Les objets mathématiques selon Platon - Université Paris Diderot ...

Journées thématiques interdisciplinaires 25-26 mai 2010
Philosophie et mathématiques : Platon et Aristote
Les objets mathématiques selon Platon
Wilfried Kühn (CNRS, Villejuif)
I. L'hypothèse des idées
Si l'on veut parler des mathématiques selon Platon, on ne saurait faire l'économie de
l'hypothèse des idées (dans le Phédon, Platon considère lui-même sa pensée concernant les
idées comme une hypothèse). Car les objets mathématiques, les figures aussi bien que les
nombres, sont pour Platon des idées ou bien des entités assimilées aux idées. Or, la difficulté
que rencontrent les platonisants, c'est que Platon n'argumente jamais directement en faveur
de l'hypothèse des idées. L'argument le plus pertinent est indirect dans la mesure où il doit
prouver immédiatement l'existence prénatale de l'âme et prend appui, dans cette visée, sur
une justification de l'hypothèse des idées (Phédon 74 a-e) ; j'y reviendrai (voir II 1). Pour
surmonter la difficulté que pose le manque d'arguments, les interprètes sont obligés de
reconstituer un ou plusieurs arguments susceptibles de fonder l'hypothèse des idées. On peut
concevoir ces arguments de façon très abstraite, mais on peut aussi tenir compte de
l'évolution de la pensée de Platon telle qu'elle se dessine dans les dialogues.
1. Le point de départ socratique
Je voudrais commencer par cette deuxième approche. Elle consiste à remonter à
l'obsession rationnelle de Socrate, qui était la recherche du savoir moral, selon les dialogues
de jeunesse de Platon. En effet, ce savoir devait reposer sur certaines définitions, et les idées
étaient conçues par Platon, non par Socrate, comme les objets des définitions. Voilà la
quintessence de la genèse de l'hypothèse des idées.
Pour bien comprendre, il faut tout de même préciser un peu. Socrate ne voulait pas définir
tout et n'importe quoi, surtout pas des objets sensibles comme le cheval, la maison ou l'eau.
Socrate voulait définir les prédicats évaluatifs qui orientent principalement les
comportements moraux et qui sont utilisés, dès lors qu'il s'agit de justifier ou d'encourager de
tels comportements. Ces prédicats dérivent pour la plupart des substantifs qui désignaient à
l'époque les qualités de l'homme modèle : le courage, la piété, la maîtrise de soi, la justice.
Mais en plus des prédicats comme « courageux » etc. il faut penser aussi à d'autres comme
« admirable », « utile » et leurs contraires ; car, en général, il ne faut pas oublier les non
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valeurs. À la différence des prédicats comme « cheval » et « maison », les prédicats
évaluatifs ne sont pas clairs et souvent controversés, lorsqu'il y a conflit. Socrate explique, en
effet, les conflits, même les guerres, non par des oppositions d'intérêts, mais par des
compréhensions inconciliables de ce qui est juste, admirable et utile (voir Euthyphron 7 b -
8 e). Car ces divergences entraînent des jugements de valeur opposés sur certains faits ou
conditions qui deviennent par là matière de conflit.
Voilà une des configurations dans lesquelles le savoir moral, c'est-à-dire la définition des
termes évaluatifs, est censé apporter une solution. Un autre type de situation est représenté
par la question de savoir si certains exercices militaires rendent courageux : pour en juger, il
faut savoir ce que cela veut dire qu'être courageux. Or, Socrate prend pour acquis qu'on le
sait en définissant le prédicat « courageux » ou le courage et que la même chose vaut pour
les autres prédicats du même ordre. Socrate pense, en effet, que les définitions fonctionnent
comme des critères qui permettent de se rendre compte à propos de chaque objet particulier
s'il satisfait à la définition ou non, si bien qu'il faut affirmer de lui le prédicat défini ou bien
le nier. Cependant, Socrate ne prend pas les définitions pour des règles linguistiques qui
déterminent le bon usage des prédicats, il les prend pour des expressions qui désignent
quelque chose, et il appelle ce quelque chose déjà « idée » ou « forme ». Il utilise donc le
même terme qui revient dans les dialogues de maturité de Platon, mais il ne développe pas
encore la conception de ce que sont les idées. Sauf qu'il leur assigne deux fonctions : une
objective qui, dans le cas de l'idée de la piété, par exemple, consiste à être ce grâce à quoi
tout est pieux qui l'est ; une fonction cognitive qui est celle du modèle (paradeigma) que l'on
regarde par le biais de la définition pour appeler ensuite pieux ce qui ressemble au modèle et
pour nier cette propriété à propos de tout ce qui ne lui ressemble pas (Euthyphron 6 d-e).
2. L'hypothèse des idées généralisée
La spécificité de ces idées socratiques réside dans leur caractère moral. Ce caractère rend
compréhensible ce qu'on lira dans les dialogues de maturité, c'est-à-dire que ce n'est pas par
expérience que nous connaissons les idées. Car on peut accepter qu'aucune personne, aucune
action réalise pleinement ce que nous entendons, par exemple, en parlant de « juste » et de
« justice ». Platon précise cette idée en faisant remarquer que nous appliquons ces prédicats
toujours dans des contextes particuliers dont les caractéristiques ne sont pas généralisables
pour définir le prédicat. Par exemple, il passe pour juste de rendre à quelqu'un ce qu'il a
prêté, mais si un homme a prêté une arme à un autre, il ne serait pas juste pour ce dernier de
la rendre, lorsque le premier souffre d'un accès de folie et risque de se suicider (République
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I, 331 c). C'est pourquoi il paraît nécessaire de définir les prédicats moraux hors contexte
empirique.
Pourtant, en développant l'hypothèse des idées, Platon ne s'en est pas tenu au domaine
moral. Au contraire, il a supposé une idée correspondant à chaque prédicat, que le prédicat
désigne une chose comme « table » ou bien une qualité des choses comme « égal » ou
« beau » (République X, 596 a). Platon généralise donc l'approche de Socrate, si bien qu'elle
porte aussi sur les nombres. C'est pourquoi l'hypothèse des idées invite à l'interprétation plus
abstraite que j'ai déjà annoncée. Or, si les idées sont généralement les signifiés des
définitions, elles le sont aussi en quelque sorte des termes définis, car les définitions
clarifient et rendent cohérent ce que, en prononçant les termes définis, nous entendons dire
sans faire attention au sens précis et à la cohérence de l'usage que nous faisons des différents
termes.
Si, donc, les idées sont, de façon médiate, les signifiés des termes du langage, ce n'est pas
vrai de tous les termes. Car les termes singuliers comme les noms propres ou les mots
déictiques (« celui-là ») désignent des objets individuels sensibles. Les idées correspondent,
par contre, aux termes génériques qui peuvent servir de prédicats comme « rectangulaire »
ou « cochon » (les verbes comme « marcher » ne sont d'ailleurs pas pris en compte du tout).
Par là, l'hypothèse des idées répond à une question que Socrate ne semble pas s'être posée, à
savoir : qu'est-ce que le signifié des termes génériques ou des prédicats
Cette question fait sens dans la mesure où le signifié de ces termes ne saurait être l'objet
individuel dont ils sont prédiqués à chaque fois, étant donné qu'ils se prédiquent
d'innombrables objets individuels, tout en exprimant un seul sens — de toute façon après la
suppression d'éventuelles polysémies, si besoin en est. Au fait qu'un seul terme générique se
prédique d'innombrables objets, correspond, selon Platon, un rapport objectif entre l’unique
signifié du terme générique, c'est-à-dire l'idée, et les multiples choses sensibles dont le terme
générique est prédiqué à chaque fois. En effet, comme on l'a déjà vu, l'idée est ce grâce à
quoi les choses sont ce qu'elles sont, c'est-à-dire que l'idée de la table est responsable du fait
que certains objets sont des tables.
Dans l'histoire de la philosophie, l'hypothèse des idées représente la première proposition
de concevoir le sens des termes génériques : ces termes désignent chacun une seule entité
non sensible, accessible à la seule raison, donc une forme intelligible. Après avoir été rejetée
par Aristote et les autres élèves de Platon, cette proposition trouvait une espèce d'écho chez
le mathématicien et logicien Gottlob Frege, au 19 e siècle. Selon Frege, le signifié des
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prédicats est non pas une idée, mais un concept objectif qu'il conçoit comme une fonction
mathématique en associant la copule au terme nominal. Un tel concept est alors « est
cochon », une fonction à laquelle on donne un argument en disant « celui-là est un
cochon » ; la valeur de ce genre d'expression est alors le vrai ou le faux. Si j'évoque le
concept de Frege, c'est pour faire remarquer que la proposition de Platon est moins
extravagante que ne laissent croire ses nombreux détracteurs.
3. Comment les objets intelligibles se distinguent-elles des choses sensibles
Pour expliquer que les objets des définitions sont non pas les choses individuelles
sensibles mais plutôt les idées, Platon argumente non seulement du fait que chaque objet
défini, étant un seul, soit en quelque sorte commune aux multiples choses dont se prédique le
terme générique correspondant. De plus, il établit certains critères que doit remplir l'objet
d'une définition et qu'il attribue aux idées, parce que les choses sensibles ne les remplissent
pas. C'est d'abord le fait d'exister toujours et de ne s'accroître ni ne diminuer, car la définition
classique ne contient de coefficient temporel ni n’indique une évolution. C’est ensuite le fait
d'être simple, c'est-à-dire de ne présenter qu'une seule forme ou caractéristique, celle qui fait
l'objet de la définition. Ce dernier critère distingue les idées des choses particulières, parce
que ces dernières sont ambiguës de deux façons : elles présentent une qualité sous un aspect
et son contraire sous un autre, comme deux ballons se ressemblent en volume mais sont
dissemblables en couleur ; ils présentent une qualité tout en étant autre chose, comme un
visage est beau sans qu'il ne soit rien que beau, car il et aussi visage (Banquet 211 a-b).
