x 1 .
• On peut aussi construire le front dans l'autre sens : on part du point x 1 et on résout le
problème (B.12) pour des valeurs croissantes de c 2 ∈ [f 1 (x 1 ), f 1 (x 2 )].
⎧
⎪⎨
⎪⎩
min f 2 (x)
x
sous contraintes :
f 1 (x) ≤ c 2 .
(B.12)
f 1
f 2 (x 2 )
f 1 (x 2 )
✻
.
*
f 1 ≤ c 2
Fig. B.3 Solution des problèmes (B.12).
f 1 (x 1 )
x 2
x 1
*
o
*
o
o
o
.
✲
f 2 (x 1 ) f 2

120 Algorithmes d'optimisation
L'ensemble des solutions obtenues seront notées x c2 . Elles sont sur le front de Pareto et
représentées par les symboles * sur la gure B.3. Les contraintes d'inégalité f 1 (x) ≤ c 2
sont représentées par les lignes en pointillés. On doit vérier que les deux fronts de Pareto
concordent.
• Le fait de construire le front de Pareto dans les deux sens permet d'en avoir une meilleure
représentation.
B.3 Optimiseur LIN
An de pouvoir juger les performances de l'optimiseur CFSQP, nous avons programmé l'optimiseur
LIN. Son principe est de linéariser le problème d'optimisation, tout en utilisant une région
de conance, pour s'assurer de la bonne qualité des optimisations. Voici le déroulement de cet
algorithme :
1. point de départ X cur , taille de région de conance ∆ ;
2. calcul des fonctions coût et contraintes : f(X cur ) et g(X cur )
3. calcul des gradients : ∂ X f(X cur ) et ∂ X g(X cur )
4. résolution du problème d'optimisation linéaire :
⎧
min ∂ Xf(X cur ).(X − X cur ),
X
⎪⎨ g(X cur ) + ∂ X g(X cur ).(X − X cur ) ≤ 0,
⎪⎩
X l ≤ X ≤ X u ,
X − ∆ ≤ X ≤ X + ∆;
(B.13)
où ∆ est la taille de la région de conance choisie à l'étape 1. Pour résoudre le problème
(B.13), on se sert de la fonction linpro de Scilab ;
5. calcul des sorties au point X opt : f(X opt ) et g(X opt ) ;
6. actualisation de la région de conance (voir [Rav07]). On cherche à estimer la qualité de
l'approximation. Pour cela on dénit ρ tel que :
(
f(X opt ) − f(X cur )
ρ = min
∂ X f(X cur ).(X opt − X cur ) , ..., g i (X opt ) − g i (X cur )
)
∂ X g i (X cur ).(X opt − X cur ) ... . (B.14)
On regarde le rapport entre la variation des sorties réelles et la variation des sorties de
l'approximation
y(X opt ) − y(X cur )
∂ X y(X cur ).(X opt − X cur ) ,
pour la fonction coût et les contraintes ; plus le rapport est proche de 1, plus la qualité de
notre approximation est bonne ; on choisit la nouvelle taille de la région de conance en
fonction de ρ :
on considère les réels η 1 et η 2 0 < η 1 < η 2 < 1,
ρ > η 2 : la validité de l'approximation linéaire est très bonne, on peut augmenter la taille
de la région de conance ∆ (par exemple en la multipliant par 1.5) et on repart du point
X opt ,
η 1 ≤ ρ ≤ η 2 : la validité de l'approximation est considérée comme bonne, on garde la
même taille de région de conance et on repart du point X opt ,

B.3 Optimiseur LIN 121
ρ < η 1 : l'approximation linéaire n'est plus valide, on diminue la taille de la région de
conance ∆ (en la divisant par 2) et on repart du point précédent X cur ,
on prendra comme valeurs numériques des constantes : η 1 = 0.01 et η 2 = 0.9 ;
7. on teste la convergence, par exemple sur l'évolution des variables.

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