ϵ2 - Le Cermics - ENPC

12 Chapitre 1 : Introduction générale
1.2.2 Présentation du travail réalisé
Ce travail présente quelques contributions visant à améliorer la justication
mathématique et étendre le domaine d'utilisation de MDD.
Tout d'abord, on établit dans le chapitre 2 une preuve de convergence de l'algorithme.
On ne s'intéresse pas à la pertinence du problème approché (1.16)
comme moyen de calculer la matrice densité mais à la capacité de l'algorithme
MDD pour minimiser (1.16). En fait, le résultat est établi pour un problème
qui n'est pas tout à fait de la forme (1.16) mais qui présente les mêmes dif-
cultés mathématiques : la minimisation d'une fonctionnelle séparable avec
contraintes d'orthogonalité. On montre que, à extraction près, les itérés de
MDD convergent vers un point stationnaire, pourvu que l'itéré initial soit suisamment
proche de la solution. Des tests numériques sur ce problème simplié
conrment la preuve de convergence.
Dans les chapitres 3 et 4, on reste dans le cadre des domaines alignés : la
parallélisation eective du code développé au cours de la thèse de Maxime
Barrault révèle que l'algorithme a une très bonne scalabilité jusqu'à 1000 processeurs.
De plus, quelques modications dans les algorithmes utilisés pour la
résolution de chaque étape de MDD permettent d'améliorer signicativement
les performances. Enn, on montre, sur des tests numériques, qu'il est nécessaire
de relaxer la contrainte d'orthogonalité entre les orbitales moléculaires.
C'est la localisation des orbitales qui conduit à introduire cette tolérance. En
eet, d'une part, la preuve de convergence du chapitre 2 est obtenue sans introduire
d'écart à l'orthogonalité et la diérence essentielle entre le problème
simplié de cette preuve et le problème (1.16) est la localisation des vecteurs.
D'autre part, on met en évidence cette relation entre localisation et écart à
l'orthogonalité sur des tests numériques dans le chapitre 4.
Dans le chapitre 5, l'algorithme est étendu aux cas où on enlève toute contrainte
sur la position relative des domaines, ce qui permet de simuler des
situations où la répartition des atomes est homogène dans les trois directions
de l'espace. On présente dans un premier temps comment on peut généraliser
l'étape globale à ce cas. La n du chapitre est consacrée à la description de
l'implémentation.
Choix des cas tests dans la thèse. Dans ce document, toutes les simulations
numériques sont faites à matrice H xée. Les matrices utilisées correspondent :
soit à des matrices obtenues à convergence de la boucle SCF pour un modèle
Restricted Hartree-Fock,
soit à des matrices H et S intervenant dans un modèle semi-empirique (Extended
Hückel Theory [41]) où la matrice de Fock est paramétrée. Il est reconnu
que les matrices de Fock des modèles semi-empiriques ont les mêmes
caractéristiques numériques que les matrices rencontrées au cours de la boucle
SCF [14,55].