Nous ne comprenons pas que cela demande la distinction entre choses sensibles et objets
simples, parce que nous sommes habitués à distinguer couramment entre la chose et ses
attributs, entre le visage et sa beauté. Mais Platon, même s'il fait parfois la différence
abstraite entre la chose (ousia) et l'état (pathos) dans lequel elle se trouve, a coutume
d'appeler une chose belle « le beau » et une chose grande « le grand ». Ces expressions
suggèrent qu'elles désignent des objets caractérisés par un seul attribut, mais ce n'est pas
exact, car elles désignent en réalité ce qui est beau ou grand, c’est-à-dire des choses
complexes qui ont bien des attributs et qui, de ce fait, ne se prêtent pas au rôle de l'objet de la
définition d'un seul de ces attributs. C’est ce que Platon fait valoir pour distinguer les objets
de la définition des choses sensibles.
De plus, si nous voulons isoler l’un des attributs d’un objet, nous le désignons par un
terme abstrait comme « beauté » ou « grandeur », tout en pensant qu’il s’agit de
caractéristiques inhérentes à une chose dénotée autrement, comme « la beauté du tableau ».
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C’est pourquoi nous ne croyons pas qu’il faille concevoir des objets intelligibles distincts des
choses sensibles pour comprendre ce qu’est la beauté, par exemple. Quand Platon, en
revanche, utilise des termes abstraits comme « la justice », il ne distingue pas leur
signification de celle des termes concrets comme « le juste ». Et lorsqu’il conçoit des
caractéristiques inhérentes à des choses, c’est après avoir fait admettre, au titre d’objets
intelligibles, les mêmes caractéristiques sous forme d’idées indépendantes. Aussi peut-il
considérer que les multiples instances d’une caractéristique inhérente à nombre d’objets
concrets, comme la justice de certaines actions, de personnes et de lois, découlent de
l’unique idée — de la justice tout court — qui leur correspond à chaque fois (Phéd. 102 b -
105 b). C’est pourquoi ni les termes abstraits ni les caractéristiques inhérentes aux objets
concrets n’amènent Platon à se demander, comme nous le faisons, s’il faut vraiment
supposer les idées pour donner des objets aux définitions — au lieu de se contenter des
caractéristiques inhérentes aux objets concrets.
Pour en revenir à l’ensemble des critères qui permettent de distinguer objets définis et
objets sensibles, il convient de répéter qu’ils sont d'une importance capitale, parce qu'ils
portent l'argument qui justifie l'hypothèse des idées : (1) si, pour qu’il y ait savoir, il faut
supposer des objets définis et (2) que les choses sensibles ne s’y prêtent pas, (3) la possibilité
du savoir dépend de l’existence d’autres réalités qui satisfont aux critères du définissable et
que sont les idées. En ce qui concerne le critère de la perpétuité et de l’immuabilité, Platon
doit prendre pour acquis qu’aucune des choses sensibles n’est perpétuelle et toujours de la
même grandeur, comme doit l’être ce qui entre en ligne de compte comme objet d’une
définition. Mais un interlocuteur de l'époque, Aristote notamment, pourrait contester cette
prémisse en évoquant l'exemple des astres qui, étant perpétuels et immuables en grandeur,
peuvent rivaliser, sous cet angle, avec les idées pour fonder un savoir certain.
Quant au critère de la simplicité, Platon argumente d’abord que les objets sensibles ou
empiriques ne le satisfont pas, parce qu’ils présentent des attributs contraires ; cela concerne
le caractère relatif de leurs caractéristiques. Par exemple, l'index est long, comparé avec le
pouce, mais il est petit par rapport au majeur (voir Rép. VII, 523 d-e) ; et la restitution de son
arme à quelqu'un devenu fou est juste du fait de remplir un contrat implicite, mais injuste
dans la mesure où l'on ne tient pas compte de l'intérêt du partenaire. À propos de cette
relativité des caractéristiques, il y a lieu de se demander si elle vaut pour tous les attributs
des choses sensibles, en pensant notamment aux nombres comme prédicats : premièrement,
il n'y a pas de contrariété entre eux, si l'on n'insiste pas sur le rapport entre pairs et impairs ;
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ensuite et surtout, un ensemble n'est pas au nombre de 23 sous un aspect et au nombre de 36
sous un autre (ce qui rendrait l'ensemble, selon Platon, impair et pair à la fois). En effet, ce
serait alors un autre ensemble, car si les vaches d'un troupeau font 23, elles ne font pas 92
sous un autre aspect, mais ce sont leur jambes qui font 92 (cf. I. Mueller, « Ascending to
problems : astronomy and harmonics in Republic VII, dans : J. P. Anton (éd.), Science and
sciences in Plato, Demar (NY), Caravan Books, 1980, p. 117).
Reste donc l’argument de Platon selon lequel les choses sensibles ne sont pas simples,
parce que, au lieu de ne présenter qu'une seule forme ou caractéristique, elles sont toujours
autre chose encore, comme « le beau » est un visage, un édifice ou quelque chose d’autre.
Cet argument signifie que les choses connues sous l’angle de leurs attributs sont complexes
et non simples, comme elles devraient l’être en tant qu’objets de définitions. Puisque les
nombres qui se prédiquent d'objets sensibles sont toujours une sorte d'attributs et que Platon
ne distingue pas les attributs (« trois ») des choses considérées sous l’angle de ces attributs
(« les trois », c’est-à-dire « les trois choses »), ils tombent sous le coup de ce critère.
De même que le premier des deux arguments évoqués précédemment ne concerne pas
l’ensemble des réalités sensibles et que le deuxième n’est pas vrai de tous les prédicats, le
troisième ne l’est pas non plus, parce que tous ne désignent pas des attributs : par « table »,
« lit », « animal », « terre » et « ciel », pour prendre les exemples du texte platonicien, on
entend non pas des attributs, mais des entités qui ont des attributs. Or, si les attributs ne se
prêtent pas au rôle d'objet défini, parce que Platon les identifie aux choses considérées sous
l’angle des attributs, cela n'est pas vrai des choses telles qu'elles sont désignées par les
termes de « table », « animal » etc. Il n'empêche, Platon n'a pas exclu les choses ainsi
conçues du verdict qui écarte tout objet sensible du rôle d'objet d'une définition ; c'est
pourquoi il est obligé de supposer des idées aussi des choses ainsi conçues.
Seul Aristote s'est rendu compte que, selon le critère de Platon lui-même, cette
supposition est inutile, parce qu'un homme, par exemple, bien qu'il soit un individu sensible,
représente exactement ce qu'est l'homme qu'il s'agit de définir. Ainsi, Aristote se croyait
fondé à supprimer les idées, comme l'ont fait aussi les autres élèves de Platon, mais tout en
gardant la conception platonicienne selon laquelle la définition porte à chaque fois sur un
objet simple qu'il appelle « substance ».
Entre Platon et Aristote, on observe donc ce que l'on s'est habitué à appeler, suivant
Thomas Kuhn, un changement de paradigme à propos de l'objet de la définition : alors que
Socrate et Platon ont commencé par chercher les définitions d'attributs et à les théoriser,
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Aristote fait des choses auxquelles appartiennent les attributs les objets à définir. Or, aux
deux approches correspondent deux inconvénients suivant une certaine symétrie : alors que
Platon ne dispose pas d'argument pour établir les idées de toutes les substances y compris les
astres, Aristote conçoit l'objet de la définition de manière à rendre les attributs
indéfinissables. Car, s'il retient le critère platonicien selon lequel l'objet à définir doit être
simple, c'est-à-dire ne pas dépendre de quelque chose d'autre, les attributs qui dépendent des
substances et sont de ce fait complexes ne sauraient faire l'objet de définitions. À ce sujet,
Aristote me semble osciller entre l'exclusion des attributs et l'idée qu'ils se définissent tout de
même en incluant la substance dans la formule définissante; ainsi, on inclura la surface dans
la définition de la couleur et l'animal dans la définition de l'attribut « ailé ».
Ce qui doit nous intéresser, c'est le cas des objets mathématiques. D'une part, en effet, ils
ne sauraient se définir en incluant certaines substances dans leurs formules, parce que toutes
les substances corporelles se comptent de façon égale et se mesurent selon les mêmes
méthodes. De l'autre, Aristote n'accorde pas aux objets mathématiques une existence
indépendante à l'instar des idées platoniciennes. C'est pour ces deux raisons, me semble-t-il,
qu'il ne propose que pour les objets mathématiques un procédé préalable aux définitions,
c'est-à-dire l'abstraction de toutes les autres caractéristiques des choses. Par là, la raison est
censée fabriquer les objets mathématiques purs, analogues aux idées platoniciennes. Les
commentateurs d'Aristote appliquaient la notion d'abstraction à la formation de tous les
concepts. Mais Aristote l'a inventée seulement pour sortir de l'impasse dans laquelle il s'était
dirigé en supprimant les idées sans être à même de concevoir les définitions mathématiques
comme celles des autres attributs.
