Les objets mathématiques selon Platon - Université Paris Diderot ...

préliminaire par rapport à l'arithmétique, qu'il faut en être capable, si l'on veut être homme
(Rép. VII, 522 e 3-4)
Deuxièmement, Socrate ajoute tout de suite que personne n'utilise de la bonne façon cet
objet d'étude qui est susceptible de nous tirer vers la connaissance de l'être (ibid., 523 a 2).
On ne peut que soupçonner ce qu'il veut dire : les applications au commerce et à des fins
militaires empêchent les gens de se rendre compte de la valeur théorique des nombres (525 c
3-4). L'ignorance de cette valeur contraste avec la chance que comporte le bon usage des
nombres. Mais l'ignorance et l'usage inadéquat font que Platon ne peut renvoyer à des
approches déjà en cours, pour faire accepter l'arithmétique théorique dans le programme
d'éducation.
Troisièmement, Platon ne peut pas se réclamer non plus d'un consensus des
arithméticiens. En effet, alors qu'il peut prendre à témoin tous les géomètres (527 a 1-2), il
doit faire appel aux avisés parmi les arithméticiens pour se faire confirmer son approche
(525 d 9).
Il paraît donc difficile pour Platon de présenter une façon communément reconnue de
traiter les nombres telle qu'il puisse la prendre au titre de point de départ pour son
programme d'éducation, comme il le fait à propos de la pratique géométrique. Je propose
provisoirement d'expliquer le recours au sophisme par cette difficulté.
2. La définition des nombres mathématiques
L'argument fallacieux suggère que la perplexité que déclenche la perception d'un objet
sensible induit à s'interroger sur ce qu'est l'unité et le nombre. Par la suite, Socrate évoque
d'abord, au titre de savoirs concernant le nombre, l'art du calcul (logistikè) et l'arithmétique
comme s'ils devaient répondre aux questions que se posent les déçus de la perception (525 a
9-10). Mais il est hors de doute que calculer ne signifie pas réfléchir sur la nature des
nombres (525 c 2). Par contre, l'arithmétique, dès lors qu'elle ne désigne pas la simple
capacité de compter (522 e 2), a plus de chances d'être « numérologie ». Il n'empêche,
Socrate ne retiendra ensuite que l'art du calcul qui est censé former les futurs gouvernants en
vue aussi bien de la stratégie militaire que de leur conversion vers l'être (525 b 11 - c 6). En
guise d'explication de cette thèse, Socrate distinguera deux usages des nombres, comme si,
du fait de porter sur les nombres, l'étude du calcul avait aussi un potentiel théorique.
Et effectivement, dis-je, étant donné qu'il est question de l'objet d'étude concernant les
nombres, je me rends compte qu'elle est subtile et nous rend service, de multiple façons, en vue
18