II. Les figures géométriques renvoient au domaine intelligible
Platon n'a pas besoin d'une opération subjective comme l'est l'abstraction, pour faire
exister hors contexte sensible les objets du savoir mathématique. Si l'hypothèse des idées est
vraie, ces objets existent indépendamment des choses sensibles et de nos opérations
mentales. Il faut seulement nous convaincre nous-mêmes de leur existence aussi bien que de
celle des autres idées. À ce propos, les figures géométriques et les nombres jouent deux rôles
différents. Cela s'explique éventuellement par les différentes étapes et conditions dans
lesquelles les unes et les autres entrent dans le processus de l'éducation. En effet, on apprend
à compter les choses avant de dessiner des figures géométriques qui ne sont pas les figures
de certaines choses perçues (il n’empêche, Platon prévoit, dans son programme d’éducation,
l'initiation ludique au calcul et à la géométrie au même moment, voir Rép. VII, 536 d). De
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toute façon, à défaut de décrire les choses sensibles, les figures géométriques renvoient
immédiatement à des entités non sensibles, alors que les nombres passent pour des attributs
des choses, si bien qu'il faut à Platon un argument pour passer des nombres ainsi entendus
aux nombres en soi.
1. L'utilisation des figures en vue d'une connaissance conceptuelle
Étant donné que Platon veut instaurer la connaissance mathématique comme une sorte
d’initiation aux objets non sensibles, il convient donc de commencer par la géométrie à
laquelle Platon consacre deux passages dans la République (VI, 510 d 5 - 511 a 1 ; VII, 527 a
1 - b 8). Voici le premier :
< Tu sais > donc aussi que les < mathématiciens > utilisent les formes visibles et font leurs
discours à propos d'elles, tout en réfléchissant non pas sur elles, mais sur les < intelligibles >
auxquelles celles-ci ressemblent, tout en faisant leurs discours en vue du carré en soi et de la
diagonale en soi et non en vue de celle qu'ils dessinent, et de même pour le reste : ces
< figures > précisément qu'ils façonnent et dessinent, dont il existe aussi des ombres et des
images dans l'eau, ils utilisent celles-ci comme des images de leur côté en cherchant à voir
celles-là justement que l'on ne verrait pas autrement que par la pensée.
Ce passage s'inscrit dans une des analogies connues de la République, à savoir
« l'analogie de la ligne ». Elle consiste à comparer l'ensemble de la réalité avec quatre
sections d'une droite, inégalement divisée : les deux parties principales figurent les objets
intelligibles et sensibles, et chacune de ces parties se divise à nouveau selon la même
proportion que l'ensemble (VI, 509 d - 511 e). C'est que les objets sensibles se divisent en
choses sensibles et leurs ombres et reflets, alors que les objets intelligibles ne se laissent
diviser qu'en ayant recours au mode de leur connaissance : ce dernier consiste à se servir
d'objets sensibles comme le font les géomètres ou bien à se référer exclusivement aux
formes intelligibles. Comment cette distinction donne-t-elle lieu à deux classes d'objets
intelligibles Provisoirement, à tout le moins, on peut comprendre que Socrate veut parler
des objets des mathématiques courantes et des objets du savoir conceptuel qui se fonde
exclusivement sur des définitions et que Platon appelle « dialectique ».
Alors, comment procèdent les géomètres Ils dessinent ou façonnent des figures
sensibles et en parlent, mais, dans leur pensée, ils visent autre chose, des objets purement
conceptuels dont les figures sensibles seraient des images ou des copies (si l’on se demande
comment on peut parler d’une chose et penser à une autre, il suffit de se rappeler les fables
de la Fontaine). On a généralement compris que les géomètres sont obligés de ne pas faire de
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leurs dessins les objets de leur raisonnement, parce que ces figures manquent inévitablement
de précision. Cette interprétation peut se réclamer du fait que, avant Platon, le sophiste
Protagoras attaqua, voire réfuta les géomètres en arguant que, au niveau du dessin, la droite
tangente à un cercle ne le touche pas en un seul point (voir Aristote, Métaphysique III 2, 997
b 35 - 998 a 4). Protagoras articula ainsi la conscience que le dessin passe à côté de ce qu'il
est censé illustrer, sans que l'on apprenne si aussi les géomètres en étaient conscients ou pas.
Or, Protagoras pouvait transformer en réfutation la conscience de l'imprécision du dessin
uniquement en prenant pour acquis que l'objet du prétendu savoir géométrique est le dessin.
Car alors le dessin imprécis devait rendre faux les théorèmes des géomètres. Pour maintenir
la géométrie comme science, il fallait prendre le contre-pied de la prémisse de Protagoras en
soutenant que les géomètres ne réfèrent pas leurs théorèmes aux figures qu'ils dessinent.
Platon non seulement procède ainsi dans la République, il confirme aussi l'observation de
Protagoras en disant dans une Lettre (VII, 343 a 5-9) que le cercle dessiné ou fabriqué au
tour touche partout la droite (ce qui signifie qu’il contient des droites, comme il ressort de la
suite du texte).
Il me semble pourtant que ce n'est pas seulement le manque de précision des figures qui
les empêche d'être les objets de la géométrie. Les textes n'évoquent pas un autre obstacle,
mais nous savons bien que, par exemple, un cercle dessiné représente toute l'espèce, si je
puis dire, indépendamment de la longueur de son diamètre. Si, en revanche, la figure
dessinée était l'objet de la géométrie, il faudrait, dans un premier temps à tout le moins,
établir les théorèmes à propos de chaque cercle tel qu'il se distingue par la longueur de son
diamètre. Ou encore, pour prendre un exemple que suggère le passage de la République qui
précède le texte traduit : si les espèces des angles sont l'angle droit, aigu et obtus, le
géomètre figure un angle aigu en en dessinant un de 15° aussi bien qu'en en dessinant un
autre de 85° ; il est possible que la différence sensible ne signifie rien, parce qu'il est
convenu que les deux dessins ne sont pas des objets à examiner en soi, mais doivent
représenter le même type d'angle. Ne disposant pas du terme de « représentation », Platon
fait dire à Socrate que le dessin est l'image ou la copie de l'objet intelligible.
Il lui fait signaler aussi que les géomètres eux-mêmes sont conscients du fait que leurs
dessins restent en retrait par rapport aux objets de leur science. Car Socrate explique que les
géomètres utilisent les figures au titre d'images et cherchent à connaître leurs originaux
intelligibles. Les scientifiques ne se laissent pas fourvoyer par le fait que, en tant qu'objets
physiques, les figures peuvent être les originaux des images qui se forment d'elles dans l'eau
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ou dans une glace. Cela veut dire que les géomètres ne sont pas pris dans l'expérience que
leur communiquent les sens, mais la relativisent : puisqu'ils savent que leur objet ne
s'identifie pas aux figures qu'ils construisent eux-mêmes dans le domaine sensible, ils sont
capables de considérer ces figures comme des originaux par rapport à leurs ombres et à leurs
reflets, mais, en même temps, comme des copies par rapport aux objets scientifiques.
On en arrive à se demander pourquoi, finalement, les géomètres ont besoin de figures —
une question peut-être vaine pour le mathématicien, mais légitime dans un contexte
philosophique. Platon n'y répond pas, mais on peut noter que, dans un autre contexte, il
explique que toute connaissance humaine part forcément de perceptions (Phéd. 74 a-e). C'est
le célèbre argument qui consiste à concevoir la connaissance comme une sorte de
réminiscence. En effet, de même que, en voyant le portrait d'une personne qu'on a connue ou
que l'on connaît, on se souvient de la personne, de même, en percevant des objets sensibles,
on est amené à penser à autre chose à laquelle ressemblent les objets perçus. Lorsque, par
exemple, on voit deux bouts de bois de longueur égale, on est amené à penser l'égalité que
Platon appelle aussi « l'égal en soi ». Et, de même que, en voyant le portrait, on se rend
compte que, tout en ressemblant à la personne figurée, il reste en retrait par rapport à elle, de
même, en voyant deux bouts de bois égaux en longueur, nous sommes conscients du fait
qu'ils restent en retrait par rapport à l'égalité (parce qu'ils sont encore autre chose qu'égaux).
En dépit de sa thèse principale que le savoir porte sur des objets intelligibles comme
l'égalité et non sur des objets sensibles, Platon insiste sur le fait que c'est uniquement à partir
de la perception des sensibles que nous prenons conscience des intelligibles (ibid., 75 a).
Voilà le parallèle avec la pratique des géomètres qui ont besoin du dessin pour raisonner à
propos de ce qui est représenté par le dessin de façon imparfaite.
Cependant, pour se rendre compte de l'importance du cas des géomètres, il faut nuancer le
parallèle. En effet, le passage du Phédon décrit non pas une pratique technique voire
scientifique quelconque, mais la cognition élémentaire que l'on exprime en disant « ces deux
tiges sont égales en longueur ». Il n'y est donc pas question d'une connaissance qui se situe
au même niveau que celle des géomètres. Un peu plus loin dans le Phédon (76 a-c), Socrate
confirme que la cognition élémentaire est seulement la première étape du processus qui ne
s'achève par le savoir que lorsqu'on est capable de définir les termes comme « égal » qu'on a
déjà utilisés correctement. Or, en ce qui concerne les géomètres, Socrate constate qu'ils ne
définissent pas leurs termes de base, mais les supposent, comme s'ils étaient connus par tout
le monde (Rép. VI, 510 c 2 - d 1). Les géomètres se situent donc à mi-chemin entre la
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cognition élémentaire et le savoir parfait. Ils se singularisent en visant des objets
intelligibles — ce qui n'est pas le cas de la cognition élémentaire — tout en se référant aussi
aux figures visibles — ce dont le savoir achevé n’a pas besoin. Ainsi opèrent-ils
constamment le passage de la perception indispensable vers la connaissance conceptuelle et
préfigurent ainsi la théorie platonicienne de la connaissance. Pareille chose ne peut se dire de
l'arithmétique.
2. Le discours des géomètres
Avant de passer à l'arithmétique, il faut tout de même tenir compte d'un problème que
seule la géométrie pose à Platon. Le problème vient du fait que les géomètres ne trouvent pas
leurs objets sensibles, mais les construisent eux-mêmes. Ils pourraient donc croire qu'ils
fabriquent des objets comme le font les peintres, les sculpteurs et les architectes. Mais Platon
fait à Socrate rejeter toute valorisation du construire comme une sorte de création.
Tous ceux qui ont ne serait-ce qu'un peu d'expérience en géométrie, dis-je, ne nous
contesteront certainement pas ceci à tout le moins : cette science se trouve être aux antipodes
des discours que mènent en elle ceux qui la manient. — Comment cela demanda-t-il. —
D'une certaine façon, leur discours est assez ridicule et inévitable. En effet, comme ils
prononcent tous leurs discours en agissant et en vue de la pratique, ils disent qu'ils carrent,
appliquent et ajoutent, en exprimant tout de la sorte, mais l'étude dans son ensemble est d'une
certaine manière entreprise en vue de la connaissance. — De toute façon, répondit-il. — Faut-il
donc convenir encore de ceci — De quoi — Qu'elle est entreprise en vue de la connaissance
de ce qui existe toujours et non de ce qui devient quelque chose à un certain moment et
disparaît < ensuite >. — C'est indiscutable, répondit-il, car la géométrie est la connaissance de
ce qui existe toujours. (Rép. VII, 527 a 1 - b 8)
Au premier abord, le discours de Socrate rend perplexe, parce qu'il affirme des mêmes
géomètres qu'ils parlent d'une certaine façon de leurs constructions et qu'ils acceptent de
trouver ces discours parfaitement inadéquats à leur science. Selon le commentaire de
F. F. Repellini, Socrate vise deux sortes de géomètres, les praticiens et ceux qui réfléchissent
sur ce qu'est la géométrie (voir «La linea e la caverna », dans : M. Vegetti (éd.), Platone. La
Repubblica, vol. V, Napoli, Bibliopolis, 2003, p. 370-371). Mais Socrate a l’air d’écarter
cette interprétation en se bornant à supposer qu'un minimum d'expérience en géométrie suffit
pour admettre le jugement sur les discours couramment tenus ; s'il y fallait encore une
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attitude de recul et de réflexion, Socrate devrait le dire. Comment se fait-il alors que les
géomètres eux-mêmes sont disposés à rejeter leurs propres discours
Leur double attitude me semble refléter la dualité de leurs objets. En effet, dès sa
première description de la géométrie, Socrate a dit que les géomètres parlent des figures
visibles tout en pensant aux objets intelligibles. Maintenant nous apprenons ce que disent les
géomètres en construisant, c’est-à-dire qu’ils carrent, appliquent et ajoutent. C’est pour deux
raisons qu’ils ne peuvent s'empêcher d’en parler : il s’agit de communiquer à autrui un savoir
ou bien une hypothèse ; l’auditeur suit les constructions que le discours de celui qui dessine
permet de comprendre comme des séries d’actes organisés qui tendent vers un but. Pourtant,
parce qu'ils cherchent une connaissance conceptuelle d'objets intelligibles, les géomètres
sont aussi capables de reconnaître la fonction restreinte de leurs discours pratiques et
d'admettre qu'ils sont parfaitement inappropriés au but cognitif qu'ils poursuivent.
La critique de Socrate, qui frappe les « discours de travail » des géomètres, est donc basée
sur l'opposition entre « en vue de la pratique » et « en vue de la connaissance ». Ce que
signifie « en vue de la pratique », cela se comprend le plus aisément, si l'on pense à
l'enseignement ou à la communication entre collègues : l'un demande à l'autre de suivre les
constructions qu’il exécute ; il parle donc pour amener l'autre à imaginer cette pratique. Du
point de vue d'un observateur naïf, la naissance des figures dans le sable ou sur le tableau
noir est ce que le discours veut expliquer. C'est ridicule dans la mesure où les figures ne sont
qu'un moyen par rapport au véritable but qu'est la connaissance. Mais pourquoi le même
discours n’engendre-t-il pas une connaissance, en décrivant la construction Or, le texte ne
précise pas tout de suite que la connaissance qui est visée porte sur des objets imperceptibles.
Par conséquent, on ne comprend le caractère ridicule du discours qu’en supposant que, en
tant que telle, la connaissance ne saurait être le but du discours qui décrit les constructions.
Cela se comprend en pensant aux techniques artisanales ou autres que Socrate ne cesse de
citer comme exemples de pratiques rationnelles : là, le savoir précède et conduit la pratique,
il ne saurait donc être son résultat.
Cependant, si l’on explique ainsi le caractère ridicule du discours des géomètres,
comment peut-on encore comprendre que ce discours est aussi inévitable Comment
servirait-il à la communication d’un savoir ou d’une hypothèse, s’il n’apprend rien à
l’auditeur Le texte ne répond pas à cette question, car, tout en évoquant des discours « en
vue de la pratique » il ne distingue pas les rôles de l’orateur et de l’auditeur. Il faut donc se
contenter d’une hypothèse exégétique. À ce propos, on peut partir de deux prémisses.
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Premièrement, le discours n’est pas inévitable pour le dessin de l’orateur, il l’est de toute
façon pour communiquer quelque chose à l’auditeur. Deuxièmement, les géomètres utilisent
les dessins pour arriver à leurs connaissances, autrement dit, ils ne peuvent pas s’en passer
selon le premier des textes traduits. On peut donc comprendre l’expression « ils prononcent
tous leurs discours en vue de la pratique » au sens où que l’orateur communique à l’auditeur
uniquement le mode de la construction graphique si bien que l’auditeur sera en mesure de
l’exécuter lui-même. Tandis que cette communication ne véhicule aucune connaissance
théorique, l’auditeur sera capable de cette connaissance, dès lors qu’il dessine lui-même la
figure en question. Une fois cette différence faite entre communication pratique et
connaissance à partir du dessin, on peut éventuellement renoncer à distinguer deux étapes
temporelles de ce processus, si l’on pense que l’auditeur imagine la construction déjà en
écoutant le discours de l’orateur. Quoi qu’il en soit, il semble essentiel que le discours porte
exclusivement sur la pratique, alors que la connaissance présuppose cette pratique et son
résultat au titre de condition nécessaire.
3. Les échelons des objets géométriques
Par la suite seulement, Socrate évoque l'objet de la connaissance pour se laisser confirmer
qu'il est perpétuel et non passager, comme l'est le produit de la pratique. Que l'interlocuteur
accepte la thèse sans argument, cela se comprend du fait que les philosophes antiques
n'envisageaient pas d'incorporer au savoir des propositions contenant un indicateur temporel.
Par exemple, la phrase « il pleut » devient fausse dès que la pluie cesse, alors que la phrase
« il a plu à Paris le six février 2010 de huit heures à dix heures » reste toujours vraie, si elle
le fut à ce moment. Mais, en acceptant comme éléments du savoir uniquement des
propositions du premier type, les Grecs ont créé l'idée des vérités éternelles, plus
précisément, des objets perpétuels du savoir qui est défini comme vrai.
Mais quels sont ces objets perpétuels À ce sujet, Socrate n'est pas plus prolixe que dans
le premier passage traduit. Le lecteur des dialogues de Platon croira que ce sont bien sûr les
idées que représentent les figures visibles (c'est aussi la thèse de P. Pritchard, Plato's
philosophy of mathematics, Sankt Augustin, Academia, 1995, p. 94, à propos de l'analogie
de la ligne). Mais Aristote conteste cette réponse qui semble couler de source, car il rapporte
que, selon Platon, les objets mathématiques formaient une classe d'objets à part entre les
choses sensibles et les idées (Métaph. I 6, 987 b 14-18 ; XI 1, 1059 b 6-9). Pourquoi Platon
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aurait-il compliqué à ce point la métaphysique La réponse que rapporte Aristote est de
poids : alors que, à un prédicat ou, mieux, à une définition correspond une seule idée, à une
définition mathématique correspondent plusieurs objets égaux. Ces objets ne se distinguent
donc pas entre eux qualitativement, comme c'est le cas de plusieurs idées, ni ne s'identifient
aux multiples figures visibles du même objet géométrique, qui peuvent aussi être égales.
Je n'ai pas — encore — décelé dans le texte de Platon des indices positifs confirmant
qu'il songeait à des objets géométriques intermédiaires entre les figures visibles et les idées.
Mais il existe un indice par défaut : Platon n'appelle pas « idées » les objets mathématiques
en République VI, 510-511. De plus, à propos des nombres qui font bien sûr partie des objets
en question, il existe un indice textuel pour confirmer le rapport d'Aristote ; j'y reviendrai.
Alors il n'est pas très probable qu'Aristote ait raison à propos des nombres et non à propos
des objets géométriques.
À cela s'ajoute une réflexion de R. Hare (« Plato and the mathematicians », dans : R.
Bambrough (éd.), New essays on Plato and Aristotle, London, Routledge & Kegan Paul,
1965, p. 31). En effet, l'expression, qui revient sans cesse dans Platon, de « la vision » des
objets non sensibles, Hare l'interprète, s'agissant d'objets géométriques, au sens où le
mathématicien les imagine. Cela s'accorde avec l'observation de M. Burnyeat, selon laquelle,
pour Platon, les objets géométriques sont, certes, incorporels, mais des figures étendues (voir
« Plato on why mathematics is good for the soul », dans : T. Smiley (éd.), Mathematics and
necessity. Essays in the history of philosophy, Oxford, OUP, 2000, p. 59 et 62). S'il en est
ainsi, je rappelle une observation que j'ai déjà faite : de bien des objets de définitions
géométriques, comme de l'angle aigu ou obtus, il y aura un nombre illimité d'exemplaires
imaginables, parce que la définition ne fixe pas leur extension ou bien, dans le cas de
l'exemple, la grandeur de l'angle. Et au cas où plusieurs items partagent une définition, ils
partagent aussi une idée selon Platon. Cependant, cette distinction entre l'idée une et la
pluralité des objets géométriques s'applique-t-elle également au cas où l'objet se définit de
façon complète, comme l'angle droit Comment expliquerait-on alors la pluralité de ces
objets-ci
Du rapport d'Aristote résulte en tout cas une métaphysique à trois échelons des objets
géométriques : puisque les géomètres ne pensent pas (1) les figures qu'ils dessinent, ils
imaginent (2) de multiples objets incorporels, sauf, éventuellement, dans les cas comme
celui de l'angle droit qui ne peut s'imaginer que d'une seule façon ; et comme tout ensemble
d'items égaux a une idée en commun, il faut ajouter (3) l'échelon des idées géométriques qui
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sont à chaque fois une seule par rapport à une définition. Or, la distinction entre le deuxième
et le troisième échelon n'est rien d'autre que celle entre les deux parties intelligibles de
l'analogie de la ligne. En effet, lorsque j'ai interprété le premier texte traduit, je n'étais pas
encore en mesure de déterminer ces deux parties de façon satisfaisante. J'ai dit que les objets
des mathématiques courantes occupaient l'une de ces parties et les objets de la dialectique
philosophique l'autre. Ce qui fait éventuellement la différence entre ces deux types d'objets
s'est maintenant manifestée à propos des objets géométriques.
II. Nombres appliqués et idées de nombres
Dans une première approche à tout le moins, la théorie platonicienne de la géométrie
peut s'interpréter en se bornant à deux questions : quel est le statut métaphysique des objets
de cette science Comment peut-on les connaître Quant à l'arithmétique, Platon soulève
les mêmes questions, mais elles s'accompagnent, dans ce cas, d'une troisième qui est de
savoir ce qu'est le nombre. Est-ce que, dans l'abstrait, cette question est incontournable,
parce que les nombres ne se laissent pas figurer à part comme c'est le cas des entités
géométriques En effet, rien ne nous induit à croire qu'il y ait des nombres qui ne
dénombrent pas quelque chose, autrement dit, qui sont des objets et non des fonctions.
Pourtant, en calculant et en établissant certaines classes de nombres, on a l'air de les traiter
comme des objets. D'où la question de savoir ce qu'ils sont.
1. La perception pousse à la réflexion sur les nombres
Aux yeux de Platon, les nombres, comme tout autre élément de la réalité, ne sauraient
devenir l'objet du savoir qu'à condition d'être simple, non attaché à autre chose au titre
d’attribut. Pour plaider en faveur de cette thèse, Socrate ne renvoie cependant pas à la
pratique des arithméticiens, comme il le fait à l'égard des géomètres. Après avoir expliqué
que les choses sensibles apparaissent tantôt sous un aspect tantôt sous l'aspect contraire et
incitent alors à la réflexion sur les termes contraires, il propose plutôt l'argument suivant à
propos du nombre et de l'un.
Représente-toi la chose seulement à partir de ce qui vient d'être dit, répondis-je. En effet, si
l'un en soi [c'est-à-dire le fait d'être un item] se voit ou se saisit suffisamment par une autre
perception, il ne tire pas < l'âme > vers l'être, comme nous l'avons dit à propos du doigt. Si
toujours, en revanche, on voit simultanément quelque chose de contraire à l'un, si bien que rien
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ne paraît plutôt un que le contraire, il est besoin d'une instance qui décide alors et,
nécessairement, l'âme est perplexe à l'égard de l'un, se met à la recherche en activant en elle la
pensée < de l'un > et se demande ce qu'est finalement l'un en soi ; et ainsi, l'étude au sujet de
l'un pourrait appartenir à la classe de ce qui guide vers la contemplation de l'être et < nous > y
retourne. — Mais sans aucun doute, dit-il, la vision de l'un possède surtout cette caractéristique,
car nous voyons la même chose comme une et comme une pluralité illimitée. — Si donc cela
concerne l'un, répondis-je, la même chose concerne aussi le nombre dans son ensemble. —
Assurément. (Rép. VII, 524 d 9 - 525 a 8)
Tout comme les passages traduits concernant la géométrie, ce texte fait partie du
programme d'éducation que Socrate suggère pour les gouvernants futurs de la cité. La
formule de base de ce programme consiste à dire qu'il faut substituer à l'orientation par les
sens celle par la raison. À ces deux modes de cognition correspondent deux domaines
d'objets. En désignant le domaine des objets intelligibles par le terme « être », Socrate laisse
entendre que les objets sensibles se caractérisent fondamentalement par le devenir, c'est-àdire
par leur instabilité qui les soustrait au savoir. Mais Socrate ne fait pas fond sur
l'instabilité des objets sensibles pour expliquer que l'âme s'en détourne et réfléchit sur ses
impressions. S'il voulait exploiter l'instabilité des objets sensibles, Socrates devrait évoquer
la possibilité qu'ils apparaissent tantôt comme une chose tantôt comme plusieurs. Pourtant, il
tient au fait que, si les objets sensibles font réfléchir l'âme sur l'un et les nombres, c'est parce
qu'ils apparaissent un et plusieurs à la fois. Par conséquent, l'âme qui ne supporte pas cette
ambiguïté, cherchera des objets non ambigus ou non équivoques, mais pas forcément
stables ; puisqu'elle n'est pas présentée comme étant gênée par le devenir, on n'a aucune
raison de penser qu'elle cherche l'être — consciemment. C'est Socrate qui le lui attribue,
parce que lui-même croit savoir que ce qui est non équivoque n'est pas soumis au devenir,
mais relève de l'être.
Socrate ne propose pas ici un argument en faveur de l'hypothèse des idées, il évoque la
condition qui pousse un individu à dépasser l'orientation que donnent les sens et à déterminer
la signification des termes qui servent à décrire les objets perçus. Comme dans les premiers
dialogues de Platon, Socrate prend pour acquis que, une fois défini le sens de « un », on
saura décider si un objet donné est un ou non ; et il prête cette façon de procéder aussi aux
autres qu'il suppose être dans ladite condition. Elle se caractérise par le fait que les objets qui
semblent être des unités sont en même temps perçus comme plusieurs chacun. Que cette
condition soit remplie, ce n'est pas Socrate qui l'affirme, c'est l'interlocuteur, Glaucon, et
Socrate n'a rien a y redire. Il est cependant intéressé non par la conséquence que tout le
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monde cherche le sens de « un », mais par l'autre qui concerne l'étude de l'un, c'est-à-dire
qu'elle reprend le relais des perceptions ambiguës en guidant vers la connaissance de l'être.
Mais l'étude de l'un ou de l'unité n'est pas connue parmi les sciences. Qu'il ne s'agisse pas
d'en inaugurer une nouvelle, Socrate le confirme en transférant à tous les nombres ce que
Glaucon dit de l'un. L'étude en question est donc l'arithmétique. Pourquoi ne pas s'en
approcher directement par le biais de tous les nombres Est-ce parce qu'il est peu plausible
que cinq pommes, par exemple, soient en même temps le contraire de cinq Mais, s'il en est
ainsi, est-ce que Socrate change la chose en faisant le détour de l'un Ce n'est évidemment
pas le cas. En effet, même si chaque pomme une est aussi plusieurs ayant la peau, la pulpe, le
trognon et les pépins, cinq pommes deviennent ainsi vingt — éléments de pommes —, mais
vingt n'est pas le contraire de cinq. Socrate devrait donc préciser que l'ambiguïté des
nombres appliqués aux objets sensibles réside dans le fait qu'ils sont plusieurs pour le même
ensemble d'objets.
Que dire de la condition qui pousse à se tourner vers l'arithmétique Même si l'argument
présente la même structure que d'autres invoqués en faveur de l'hypothèse des idées, il s'agit
d'un sophisme dont Platon se moque dans certains dialogues plus tardifs et qu'il résout dans
le Parménide (129 c 4 - d 2) : rien n'empêche que je sois un homme parmi sept hommes et en
même temps plusieurs compte tenu des différentes parties de mon corps. Comme le
sophisme était très à la mode, à en croire les autres textes, Socrate arrive à faire l'accepter à
Glaucon. Mais Platon ne pouvait croire que la seule perception d'un objet nous suggère qu'il
est simplement un et plusieurs à la fois. Comment pouvait-il ignorer que chacun qui ne se
laisse pas éblouir par le sophisme conçoit l'objet sensible exactement de la façon qu'il
explicitera dans le Parménide : sous l'aspect de sa substance il est un, sous l'aspect de ses
parties ou de ses caractéristiques secondaires il est plusieurs.
À moins qu'il ne se soit rendu compte plus tard seulement du caractère fallacieux de son
argument, Platon utilise donc sciemment un sophisme dans la République, pour suggérer
que, sous l'aspect quantitatif, la perception amène les gens à l'étude de l'arithmétique.
Pourquoi ce procédé Je ne crois pas avoir déjà trouvé une réponse satisfaisante, mais je
voudrais noter quelques éléments dont la réponse devrait probablement tenir compte.
Premièrement, l'arithmétique obtient le premier rang parmi les mathématiques qui
englobent encore la géométrie, la stéréométrie, l'astronomie et l'harmonique. Parmi elles,
l'arithmétique est celle qui s'est le plus défait de tout ce qui s'attache aux sens, elle est donc
la mathématique la plus rationnelle. Est-ce pour cette raison que Glaucon dit du calcul,
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préliminaire par rapport à l'arithmétique, qu'il faut en être capable, si l'on veut être homme
(Rép. VII, 522 e 3-4)
Deuxièmement, Socrate ajoute tout de suite que personne n'utilise de la bonne façon cet
objet d'étude qui est susceptible de nous tirer vers la connaissance de l'être (ibid., 523 a 2).
On ne peut que soupçonner ce qu'il veut dire : les applications au commerce et à des fins
militaires empêchent les gens de se rendre compte de la valeur théorique des nombres (525 c
3-4). L'ignorance de cette valeur contraste avec la chance que comporte le bon usage des
nombres. Mais l'ignorance et l'usage inadéquat font que Platon ne peut renvoyer à des
approches déjà en cours, pour faire accepter l'arithmétique théorique dans le programme
d'éducation.
Troisièmement, Platon ne peut pas se réclamer non plus d'un consensus des
arithméticiens. En effet, alors qu'il peut prendre à témoin tous les géomètres (527 a 1-2), il
doit faire appel aux avisés parmi les arithméticiens pour se faire confirmer son approche
(525 d 9).
Il paraît donc difficile pour Platon de présenter une façon communément reconnue de
traiter les nombres telle qu'il puisse la prendre au titre de point de départ pour son
programme d'éducation, comme il le fait à propos de la pratique géométrique. Je propose
provisoirement d'expliquer le recours au sophisme par cette difficulté.
2. La définition des nombres mathématiques
L'argument fallacieux suggère que la perplexité que déclenche la perception d'un objet
sensible induit à s'interroger sur ce qu'est l'unité et le nombre. Par la suite, Socrate évoque
d'abord, au titre de savoirs concernant le nombre, l'art du calcul (logistikè) et l'arithmétique
comme s'ils devaient répondre aux questions que se posent les déçus de la perception (525 a
9-10). Mais il est hors de doute que calculer ne signifie pas réfléchir sur la nature des
nombres (525 c 2). Par contre, l'arithmétique, dès lors qu'elle ne désigne pas la simple
capacité de compter (522 e 2), a plus de chances d'être « numérologie ». Il n'empêche,
Socrate ne retiendra ensuite que l'art du calcul qui est censé former les futurs gouvernants en
vue aussi bien de la stratégie militaire que de leur conversion vers l'être (525 b 11 - c 6). En
guise d'explication de cette thèse, Socrate distinguera deux usages des nombres, comme si,
du fait de porter sur les nombres, l'étude du calcul avait aussi un potentiel théorique.
Et effectivement, dis-je, étant donné qu'il est question de l'objet d'étude concernant les
nombres, je me rends compte qu'elle est subtile et nous rend service, de multiple façons, en vue
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de ce que nous voulons, à condition que l'on s'y consacre en vue de la connaissance et non du
commerce. — Comment < cela> alors, demanda-t-il. — C'est ce que nous venons de dire, à
savoir que cette étude conduit avec force l'âme quelque part en haut et l'oblige à discuter des
nombres en soi, sans accepter aucunement que, dans la discussion, on lui propose des nombres
qui ont des corps visibles ou tangibles. En effet, tu sais sans doute que ceux qui sont avisés en
la matière, de leur côté, rient et ne l'acceptent pas quand on tente de scinder l'un en soi par le
discours, mais si tu le fragmentes, ceux-là le multiplient en prenant garde que l'un ne paraisse
jamais non un, mais plusieurs parties. — Absolument vrai, répondit-il, ce que tu dis. — Que
crois-tu donc, Glaucon, qu'ils répondraient, si on leur demandait ceci : « Quel est le genre des
nombres dont vous discutez, admirables gens, et dans lesquels l'un se trouve tel que vous le
préconisez, à savoir chaque un complètement égal à tout < autre >, sans se distinguer ne seraitce
que peu et sans avoir en soi aucune partie » — Selon moi, en tout cas, ils répondraient
qu'ils parlent des nombres que l'on peut seulement penser, alors qu'il n'est aucunement possible
de les manier d'une autre façon. (Rép. 525 c 8 - 526 a 7).
Puisque, dans cette explication, le terme « art du calcul » (logistikè) ne figure plus, mais
se trouve remplacé par « étude concernant les nombres » (to peri tous logismous mathèma),
j’appellerai cette étude « arithmétique » dans mon commentaire. Socrate présente la fonction
éducative de l'arithmétique, comme si elle, à moins d'être étudiée en vue de son application
pratique, exigeait une certaine notion de nombre. On a donc atteint le domaine de la
réflexion que l'ambiguïté des perceptions est censée suggérer. La première exigence de
l'arithmétique est négative : il ne faut pas introduire dans le débat des nombres ayant des
corps sensibles. Quelle est la proposition qui est refusée en ces termes Les nombres ayant
des corps sont-ils la même chose que des items corporels comptés, cinq pommes, par
exemples (voir le commentaire de J. Adam, The Republic of Plato, 2 e éd., Cambridge, CUP,
1965) Dans ce cas, on serait retourné à la case départ, car on prétendrait que les nombres
ne sont rien d'autres que précisément ces objets quantitativement ambigus qui nous poussent
à la recherche des nombres en soi. Par ailleurs, il s'agirait plutôt de corps ayant des nombres
que de l'inverse. Cette interprétation n'est donc pas probable.
Deux autres exégèses renvoient aux Pythagoriciens. Premièrement, ils ont soutenu, selon
Aristote, que les corps se composent de nombres (voir Métaph. XIII 6, 1080 b 16-21 ;
chap. 8, 1083 b 8-19 ; XIV 5, 1092 b 19-20). Mais cette doctrine répond à la question de
savoir ce que sont les objets corporels — tout en prenant pour acquise la notion de
nombre —, alors que la question à laquelle Socrate fait allusion porte sur le nombre. Je ne
crois donc pas, jusqu'à nouvel ordre, que le discours sur les nombres ayant des corps vise la
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thèse pythagoricienne sur le caractère numérique de tous les corps. Il me paraît plus probable
que Socrate se réfère à la pratique pythagoricienne qui consiste à figurer l'unité par un point,
le nombre deux par deux points et la droite entre eux, le nombre trois par trois points et le
triangle, le nombre quatre par quatre points qui forment une pyramide (voir Th. Heath, A
history of Greek mathematics, vol. 1, Oxford, Clarendon, 1921, p. 76). À condition que le
triangle soit non pas dessiné, mais formé de trois bâtons, il est un corps aussi bien que la
pyramide et le cube qui devait également représenter un nombre. Ainsi peut s'expliquer le
fait que l'arithmétique, selon Socrate, interdit non pas les dessins, mais l'association de corps
aux nombres.
La suite du texte fait comprendre l'interdiction. C'est que les corps qui doivent représenter
les nombres nous suggèrent que les nombres ont les propriétés de leurs représentants. C'est
d'autant plus convaincant que, tels que l'analogie de la caverne nous dépeint, nous sommes
plus habitués à croire nos sens que notre raison. Si cette hypothèse exégétique se vérifie,
l'arithmétique rejette la figuration des nombres par des objets corporels pour nous empêcher
de confondre le nombre et ses caractéristiques avec le corps et les siennes. En effet, Socrate
invoque de suite ce genre de confusion à propos de l'unité. Étant donné qu'elle était figurée
non seulement par un point mais aussi par une ligne, on pouvait dire qu'elle était sécable, et
quand elle était représentée par un caillou, on pouvait le casser en prétendant avoir cassé
l'unité. Dans les deux cas, il s'agissait de montrer que l'unité est en réalité composite.
À ce point, Socrate fait intervenir des mathématiciens avisés qui ne sont pas dupes. Ils
considèrent les éclats du caillou non pas comme autant de parties de l'unité, mais comme une
pluralité née du cassage. Par voie de conséquence, l'unité se trouve désormais représentée
par chacun des éclats. Les mathématiciens qui déjouent la tromperie sont conscients que le
caillou et les éclats doivent représenter ce qui résiste à toute figuration qui est forcément
spatiale. En effet, comme le dira Socrate tout de suite, les unités sont parfaitement simples.
Or, Glaucon répondra que de tels items ne sont accessibles qu'à la pensée. Ils ne se laissent
donc pas représenter par un objet sensible ou par une image. Voilà ce qu'a rejeté
l'arithmétique théorique dès le début.
Lorsqu'il interroge les mathématiciens avisés, Socrate semble raisonner de la façon
suivante : si vous rejetez la division de l'unité, c'est que vous la savez simple ; mais si vous la
savez simple, vous êtes aussi conscients qu'elle n'a aucune autre caractéristique. Ce
raisonnement sert à définir l'objet de l'arithmétique, auquel Socrate revient maintenant. Il
s'agit d'opposer aux diverses figurations des nombres, que l'arithmétique refuse, une seule
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notion de nombre. Cette notion se fonde sur celle d'unité que les mathématiciens avisés
supposent, car Socrate va définir le nombre comme ce qui contient des unités qui ne diffèrent
les unes des autres ni ne se composent de parties.
Dans cette définition on distinguera (1) le fait que le nombre est expliqué comme un
ensemble d'unités et (2) la notion de ces unités. Si cette notion associe simplicité et absence
de différence entre les unités, elle suggère que d'éventuelles qualités qui distingueraient les
unités entre elles les rendraient complexes, comme si les qualités équivalaient à des parties.
En fait, Socrate profite de la prémisse des mathématiciens avisés, selon laquelle l'unité est
simple, pour conclure à leur indifférence qualitative. Dans la mesure où la simplicité n'est
rien de plus que l'absence de parties spatiales, la conclusion n'est pas justifiée. Car la
complexité qualitative n'entraîne aucune extension spatiale : le sucre est au même endroit
sucré et blanc, comme dira Hegel.
Pourquoi Socrate associe-t-il l'indifférence qualitative à l'absence de parties spatiales La
justification que l'on trouve dans la République remonte au sophisme selon lequel le
caractère ambigu des objets sensibles, considérés sous l'aspect de leur unité, amène à
réfléchir sur l'un en soi. Cet un, en effet, n'est rien d'autre qu'un, il est conceptuellement
simple comme les idées — et non une entité spatiale simple comme le point qui n'a pas de
parties.
Si Socrate compose le nombre d'unités égales, il suppose un nombre illimité d'unités
(c’est ce que confirme un passage du Philèbe, 56 d 4 - e 4). Par conséquent, ces unités ne
sont pas d'idées, car il ne saurait y avoir qu'une seule par rapport à chaque terme du langage.
C'est donc à propos des unités que Platon confirme implicitement le récit d'Aristote suivant
lequel Platon établissait des entités mathématiques « entre » les choses sensibles et les idées
(voir Métaph. I 6, 987 b 14-18).
Pour ce qui est de la définition du nombre comme composé d'unités, elle signifie que le
nombre des mathématiciens garde la structure du nombre appliqué à des ensembles de
choses. En effet, si ce dernier détermine la quantité d'un ensemble, il en va de même pour le
nombre mathématique, sauf que les éléments de l'ensemble sont non pas des choses
sensibles, mais des unités indifférentes entre elles. Du fait que le nombre reste celui d'un
ensemble, deux interprètes ont conclus que Platon n'est pas arrivé à surmonter la confusion
du nombre avec l'ensemble compté (A. Wedberg, Plato's philosophy of mathematics,
Stockholm, Almquist & Wiksell, 1955, p. 74-75 ; P. Pritchard, l. c., p. 14-15 et 17 ; cf., pour
la théorie arithmétique des Grecs en général, M. Burnyeat, « Platonism and mathematics : a
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prelude to discussion », dans : A. Graeser (éd.), Mathematics and metaphysics in Aristotle,
Bern-Stuttgart, Haupt, 1987, p. 235). L'expression du texte traduit (Rép. VII, 526 a 2-3),
selon laquelle les unités sont dans le nombre, me semble justifier cette observation, car elle
signifie que le nombre se compose d'unités et devient ainsi leur ensemble.
3. Les idées des nombres
Étant donné que les unités mathématiques sont plusieurs selon la République, elles ne
sont pas d'idées, mais dépendent de l'unique idée de l'unité. Mais ni cette idée ni les idées des
différents nombres ne sont évoquées dans la République. Pour trouver cette notion d'idée, il
faut passer au Phédon, c'est-à-dire dans un contexte très différent. Dans ce dialogue, en effet,
Socrate invoque le nombre deux comme un exemple parmi d'autres qui doivent illustrer les
difficultés que rencontrent certains modes courants d'expliquer des phénomènes plutôt
banals. Et cela dans le but, bien sûr, de montrer que l'hypothèse des idées permet d'éviter les
difficultés.
a) Critique des explications courantes de la naissance de deux choses
Avant d'évoquer le nombre deux, Socrate raconte que, autrefois, il croyait que dix était
plus que huit à cause des deux qui s'y ajoutent et que la longueur de deux coudées était plus
grande que celle d'une coudée, parce qu'elle la dépassait de sa moitié (Phéd. 96 e 1-4).
Mais alors, maintenant, demanda Cébès, qu'en penses-tu — Que je suis loin, par Zeus, de
croire que je connaisse la cause de quelque chose dans ce domaine. Je n'accepte même pas ma
propre opinion que, lorsqu'on ajoute une chose à une autre, (a) soit l'une à laquelle elle était
ajoutée est devenue deux (b) soit la chose ajoutée et celle à laquelle elle était ajoutée sont
devenues deux à cause de l'adjonction de l'une à l'autre. En effet, je me demande avec
étonnement si, lorsque chacune des deux était à l'écart de l'autre, chacune était alors une et elles
n'étaient pas deux, tandis que, lorsqu'elles se sont rapprochées, la cause pour elles de devenir
deux était la rencontre survenue du fait de leur rapprochement réciproque. Je ne peux plus me
persuader davantage que, si l'on coupe une chose, cela soit la cause du fait de devenir deux, la
coupure. Car ce qui était tout à l'heure la cause de la duplication est l'opposé, étant donné que
c'était tout à l'heure le fait de rapprocher les choses l'une de l'autre et d'adjoindre l'une à l'autre,
tandis que maintenant l'une est écartée et séparée de l'autre. Je ne me persuade plus davantage
que je sache ni pourquoi quelque chose devient un ni pourquoi, en un mot, quelque chose
d'autre naît, périt ou existe — suivant cette façon de procéder. Je concocte cependant moi-
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même une autre façon au hasard, tandis que je n'accepte pas du tout celle-là. (Phéd. 96 e 4 - 97
b 7)
Comme Socrate le rappelle à la fin du passage, il s'agit pour lui de réfuter une façon
traditionnelle d'expliquer toutes sortes de phénomènes à commencer par la vie, la sensation
et le savoir. Ce type d'explication, c'est le recours à des causes physiques, qu'elles soient des
qualités comme la chaleur, des substances comme le sang ou des mouvements comme
l'adjonction. Socrate ne songe pas à remplacer ces causes par d'autres du même genre, il
entend plutôt concevoir « une autre forme de cause » (97 e 5, 100 b3).
Le dernier exemple de l'explication traditionnelle, que cite Socrate, est la production de
deux objets par adjonction ou division. On n'apprend pas si sont visés des procédés de la vie
quotidienne comme l'adjonction d'un œuf à un autre et la coupure d'une pomme en deux ou
bien des procédés de démonstration visuelle d'opérations arithmétiques élémentaires. La
deuxième lecture est bien entendu plus intéressante, parce qu'elle signifie que Socrate fait
référence à certaines pratiques et concepts élémentaires des mathématiciens, même sans les
nommer. En fait, l'adjonction d'un ensemble à un autre sera encore pour Euclide le moyen
qui permet d'expliquer ce qu'est la somme des deux ensembles (voir A. Wedberg, l. c.,
p. 69). Quant à la coupure, Socrate peut s'inspirer pour cette idée du cassage des caillous
auquel il fait allusion dans la République. Car, aux yeux des mathématiciens avisés, le
cassage fait naître plusieurs objets.
À partir de cela on supposera que, dans le Phédon, Socrate pense que les processus
d'adjonction et de coupure sont censés produire deux choses et non la dualité en soi. En effet,
aussi la contre-proposition qu'il fera concernera non pas l'explication de la dualité, mais
l'explication du fait qu'un objet devienne deux ; ce qui devient deux doit être une chose
sensible.
Socrate avance deux arguments pour discréditer l'explication courante qu'il avait acceptée
autrefois pour la rejeter ensuite. Le premier argument semble avoir la forme d'un dilemme :
ou bien la chose une à laquelle on en adjoint une autre devient deux de ce fait ou bien l'une
et l'autre deviennent deux à cause de leur rapprochement. Socrate n'explique pas pourquoi la
première branche du dilemme n'entre pas en ligne de compte. Mais on peut le comprendre en
observant que, pour dire que quelque chose devienne quoi que ce soit, il faut supposer qu'il
subisse un changement, comme c'est le cas lors de la coupure. Or, l'adjonction d'un
deuxième objet ne fait pas changer le premier. Par conséquent, on ne saurait dire qu'il
devienne deux.
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En ce qui concerne l'autre branche du dilemme, Socrate s'étonne que le pur
rapprochement d'un objet et d'un autre en fasse deux. En effet, en évoquant un objet et un
autre, on implique déjà qu'ils sont deux, avant de les rapprocher. Socrate a raison de rejeter
l'idée selon laquelle la proximité spatiale nous amène à compter les choses, mais il ne
substituera pas à cette idée une autre concernant le critère qui permet de compter. C'est
seulement Aristote qui expliquera que l'on compte toujours les items que l'on subsume sous
un terme commun comme « sept chevaux » ou « vingt animaux » (Métaph. XIV 1, 1088 a 8-
14).
Le second argument de Socrate, pour rejeter l'explication causale, est l'observation que
deux choses peuvent naître aussi de la coupure d'une seule, processus opposé à celui du
rapprochement dans la mesure où la coupure éloigne les parties du corps coupé les unes des
autres. On peut, certes, s'étonner que deux processus de caractère opposé aboutissent au
même résultat, mais cela ne suffit pas pour réfuter les explications qui se fondent sur les
deux processus. Il faut une prémisse supplémentaire que Socrate ne propose pas. Deux me
semblent entrer en ligne de compte.
Premièrement, on peut supposer que la cause soit une condition non seulement suffisante,
mais aussi nécessaire à la production de l'effet ; les idées que Socrate proposera au titre de
causes d'une nouvelle forme possèdent en tout cas ce caractère. Or, il est évident que, étant
donné que l'adjonction et la coupure ne peuvent s'opérer au même temps, elles s'empêchent
mutuellement d'être des conditions nécessaires de la naissance de deux choses. Par
conséquent, aucune d'entre elles n'en est la cause.
Deuxièmement, on peut faire l'hypothèse que Socrate s'inspire d'une certaine notion de
causalité. Elle se repère déjà chez Anaxagore et dominera la philosophie antique en disant
que le rapport entre cause et effet consiste à transmettre une qualité. L'exemple standard est
le feu qui rend chaudes d'autres choses en les chauffant. L'exemple illustre bien le principe
qui a été formulé après Platon : le transfert de qualité, de la dualité en l'occurrence, est censé
s'effectuer à partir de ce qui la possède à un degré supérieur (voir Aristote, Seconds
Analytiques I 2, 72 a 29-30). Évidemment cette règle ne saurait s'appliquer à deux réalités de
nature opposée, en l'occurrence l'adjonction et la coupure, à supposer que la qualité à
transmettre dépende de la nature de la cause. Aux yeux de Socrate, cela pouvait plaider
contre une méthode qui admet deux causes opposées du même effet.
b) La naissance de deux choses expliquée par la participation à l'idée de deux
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Quelles que soient ses raisons précises dans le détail, Socrate estime défaillante
l'explication des phénomènes, qui a recours à des causes physiques. Il propose de remplacer
cette méthode par une autre qui procède essentiellement par hypothèses, c'est-à-dire par
prémisses qui servent de bases à l'argumentation tant qu'elles ne sont pas infirmées soit par
l'incohérence des conclusions qui en découlent soit par l'objection d'un interlocuteur (Phéd.
99 e 4 - 100 a 7, 101 d-e). Pour appliquer cette méthode en matière d'explication, Socrate fait
l'hypothèse de l'existence des idées (ibid., 100 b 5-6). Comment est-ce là une nouvelle
approche de l'explication des phénomènes Socrate confère cette fonction à son hypothèse
en reprenant le concept que l'on a déjà trouvé dans les dialogues de jeunesse : l'idée de F est
ce grâce à quoi est f tout ce qui l'est (100 d 7, e 2-4). L'idée ne se voit tout de même pas
revêtir du rang de cause, ce dernier est plutôt attribué au rapport entre l'idée et ses
représentants ou instanciations.
Le plus souvent, Platon exprime ce rapport en disant que les représentants participent de
l'idée, mais il peut aussi dire que l'idée est présente dans ses instanciations, qu'elle est en
communauté avec elles ou que les représentants imitent l'idée (100 d 3-7, Timée 49 a 1).
Comment interpréter cette nouvelle notion de cause Il faut se rappeler ce qu'est la fonction
de l'hypothèse des idées : qui sait définir un prédicat, connaît l'idée objective correspondante
et est de ce fait capable d'affirmer ou de nier le prédicat correctement de n'importe quel sujet.
Mais avant d'affirmer le prédicat, il faut subsumer le sujet sous la définition du prédicat. Si,
par exemple, le courage se définit comme étant le savoir de ce qu'il faut craindre et de ce que
l'on peut risquer (voir Lachès 198 b-c), il faut reconnaître ce savoir dans un homme pour être
fondé à l'appeler « courageux ». Par là, on établit un rapport objectif entre le signifié de la
définition et du sujet. Or, le signifié de la définition est l'idée selon Platon, le signifié du
sujet est, pour simplifier, une chose sensible. Par conséquent, le rapport de participation ou
de communauté entre les deux signifiés n'est rien d'autre que le pendant objectif de la
subsomption, pendant qui fonde la vérité de la subsomption et, par là, celle de l'énoncé qui
affirme le prédicat par rapport au sujet. Et de même que la subsomption est la « cause » du
fait subjectif que le sujet soit considéré avec vérité conformément au prédicat, de même la
participation est la cause objective du fait que la chose sensible se caractérise suivant l'idée.
Cette conception s'applique aussi aux nombres.
Alors, si une chose était ajoutée à une autre, ne te garderais-tu pas d'affirmer que
l'adjonction ou, si l'une était coupée de l'autre, la coupure est la cause du fait de devenir deux
Et tu crierais à haute voix que, pour chaque chose, tu ne connais aucune autre façon de naître
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qu'en prenant part à l'être propre de ce à quoi elle prend part à chaque fois. Et que, dans le cas
présent, tu ne connais aucune autre cause du devenir deux que le fait de prendre part à la
dualité. Et que ce qui veut être deux doit y prendre part, alors que doit prendre part à l'unité ce
qui veut être un. Ces coupures-là, en revanche, les adjonctions et les autres finesses de ce genre,
tu les enverrais promener, en laissant le soin de répondre à ceux qui sont plus savants que toi.
(Phéd. 101 b 8 - c 9)
Ce passage ne fait qu'appliquer aux nombres la nouvelle méthode d'explication. Tout en
invoquant l'idée de l'unité, Socrate n'établit pas de lien avec la pluralité d'unités qui servent à
définir le nombre mathématique dans la République et qui demandent précisément cette idée
commune. Quant à l'idée du nombre deux, on n'apprend pas comment elle se rapporte à la
même définition du nombre en général. L'absence des unités et des nombres mathématiques
correspond sans doute à la grande autonomie qui caractérise le cheminement de chaque
dialogue de Platon. Quelques pages plus loin on retrouve cependant des nombres pairs et
impairs qui ne sont pas attachés à des ensembles concrets et que l'on voudrait donc tenir pour
des idées. Mais, étant donné que ces nombres doivent être pairs ou impairs, ils sont
forcément divisibles — en deux ensembles égaux ou non égaux —, ce qui est incompatible
avec le principe de la simplicité des idées. Qui plus est, Socrate appelle même le nombre dix
« le double de cinq », ce qui signifie que les nombres en question font l'objet d'opérations
mathématiques (105 a 6-7) ; il s'agit donc de nombres mathématiques et non des idées des
nombres (cf. P. Pritchard, l. c., p. 35). Mais Socrate n'indique pas la différence.
C'est dans le Phédon que Platon s'occupe le plus des idées des nombres, mais il n'a pas
l'air de vouloir, par là, contribuer à la théorie de l'arithmétique. L'indice le plus marqué en est
le fait que les idées des nombres apparaissent dans le contexte d'une réflexion sur
l'explication du devenir ; à la différence d'autres exemples (voir Phéd. 100 e 5 - 101 b 8),
dans l'exemple mathématique l'accent est mis sur le fait de devenir deux. Or, cet aspect qui
caractérise les choses sensibles est étranger aux mathématiques. Si Platon veut faire
référence aux mathématiciens qui visualisent l'addition en ajoutant un caillou à un autre, la
critique de Socrate est pertinente vis-à-vis de ceux qui confondent l'objet arithmétique avec
sa figuration. Il les avertit que leurs manipulations dépendent de façon non réciproque des
idées de nombres. Est-ce que Socrate critique tacitement aussi les mathématiciens avisés
Tel serait le cas, si ces mathématiciens se prononçaient sur la naissance des unités et des
ensembles dénombrés sensibles en soutenant quelle est due à des processus physiques et non
à la participation aux idées.
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Ce n'est pas un résultat impressionnant. Que peut-on dire des idées des nombres sur la
base des textes traduits Je crains que cela ne soit qu'une seule chose, importante tout de
même. Étant donné, en effet, que les idées sont indépendantes, non associées à quelqu'autre
entité que ce soit, les idées des nombres ne déterminent la quantité de certains ensembles ni,
a fortiori, ne s'identifient à des ensembles ; par là, elles se distinguent des nombres
mathématiques qu'évoque la République. Par contre, comment se prononcer sur la structure
des idées des nombres, alors que les textes ne nous livrent la définition ni d'un nombre
particulier ni du nombre en général (je veux parler de la définition qui signifie l'idée) Ou
bien faut-il tirer tout de même la définition du nombre en général de la définition du nombre
mathématique, ce qui donnerait quelque chose comme « ensemble d'unités » À ce momentlà,
les définitions des nombres particuliers ne deviendraient-elles pas circulaires, comme
« deux est l'ensemble de deux unités »
Comment trancher entre deux interprétations — tirées, en partie à tout le moins, des récits
aristotéliciens sur Platon —, dont l'une dit que les idées des nombres ne sont pas des
ensembles d'unités et l'autre que les idées des nombres sont chacune un certain nombre
d'unités qui sont comparables entre elles dans l'idée d'un nombre précis, mais pas avec les
unités composant l'idée d'un autre nombre (voir A. Wedberg, l. c., p. 65-66 ; M. Burnyeat,
« Platonism and mathematics … », p. 235-236) Comment savoir qui a raison, les exégètes
selon lesquels les idées des nombres ne sont rien d'autre que la série des nombres naturels ou
bien ceux qui pensent que cette thèse relève tout simplement d'un anachronisme (voir
P. Pritchard, l. c., p. 35-36) Comment en discuter seulement, tant que l'on ne sait pas si la
définition du nombre contient le concept de succession
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Études citées
J. Adam, The Republic of Plato, 2 e éd., Cambridge, CUP, 1965.
M. Burnyeat, « Platonism and mathematics : a prelude to discussion », dans : A. Graeser
(éd.), Mathematics and metaphysics in Aristotle, Bern-Stuttgart, Haupt, 1987, p. 213-240.
— « Plato on why mathematics is good for the soul », dans : T. Smiley (éd.), Mathematics
and necessity. Essays in the history of philosophy, Oxford, OUP, 2000, p. 1-81.
R. Hare, « Plato and the mathematicians », dans : R. Bambrough (éd.), New essays on
Plato and Aristotle, London, Routledge & Kegan Paul, 1965, p. 21-38.
Th. Heath, A history of Greek mathematics, vol. 1, Oxford, Clarendon, 1921.
I. Mueller, « Ascending to problems : astronomy and harmonics in Republic VII, dans : J.
P. Anton (éd.), Science and sciences in Plato, Demar (NY), Caravan Books, 1980, p. 103-
122.
P. Pritchard, Plato's philosophy of mathematics, Sankt Augustin, Academia, 1995.
F. F. Repellini, « La linea e la caverna », dans : M. Vegetti (éd.), Platone. La Repubblica,
vol. V, Napoli, Bibliopolis, 2003, p. 355-403.
A. Wedberg, Plato's philosophy of mathematics, Stockholm, Almquist & Wiksell, 1955.
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